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• A Parábola
Uma parábola é o conjunto de todos os pontos do plano 
equidistantes de uma reta fixa r e um ponto fixo F.
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Elementos da parábola:
• O ponto F é o foco da parábola;
• A reta r é diretriz da parábola;
• O ponto V é o vértice da
parábola.
• A reta s que passa por F e por V,
perpendicular à reta r, chama-se
eixo de simetria da parábola.
• Equação da parábola com o vértice na origem:
y
x
Considere F= , P’ = e 
P = (x;y).
Um ponto P estará na parábola, se
somente se, d(P,P’) = d ( F,P).
Então,
1º caso: Eixo de simetria coincide com o eixo Ox.
Elevando os dois membros ao quadrado, desenvolvendo e
simplificando, temos
y² = 4cx
• Se c > 0
x
y y
x
• Se c < 0
• Equação da parábola com o vértice na origem:
y
x
Considere F= , P’ = e 
P = (x;y).
Um ponto P estará na parábola, se
somente se, d(P,P’) = d ( F ,P).
Então,
2º caso: Eixo de simetria coincide com o eixo Oy.
Elevando os dois membros ao quadrado, desenvolvendo e
simplificando, temos
x² = 4cy
• Se c > 0
x
y y
x
• Se c < 0
• Equação da parábola com o vértice fora da 
origem:
• x’ e y’ são os novos eixos com origem O’ e 
paralelos aos eixos x e y;
• Se O’ é o vértice da parábola, então x’ = x + h
e y’ = y + h;
Logo, as equações da parábola com vértice fora da 
origem são: 
• Eixo paralelo a OY: (x’)²=2py’ (x - )²=4c(y - ) 
• Eixo paralelo a OY: (y’)²=2px’ (y - )²=4c(x - ) 
Exercício 2: Esboce o gráfico, descubra o vértice, o foco e a diretriz da parábola 
x² -2x +4y +7=0 . 
Exercício 1: Verifique que as equações abaixo representam parábolas. Dê seus 
focos e diretrizes:
a) 2x² = 5y
b) 4y² -9x = 0
c) y² + 4x = 0
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Exercício 3: Dê a equação da parábola cuja diretriz é a reta y = 3 e cujo foco é o 
ponto F(3,5).
Elementos da Elipse:
• : focos;
• d( , ) = 2c;
• : vértices;
• : eixo maior: 2a;
• : eixo menor: 2b;
• e : excentricidade: e = . 
• A Elipse
Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos tal que a soma 
das distâncias de cada um desses pontos a dois pontos fixos, 
denominados focos, , seja uma constante. 
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1) d( , ) < d( , ), isto é, < , sendo assim , 2c < 2a.
Então, c < a, logo conclui-se que 0 < e = < 1.
2) No gráfico acima temos que > . Logo, na elipse, 2a > 2b. 
Daí, a > b.
3) Se o ponto P estiver no vértice ou , temos + = 2a.
4) No podemos notar que relação importante 
para se determinar os elementos da elipse. 
Observações:
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 Equação da Elipse de centro O (0,0) e eixo 
maior sobre o eixo Oy.
 Equação da Elipse de centro O (0,0) e eixo 
maior sobre o eixo Ox.
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 Equação da Elipse de centro O’( , ) e 
eixo maior paralelo ao eixo Ox.
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 Equação da Elipse de centro O’( , ) e eixo 
maior paralelo ao eixo Oy.
Exercício 2: Determine a equação da elipse com centro em 
(0,3), eixo maior de comprimento 12, focos em (0,6) e (0,0).
Exercício 1: Determine a equação da elipse de Focos 
e e vértices que são a extremidade do eixo maior, 
e . 
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Exercício 3: A equação 5x² + 9y² - 20x -18y -16 = 0 representa 
uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo x. Determine os focos 
e o centro dessa elipse. 
A Hipérbole
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