capitulo 2 secao 2.4

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2.4 Convolução
Integral de Convolução
A convolução de duas funções da mesma variável t, quais sejam, v(t) e w(t), é definida como:
O resultado da convolução é uma função do tempo, sendo também designada por v*w(t).
Na Eq. (2.4-1), λ é uma variável “muda”, enquanto t é uma defasagem {w(t − λ) = w[−(λ−t)]} que 
varia entre −∞ e +∞.
Por causa disso, a determinação da convolução usando recursos gráficos é recomendável. 
Como exemplo introdutório, sejam v(t) e w(t) conforme abaixo:
* = ?
Na integral (2.4-1), a função v(λ) tem a mesma forma que v(t), enquanto w(t−λ) vale
Graficamente, visualiza-se w(t−λ) através de dois passos:
a) Reverter w(t) no tempo [obtendo-se w(−t)] e substituir t por λ para gerar w(−λ).
b) Deslocar w(−λ) para a esquerda em t unidades (se t < 0) para se obter w[−(λ−t)] = w(t −λ),
para um dado valor de t (se t for positivo, o deslocamento é para a direita, além da origem).
Exemplo:
(continua...)
substituir t por t−λ
Na figura, mostra-se v(λ) e w(t−λ), com t<0.
O valor de t é sempre igual à distância que 
vai da origem de v(λ) até a origem 
deslocada de w(−λ), a qual está indicada na 
figura pela linha tracejada.
Como v*w(t) é avaliada para −∞ < t <+∞, 
então, w(t −λ) desliza da esquerda para 
a direita com relação a v(λ) , tal que o 
integrando da convolução varia com t.
tAetv −=)(
Tttw /)( =
______________________________________________________________________________________________
(continua...)
Quando t < 0 as funções não se sobrepõem,
portanto, o integrando é igual a zero:
Quando 0< t <T, as funções se sobrepõem
para 0 < λ < t e, então, t torna-se o limite 
superior do integrando, e
para 0< t <T.
tAetv −=)(
Tttw /)( =
______________________________________________________________________________________________
(continua...)
(i)
(ii)
overlapping parcial
sem overlapping
Finalmente, quando t > T, as funções se 
sobrepõem para t−T < λ < t, e
tAetv −=)(
Tttw /)( =
______________________________________________________________________________________________
(continua...)
(iii)
overlapping total
A convolução é uma 
operação de suavização, 
no sentido que v*w(t) é 
mais suave que as 
funções originais.
v*w(t)
Tttw /)( =tAetv −=)(
variação 
instantânea
em t
variação 
instantânea
em t
não há 
variações
instantâneas
em t
Propriedades da convolução: 
A convolução obedece as propriedades comutativa, associativa e distributiva:
Prova: Exercício para casa.
Teoremas da Convolução:
Se v(t) ↔ V(f) e w(t) ↔ W(f), então:
Ou seja, a convolução no domínio do tempo torna-se uma multiplicação no domínio da frequência, 
enquanto a multiplicação no domínio do tempo torna-se uma convolução no domínio da frequência.
Prova: Exercício para casa.
Muito importante!
Discussão:
Conforme foi definido:
contudo, devido a propriedade comutativa:
Portanto, no exemplo gráfico estudado anteriormente, em vez de reverter w(t) e deslizá-la ao longo 
de v (ver eq. 2.4-1), poderia se reverter v(t) e deslizá-la ao longo de w.
Derivada da convolução:
Uma propriedade adicional da convolução (que não foi citada no livro do Carlson) refere-se a derivada 
do produto:
Prova: Exercício para casa.
λλλ dtvwtvtwtwtv )()()(*)()(*)( −== ∞
∞−
)(*)()(*)()](*)([ tw
dt
tdv
dt
tdwtv
dt
twtvd
==
Cuidado: não vale a regra da cadeia!
Exemplo 2.4-1: Pulso trapezoidal
v(t)=A1Π(t/τ1) e w(t)=A2Π(t/τ2), τ1 > τ2.
a) Reverter w(t): w(−λ) = w(λ).
b) Deslocar w(−λ) de t unidades para obter w[−(λ−t)]=w(t −λ).
Não há sobreposição, quando ,
ou então, .
Também não há sobreposição quando
ou então, 
Em resumo: v*w(t)=0 para |t| > (τ1+τ2)/2 .
(continua...)
Há sobreposição parcial quando
e o que gera:
quando
Por simetria, na outra região de sobreposição parcial:
quando
(continua...)
A convolução com região de sobreposição total é:
quando .
O resultado é o pulso trapezoidal mostrado na figura 2.4-3c).
Observe-se que a função convolução ocupa a soma das 
larguras das funções individuais: τ1 + τ2 .
______________________________________________________
A TF de v*w é obtida aplicando-se o teorema da convolução:
e assim: #
v(t)=A1Π(t/τ1) e w(t)=A2Π(t/τ2), τ1 > τ2.
(continua...)
Considere-se novamente o pulso triangular mostrado na Figura 2.3-4a, cuja TF é dada em (2.3-11):
____________________________________________________
Tal pulso triangular pode ser obtido a partir do trapézio, fazendo
τ1=τ2=τ e A=A1A2τ2 . 
Sua TF pode ser obtida a partir de
o qual concorda com (2.3-11). #
Sinal temporal
Filtro passa-baixa, W(f)
Espectro
Exemplo 2.4-2: Filtro passa-baixa ideal
A partir do Exemplo 2.2-1 foi visto que a TF de é .
Então, o espectro de v(t) existe para todos os valores de f. 
Passar v(t) por um filtro passa baixa ideal W(f) com largura de banda 1/τ, dado por
equivale a multiplicar V(f) pela função retangular, gerando-se: .
Forma de onda de saída:
cuja integral só pode ser resolvida numericamente.
O filtro atenua as componentes de alta frequência de v(t)
= w(t), usando dualidade
)()()( fVfWfZ =
↔
1−ℑ