Provas - Física III UFRJ - 2017.2 (P1)

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física
Primeira Prova (Diurno)
Disciplina: Física III-A - 2017/2
Data: 11/09/2017
Seção 1: Múltipla Escolha (5 × 0,9 = 4,5 pontos)
1. Sobre as linhas de um campo eletrostático não nulo,
considere as afirmativas abaixo:
(I) Duas linhas de um campo eletrostático nunca
podem se cruzar, caso contrário o campo ficaria
indefinido nos pontos de cruzamento.
(II) O potencial eletrostático aumenta ao longo de
uma linha de campo no sentido de sua orientação.
(III) Linhas de campo eletrostático nunca podem ser
fechadas, caso contrário o campo não teria caráter
conservativo.
São VERDADEIRAS as afirmativas:
(a) I e III
(b) I
(c) II
(d) III
(e) I e II
(f) II e III
(g) I, II e III
(h) Nenhuma delas.
2. Um cilindro circular infinito, isolante, de raio R pos-
sui uma distribuição volumétrica de carga uniforme.
Que tipo de dependência com a distância s ao eixo
do cilindro podemos esperar para a intensidade do
campo elétrico, E (s), nas regiões do espaço definidas
por s < R e s > R, respectivamente?
(a) E (s < R) ∼ s; E (s > R) ∼
1
s
;
(b) E (s < R) = 0; E (s > R) ∼
1
s2
;
(c) E (s < R) = 0; E (s > R) ∼
1
s
;
(d) E (s < R) ∼ s; E (s > R) ∼
1
s2
;
(e) E (s < R) ∼ s2; E (s > R) ∼
1
s2
;
(f) E (s < R) ∼ s2; E (s > R) ∼
1
s
;
3. Um dipolo elétrico é formado por duas partículas de
mesma massa e cargas +q e −q (q > 0), unidas por
um bastão rígido, fino, isolante e de massa desprezí-
vel. Ele encontra-se inicialmente em repouso em uma
região de campo eletrostático externo não-uniforme,
como mostrado na figura abaixo. Seu eixo está ini-
cialmente paralelo ao eixo OY do sistema de coor-
denadas e as linhas orientadas representam as linhas
do campo elétrico externo. Assinale a alternativa que
melhor descreve o movimento subsequente do centro
de massa (CM) do dipolo e o movimento de rotação
do dipolo em torno de um eixo paralelo a OZ e que
passa pelo CM.
(a) O CM se deslocará no sentido +yˆ e as cargas
irão girar em sentido horário.
(b) O CM se deslocará no sentido +yˆ e as cargas
irão girar em sentido anti-horário.
(c) O CM se deslocará no sentido −xˆ e as cargas
irão girar em sentido horário.
(d) O CM se deslocará no sentido −xˆ e as cargas
irão girar em sentido anti-horário.
(e) O CM permanecerá em repouso e as cargas irão
girar em sentido horário.
(f) O CM permanecerá em repouso e as cargas irão
girar em sentido anti-horário.
4. O potencial eletrostático numa região do espaço é
dado por V (r) = V0 exp (−r
2/a2), onde V0 e a são
constantes e r é a distância até a origem de um sis-
tema de coordenadas. Sendo rˆ o unitário da direção
radial, o campo elétrico nessa região do espaço é dado
por:
(a)
(
2r
a2
)
V (r) rˆ
(b)
(
r2
a2
)
V (r) rˆ
(c) −
(
2r
a2
)
V (r) rˆ
(d) −
(
r2
a2
)
V (r) rˆ
(e)
(
2a
r2
)
V (r) rˆ
(f) −
(
2a
r2
)
V (r) rˆ
5. Sobre capacitores e dielétricos, considere as afirmati-
vas abaixo:
(I) Numa associação em série de capacitores, a dife-
rença de potencial em cada capacitor da associação é
a mesma diferença de potencial atuando no capacitor
equivalente.
(II) Numa associação em paralelo de capacitores, a
carga do capacitor equivalente é a soma das cargas
em cada um dos capacitores da associação.
Gabarito Pág. 1
(III) Um material dielétrico é inserido em um
capacitor de placas planas e paralelas de forma a
ocupar todo o volume entre as placas. Se o capacitor
for mantido isolado durante a inserção, a energia
potencial elétrica armazenada nele será maior do que
antes da inserção.
São VERDADEIRAS as afirmativas:
(a) II
(b) I
(c) III
(d) I e II
(e) I e III
(f) II e III
(g) I, II e III
(h) Nenhuma delas.
Gabarito Pág. 1
Universidade Federal do Rio de Janeiro – Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2017/2 – Primeira Prova: 11/09/2017 (Diurno)
Formula´rio
~F
e
= q ~E , ~E = k0
q
r2
rˆ
(
k0 =
1
4πǫ0
)
,
∮
S
~E ·d ~A =
QSint
ǫ0
, ~E = − ~∇V , V = k0
q
r
,
U = k0
qq′
r
, C = Q/V, U =
1
2
QV, uE =
1
2
ǫ0E
2,
∫
x dx
x+ a
= x− a ln |x+ a| + const, ln
(
1 + x
1− x
)
= 2x+
2
3
x3 + ... ( se |x| < 1 )
Sec¸a˜o 2: Questo˜es Discursivas (2,5 + 3,0 = 5,5 pontos)
1. (2,5 pontos) Uma barra fina e isolante de comprimento 2a e´ posicionada sobre o eixo OX de um
sistema de coordenadas com seu centro sobre a origem, como mostrado na figura abaixo. Ela possui
uma densidade linear de carga na˜o-uniforme dada por λ(x′) = λ0 x
′/a (−a ≤ x′ ≤ a), onde λ0 e´ uma
constante positiva. Considere que o potencial ele´trico e´ nulo no infinito.
(a) Determine o potencial ele´trico em um ponto P sobre o eixo OX , a uma distaˆncia x > a da origem.
(1,5 pontos)
(b) Obtenha uma expressa˜o assinto´tica para o resultado do item (a) no limite x ≫ a. Interprete o
resultado. (1,0 ponto)
2. (3,0 pontos) Uma part´ıcula de carga Q e´ colocada no centro de um condutor em formato de casca
esfe´rica, de raios interno a e externo b (b > a), carregado com carga total −Q. A situac¸a˜o e´ mostrada
na figura abaixo. Sabe-se ainda que o sistema esta´ em equil´ıbrio eletrosta´tico.
(a) Utilizando a lei de Gauss, determine o campo
ele´trico (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) nas regio˜es do
espac¸o definidas por r < a, a < r < b e r > b, onde r e´
a distaˆncia ao centro da casca. Esboce o gra´fico de sua
intensidade como func¸a˜o de r. (1,5 pontos)
(b) Determine a densidade superficial de carga nas su-
perfcies interna e externa da casca condutora. (0,7
ponto)
(c) Num ponto P distando 2b do centro do condutor
e´ colocada e fixada uma part´ıcula de carga Q. Apo´s
reestabelecido o equil´ıbrio eletrosta´tico no condutor, a
forc¸a ele´trica sobre essa nova carga sera´ atrativa, re-
pulsiva ou nula? Justifique sua resposta. (0,8 ponto)
1
Gabarito
Sec¸a˜o 2: Questo˜es Discursivas (2,5 + 3,0 = 5,5 pontos)
1. Resoluc¸a˜o:
(a) Considere um elemento de comprimento infinitesimal dx′, localizado em uma coordenada x′ com
relac¸a˜o ao ponto O. Este elemento esta´ a uma distncia x − x′ do ponto P , como mostrado na figura
abaixo. Ele possui uma carga dq = λ(x′)dx′ = λ0(x
′/a)dx′. Dessa forma, como ele pode ser tratado
como uma carga puntiforme, sua contribuic¸a˜o para o potencial ele´trico em P e´ dada por:
dV =
1
4πǫ0
dq
x− x′
=
1
4πǫ0a
λ0x
′dx′
x− x′
.
Assim, o potencial ele´trico total no ponto P sera´:
V (x) =
∫
dV =
∫
+a
−a
1
4πǫ0a
λ0x
′dx′
x− x′
=
λ0
4πǫ0a
∫
+a
−a
x′dx′
x− x′
.
A integral acima pode ser resolvida usando a integral fornecida no formula´rio, resultando em:
V (x) =
λ0
4πǫ0a
[
x ln
(
x+ a
x− a
)
− 2a
]
.
�
(b) Utilizando a expansa˜o fornecida para o logaritmo, temos que, para x≫ a:
ln
(
x+ a
x− a
)
= ln
(
1 + a/x
1− a/x
)
≈ 2
a
x
+
2
3
(a
x
)3
.
Substituindo na expressa˜o do potencial, obtemos:
V (x) ≈
λ0
6πǫ0
(a
x
)2
.
Vemos enta˜o que o potencial cai com 1/x2 nesse limite, correspondendo ao de um dipolo ele´trico. Isto
ocorre porque a carga total da barra e´ nula, Q =
∫
dq =
∫
+a
−a
λ(x′)dx′ = 0, de forma que a contribuic¸a˜o
de monopolo esta´ ausente. A barra claramente apresenta uma contribuio de dipolo ele´trico, uma vez
que ela possui uma concentrac¸a˜o de cargas negativas em x′ < 0 e positivas em x′ > 0. �
2. Resoluc¸a˜o:
(a) No interior de um condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, o campo ele´trico deve ser nulo, caso contra´rio
haveria movimento efetivo de cargas. Dessa forma, temos:
~E(r) = ~0, a < r < b
Podemos agora desenhar uma superf´ıcie gaussiana esfe´rica S1 inteiramente contida na parte macic¸a do
condutor, como mostrado na figura abaixo. Utilizandoa informac¸ao acima, vemos que o fluxo de campo
ele´trico atrave´s de S1 deve ser nulo. Portanto, pela lei de Gauss, uma carga −Q deve se distribuir pela
superf´ıcie interna do condutor para compensar a carga +Q no interior da cavidade, uma vez que na˜o
deve haver acu´mulo de cargas no interior de sua parte macic¸a. Ale´m disso, como o condutor tem simetria
esfe´rica e a part´ıcula carregada esta´ no centro da cavidade, essa carga se distribuira´ uniformemente sobre
a superf´ıcie interna do condutor. Por fim, como a carga total do condutor vale −Q, conclu´ımos que a
carga total sobre a sua superf´ıcie externa e´ nula. Novamente, usando a simetria do problema, vemos
que na˜o havera´ acu´mulo de carga em nenhum ponto sobre essa superf´ıcie.
Vemos enta˜o que a distribuic¸a˜o de cargas no sistema apresenta simetria esfe´rica, de forma que o campo
ele´trico tera´ a forma ~E = E(r)rˆ, onde r e´ a distaˆncia ao centro da casca condutora e rˆ e´ o unita´rio da
1
direc¸a˜o radial. Para explorar essa simetria, podemos desenhar outra superf´ıcie gaussiana esfe´rica S2 de
raio arbitra´rio r, como mostrado na figura abaixo (para r > b). O fluxo de campo ele´trico atrave´s dessa
superf´ıcie sera´ dado por:
ΦS2E =
∮
S2
~E.d ~A =
∮
S2
~E.nˆdA
=
∮
S2
E(r)rˆ.rˆdA =
∮
S2
E(r)dA = E(r)
∮
S2
dA = E(r)4πr2,
onde usamos que o vetor normal e´ dado por rˆ e que a intensidade do campo ele´trico e´ constante sobre
todos os pontos de S2, de modo que ela pode ser retirada da integral.
Por outro lado, a carga total no interior de S2 dependera´ do valor de r, de acordo com as treˆs regio˜es de
interesse. Para r > b, temos QS2int = 0, uma vez a soma das cargas da part´ıcula e das superf´ıcies interna
e externa do condutor e´ nula. Portanto, a lei de Gauss da´:
ΦS2E =
QS2int
ǫ0
→ ~E = ~0, r > b
Para a < r < b, temos tambe´m que QS2int = 0, de forma que E(r) = 0, em acordo com a nossa discussa˜o
inicial. Por fim, para r < a, a superf´ıcie gaussiana englobara´ apenas a part´ıcula no interior da cavidade,
de forma que QS2int = Q. Portanto, aplicando a lei de Gauss:
ΦS2E =
QS2int
ǫ0
E(r)4πr2 =
Q
ǫ0
~E =
1
4πǫ0
Q
r2
rˆ, r < a
O gra´fico da intensidade de ~E como func¸a˜o da distaˆncia r s`a origem e´ mostrado abaixo. Note que ha´
uma descontinuidade em r = a por causa da distribuic¸a˜o de cargas na superf´ıcie interna da casca.
�
(b) Como vimos acima, uma carga −Q se distribuira´ uniformemente sobre a superf´ıcie interna do
condutor e na˜o havera´ nenhum acu´mulo de carga na superf´ıcie externa. Assim, as densidades superficiais
de carga sera˜o:
σsup−int = −
Q
4πa2
e σsup−ext = 0
�
2
(c) Note que a nova part´ıcula e´ colocada na regia˜o exterior a` casca condutora. Dessa forma, ela induzira´
uma polarizac¸a˜o na superf´ıcie externa da casca, que continuara´ tendo carga nula mas possuira´ agora
uma densidade superficial de carga na˜o-uniforme. Por outro lado, pode-se mostrar que a distribuic¸a˜o de
cargas na superf´ıcie interna permanecera´ inalterada, continuando uniforme. Em raza˜o da polarizac¸a˜o
na superf´ıcie externa, teremos cargas de sinal oposto ao da nova part´ıcula acumuladas em uma regia˜o da
esfera mais pro´xima dela e cargas de mesmo sinal acumuladas em uma regia˜o mais afastada. Portanto,
como a forc¸a que elementos de carga exercem sobre a part´ıcula diminui de intensidade com a distaˆncia,
vemos que a forc¸a resultante que a nova part´ıcula sentira´ tera´ cara´ter atrativo.
�
3