Lista 3 (cônicas) - Respondida

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1 
 
 
CURSO Engenharia Industrial Elétrica 
 DISCIPLINA: AVGA 
 ALUNO (A): João Paulo Araújo Santos 
 PROFESSOR: REINALDO DE OLIVEIRA LIMA 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS III – Cônicas 
 
 
1. Por meio de uma translação conveniente dos eixos, transforme as equações que 
seguem em equações do 2º grau, sem os termos do 1º grau: 
a) 2x2  y2 16x  4y  32  0 
 
 
 
 
b) 3x2  2 y2 18x  8y  29  0 
2 
Resp. 3 x '2  2 y '2  6  0 
 
 
 
c) xy  x  2y 10  0 
Resp. x' y'8  0 
 
 
d) 2xy  x  y  3  0 
3 
 Resp. 4x' y'5  0 
 
 
2. Por meio de uma translação dos eixos coordenados, transforme as equações 
dadas para a nova origem indicada: 
a) x2  y2  2x  6y  6  0; 
 
 
O '(1,3) Resp.  x '2   y '2  4  0 
b) 4x2  y2  8x 10y  25  0; O '(1, 5) 
 Resp. 4 x '2  y '2  4  0 
c) xy  3x  4y 13  0; 
 
4 
O '(4,3) Resp.x' y'1  0 
 
 
3. Mediante uma rotação de eixos, elimine o termo xy nas equações: 
a) x2  4xy  y2  2  0 
 
b) 5x2  4xy  2y2 1  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp. 
Resp. 
3 x '2  y '2  2  0 
6 x '2   y '2 1  0 
 
c) x2  2 
xy  3y2  x  y  3  0 Resp. 4 x '2  2 y '  3  0 
 
3 3 
5 
 
c) x2  2 xy  3y2 x  y  3  0 Resp.4 x '2  2 y '  3  0 
 
 
 
 
 
3 3 
6 
4. Reduza a equação 5x2  5y2  6xy  4x  4y 1  0 à forma A x ''2  C  y ''2  F  0 
. 
 
Resp. 
8 x ''2  2 y ''2  5  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
5. Determine a equação da parábola: 
 
a) com foco em F(-2,0) e com diretriz em x = 2; 
 
b) de concavidade voltada para cima que passa pelo ponto A(1,2) e cujo 
vértice é V(0,0); 
 
c) de vértice na origem, que passa pelo ponto (-3,2) e cujo eixo de simetria 
é o eixo dos x; 
 
d) com foco em F(2,4) e vértice em V(2,-2); 
 
 
e) com foco em F(1,3) e diretriz de equação y = – 1; 
 
8 
f) com eixo de simetria paralelo ao eixo 0y, vértice V (1,3) e que passa pelo 
ponto (2,4); 
 
g) de eixo vertical cujo foco é F (-1, 3) e que passa pelo ponto (3,6); 
 
h) que tem o foco na origem e diretriz a reta r : 2x  3y  5  0 ; 
 
 
9 
i) cujo foco é F (0,1) e cuja diretriz é a reta r: 2x – y = 0; 
 
j) cujo foco é F(1,2) e o vértice coincide com a origem. 
 
 
Resp. a) 
 
y2  8x ; b) 
 
2x2  y  0 ; c) 3y2  4x  0 ; d) x  22  24y  2 ; e) x 12  8y 1
f) x2  2x  y  4  0 ; g) x 12  4y  2 e x 12  16y  7; 
h) 9x2 
j) 4x2 
4y2 12xy 20x 30y 25 0 ; i) x2  4y2  4xy 10y  5  0 
 
6. Determine o vértice, o foco e a diretriz da parábola  x  22  4( y  8). 
Resp. V(2,8), F (2,7), d: y – 9 = 0 
 
 
 
 
4xy y2 20x 40y 0 
1
0 
 
7. Obtenha o vértice e o foco da parábola cuja equação é: 
a) y² – 6y – 12x – 15 = 0 Resp. V (-2,3), F(1,3) 
 
 
b) x² – 8x – 6y + 14 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

8. Calcule a distância focal de uma elipse cujo eixo maior mede 10 e cujo eixo 
menor mede 8. Resp. 6 
 
1
1 
 
9. Calcule a excentricidade da elipse 25x2 16 y2  400 
 . 
 
Resp. 3 
5 
 
10. Determine os pontos de interseção da elipse 
coordenados. 
9x2  4 y2  25 com os eixos 
 



11. Determine a equação canônica da elipse: 
 
a) com centro na origem, eixo focal sobre o eixo 0x, que passa pelo ponto 
A  (2 
 
 
 
 Resp. 
2,1) e de excentricidade 1 ; 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) com centro na origem, focos no eixo das abscissas, que passa pelo ponto 
A  ( 15,1) e seu semi-eixo menor é 2; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x2 
 
y2 



 
20 4 
 
 
 
 
1 1 
1
3 
 
c) com focos em (-2,3) e (6,3) e vértice em (-3,3) e (7,3); 
Resp. x  2
2
 
25 
y  32 
9 
 
 
 
 
d) cujos focos estão sobre a reta y + 6 = 0, o ponto B = (3,-11) é um dos 
extremos do eixo menor e a excentricidade é igual a 1 
2 
Resp. x  3
2
 
50 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  1 
 1 
1
4 
 

e) de equação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5x2  4xy  8y2  9  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp. x'2 
y'2 
9 
1 
 
 
4 
f) de equação 
 

x2 
 
3xy  2y2  2  0 
1
5 
 
12. Determine a equação da hipérbole: 
a) com focos em F1(0, 8), F2 (0,–8) e vértices em (0,6), (0,–6); 
 
 
 
Resp. y
2 
 
x2 


 
36 28 
b) de centro na origem, eixo focal sobre o eixo dos x, cuja excentricidade é 
5 e cuja distância focal é 4 5 ; 
 
 
 
 
 
 
Resp. x
2 
 
y2 


 
4 16 
c) de centro na origem, eixo real sobre o eixo das ordenadas, que passa 
pelos pontos  6 5  e Q 4, 6 ; 
P  0, 5 

 













1
1
1
6 
 
Resp. 5y² – 9x² = 36 
d) com centro O’ = (–2, –1), um dos focos F = (–2, 2) e cujo eixo real mede 
4; 
 
Resp. y 1
2
 
4 
x  22 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1
7 
 
e) de eixos paralelos aos eixos coordenados, com focos em (1, 0) e (1, 4) e 
excentricidade igual a 3; Resp. y  22 
4 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) com assíntotas 4x  y 11  0 , 4x  y 13  0 e vértice (3,1). 
Resp. y 12 
4 
x  32 
 
1 
 1 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
1
8 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. Uma hipérbole tem um dos seus vértices em A = (3,0) e as equações de suas 
assíntotas são 2x  3y  0 e 2x  3y  0 . Determine a equação da hipérbole. 
 
 
 
 
 
 
 
Resp. 4x² – 9y² = 36 
 
 
 
14. Demonstre que a excentricidade de qualquer hipérbole equilátera é . 
 
 
Obs. Na hipérbole equilátera, as medidas dos eixos transverso e não 
transversos são iguais. 
 
 
 
 
15. Determine as coordenadas do foco da hipérbole de equação 
 x 12 y  2 
2
 
  1. 
7 2 
Resp. F1(–2, 2), F2(4, 2) 
 
1
9 
 
2
0 
 
 
 
 
16. Determine as equações das assíntotas da hipérbole  x  2
2
 y 1 
2 
  1. 
 
Resp. 
 
3x  4y 10  0 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
3x  4y  2  0
 
17. Dada a hipérbole de equação 
 
3x2  4xy  8x 1  0 , pede-se o centro, a equação 
canônica e o gráfico. Resp. O’(0, 2) e 
y''2 
 1 
4 
 
x''2  1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18. Determine uma equação de elipse com excentricidade 
 
 
 
 


  1 
3 
 
 
 
 
 
 
e cujos focos 
coincidem com os vértices da hipérbole H :16x2  9y2  64x 18y 199  0 . 
Resp.  x  2
2
 
y 1 2 
  1 
128 144 
 
 
 
 
 
 
2
1 
 
 
 
 
 
 
 
19. Determine a equação da parábola P1 cujo vértice coincide com o vértice da 
parábola P2 : y
2  4x  4 y 16  0 e cuja diretriz coincide com o eixo focal da 
 
hipérbole 
 y  22 
H : 
x  5 2 
  1. 
4 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp.  y  22  8 x  3


20. Determine a equação da parábola P cujo vértice coincide com o centro da 
hipérbole 2x2  7 y2  4x 14y 19  0 e cuja diretriz coincide com o eixo focal 
 
da elipse 
 x 12 
E : 
y  2 2 
  1. 
4 1 
 
Resp.  x 12  12 y 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21. Determine uma equação de elipse de excentricidade igual a 
3
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e com eixo 
maior coincidindo com o latus rectum da parábola de equação 
y2  4y  8x  28  0 . Resp.  y  2
2
 
x  5 2 
  1 
16 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
4 
 
22. Identifique o lugar geométrico dos pontos do plano que satisfazem às equações 
abaixo: 
 
a) 2x2  xy  y2  7x  y  6  0 
Resp. par de retas concorrentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 b) 3x2 10xy  3y2  2x 14 y 13= 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
5 
 
 
c)16x2  24xy  9y2  68x  74y  41  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) x2  y2  2x 10y  26  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp. um ponto P(-1,-5) 
 
 
 
2
6 
 
e) 25x2 14xy  25y2  x  3y  3  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 4x2  4xy  y2  6x  3y  2  0 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resp. par de retas paralelas 
 
 
 
 
g) 16x2 16y2 16x  8y  59  0 
2
7 
 
 
h) 19x2  6xy 11y2  38x  6y  29  0