MQPD mod4 probabilidade parte1

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Elaboração: Profa. Patrícia Kuyven
Probabilidade
Universidade do Vale do Rio dos Sinos
Profa. Patrícia Sorgatto Kuyven
Elaboração: Profa. Patrícia Kuyven
• Qual é a probabilidade de um erro num sistema ocorrer?
• Quais as chances do investimento A ser mais lucrativo 
que o B?
• Qual a probabilidade do projeto X terminar dentro do 
prazo negociado?
Elaboração: Profa. Patrícia Kuyven
• A probabilidade é uma medida numérica da chance de 
que um evento ocorra.
• A Teoria das Probabilidades é o ramo da Estatística que 
cria, desenvolve e em geral pesquisa modelos que 
podem ser utilizados para estudar experimentos ou 
fenômenos aleatórios
Teoria Elementar da Probabilidade
Elaboração: Profa. Patrícia Kuyven
Conceitos básicos
EXPERIMENTO ALEATÓRIO: fenômeno ou processo que gera 
resultados, sendo que é incerto qual o resultado que ocorrerá 
em cada repetição do experimento;
ESPAÇO AMOSTRAL: conjunto que descreve todos os 
resultados possíveis de um experimento (simbolizado por W);
EVENTO: resultado do experimento que se tem interesse
PROBABILIDADE: P(A)=número de casos favoráveis
número de casos possíveis
Exemplos: a) jogada de um dado;
b) cumprimento do prazo de pagamento de faturas;
c) ocorrência de defeito em peças com garantia de fábrica.
Exemplos: a) jogada de um dado: W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) cumprimento do prazo de pagamento de faturas : W = {sim, não}
c) Número de pessoas num caixa de supermercado : W = {0,1, 2, 3, ...}
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Conceitos básicos
1667,0
6
1)2()( === PAP
EXEMPLO 1: ao jogar um dado, qual a probabilidade de ocorrer face 2?
EXEMPLO 2: ao jogar um dado, qual a probabilidade de ocorrer face par?
5,0
6
3)64,2()()( ==== ouPparPAP
EXEMPLO 3: dentre 20 empresas, 4 são de pequeno porte. Se for 
selecionada uma das 20 ao acaso, qual a probabilidade dela ser de pequeno 
porte?
2,0
20
4.)()( === peqPAP
EXEMPLO 4: a cada 10 paradas de um sistema computacional, 7 são 
causadas por erros de programa. Se for investigada uma parada desse 
sistema ao acaso, qual a probabilidade dela não ser causada por erros de 
programa?
3,0
10
3)_()( === progrerroPAP
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Propriedades básicas
-
- e
-
-
- se A e B independentes
se B depender de A
1)(0 ££ AP
1)( =WP 0)( =fP
1)()( =+ APAP
)()()()( BAPBPAPBAP Ç-+=È
)()()( BxPAPBAP =Ç
)/()()( ABxPAPBAP =Ç
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Propriedades básicas
1)()( =+ APAP
)(1)( APAP -=
EXEMPLO 5: O número de pessoas numa fila pode ser “zero” com 
probabilidade 0,1, pode ser “um” com probabilidade 0,35, pode ser “dois com 
probabilidade 0,4 e pode ser “três” com probabilidade 0,12. Qual a 
probabilidade de haver mais de três pessoas nesta fila?
Espaço amostral: W = { 0,1,2,3,4,5,6,...} e P(A) = P(X>3)
Complementar: ter 0, 1, 2 ou 3 pessoas à P(X=0,1,2,3)
Probabilidade do complementar: 0,1 + 0,35 + 0,4 + 0,12 à 0,97
Então: 03,097,01)3,2,1,0(1)3()(1)( =-=-=>®-= PXPAPAP
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Propriedades básicas
EXEMPLO 6: Se jogarmos um dado, qual a probabilidade do resultado ser 3 
ou par?
)()()()( BAPBPAPBAP Ç-+=È
6
3)6,4,2()(
6
1)3()(
==
==
PBP
PAP
6
40
6
3
6
1)3()( =-+=È=È parPBAP
EXEMPLO 7: Se jogarmos um dado, qual a probabilidade do resultado ser 3 
ou ímpar?
6
1)3()(
6
3)5,3,1()(
6
1)3()(
==Ç
==
==
PBAP
PBP
PAP
6
3
6
1
6
3
6
1)3()( =-+=È=È ímparPBAP
A B
B A
NOTA: Se os eventos forem mutuamente exclusivos, P(AÈB)=P(A) + P(B)
Pelo menos, A ou B devem ocorrer
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Propriedades básicas
EXEMPLO 8: Se jogarmos dois dados consecutivamente, qual a 
probabilidade da seqüência de resultados ser 6,6?
6
1)26()(
6
1)16()(
=°=
=°=
dadonoPBP
dadonoPAP
36
1
6
1
6
1)()()( ===Ç xBxPAPBAP
Outra forma de resolver:
36
1)( =AP
)()()( BxPAPBAP =Ç se A e B independentes
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6
=W
A e B devem ocorrer
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Propriedades básicas
EXEMPLO 9: Se jogarmos dois dados consecutivamente, qual a 
probabilidade da seqüência de resultados ser par,ímpar?
6
3)2_()(
6
3)1_()(
=°=
=°=
dadonoímparPAP
dadonoparPAP
25,0
36
9
6
3
6
3)()()( ====Ç xBxPAPBAP
Outra forma de resolver:
36
9)( =AP
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1
1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2
1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3
1,4 2,4 3,4 4,4 5,4 6,4
1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5
1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6
=W
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Propriedades básicas
EXEMPLO 10: Considere uma urna com 20 bolas pretas e 10 brancas. Se 
forem sorteadas duas bolas, sem reposição, qual a probabilidade de:
a) A primeira ser branca e a segunda ser preta;
2299,0
870
200
29
20.
30
10
)1|2().1()21()(
==
=°°°=°Ç°=Ç brancapretaPbrancaPpretabrancaPBAP
se B depender de A )/()()( ABxPAPBAP =Ç
1034,0
870
90
29
9.
30
10)1|2().1( ===°°° brancabrancaPbrancaP
b) Ambas serem brancas;
c) Ambas serem pretas;
4368,0
870
380
29
19.
30
20)1|2().1( ===°°° pretapretaPpretaP
Prob. de ocorrer B dado que ocorreu A
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Propriedades básicas
EXEMPLO 11: Considere uma empresa com um sistema de comunicação 
que está disponível a todos 230 funcionários. Destes 230 funcionários, 92 
são usuários permanentes do sistema, enquanto os outros são usuários 
casuais. Se forem sorteados três funcionários, sem reposição, qual a 
probabilidade de nenhum ser usuário permanente?
2141,0
12008760
2571216
228
136.
229
137.
230
138
)12|3().1|2().1()321(
==
=°Ç°°°°°=°Ç°Ç° ocococPococPocPocococP
se B depender de A )/()()( ABxPAPBAP =Ç
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Propriedades básicas
EXEMPLO 12: Considere um sistema que, para funcionar, precisa passar do 
estado E para o estado S. Isto ocorre passando por componentes que 
funcionam cada um com probabilidade 0,95 e que são independentes um 
do outro. Calcule a probabilidade de funcionamento do sistema nos casos 
a seguir:
9025,095,0.95,0)2().1()21( ===Ç CPCPCCP
a) E S
C1 C2
9975,09025,095,095,0)21()2()1()21( =-+=Ç-+=È CCPCPCPCCP
b) E SC1
C2
Outra forma:
9975,095,005,005,095,095,095,0)21()21()21( =++=Ç+Ç+Ç xxxCCPCCPCCP
Outra forma:
9975,005,005,01)21(1)21( =-=Ç-=È xCCPCCP
Elaboração: Profa. Patrícia Kuyven
Propriedades básicas
EXEMPLO 12: Continuação...
8574,095,0)3().2().1()321( 3 ===ÇÇ CPCPCPCCCP
c) E S
C1 C2
9476,095,0]9025,095,095,0[
)3()]21()2()1([)3)21((
=-+
=Ç-+=ÇÈ
x
CxPCCPCPCPCCCP
d) E SC1
C2
9999,005,01)321(1)321( 3 =-=ÇÇ-=ÈÈ CCCPCCCP
C3
C3
e) E SC1
C2
C3
Elaboração: Profa. Patrícia Kuyven
Propriedades básicas
EXEMPLO 12: Continuação...
9454,095,0]95,095,095,095,095,095,0[
)4()]321()3()21([)4)3)21(((
=-+
=ÇÇ-+Ç=ÇÈÇ
xxxx
CxPCCCPCPCCPCCCCP
f) E SC1
C3
C4
C2
EXEMPLO 13: Está sendo realizada uma inspeção numa amostra de 100 
peças de um fornecedor que afirma que no máximo 2% de suas peças 
têm defeito.
a) Qual a probabilidade de selecionar uma peça do fornecedor e ela ter 
defeito, considerando verdadeira sua afirmação?
02,0
100
2)( ==defP
b) Qual a probabilidade de selecionar duas peças do fornecedor com reposição 
e ambas terem defeito, considerando verdadeira sua afirmação?
0004,002,002,0)21(==Ç xdefdefP
Elaboração: Profa. Patrícia Kuyven
Propriedades básicas
EXEMPLO 13: Continuação...
c) Qual a probabilidade de selecionar três peças do fornecedor com reposição
e todas serem perfeitas, considerando verdadeira sua afirmação?
9412,098,098,098,0)321( ==ÇÇ xxokokokP
d) Qual a probabilidade de selecionar cinco peças do fornecedor com 
reposição e somente a primeira ter defeito, considerando verdadeira sua 
afirmação?
0184,098,002,0)54321( 4 ==ÇÇÇÇ xokokokokdefP
e) Qual a probabilidade de selecionar cinco peças do fornecedor com 
reposição e somente uma ter defeito, considerando verdadeira sua 
afirmação?
0922,05)98,002,0(
)]54321(
)54321(
)54321(
)54321(
)54321[(
4 ==
ÇÇÇÇÈ
ÇÇÇÇÈ
ÇÇÇÇÈ
ÇÇÇÇÈ
ÇÇÇÇ
xx
defokokokok
okdefokokok
okokdefokok
okokokdefok
okokokokdefP
Elaboração: Profa. Patrícia Kuyven
Propriedades básicas
EXEMPLO 14: Foi desenvolvido um sistema informatizado para processar os 
pedidos de uma empresa. Mesmo após um ano de uso, ainda aparecem 
eventuais erros de programa. Ocorrem dois tipos de erro (A e B, 
independentes um do outro), sendo que o erro do tipo A ocorre com 
probabilidade 0,01 e o erro tipo B com probabilidade 0,03. Se 
observarmos um novo pedido que está sendo processado, qual a 
probabilidade de:
a) Nenhum erro ocorrer?
b) Ocorrer os dois tipos de erro?
9603,097,099,0)( ==Ç xBAP
0003,003,001,0)( ==Ç xBAP
c) Ocorrer somente um tipo de erro?
0394,003,099,097,001,0))()(( =+=ÇÈÇ xxBABAP