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1
Ca´lculo II - IC242 - T04 (2014-2)
UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
DEMAT - DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Prof.a Cristiane Oliveira de Faria
2a LISTA DE EXERCI´CIOS DE CA´LCULO II
So´lidos de revoluc¸a˜o, Integrais impro´prias
Considere a regia˜o R limitada pelas curvas de equac¸o˜es dadas. Aplicando o me´todo dos discos circulares,
calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o R em torno do eixo E dado.
1. R : y = x3, y = 0, x = 2;
E : eixo x
2. R : y = lnx, y = 0, x = e2;
E : eixo y
3. R : y = x2, x+ y = 2;
E : eixo x
4. R : y = x2 − 2x, y = 4− x2;
E : reta y = 4
Agora, aplicando o me´todo das cascas cil´ındricas, calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da
regia˜o R em torno do eixo E dado.
5. R : y =
1
4− x2 , x = 0, x = 1, y = 0;
E : eixo y
6. R : y = x2, x = y2;
E : reta x = −2
7. R : x = y2, x = 0, y = 1;
E : reta y = 2
8. R : y = lnx, y = 0, x = e2;
E : eixo x
Calcule, pelos dois me´todos distintos, o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o R em torno
do eixo E dado.
9. R : y = x3, y = 0, x = 2;
E : eixo y
10. R : y = x2 , y =
√
x;
E : eixo x
11. R : xy = 4, x+ y = 5;
E : reta y = 1
12. R : y = lnx, y = x−1e−1 ;
E : eixo x
Verifique se a integral impro´pria converge ou diverge
13.
∫ pi/2
0
cosx√
1− senxdx
14.
∫ ∞
1
lnx
x
dx
15.
∫ 0
−∞
dx
x2 − 3x+ 2
16.
∫ ∞
−∞
xe−x
2
dx
17.
∫ 0
−∞
dx
(x− 8) 23
18.
∫ ∞
2
1
x2 − 1dx
19.
∫ ∞
0
e−t sent dt
20.
∫ ∞
−∞
e−|x| dx
21.
∫ 1
0
x√
1− x2 dx
2
22. Calcule, se poss´ıvel, a a´rea da regia˜o R situada no primeiro quadrante e abaixo da curva de equac¸a˜o
y = e−x
Discuta a convergeˆncia da integral
∫ ∞
1
f(x) dx para a func¸a˜o f dada.
23. f(x) = e−x lnx 24. f(x) =
1
x+ ex
(compare com 1ex )
RESPOSTAS
1.
∫ 2
0
pi(x3)2dx =
128pi
7
2.
∫ 2
0
pi
(
(e2)2 − (ey)2)) dy = pi(3e4 + 1)
2
3.
∫ 1
−2
pi
(
(−x+ 2)2 − (x2)2)) dx = 72pi
5
4.
∫ 2
−1
pi
(
(x2 − 2x− 4)2 − (4− x2 − 4)2)) dx = 45pi
5.
∫ 1
0
2pix
1
4− x2 dx = pi(ln 4− ln 3)
6.
∫ 1
0
2pi(x+ 2)(
√
x− x2)dx = 49pi
30
7.
∫ 1
0
2pi(2− y)y2dy = 5pi
6
8.
∫ 2
0
2piy(e2 − ey)dy = 2pi(e2 − 1)
9.
∫ 8
0
pi
(
22 − ( 3√y)2) dy = ∫ 2
0
2pixx3dx =
64pi
5
10.
∫ 4
0
pi
(
(
√
x)2 − (x
2
)2
)
dx =
∫ 2
0
2piy(2y − y2)dy = 8pi
3
11.
∫ 4
1
pi
(
(5− x− 1)2 − ( 4
x
− 1)2
)
dx =
∫ 4
1
2pi(y − 1)(5− y − 4
y
)dy = 2pi(8 ln 2− 3)
12.
∫ e
1
pi
(
(lnx)2 − (x− 1
e− 1 )
2
)
dx =
∫ 1
0
2piy(1 + (e− 1)y − ey)dy = pi(2e− 5)
3
13. 2
14. diverge (∞)
15. ln 2
3
16. 0
17. diverge (∞)
18. ln 32
19. 12
20. 2
21. 1
22.
∫ ∞
0
e−xdx = 1
23. convergente, pois x ≥ 1⇒ 0 ≤ e−x lnx ≤ e−xx⇒ 0 ≤
∫ ∞
1
e−x lnx dx ≤
∫ ∞
1
e−xx dx =
2
e
24. convergente, pois x ≥ 1 > 0⇒ 0 < 1ex+x < 1ex ⇒ 0 <
∫ ∞
1
1
ex + x
dx <
∫ ∞
1
1
x2
dx = 1