Lista 1 Álgebra linear

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Universidade Federal do Piauí - UFPI
Centro de Ciências da Natureza - CCN
Departamento de Matemática
Lista de exercícios 1
Álgebra Linear
Os problemas de 1 a 12 valem nota!
1. Determine os vetores u, v ∈ R4 sabendo que as coordenadas de u são todas iguais, a última coordenada
de v é igual a 3 e u+ v = (1, 2, 3, 4).
2. Quais dos seguintes subconjuntos são subespaços vetoriais?
(a) F = {(x, y, z) ∈ R3 : x− 2y + 4z = 0}.
(b) X = {(x, y, z) ∈ R3 : xy = 0}.
(c) W = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ y = 0 e z− t = 0}.
(d) O conjunto Z das matrizes 2× 3 nas quais alguma coluna é formada por elementos iguais.
(e) O conjunto F ⊂ F(R;R) formado pelas funções f : R → R tais que f(x + 1) = f(x) para todo
x ∈ R.
(f) O conjunto dos vetores v ∈ R5 que tem duas ou mais coordenadas nulas.
(g) X = {(x, y) ∈ R2 : x2 + 3x = y2 + 3y}.
3. Dados u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 0) e w = (2, 0, 0) em R3. Determine α, β e γ tais que
αu+ βv + γw = (1, 1, 1).
4. Considere os vetores u = (2,−3.2) e v = (−1, 2, 4) em R3 e responda os itens abaixo:
(a) Escreva o vetor w = (7,−11, 2) como combinação linear de u e v.
(b) Para que valor de k o vetor (−8, 14, k) é combinação linear de u e v?
5. Mostre que a matriz
(
4 −4
−6 16
)
pode ser escrita como combinação linear das matrizes
(
1 2
3 4
)
,(
−1 2
3 −4
)
e
(
1 −2
−3 4
)
.
6. Determine o valor de k para que os vetores (−1, 0, 2), (1, 1, 1) e (k,−2, 0) em R3 sejam LI.
7. Mostre que se u, v e w são LI então u+ v, u+ w e v + w são também LI.
8. Prove que os polinômios p(x) = x3 − 5x2 + 1, q(x) = 2x4 + 5x− 6 e r(x) = x2 − 5x+ 2 são LI.
9. Mostre que as funções ex, e2x, x3, x2, x são LI.
10. Mostre que os vetores (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 3), (0, 0, 0, 5) formam uma base do R4.
11. Exiba uma base e calcule a dimensão do subespaço F = {(x, y, z) ∈ R3 : x− 2y + 4z = 0} ⊂ R3.
12. Determine a dimensão e uma base do subespaço S de M(2× 2), onde
S =
{(a b
c d
)
: b = a+ c
}
.
Os problemas abaixo serão utilizados apenas para estudar!
1. Mostre que o vetor nulo em um espaço vetorial E é único.
2. Quais dos seguintes subconjuntos de R3 são subespaços vetoriais?
(a) S = {(x, y) ∈ R2 : y = −x}.
(b) S = {(x, x2) ∈ R2 : x ∈ R}.
(c) S = {(x, y) ∈ R2 : x+ 3y}.
(d) S = {(y, y) ∈ R2 : y ∈ R}.
(e) S = {(x, y) ∈ R2 : y = x+ 1}.
(f) S = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0}.
3. Um subconjunto C do espaço vetorial E chama-se um cone quando, para todo v ∈ C e todo t > 0,
tem-se tv ∈ C. Prove:
(a) O conjunto dos vetores v ∈ Rn que tem exatamente k coordenadas positivas (0 ≤ k ≤ n) é um
cone.
(b) O conjunto das funções f : X → R que assumem valores negativos em todos os pontos de um
subconjunto fixado Y ⊂ X é um cone em F(X;R).
(c) A intereseção e a união de uma família qualquer de cones são ainda cones.
4. Seja F um subespaço vetorial de E. As afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas? (Justifique a sua
resposta)
(a) Se u /∈ F e v /∈ F então u+ v /∈ F .
(b) Se u /∈ F e α 6= 0 então αu /∈ F .
5. Seja E um espaço vetorial de dimensão finita. Dado um subespaço F ⊂ E, prove que se pode obter
um subespaço G ⊂ E tal que E = F ⊕G.
6. Sejam F1 e F2 subespaços vetoriais de E tais que F1 ∩ F2 = {0}. Mostre que um vetor u ∈ F1 ⊕ F2 se
escreve de maneira única como u = v1 + v2 com v1 ∈ F1 e v2 ∈ F2.
7. Dados os vetores u = (1, 2, 3), v = (3, 2, 1) e w = (−3, 2, 7) em R3, obtenha números α, β tais que
w = αu+ βv. Quantas soluções admite esse problema?
8. Considere os vetores u = (1, 1, 1) e v = (1,−1,−1). Determine números a, b, c com a seguinte pro-
priedade: um vetor w = (x, y, z) pertence a [u, v] se, e somente se, ax+ by + cz = 0.
9. Exprima o vetor (1,−3, 10) como combinação linear dos vetores u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0) e w =
(2,−3, 5).
10. Dados u = (1, 2) e v = (−1, 2), sejam F1 e F2 respectivamente as retas que passam pela origem em R2
e contém u e v. Mostre que R2 = F1 ⊕ F2.
11. Exiba três vetores u, v, w ∈ R3 com as seguintes propriedades: nenhum deles é múltiplo do outro,
nenhuma das coordenadas é igual a zero e [u, v, w] 6= R3.
12. Mostre que as matrizes
(
1 1
0 0
)
,
(
1 0
0 1
)
e
(
1 1
1 1
)
são LI.
13. Mostre que os polinômios 1, x− 1, x2 − 3x+ 1 formam uma base de P2.
14. Mostre que os vetores u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 1) e w = (2, 1, 2) em R3 são linearmente dependentes
(LD).
15. Sejam u, v ∈ E vetores linearmente independentes. Dado α 6= 0, prove que os vetores u e u + αv
também são linearmente independentes.
16. Mostre que os vetores u = (1, 1, 1), v = (1, 2, 3) e w = (1, 4, 9) formam uma base do R3. Exprima cada
um dos vetores i, j, k da base canônica como combinação linear de u, v e w.
17. Determine o vetor-coordenada de v = (1, 0, 0) em relação a base β = {(1, 1, 1), (−1, 1, 0), (1, 0,−1)} do
R3.
18. Sejam F1 e F2 subespaços vetoriais de E. Mostre que dim(F1+F2) = dimF1+dimF2−dim(F1 ∩F2).
19. Determine a dimensão e uma base para cada um dos seguintes subespaços vetoriais do R3:
(a) S = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 3x}.
(b) S = {(x, y, z) ∈ R3 : y = 5x e z = 0}.
(c) S = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 3y e z = −y}.
(d) S = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x− y + 3z = 0}.
(e) S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0}.
20. Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes n× n. Qual a dimensão deste espaço?
21. Determine a dimensão e uma base do subespaço S de M(2× 2), onde
S =
{(a b
c d
)
: a+ d = b+ c
}
.
22. Determine a dimensão e uma base do subespaço S de M(2× 2), onde
S =
{(a b
c d
)
: c = a− 3b e d = 0
}
.
Bom Trabalho!!