Listas de Cálculo Diferencial e Integral 2

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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ – UTFPR
CD22NB – Ca´lculo Diferencial e Integral 2
Profa. Dra. Fernanda Paula
Primeira lista de Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1) Explique por que cada uma das seguintes integrais e´ impro´pria.
1)
∫
∞
1
x4e−x4 dx 2)
∫
pi/2
0
sec x dx
3)
∫
2
0
x
x2 − 5x+ 6 dx 4)
∫
0
−∞
1
x2 + 5
dx
Exerc´ıcio 2) Quais das seguintes integrais e´ impro´pria? Por queˆ?
1)
∫
2
0
1
2x− 1 dx 2)
∫
1
0
1
2x− 1 dx
3)
∫
∞
−∞
sen x
1 + x2
dx 4)
∫
2
1
ln(x− 1) dx
Exerc´ıcio 3) Determine se cada integral e´ convergente ou divergente. Calcule aquelas que sa˜o con-
vergentes.
1)
∫
∞
1
1
(3x+ 1)2
dx 2)
∫
0
−∞
1
(2x− 5) dx 3)
∫
−1
−∞
1√
2− w dw
4)
∫
∞
0
x
(x2 + 2)2
dx 5)
∫
∞
4
e−y/2dy 6)
∫
−1
−∞
e−2tdt
7)
∫
∞
−∞
x
1 + x2
dx 8)
∫
∞
−∞
(2− v4)dv 9)
∫
∞
−∞
xe−x2dx
10)
∫
∞
−∞
x2e−x3 dx 11)
∫
∞
2pi
sen(θ) dθ 12)
∫
∞
0
cos2α dα
13)
∫
∞
1
x+ 1
x2 + 2x
dx 14)
∫
∞
0
dz
z2 + 3z + 2
15)
∫
∞
0
se−5sds
1
16)
∫
6
−∞
rer/3dr 17)
∫
∞
1
ln x
x
dx 18)
∫
∞
−∞
e−|x|dx
19)
∫
∞
−∞
x2
9 + x6
dx 20)
∫
∞
1
ln x
x3
dx 21)
∫
∞
1
ln x
x3
dx
22)
∫
∞
0
x arctg x
(1 + x2)2
dx 23)
∫
3
0
1√
x
dx 24)
∫
3
0
1
x
√
x
dx
25)
∫
0
−1
1
x2
dx 26)
∫
9
1
1
3
√
x− 9dx 27)
∫
3
−2
1
x4
dx
28)
∫
1
0
dx√
1− x2dx 29)
∫
33
0
(x− 1)−1/5dx 30)
∫
1
0
1
4y − 1dy
31)
∫
pi
0
sec x dx 32)
∫
4
0
1
x2 + x− 6dx 33)
∫
1
−1
ex
ex − 1dx
34)
∫
2
0
x− 3
2x− 3dx 35)
∫
2
0
z2 ln z dz 36)
∫
1
0
ln x√
x
dx
Exerc´ıcio 4) Use o Teorema da Comparac¸a˜o para determinar se a integral e´ convergente ou divergente.
1)
∫
∞
1
cos2 x
x2 + 1
dx 2)
∫
∞
1
2 + e−x
x
dx 3)
∫
∞
1
dx
x+ e2x
dx
4)
∫
∞
1
x√
1 + x6
dx 5)
∫
pi/2
0
dx
xsen x
6)
∫
1
0
e−x√
x
dx
Exerc´ıcio 5) Encontre os valores de p para os quais a integral converge e avalie a integral para aqueles
valores de p.
1)
∫
1
0
1
xp
dx 2)
∫
∞
e
1
x(ln x)p
dx 3)
∫
1
0
xp ln x dx
Exerc´ıcio 6) Esboce a regia˜o e encontre sua a´rea (se a a´rea for finita)
1. S = {(x, y) | x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ ex}
2. S = {(x, y) | x ≥ −2, 0 ≤ y ≤ e−x/2}
3. S = {(x, y) | 0 ≤ y ≤ 2/(x2 + 9)}
4. S = {(x, y) | x ≥ 0, 0 ≤ y ≤ x/(x2 + 9)}
5. S = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ pi/2, 0 ≤ y ≤ sec2x}
6. S = {(x, y) | − 2 < x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 1/√x+ 2}
2
Exerc´ıcio 7) Ache o comprimento da curva
1. y = 1 + 6x3/2, 0 ≤ x ≤ 1
2. y2 = 4(x+ 4)3, 0 ≤ x ≤ 2, y > 0
3. y =
x5
6
+
1
10x3
, 1 ≤ x ≤ 2
4. y =
x2
2
− ln x
4
, 2 ≤ x ≤ 4
5. x = 13
√
y(y − 3), 1 ≤ y ≤ 9
6. y2 = 4x, 0 ≤ y ≤ 2
7. y = ex, 0 ≤ x ≤ 1
Respostas
Exerc´ıcio 3 (C= Convergente, D=Divergente)
1. C 2. D 3. D 4. C 5. C 6. D 7. D 8. D 9. C 10. D
11. D 12. D 13. D 14. C 15. C 16. C 17. D 18. C 19. C 20. C
21. C 22. C 23. C 24. D 25. D 26. C 27. D 28. C 29. C 30. D
31. C 32. D 33. D 34. D 35. C 36. C
Exerc´ıcio 4 (C= Convergente, D=Divergente)
1. C 2. D 3. C 4. C 5. D 6. C
Exerc´ıcio 5
1. p < 1 2. p > 1 3. p > −1
Exerc´ıcio 6 (A´reas)
1. e 2. 2e 3.
2pi
3
4. ∞ 5. ∞ 6. 2√2
Exerc´ıcio 7 (Comprimento de arco)
1. 2243(82
√
82− 1)
2. 227(55
√
55− 37√37)
3. 1261240
4. 6 + ln 24
5. 323
6.
√
2 + ln(1 +
√
2)
7.
√
1 + e2 −√2 + ln(√1 + e2 − 1)− 1− ln(√2− 1)
3