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Pergunta 1)
Uma equação diferencial de variáveis separáveis é toda equação diferencial de primeira ordem e primeiro grau que pode ser escrita na forma image0725e2f1cab_20211112220602.gif. O nome separável vem do fato de que a equação pode ser separada em uma função de image0235e2f1cab_20211112220602.gif e uma função de image0735e2f1cab_20211112220602.gif. A solução de tal equação é obtida ao integrarmos ambos os lados da igualdade.
 
Dado que image0745e2f1cab_20211112220602.gif é uma constante real, assinale a alternativa abaixo que corresponde à solução da equação diferencial separável image0755e2f1cab_20211112220602.gif.
 
Resposta: 
image0805e2f1cab_20211112220605.gif.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma equação separável. Separando as variáveisimage0305e2f1cab_20211112220603.gif eimage0615e2f1cab_20211112220603.gif, podemos reescrever a equação comoimage0765e2f1cab_20211112220603.gif. Integrando ambos os lados da igualdade, temosimage0775e2f1cab_20211112220603.gif, ondeimage0785e2f1cab_20211112220604.gif.
Pergunta 2)
De acordo com Sodré (2003, p. 5), “se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e, se não são conhecidas condições adicionais, poderemos obter a solução geral”. Uma condição adicional que pode ser conhecida é o valor da função em um dado ponto. Assim, uma equação diferencial mais essa condição adicional é chamada de Problema de Valor Inicial (PVI).
 
SODRÉ, U. Notas de aula. Equações diferenciais ordinárias,2003.  Disponível em: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/pdfs/edo.pdf. Acesso em: 20 dez. 2019.
 
Assinale a alternativa que apresenta a solução do PVI: image1105e2f1cab_20211112220528.gif, image1115e2f1cab_20211112220528.gif.
Resposta: 
image1195e2f1cab_20211112220531.gif.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação dada é separável, assim, podemos resolvê-la separando as variáveisimage0305e2f1cab_20211112220528.gif eimage0615e2f1cab_20211112220529.gif, integrando ambos os lados da igualdade em seguida:image1125e2f1cab_20211112220529.gif.
Da condição inicial dada, temos que seimage1135e2f1cab_20211112220529.gif entãoimage1145e2f1cab_20211112220529.gif. Trocando esses valores na solução, obtemos:image1155e2f1cab_20211112220529.gif. Portanto, a solução do PVI éimage1165e2f1cab_20211112220529.gif.
Pergunta 3)
De acordo com Stewart (2016, p. 543), “a técnica para resolver as equações diferenciais separáveis foi primeiro usada por James Bernoulli (em 1690) para resolver um problema sobre pêndulos e por Leibniz (em uma carta para Huygens em 1691). John Bernoulli explicou o método geral em um artigo publicado em 1694”.
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Sabe-se que o método de resolução de uma equação diferencial separável é a integração de ambos os membros da igualdade, assim, assinale a alternativa que corresponde à solução da equação diferencial image0855e2f1cab_20211112220532.gif.
 
Resposta: image0895e2f1cab_20211112220534.gif.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação diferencial dada é uma equação separável. Separando as variáveisimage0305e2f1cab_20211112220532.gif eimage0615e2f1cab_20211112220533.gif, podemos reescrever a equação comoimage0865e2f1cab_20211112220533.gif. Integrando ambos os lados da igualdade, temosimage0875e2f1cab_20211112220533.gif.
Pergunta 4)
Um problema de valor inicial (PVI), para equações diferenciais lineares homogêneas de segunda ordem, consiste em determinar uma solução image0735e2f1cab_20211112220558.gif que satisfaça às condições iniciais da forma image2815e2f1cab_20211112220558.gif e image2825e2f1cab_20211112220558.gif. Por meio dessas condições, é possível determinar o valor das constantes obtidas na solução geral.
 
Considere o seguinte PVI: image2595e2f1cab_20211112220558.gif, image2835e2f1cab_20211112220558.gif e image2845e2f1cab_20211112220559.gif. Analise as afirmativas a seguir:
 
I. A equação auxiliar apresenta duas raízes reais e distintas.
II. A solução do PVI é image2855e2f1cab_20211112220559.gif.
III. O valor de umas das constantes da solução geral é image2865e2f1cab_20211112220559.gif.
IV. A EDO dada não é homogênea.
 
É correto o que se afirma em:
Resposta: 
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. São verdadeiras as afirmativas I e II, pois:
Afirmativa I: Correta. A equação auxiliar é expressa porimage2405e2f1cab_20211112220559.gif, cujas raízes sãoimage2415e2f1cab_20211112220559.gif (duas raízes reais e distintas).
Afirmativa II: correta. Como a equação auxiliar possui raízes reais e distintas, a saberimage2415e2f1cab_20211112220600.gif, a solução geral é expressa porimage2875e2f1cab_20211112220600.gif. A partir das condições iniciais, obtemos o seguinte sistema:
(i)image2885e2f1cab_20211112220600.gif
(ii)image2895e2f1cab_20211112220600.gif
Resolvendo o sistema, obtemosimage2905e2f1cab_20211112220600.gif eimage2915e2f1cab_20211112220601.gif. Portanto, a solução do PVI éimage2925e2f1cab_20211112220601.gif.
Pergunta 5)
A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial image1955e2f1cab_20211112220453.gif se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: image1965e2f1cab_20211112220454.gif, onde image1975e2f1cab_20211112220454.gif representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo image0245e2f1cab_20211112220454.gif. Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial image1955e2f1cab_20211112220454.gif reduzida em 0,043% após 15 anos.
 
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é image1985e2f1cab_20211112220454.gif.
II. A função que representa o problema descrito é image1995e2f1cab_20211112220455.gif.
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de image2005e2f1cab_20211112220455.gif.
 
É correto o que se afirma em:
Resposta:
I e II, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. Resolvendo a equação diferencial separávelimage2015e2f1cab_20211112220455.gif, temos que as afirmativas I e II estão corretas, pois
image2025e2f1cab_20211112220455.gif, ondeimage1625e2f1cab_20211112220455.gif.
Paraimage2035e2f1cab_20211112220456.gif, concluímos queimage2045e2f1cab_20211112220456.gif e, paraimage2055e2f1cab_20211112220456.gif concluímosimage2065e2f1cab_20211112220456.gif. Portanto, a função que representa o problema descrito éimage2075e2f1cab_20211112220456.gif.
Pergunta 6)
A solução de uma equação diferencial é uma família de funções, onde cada função dessa família se diferencia da outra pelo valor de uma constante. Para verificar se uma função é solução de uma equação diferencial, devemos substituir a expressão da função e suas derivadas na equação e verificar se vale a igualdade. Se a igualdade for verdadeira, a função é solução, se não for verdadeira, não é solução.
 
Com relação à solução de equações diferenciais, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A função image0455e2f1cab_20211112220504.gif é solução da equação diferencial image0465e2f1cab_20211112220505.gif.
II. A função image0475e2f1cab_20211112220505.gif é solução da equação diferencial image0485e2f1cab_20211112220505.gif.
III. A função image0495e2f1cab_20211112220505.gif é solução da equação diferencial image0505e2f1cab_20211112220506.gif.
IV. A função image0515e2f1cab_20211112220506.gif é solução da equação diferencial image0525e2f1cab_20211112220506.gif.
 
É correto o que se afirma em:
Resposta: 
II e IV, apenas.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com a definição de solução de uma equação diferencial, temos que estão corretas as afirmativas II e IV, pois:
Afirmativa II: Correta. Dada a funçãoimage0535e2f1cab_20211112220506.gif, temosimage0545e2f1cab_20211112220506.gif.Repare queimage0555e2f1cab_20211112220507.gif Trocandoimage0565e2f1cab_20211112220507.gif na equação diferencial, temos:
image0575e2f1cab_20211112220507.gif
Afirmativa IV: correta. Dada a funçãoimage0585e2f1cab_20211112220507.gif, temosimage0595e2f1cab_20211112220507.gif eimage0605e2f1cab_20211112220508.gif. Trocandoimage0615e2f1cab_20211112220508.gif,image0565e2f1cab_20211112220508.gif eimage0625e2f1cab_20211112220508.gif na equação diferencial, temos:
image0635e2f1cab_20211112220508.gif.
Pergunta 7)
“Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma image2345e2f1cab_20211112220439.gif, onde image2355e2f1cab_20211112220439.gif e image2365e2f1cab_20211112220440.gif são funções contínuas” (STEWART, 2016, p. 1028). Se image2375e2f1cab_20211112220440.gif, a equação é dita linear homogênea, caso contrário, se image2385e2f1cab_20211112220440.gif a equação é dita linear não homogênea.
 
STEWART, J. Cálculo.
São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Com relação às equações homogêneas, assinale a alternativa correta:
Resposta: 
A equação diferencial image2595e2f1cab_20211112220445.gif tem solução image2605e2f1cab_20211112220445.gif.
Resposta correta. A alternativa está correta. Dada a equação diferencialimage2395e2f1cab_20211112220440.gif, escrevemos sua equação auxiliarimage2405e2f1cab_20211112220440.gif. Resolvendo essa equação de segundo grau, obtemos os seguintes valores paraimage2415e2f1cab_20211112220441.gif. Como as raízes são distintas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial dada comoimage2425e2f1cab_20211112220441.gif.
Pergunta 8)
Problemas que envolvem crescimento ou decrescimento de alguma grandeza podem ser modelados matematicamente por meio do seguinte problema de valor inicial:
image1535e2f1cab_20211112220547.gif,
onde image1545e2f1cab_20211112220547.gif é uma constante de proporcionalidade que pode ser positiva ou negativa. Considere a seguinte situação:
 
Em uma cultura, há inicialmente 10 mil bactérias. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes, assinale a alternativa que corresponde à expressão da função crescimento dessa população.
 
Resposta: image1695e2f1cab_20211112220551.gif
Resposta correta. A alternativa está correta. O problema pode ser descrito pela seguinte equação diferencialimage1555e2f1cab_20211112220547.gif, ondeimage1565e2f1cab_20211112220547.gif é a função quantidade de bactérias que depende do tempoimage0315e2f1cab_20211112220548.gif. Além disso, temos os seguintes dados: paraimage1575e2f1cab_20211112220548.gif temosimage1585e2f1cab_20211112220548.gif. Resolvendo a equação diferencial, temos
image1595e2f1cab_20211112220548.gif, ondeimage1605e2f1cab_20211112220549.gif eimage1615e2f1cab_20211112220549.gif são constantes eimage1625e2f1cab_20211112220549.gif. Comoimage1635e2f1cab_20211112220549.gif temosimage1645e2f1cab_20211112220549.gif. Portanto, a função que descreve o crescimento dessa população de bactérias éimage1655e2f1cab_20211112220549.gif.
Pergunta 9)
A lei de resfriamento de Newton nos permite calcular a taxa de variação da temperatura de um corpo em resfriamento. Considere a seguinte situação: Um cozinheiro fez um bolo de chocolate. Ao retirar do forno, o bolo apresentava uma temperatura de 150°C. Passados quatro minutos, essa temperatura caiu para 90 °C. Sabendo que a temperatura do ambiente é de 25°C, calcule quanto tempo levará para que o bolo esfrie até a temperatura de 30 °C.
 
Assinale a alternativa correta.
Resposta: 20 minutos.
Resposta correta. A alternativa está correta. A equação de resfriamento do bolo pode ser descrita pela equação diferencialimage1745e2f1cab_20211112220447.gif ondeimage1755e2f1cab_20211112220447.gif e são fornecidas as seguintes informações:image1765e2f1cab_20211112220447.gif eimage1775e2f1cab_20211112220447.gif. Nosso problema consiste em determinar o tempoimage1785e2f1cab_20211112220448.gif, em minutos, tal queimage1795e2f1cab_20211112220448.gif. Resolvendo a equação diferencial, temosimage1805e2f1cab_20211112220448.gif
image1815e2f1cab_20211112220448.gif, ondeimage1625e2f1cab_20211112220448.gif. Das condiçõesimage1825e2f1cab_20211112220449.gif eimage1835e2f1cab_20211112220449.gif vamos determinar as constantesimage1845e2f1cab_20211112220449.gif eimage1615e2f1cab_20211112220449.gif. Deimage1855e2f1cab_20211112220449.gif temosimage1865e2f1cab_20211112220450.gif. Deimage1875e2f1cab_20211112220450.gif, temosimage1885e2f1cab_20211112220450.gif. Portanto, a função temperatura do bolo éimage1895e2f1cab_20211112220450.gif. Vamos determinar agora o tempo para o qual a temperatura é 30ºC. Deimage1905e2f1cab_20211112220450.gif, temosimage1915e2f1cab_20211112220451.gif.
Pergunta 10)
As equações diferenciais podem ser classificadas de acordo com alguns critérios. Por exemplo, podemos classificar uma equação diferencial de acordo com sua ordem e grau. No caso da classificação pela ordem, temos que esta é definida pela ordem da mais alta derivada que aparece na equação, e a classificação pelo grau é dada pelo expoente da derivada de maior ordem que aparece na equação.
 
De acordo com a classificação de ordem e grau, assinale a alternativa correta:
 
Resposta: 
A equação diferencial image0405e2f1cab_20211112220520.gif é de ordem 1 e grau 1.
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as definições de classificação por ordem e grau, temos que a ordem da equação é definida pela “maior derivada” da equação, no caso, a maior derivada é a de ordem 1,image0325e2f1cab_20211112220517.gif. Já a classificação pelo grau é dada pelo expoente da maior derivada, nesse caso, grau 1, poisimage0325e2f1cab_20211112220517.gif.