apols Equaes diferenciais[1]

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Questão 1/5 - Equações Diferenciais 
Determine uma solução geral para a equação diferencial separável dada 
por 3ydydx=2x2−33ydydx=2x2−3 
Nota: 20.0 
 
A y=√ 4x39−2x+2c3 y=4x39−2x+2c3 
Você acertou! 
Como a expressão do problema já está no formato padrão, basta integrar ambos os lados da equação 
 e obter 
3y22=2x33−3x+c3y22=2x33−3x+c. Isolando y nessa expressão, temos 
y=√ 4x93−2x+2c3 y=4x93−2x+2c3 que é a solução geral do problema. 
 
B y=4x3−2xy=4x3−2x 
 
 
C y=x5−6y=x5−6 
 
 
D y=3x+exy=3x+ex 
 
Questão 2/5 - Equações Diferenciais 
Determine uma solução geral para a equação diferencial separável dada por 
(1+y)dy−xdx=0(1+y)dy−xdx=0. 
Nota: 20.0 
 
A 2y+y2−x2+2c=02y+y2−x2+2c=0 
Você acertou! 
No método de solução para equações separáveis, basta integrar a expressão no formato padrão. 
Assim, após a integração obtemos y+y22−x22+c=0y+y22−x22+c=0. 
Multiplicando por 2 essa equação, temos 2y+y2−x2+2c=02y+y2−x2+2c=0. 
 
B x+5y+xy=2x+5y+xy=2 
 
C 2y+x2=32y+x2=3 
 
 
D x2+y2=0x2+y2=0 
 
y+y2−x2−3=0y+y2−x2−3=0 
 
Questão 3/5 - Equações Diferenciais 
Seja a equação diferencial dydx=3x2ydydx=3x2y. Analise as setenças a 
seguir, assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as 
alternativas falsas: 
1. ( ) dydx=3x2ydydx=3x2y é uma equação linear; 
2. ( ) dydx=3x2ydydx=3x2y é uma equação não linear; 
3. ( ) Se dydx=3x2ydydx=3x2y, então y=ex3y=ex3 é uma solução para 
a equação. 
Agora, marque a sequência correta: 
Nota: 0.0 
 
A V,F,V 
 
B F,V,V 
A afirmativa I é falsa e a II é verdadeira, pois dydx=3x2ydydx=3x2y possui o produto x² que 
 é um termo não linear. 
A afirmativa III é verdadeira, pois ao derivarmos y=ex3y=ex3, temos 
dydx=3x2ex3dydx=3x2ex3 
Como y=ex3y=ex3, podemos substituir esse valor no resultado dessa derivação. Assim teremos 
dydx=3x2ydydx=3x2y que é a equação diferencial apresentada no problema. 
 
 
C V,F,F 
 
D F,V,F 
 
Questão 4/5 - Equações Diferenciais 
Encontre uma solução geral para a equação 
diferencial y′+5y=t3e−5ty′+5y=t3e−5t utlizando o método dos fatores 
integrantes. 
Nota: 20.0 
 
A y=x+lnxy=x+lnx 
 
 
B y=ex+cy=ex+c 
 
C y=ln(x+3)+cy=ln(x+3)+c 
 
D y=(t44+c)e−5ty=(t44+c)e−5t 
 
Você acertou! 
Após identificar p(t)=5p(t)=5, fazemos μ(t)=e∫p(t)dtμ(t)=e∫p(t)dt. Ou seja, 
 μ(t)=e∫5dt=e5tμ(t)=e∫5dt=e5t. 
Multiplicamos μ(t)μ(t) em cada um dos termos da equação diferencial do problema e obtemos 
ddt[e5t.y]=e5tt3e−5tddt[e5t.y]=e5tt3e−5t. Integrando essa expressão e isolando y, temos 
y=(t44+c)e−5ty=(t44+c)e−5t que é a solução geral para o problema. 
 
Questão 5/5 - Equações Diferenciais 
Para modelar uma equação diferencial de crescimento de uma população P 
que cresce a uma taxa proporcional à população inicial, podemos utilizar a 
equação dPdt=kPdPdt=kP, onde k é uma constante de proporcionalidade. 
Como estamos falando do crescimento da população, analise as setenças a 
seguir, assinalando V para as afirmativas verdadeiras e F para as 
alternativas falsas: 
1. ( ) k>0k>0 
2. ( ) dPdt<0dPdt<0 
3. ( ) dPdt>0dPdt>0 
Agora, marque a sequência correta: 
Nota: 20.0 
 
A F,F,F 
 
B F,F,V 
 
C V,F,V 
Você acertou! 
Afirmativas I e III são verdadeiras, pois o modelo trata de uma taxa de crescimento da população P. 
 
D F,V,V 
 
Questão 1/5 - Equações Diferenciais 
Utilize o método dos fatores integrantes para encontrar a solução de 
y′−12y=4y′−12y=4 no ponto inicial y(0)=1y(0)=1 
Nota: 20.0 
 
A y=tet−ty=tet−t 
 
 
B y=e−2t+2ety=e−2t+2et 
 
 
C y=−13+4e12t3y=−13+4e12t3 
 
Você acertou! 
 
 
 
 
D y=(1−t)ety=(1−t)et 
 
 
Questão 2/5 - Equações Diferenciais 
Analise as alternativas dessa questão e determine qual delas tem como 
solução y1=x3y1=x3. 
Nota: 20.0 
 
A y′′+1=0y″+1=0 
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos: 
(y1)′=3x2(y1)′=3x2 
 
(y1)′′=6x(y1)″=6x 
 
(y1)′′′=6(y1)‴=6 
 
Substituindo esses valores em y′′+1=0y″+1=0, temos: 
6x+1=06x+1=0 
Essa igualdade não é verdadeira. 
 
 
B xy′′−y′−x2y′′′2=0xy″−y′−x2y‴2=0 
 
Você acertou! 
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos: 
(y1)′=3x2(y1)′=3x2 
 
(y1)′′=6x(y1)″=6x 
 
(y1)′′′=6(y1)‴=6 
 
Substituindo esses valores em xy′′−y′−x2y′′′2=0xy″−y′−x2y‴2=0, temos: 
x(6x)−(3x2)−x2(6)2=0x(6x)−(3x2)−x2(6)2=0 de forma que essa igualdade é verdadeira, 
 pois os cálculos do lado esquerdo da igualdade resultam em zero. 
 
 
C y′′′=0y‴=0 
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos: 
(y1)′=3x2(y1)′=3x2 
 
(y1)′′=6x(y1)″=6x 
 
(y1)′′′=6(y1)‴=6 
 
Substituindo esses valores em y′′′=0y‴=0, temos: 
6=06=0 
Essa igualdade não é verdadeira. 
 
D y′′′+y′=0y‴+y′=0 
Calculando as derivadas de y1=x3y1=x3 temos: 
(y1)′=3x2(y1)′=3x2 
 
(y1)′′=6x(y1)″=6x 
 
(y1)′′′=6(y1)‴=6 
 
Substituindo esses valores em y′′′+y′=0y‴+y′=0, temos: 
6+3x2=06+3x2=0 
Essa igualdade não é verdadeira. 
 
Questão 3/5 - Equações Diferenciais 
Utilize o método dos fatores integrantes para encontrar a solução geral de 
y′−5y=−25xy′−5y=−25x 
Nota: 20.0 
 
A y=5x+1+Ce5xy=5x+1+Ce5x 
Você acertou! 
Como temos 1 multiplicando y' e P(x)=−5P(x)=−5, 
podemos utilizar a fórmula μ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)=e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)= 
e∫P(x)dx=e∫−5dxμ(x)= 
e∫P(x)dx=e∫−5dx 
Assim, temos que 
(e−5xy)′=−25xe−5x(e−5xy)′=−25xe−5x 
integrando em x 
e−5xy=−25∫xe−5xe−5xy=−25∫xe−5x 
que após a integração por partes, temos 
e−5xy=e−5x(5x+1)+Ce−5xy=e−5x(5x+1)+C 
isolando y 
y=5x+1+Ce5xy=5x+1+Ce5x 
 
B y=5ex+Cy=5ex+C 
 
C y=e−5Cy=e−5C 
 
 
D y=C−25exy=C−25ex 
 
 
Questão 4/5 - Equações Diferenciais 
Utilize a integração direta para encontrar a solução geral 
de y′=x2+cos(x)y′=x2+cos(x) 
Nota: 20.0 
 
A y=x22−sen(x)+Cy=x22−sen(x)+C 
 
B y=2x−cos(x)y=2x−cos(x) 
 
C y=x33+sen(x)+Cy=x33+sen(x)+C 
y=x33+sen(x)+C 
Você acertou! 
Integrando y′=x2+cos(x)y′=x2+cos(x) temos 
y=x33+sen(x)+Cy=x33+sen(x)+C 
 
D y=3x3−sen(x)y=3x3−sen(x) 
 
 
Questão 5/5 - Equações Diferenciais 
Utilize o método dos fatores integrantes para calcular z′+z=0z′+z=0 no 
ponto inicial z(0)=1z(0)=1 
Nota: 20.0 
 
A z=−etz=−et 
 
B z=e2tz=e2t 
 
 
C z=et2z=et2 
 
 
D z=e−tz=e−t 
Você acertou! 
Após identificar p(t)=1p(t)=1, fazemos μ(t)=e∫p(t)dtμ(t)=e∫p(t)dt. 
Ou seja, μ(t)=e∫1dt=etμ(t)=e∫1dt=et. 
Multiplicamos μ(t)μ(t) em cada um dos termos da equação diferencial do problema e obtemos 
ddt[et.z]=et.0ddt[et.z]=et.0. Integrando essa expressão e isolando z, temos 
z=ce−tz=ce−t que é a solução geral para o problema. 
Para obter a solução particular, substituímos a condição inicial z(0)=1z(0)=1, ou seja: 
1=ce−01=ce−0 que resulta em c=1c=1 e podemos escrever a solução particular 
z=e−tz=e−t 
 
Questão 1/5 - Equações Diferenciais 
 
Obtenha uma solução geral. 
Nota: 20.0 
 
A y(t)=C1e−2t+C2e4ty(t)=C1e−2t+C2e4t 
 
B y(t)=C1e2t−C2e−4ty(t)=C1e2t−C2e−4t 
 
 
C y(t)=C1e2+C2e−4y(t)=C1e2+C2e−4 
 
 
D y(t)=C1e2t+C2e−4ty(t)=C1e2t+C2e−4t 
Você acertou! 
 
Se 
 
 
Questão 2/5 - Equações Diferenciais 
Encontre a equação característica de e obtenha a 
solução geral da EDO 
Nota: 0.0 
 
A y(t)=(C1+tC2)e2ty(t)=(C1+tC2)e2t 
 
B y(t)=(C1+tC2)e−2ty(t)=(C1+tC2)e−2t 
a solução geral para o caso de raízes repetidas é dada pela equação 
 
 
C y(t)=(C1+C2)e−2ty(t)=(C1+C2)e−2t 
 
 
D y(t)=(C1+tC2)ety(t)=(C1+tC2)et 
 
 
Questão 3/5 - Equações Diferenciais 
Encontre a equação característica de e obtenha a solução 
geral da EDO. 
Nota: 0.0 
 
A y(t)=C1cost+C2senty(t)=C1cost+C2sent 
 
substituindo na equação geral 
 
temos 
 
 
B y(t)=C1cost−C2senty(t)=C1cost−C2sent 
 
C y(t)=C1cos2t+C2senty(t)=C1cos2t+C2sentD y(t)=C1cost+C2sen2ty(t)=C1cost+C2sen2t 
 
Questão 4/5 - Equações Diferenciais 
Seja a Equação Diferencial dada por: 
d3ydt3−d2ydt2−2dydt=0d3ydt3−d2ydt2−2dydt=0 
encontre sua solução geral. 
Nota: 0.0 
 
A y(t)=C1+C2e−t+C3e2ty(t)=C1+C2e−t+C3e2t 
 
 
 
B y(t)=C1e−t+C2e2ty(t)=C1e−t+C2e2t 
 
 
C y(t)=C1+C2e−ty(t)=C1+C2e−t 
 
 
D y(t)=C1+C2e−t+C3e2t+C4ty(t)=C1+C2e−t+C3e2t+C4t 
 
 
Questão 5/5 - Equações Diferenciais 
Encontre a solução geral de y′′4−4y′+25y=0y″4−4y′+25y=0 
Nota: 0.0 
 
A y=e8t(c1cos(6t)+c2sen(6t))y=e8t(c1cos⁡(6t)+c2sen(6t)) 
 
 
 
B y=e8tc1cos(6t)y=e8tc1cos⁡(6t) 
 
 
C y=e8tc1sen(6t)y=e8tc1sen(6t) 
 
 
D y=c1cos(6t)+c2sen(6t)y=c1cos⁡(6t)+c2sen(6t) 
 
Questão 1/5 - Equações Diferenciais 
Seja a função: 
 
Nota: 20.0 
 
A y=c1ex/5+c2−x2 
 
B y=c1ex/5+c2−2x2−20 
Você acertou! 
 
 
C y=c1ex/5+c2−2x2+4 
 
D y=c_1e^{x/5}+c_2-4x^2 
 
Questão 2/5 - Equações Diferenciais 
Seja a função: 
 
 
Nota: 20.0 
 
A 
 
 
B 
 
Você acertou! 
 
 
C 
 
 
D 
 
 
Questão 3/5 - Equações Diferenciais 
Resolva o sistema de equações diferenciais abaixo 
{y+z′=cosx+senxy′+z=cosx−senx 
Encontre a solução geral para y(x) e para z(x) 
Nota: 20.0 
 
A y(x)=cosx+senx−c1ex+c2e−x 
 z(x)=c1ex+c2e−x 
Você acertou! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B y(x)=cosx+senx 
 z(x)=c1ex+c2e−x 
 
C y(x)=c1ex+c2e−x 
 z(x)=cosx+senx 
 
D y(x)=cosx+senx−c1ex 
 z(x)=c2e−x 
 
Questão 4/5 - Equações Diferenciais 
Resolva o sistema de equações diferenciais abaixo 
{2y′+z′−4y−z=0y′+3y+z=0 
Encontre a solução geral para y(x). 
Isole y' na segunda equação e substitua o valor encontrado na primeira, 
para obter uma expressão em z'. 
Resolva o sistema formado pelo y' e z' encontrados. Nesse novo sistema, a 
dica é derivar a primeira equação. 
Nota: 0.0 
 
A y(x)=c1cosx+c2senx 
 
 
 
 
B y(x)=c1cosx−c2senx 
 
C y(x)=c1cos2x+c2sen2x 
 
D y(x)=c1cos(x/2)+c2sen(x/2) 
 
 
Questão 5/5 - Equações Diferenciais 
Resolva o sistema de equações diferenciais abaixo 
 
{y″−2z′−y=0y′−z″−2z=0 
 
Encontre a solução geral para z(x) 
Dica: multiplique a primeira equação por D e a segunda por (D2−1) 
Nota: 20.0 
 
A z(x)=c1e√2x+c2cosx+c3senx 
 
 
B z(x)=c1e√2x+c2e−√2x+c3cosx+c4senx 
Você acertou! 
 
 
 
 
C z(x)=c1e√2x+c2senx 
 
 
D z(x)=c1e−√2x+c3cosx+c4senx