Lista 3 IAL

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Lista de Exerc´ıcios 3 - IAL
Espac¸os Vetoriais
Questa˜o 1. Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre um corpo K. Seja V o conjunto dos
pares ordenados (u,w), com u ∈ U e w ∈W . Mostre que V e´ um espac¸o vetorial sobre K
com adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar definidas por
(u,w) + (u′, w′) = (u + u′, w + w′)
e
k(u, v) = (ku, kv).
(Esse espac¸o V e´ denominado produto cartesiano de U e W ).
Questa˜o 2. Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) de nu´meros reais. Mostre
que V na˜o e´ um espac¸o vetorial sobre R com a dic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar definidas
por
(a, b) + (c, d) = (a + d, b + c)
e
k(a, b) = (ka, kb).
Questa˜o 3. Decida se W e´, ou na˜o, um subespac¸o de R3, se W consistir de todos os
vetores (a, b, c) de R3 tais que:
(a) a = 3b,
(b) b = a2.
Questa˜o 4. Seja V o espac¸o das matrizes quadradas de ordem n sobre um corpo K.
Mostre que o subconjunto das matrizes sime´tricas e´ um subespac¸o de V .
Questa˜o 5. Verifique se os vetores {(1, 0, 1), (2, 1, 1), (0, 2,−1)} sa˜o linearmente indepen-
dentes.
1
Questa˜o 6. Verifique se as matrizes
 1 2
0 1
,
 −1 2
3 1
,
 1 0
1 1
 sa˜o linearmente
independentes.
Questa˜o 7. Escreva w = (1, 3, 8) como combinac¸a˜o linear dos vetores u = (1, 2, 3) e
v = (2, 3, 1).
Questa˜o 8. Decida se os vetores (1, 2,−3, 1), (3, 7, 1,−2), (1, 3, 7,−4) sa˜o linearmente
dependentes ou independentes.
Questa˜o 9. Mostre que as func¸o˜es f(t) = et, h(t) = sin t, g(t) = t2 sa˜o linearmente
independentes.
Questa˜o 10. Mostre que v = (a, b) e v = (c, d) de K2 sa˜o linearmente dependentes se, e
somente se, ad− bc = 0.
Questa˜o 11. Verifique se o conjunto A = {(x, y, z) ∈ R3/x+2y+3z = 0} e´ um subespac¸o
vetorial de R3. Caso sua resposta seja afirmativa, encontre uma base para A.
Questa˜o 12. Mostre que as matrizes 1 0
0 0
 ,
 0 1
0 0
 ,
 0 0
1 0
 ,
 0 0
0 1

formam uma base para o espac¸o vetorial das matrizes de ordem 2. Qual a dimensa˜o deste
espac¸o?
Questa˜o 13. Seja V = R2 e F = R. Considere as bases B = {(1, 1), (0, 1)} e B′ =
{(−1, 1), (2, 0)}. Ache a matriz da mudanc¸a da base B para B′ e de B′ para B.
Questa˜o 14. Seja V o espac¸o vetorial das matrizes de ordem 2. Considere as bases
B =

 1 0
0 0
 ,
 0 1
0 0
 ,
 0 0
1 0
 ,
 0 0
0 1

e
B′ =

 1 1
−1 0
 ,
 0 1
1 0
 ,
 2 0
0 3
 ,
 0 1
0 0
 .
Ache a matriz da mudanc¸a da base B para B′ e de B′ para B.
2
Questa˜o 15. Seja V o espac¸o vetorial dos polinoˆmios de grau ma´ximo 3 sobre F . Con-
sidere as seguintes bases de V:
{1, 2x, x2,−x3}
e
{2, 2x,−5x2, 4x3}.
Encontre as matrizes de mudanc¸a de base.
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