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1a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Calcule a integral indefinida∫3senxdx∫3senxdx 3 cos x + C cos x + C - 3 cos x + C - cos x + C - 2 cos x + C Respondido em 05/05/2020 13:14:58 2a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Calcule a área sob a curva f(x) = 3x2 entre x =1 e x = 3 27 ua 29 ua 26 ua 28 ua 30 ua Respondido em 05/05/2020 13:00:51 3a Questão Acerto: 0,0 / 1,0 Resolva a integral∫x2lnxdx.∫x2lnxdx. x3(lnx−1/3)+cx3(lnx−1/3)+c 1/2x2(lnx−1/3)+c1/2x2(lnx−1/3)+c 1/3x2(lnx−1/3)+c1/3x2(lnx−1/3)+c 1/3x3(lnx+1/3)+c1/3x3(lnx+1/3)+c 1/3x3(lnx−1/3)+c1/3x3(lnx−1/3)+c Respondido em 05/05/2020 13:12:40 4a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 O aluno João resolveu a integral abaixo através da substituição trigonométrica, mas o resultado encontrado ainda não está correto. De acordo com o seu conhecimento de cálculo II, dê a solução correta da integral. ∫x2dx√4−x2∫x2dx4-x2 = 2θ−2senθcosθ+C2θ-2senθcosθ+C Considere : x=2senθx=2senθ √4−x2=2cosθ4-x2=2cosθ arcsen(2)−(x2).√4−x2 +Carcsen(2)-(x2).4-x2 +C 2arcsen(x2)−(x2)+C2arcsen(x2)-(x2)+C 2arcsen(x2)−(x2).√4−x2 +C2arcsen(x2)-(x2).4-x2 +C 2sen(x2)−√4−x2 +C2sen(x2)-4-x2 +C 2arcsen(x4)−√4−x2 +C2arcsen(x4)-4-x2 +C Respondido em 05/05/2020 12:35:03 5a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Resolvendo a integral ∫(x−9)(x+5)(x−2)dx∫(x−9)(x+5)(x−2)dx temos como resposta: ln|x+5|−ln|x−2|+Cln|x+5|−ln|x−2|+C ln|x−5|−ln|x−2|+Cln|x−5|−ln|x−2|+C ln|x−5|+ln|x−2|+Cln|x−5|+ln|x−2|+C 2ln|x+5|−ln|x−2|+C2ln|x+5|−ln|x−2|+C 3ln|x+5|−ln|x−2|+C3ln|x+5|−ln|x−2|+C Respondido em 05/05/2020 12:48:02 6a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Qual a solução da integral: ∫2x+21x2−7xdx∫2x+21x2-7xdx ? -3 ln|x| + 5 ln|x-7| + C 3 ln|x| + 5 ln|x-7| + C 5 ln|x| - 3 ln|x-7| + C -5 ln|x| + 3 ln|x-7| + C 3 ln|x| - 5 ln|x-7| + C Respondido em 05/05/2020 12:51:56 7a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 As bordas de cima e de baixo de um pôster têm 6 cm e as bordas laterais medem 4 cm. Se a área do material impresso sobre o pôster estiver fixa em 384 cm², encontre as dimensões do pôster com a menor área 25 cm x 35 cm 22 cm x 36 cm 21 cm x 37 cm nenhuma das alternativas 20 cm x 40 cm Respondido em 05/05/2020 12:54:35 8a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Determine o comprimento do arco da curvay=x2/3y=x2/3 do ponto (0,1) a (8,4). 2/27(403/2−133/2)2/27(403/2−133/2) 2/57(403/2−133/2)2/57(403/2−133/2) 1/27(403/2−133/2)1/27(403/2−133/2) 2/37(403/2−133/2)2/37(403/2−133/2) 5/27(403/2−133/2)5/27(403/2−133/2) Respondido em 05/05/2020 13:21:35 9a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região compreendida entre o eixo y e a curva x=2y,1≤y≤4x=2y,1≤y≤4 3π3π 2π2π π2π2 ππ 3π23π2 Respondido em 05/05/2020 13:17:24 10a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 A produtividade Marginal de uma empresa em relação a produção diária de patinetes P é dada pordP/dx=30−0,2xdP/dx=30−0,2xonde x representa o número funcionários incumbidos da venda. Qual é a função da Produtividade ? P=3x−0,1x2P=3x−0,1x2 P=30x+0,1x2P=30x+0,1x2 P=−30x+0,1x2P=−30x+0,1x2 P=30x−0,1x2P=30x−0,1x2 P=−30x−0,1x2 1a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Seja a função f(x) = x2(x3+1)100 determine o resultado da integral indefinida, integrada em relação a variável x. ( x³+ 1)101 + C x101x101 ((x³+1)101)/303 +C ( x³+ 1)101/101 x2 Respondido em 05/05/2020 13:28:23 2a Questão Acerto: 0,0 / 1,0 Calcule a área da região compreendida sob a curva f(x) = ln(x)/x e as retas x = 1 e x = e. 1/4 2 ln 2 1/8 1/2 Respondido em 05/05/2020 13:29:01 3a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Calcule a integral indefinida ∫xcosxdx∫xcosxdx pelo método da integração por partes. x sen (x) - cos (x) + C sen (x) + cos (x) + C x sen (x) + cos (x) -x sen (x)+ cos (x) + C x sen (x)+ cos (x) + C Respondido em 05/05/2020 13:29:49 4a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Calcule a integral definida∫sen3xcosxdx∫sen3xcosxdx 1/8cos4x−1/4cos2x+C1/8cos4x−1/4cos2x+C −1/4cos4x−1/4cos2x+C−1/4cos4x−1/4cos2x+C −1/8cos4x+1/4cos2x+C−1/8cos4x+1/4cos2x+C −1/8cos4x−1/4cos2x+C−1/8cos4x−1/4cos2x+C 1/8cos4x+1/4cos2x+C1/8cos4x+1/4cos2x+C Respondido em 05/05/2020 13:32:03 5a Questão Acerto: 0,0 / 1,0 Qual é o resultado da integral ∫(2x−3)(x−1)(x−7)dx∫(2x−3)(x−1)(x−7)dx? ln|x−1|+13/6ln|x−7|+Cln|x−1|+13/6ln|x−7|+C 1/6ln|x−1|+ln|x−7|+C1/6ln|x−1|+ln|x−7|+C 1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C 1/6ln|x−1|−11/6ln|x−7|+C1/6ln|x−1|−11/6ln|x−7|+C ln|x−1|+11/6ln|x−7|+Cln|x−1|+11/6ln|x−7|+C Respondido em 05/05/2020 13:34:25 6a Questão Acerto: 0,0 / 1,0 Qual a solução da integral: ∫2x+21x2−7xdx∫2x+21x2-7xdx ? -3 ln|x| + 5 ln|x-7| + C 5 ln|x| - 3 ln|x-7| + C -5 ln|x| + 3 ln|x-7| + C 3 ln|x| - 5 ln|x-7| + C 3 ln|x| + 5 ln|x-7| + C Respondido em 05/05/2020 13:34:13 7a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 O valor da integral de cos x para x = pi/2 é: não existe em R 0,5 0 -1 1 Respondido em 05/05/2020 13:34:05 8a Questão Acerto: 0,0 / 1,0 Calcular o comprimento do arco dado por x=y3/3+1/4yx=y3/3+1/4y sendo seus limites de integração assim representados 1< y< 3 50/4 27/5 46/6 53/653/6 22/5 Respondido em 05/05/2020 13:33:12 9a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Calculando a integral imprópria ∫∞11(x+1)3dx∫1∞1(x+1)3dx, obtemos +∞+∞ 1818 0 3838 1 Respondido em 05/05/2020 13:33:37 10a Questão Acerto: 0,0 / 1,0 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por y = x 3 , y = 0 e x = 1 em torno do eixo y . /3 Nenhuma das respostas anteriores 1a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Seja a função f(x) = x2(x3+1)100 determine o resultado da integral indefinida, integrada em relação a variável x. x2 x101x101 ((x³+1)101)/303 +C ( x³+ 1)101 + C ( x³+ 1)101/101 Respondido em 05/05/2020 10:33:31 2a Questão Acerto: 0,0 / 1,0 Um fabricante de móveis em madeira produz pés de apoio para móveis a partir de blocos de madeira que serão torneados por uma serra de fita que segue o traçado de uma curva determinada por y = √xx , de x=1 até x=4 . Os pés de apoio são obtidos quando a região sob a curva é girada em torno do eixo x. Encontre o volume V de cada pé de apoio produzido por este método. V = 152152 u.v. V = 3 π2π2 u.v. V = 15 u.v. V = 2ππ u.v. V = 15π215π2 u.v. Respondido em 05/05/2020 11:31:29 3a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Calcule a integral indefinida ∫xcosxdx∫xcosxdx pelo método da integração por partes. x sen (x) - cos (x) + C -x sen (x)+ cos (x) + C sen (x) + cos (x) + C x sen (x)+ cos (x) + C x sen (x) + cos (x) Respondido em 05/05/2020 11:01:42 4a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Calcule a integral definida∫sen3xcosxdx∫sen3xcosxdx 1/8cos4x+1/4cos2x+C1/8cos4x+1/4cos2x+C −1/8cos4x+1/4cos2x+C−1/8cos4x+1/4cos2x+C −1/4cos4x−1/4cos2x+C−1/4cos4x−1/4cos2x+C 1/8cos4x−1/4cos2x+C1/8cos4x−1/4cos2x+C−1/8cos4x−1/4cos2x+C−1/8cos4x−1/4cos2x+C Respondido em 05/05/2020 11:59:06 5a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Utilizando tecnicas de integração defina a solução da integral: ∫2x+21x2−7xdx∫2x+21x2−7xdx 5 ln|x+7| 3 ln|x+7| 5 log (x-7) - 3 log (x) + c 3 ln|x-7| ln|x-7| Respondido em 05/05/2020 12:00:03 6a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 O resultado da integral abaixo é: xe2x/2 - e2x/4 +C e2x/4 - e2x/2 +C xe2x - e2x +C e2x - xe3x +C ex - e2x +C Respondido em 05/05/2020 12:00:50 7a Questão Acerto: 0,0 / 1,0 O valor da integral de cos x para x = pi/2 é: 0 -1 1 0,5 não existe em R Respondido em 05/05/2020 11:09:52 8a Questão Acerto: 0,0 / 1,0 Determine o comprimento da curva representada pela função y=x22−(14)lnxy=x22-(14)lnx onde x pertence ao intervalo [2,4]. 20 Ln 2 10 20 pi 6 + (1/4) Ln 2 Respondido em 05/05/2020 12:18:31 9a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 A região R, limitada pelas curvas y = x e y = x2, é girada ao redor do eixo x. Encontre o volume do sólido resultante. 15 2/15 2Pi/15 1/15 Pi/15 Respondido em 05/05/2020 11:28:47 10a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Encontre a área limitada pela reta y = x - 1 e a curva y2 = 2x + 6 23 18 21 10 5 1Calculo 2 parte 1 integrada definida 1. Calcule a integral definida ∫√x∙(x+1/x2)∫√x∙(x+1/x2) 2/5x5/2−2x−1/2+C2/5x5⁄2−2x−1⁄2+C 2/5x5/2+2x−1/2+C2/5x5⁄2+2x−1⁄2+C x5/2−2x−1/2+Cx5⁄2−2x−1⁄2+C 2/5x5/2−2x−1/22/5x5⁄2−2x−1⁄2 2/5x5/2−2x1/2+C2/5x5⁄2−2x1⁄2+C Explicação: Integração direta 2. Calcule a Integral definida ∫(3x2+5+√x)dx∫(3x2+5+√x)dx x2+5x+2/3√(x3)+cx2+5x+2/3√(x3)+c x3+5x+4/3√(x3)+cx3+5x+4/3√(x3)+c x3+5x+2/3√(x3)+cx3+5x+2/3√(x3)+c x2−x+2/3√(x3)+cx2−x+2/3√(x3)+c x3+x+2/3√(x3)+cx3+x+2/3√(x3)+c Explicação: Aplicação direta da integral 3. Calcule a integral indefinida∫3senxdx∫3senxdx - cos x + C - 3 cos x + C - 2 cos x + C 3 cos x + C cos x + C Explicação: Integral direta 4. Calcule a integral abaixo 2x2 + x4/4 - 4x2/2 +C -1/2x2 + x3/3 - 5x2/2 +C -3/x2 + x3/3 - 5x2/2 +C 1/2x2 -3 x3/3 + 5x3/2 +C -2/x2 + 3x3/3 - 4x2/2 +C 5. Integre a função: f(x) = 1/(x + 3) A solução será (1/9) ln | x+ 3| + c A solução será - ln | x+ 3| + c A solução será 4 ln | x+ 3| + c A solução será - (1/9) ln | x+ 3| + c A solução será ln| x+ 3| + c 6. Calcule ∫sen2(x)cos(x)dx∫sen2(x)cos(x)dx . sen3(x)sen3(x) sen3(x)2+csen3(x)2+c cos3(x)+ccos3(x)+c sen3(x)3+csen3(x)3+c cos2(x)+ccos2(x)+c 7. Calcule a ∫(2x3−4x2−5x+6)dx∫(2x3-4x2-5x+6)dx x4−x33−x22+6x+Cx4-x33-x22+6x+C x42−4x³3−5x²2+6x+Cx42-4x³3-5x²2+6x+C x33−x22+6x+Cx33-x22+6x+C x4−4x33−5x22+6x+Cx4-4x33-5x22+6x+C 6x2−8x−5 1. Calcule a integral definida ∫√x∙(x+1/x2)∫√x∙(x+1/x2) x5/2−2x−1/2+Cx5⁄2−2x−1⁄2+C 2/5x5/2−2x1/2+C2/5x5⁄2−2x1⁄2+C 2/5x5/2+2x−1/2+C2/5x5⁄2+2x−1⁄2+C 2/5x5/2−2x−1/2+C2/5x5⁄2−2x−1⁄2+C 2/5x5/2−2x−1/22/5x5⁄2−2x−1⁄2 Explicação: Integração direta 2. Calcule a Integral definida ∫(3x2+5+√x)dx∫(3x2+5+√x)dx x2−x+2/3√(x3)+cx2−x+2/3√(x3)+c x3+5x+2/3√(x3)+cx3+5x+2/3√(x3)+c x2+5x+2/3√(x3)+cx2+5x+2/3√(x3)+c x3+x+2/3√(x3)+cx3+x+2/3√(x3)+c x3+5x+4/3√(x3)+cx3+5x+4/3√(x3)+c Explicação: Aplicação direta da integral 3. Calcule a integral indefinida∫3senxdx∫3senxdx - 2 cos x + C 3 cos x + C - cos x + C cos x + C - 3 cos x + C Explicação: Integral direta 4. Calcule a integral abaixo -2/x2 + 3x3/3 - 4x2/2 +C -1/2x2 + x3/3 - 5x2/2 +C 1/2x2 -3 x3/3 + 5x3/2 +C -3/x2 + x3/3 - 5x2/2 +C 2x2 + x4/4 - 4x2/2 +C 5. Integre a função: f(x) = 1/(x + 3) A solução será - ln | x+ 3| + c A solução será ln| x+ 3| + c A solução será - (1/9) ln | x+ 3| + c A solução será 4 ln | x+ 3| + c A solução será (1/9) ln | x+ 3| + c 6. Calcule ∫sen2(x)cos(x)dx∫sen2(x)cos(x)dx . cos2(x)+ccos2(x)+c cos3(x)+ccos3(x)+c sen3(x)2+csen3(x)2+c sen3(x)sen3(x) sen3(x)3+csen3(x)3+c 7. Calcule a ∫(2x3−4x2−5x+6)dx∫(2x3-4x2-5x+6)dx 6x2−8x−56x2-8x-5 x4−4x33−5x22+6x+Cx4-4x33-5x22+6x+C x4−x33−x22+6x+Cx4-x33-x22+6x+C x42−4x³3−5x²2+6x+Cx42-4x³3-5x²2+6x+C x33−x22+6x+C Calculo 2 parte 2 integrada indefinida 1. Determinar a área da região limitada entre as curvas: f(x) = x + 6 e g(x) = x2. 125/6 120/7 113/5 126/4 33/5 Explicação: Área 2. Encontre a área da região entre as funcões y = x2 e y = 2x - x2 10 3/2 1/3 5/4 1 3. Calcule a área entre as funções f(x) = x2 -3x e g(x)= x 32/3 28/3 30/11 29/3 27/9 Explicação: cálculo de áreas 4. Utilizando integração encontre a área da região limitada pelas curvas f(x)=−x²f(x)=-x² + 4x e `g(x) = x² A área será 15u.a A área será 5 u.a A área será 26 u.a A área será 2,66 u.a A área será 7u.a 5. A área no primeiro quadrante da região delimitada pelas curvas y = 4 e y = x2 é 1/3 4/3 2/3 16/3 8/3 6. Calcule a área entre as curvas f(x)= x2 - 2x e g(x) = 2x . 36/3 35/3 32/3 37/3 34/3 Explicação: áreas 7. Calculo a integral definida ∫10x2√x3dx∫01x2√x3dx 2/13 2/7 2/11 2/8 2/9 Explicação: Teorema fundamental do Cálculo 8. Calcule a integral definida ∫π/20sen2xcosxdx∫0π⁄2sen2xcosxdx 3/4 3/5 5/6 1/3 2/3 Explicação: Integral definida 1. Qual a área da região delimitada pelas funções f(x) = x2 + 1 e g(x) = 3 - x2? 8/3 4/3 1/3 10/3 8 2. Calcule a área sob a curva f(x) = x2 entre 0 e 1 1/3 4/5 6/7 3/4 2/3 Explicação: integrar a função e susbstituir por 1 3. Calcule a integral definida ∫π/20sen2xcosxdx∫0π⁄2sen2xcosxdx 2/3 3/5 3/4 5/6 1/3 Explicação: Integral definida 4. Calcule a área sob a curva f(x) =2x entre x = 0 e x =2 8 12 6 4 10 Explicação: Integral definida 5. Calcule a área sob a curva f(x) = 5x4 +3x2 entre 0 e 2 42 ua 48 ua 46 ua 40 ua 44 ua Explicação: Integral definida 6. Calcule a área da região compreendida sob a curva f(x) = ln(x)/x e as retas x = 1 e x = e. ln 2 1/4 1/2 1/8 2 7. Calcule a área sob a curva f(x) = 3x2 entrex =1 e x = 3 26 ua 27 ua 28 ua 29 ua 30 ua Explicação: INtegral definida 8. Seja a função definida por F(x)=4−x²F(x)=4-x². Com relação a área sob o gráfico desta função é correto afirmar que: A área sob o gráfico de f(x)f(x) entre x=0 e x=1x=0 e x=1 é igual a 1 A área sob o gráfico de f(x)f(x) entre x=0 e x=1x=0 e x=1é igual a 22 A área sob o gráfico de f(x)f(x) entre x=1 e x=2,1x=1 e x=2,1 é 0 A área sob o gráfico de f(x)f(x) entre x=0 e x=3x=0 e x=3 é igual a 2 A área sob o gráfico de f(x)f(x) entre x=0 e x=1x=0 e x=1é igual a 11/3 Calculo 2 parte 3 tecnicas de integração 1. Qual a solução da integral ∫[xsen(x)dx]∫[xsen(x)dx] ? x sen(x) cos(x) + C -x cos(x) + C x sen(x) + cos(x) + C x sen(x) + C -x cos(x) + sen(x) + C 2. Resolvendo a integral ∫xcos2xdx∫xcos2xdx temos como resposta o seguinte resultado: 1/4[xsen(2x)+1/2cos(2x)+x2]+C1/4[xsen(2x)+1/2cos(2x)+x2]+C 1/4[sen(2x)+1/2cos(2x)+x2]+C1/4[sen(2x)+1/2cos(2x)+x2]+C 1/4[xsen(2x)+cos(2x)+x2]+C1/4[xsen(2x)+cos(2x)+x2]+C 1/4[sen(2x)+cos(2x)+x2]+C1/4[sen(2x)+cos(2x)+x2]+C 1/2[xsen(2x)+1/2cos(2x)+x2]+C1/2[xsen(2x)+1/2cos(2x)+x2]+C Explicação: u = x du = cos2xdx 3. Calcule a integral sen2(4x)cos4xdxsen2(4x)cos4xdx sen3(4x)+csen3(4x)+c (112)sen3(4x)+c(112)sen3(4x)+c (13)sen2(4x)+c(13)sen2(4x)+c (112)cos2(4x)+c(112)cos2(4x)+c (112)cos3(4x)+c(112)cos3(4x)+c 4. Seja f(x) = sec2 x. Usando os métodos de integração encontre o valor da integral indefinida ∫f(x)dx∫f(x)dx tg x + c cotg x + c cossec x +c sen x + c cos x + c 5. Resolvendo a integral ∫xexdx∫xexdx obtemos como resposta: ex(x−e)+Cex(x−e)+C ex(x+1)+Cex(x+1)+C ex(x+e)+Cex(x+e)+C ex(x−1)+Cex(x−1)+C ex(2x−1)+Cex(2x−1)+C Explicação: u = x du = exdx 6. Calcule a integral ∫sen3(2x)dx∫sen3(2x)dx (12)cos2x+(−16)cos2(2x)+c(12)cos2x+(-16)cos2(2x)+c (−13)cos2x+cos3(2x)+c(-13)cos2x+cos3(2x)+c cos2x+cos3(2x)+ccos2x+cos3(2x)+c (−12)cosx+(16)cos2(2x)+c(-12)cosx+(16)cos2(2x)+c (−12)cos2x+(16)cos3(2x)+c(-12)cos2x+(16)cos3(2x)+c 7. Calcule a integral ∫(ex)sec2(ex)dx∫(ex)sec2(ex)dx tgex +ctgex +c sec3(ex) +csec3(ex) +c tg2(ex) +ctg2(ex) +c sec2(ex) +csec2(ex) +c secex +csecex +c 8. Calcule a integral ∫sec3xtg3xdx∫sec3xtg3xdx (13)sec3x+c(13)sec3x+c sec3x+csec3x+c tg3x+ctg3x+c (13)tg3x+c(13)tg3x+c (12) 1. Resolva a integral∫te4tdt∫te4tdt fazendo uso da integração por partes. 1/2e4t(t−1/4)+c1/2e4t(t−1/4)+c 1/3e4t(t−1/4)+c1/3e4t(t−1/4)+c −1/4e4t(t−1/4)+c−1/4e4t(t−1/4)+c 1/4e4t(t−1/4)+c1/4e4t(t−1/4)+c e4t(t−1/4)+ce4t(t−1/4)+c Explicação: u = t dv= e4tdt 2. Calcule a integral indefinida ∫xcosxdx∫xcosxdx pelo método da integração por partes. sen (x) + cos (x) + C -x sen (x)+ cos (x) + C x sen (x) + cos (x) x sen (x) - cos (x) + C x sen (x)+ cos (x) + C Explicação: u = x dv= cosx dx 3. Resolva a integral ∫lnxdx∫lnxdx usando a integral por partes. x(ln|x|−1)+cx(ln|x|−1)+c −x(ln|x|−1)+C−x(ln|x|−1)+C x(ln|x|−1)x(ln|x|−1) x(ln|x|+1)+Cx(ln|x|+1)+C ln|x|−1+Cln|x|−1+C Explicação: u = lnx dv= dx 4. Resolva a integral ∫(16x3+4x+1)lnxdx∫(16x3+4x+1)lnxdx fazendo uso de um dos métodos de integração conhecido. ln(x).(4x4+2x2+x)−(x4+x2+x)+Cln(x).(4x4+2x2+x)−(x4+x2+x)+C ln(x).(x4+x2+x)+Cln(x).(x4+x2+x)+C (4x4+2x2+x)−(x4+x2+x)+C(4x4+2x2+x)−(x4+x2+x)+C ln(x).(4x4+2x2+x)−(x4+x2+x)ln(x).(4x4+2x2+x)−(x4+x2+x) ln(x).(4x4+2x2+x)+Cln(x).(4x4+2x2+x)+C Explicação: integração por partes 5. Resolva a integral∫x2lnxdx.∫x2lnxdx. 1/2x2(lnx−1/3)+c1/2x2(lnx−1/3)+c 1/3x3(lnx+1/3)+c1/3x3(lnx+1/3)+c x3(lnx−1/3)+cx3(lnx−1/3)+c 1/3x2(lnx−1/3)+c1/3x2(lnx−1/3)+c 1/3x3(lnx−1/3)+c1/3x3(lnx−1/3)+c Explicação: u = ln x du = x2dx 6. Calcule a integral ∫(ex)sec2(ex)dx∫(ex)sec2(ex)dx secex +csecex +c sec3(ex) +csec3(ex) +c tgex +ctgex +c sec2(ex) +csec2(ex) +c tg2(ex) +ctg2(ex) +c 7. Calcule a integral ∫sen3(2x)dx∫sen3(2x)dx (−12)cos2x+(16)cos3(2x)+c(-12)cos2x+(16)cos3(2x)+c cos2x+cos3(2x)+ccos2x+cos3(2x)+c (−13)cos2x+cos3(2x)+c(-13)cos2x+cos3(2x)+c (12)cos2x+(−16)cos2(2x)+c(12)cos2x+(-16)cos2(2x)+c (−12)cosx+(16)cos2(2x)+c(-12)cosx+(16)cos2(2x)+c 8. Calcule a integral ∫sec3xtg3xdx∫sec3xtg3xdx tg3x+ctg3x+c (13)tg3x+c(13)tg3x+c (12)sec3x+c(12)sec3x+c sec3x+csec3x+c (13)sec3x+c Calculo 2 parte 4 tecnicas de integraçao 1. Usando substituição trigonometria encontre a solução da integral ∫dx/(x2√16−x2)∫dx/(x216−x2) (√16−x2/(16x))+c(16−x2/(16x))+c (√x2+1/(x))+c(x2+1/(x))+c (√16+x/(x))+c)(16+x/(x))+c) (√7+x2/(x))+c(7+x2/(x))+c (√16+x/(x))+c(16+x/(x))+c Explicação: Integral por substituição trigonometrica onde a2 = 16 portanto a = 4. x = 4 sen θθ entao sen θθ = x/4 portanto θθ = arc sen (x/4). x2 = 16 sen2 θθ x = 4 sen θθ entao dx = 4 cos θθ dθθ √16−x2=4cosθ16−x2=4cosθ substituindo na integral ∫(4cosθdθ)/(16sen2θ4cosθ)∫(4cosθdθ)/(16sen2θ4cosθ) simplificando teremso (1/16)∫(1/sen2θ)dθ=(1/16)∫cossec2θdθ(1/16)∫(1/sen2θ)dθ=(1/16)∫cossec2θdθ −(1/16)ctgθ+c−(1/16)ctgθ+c Sabemos que ctgθ=cosθ/senθ=(√16−x2/4)/x/4=√16−x2/xctgθ=cosθ/senθ=(16−x2/4)/x/4=16−x2/x Portanto −(1/16)ctgθ+c=−(√16−x2/(16x))+c−(1/16)ctgθ+c=−(16−x2/(16x))+c 2. Calcule a intgral ∫√(x2+5)dx∫√(x2+5)dx x√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+Cx√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+C 1/2x√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+C1/2x√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+C 1/4x√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+C1/4x√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+C 1/6x√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+C1/6x√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+C 1/3x√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+C1/3x√(x2+5)+5/2ln(√(x2+5)+x)+C Explicação: Integral por substituição trigonométrica 3. Calcular a Integral ∫sen3xdx∫sen3xdx cosx+(cos3x)/3+Ccosx+(cos3x)/3+C −cosx+(cos3x)/3+C−cosx+(cos3x)/3+C −cosx+(cos3x)/2+C−cosx+(cos3x)/2+C −senx+(cos3x)/3+C−senx+(cos3x)/3+C −cosx+(cos2x)/3+C−cosx+(cos2x)/3+C Explicação: Usar transformação trigonométrica 4. Calcule a integral ∫3x2senx3dx∫3x2senx3dx −cosx3+c-cosx3+c cosx3+ccosx3+c tgx3+ctgx3+c −cosx2+c-cosx2+c −senx3+c-senx3+c 5. Calcular a integral∫sen4xcos2xdx∫sen4xcos2xdx. −1/4cos2x−cos6x+c−1/4cos2x−cos6x+c −cos2x−1/12cos6x+c−cos2x−1/12cos6x+c 1/4cos2x−1/12cos6x+c1/4cos2x−1/12cos6x+c −cos2x−cos6x+c−cos2x−cos6x+c −1/4cos2x−1/12cos6x+c−1/4cos2x−1/12cos6x+c 6. Calcule a integral definida∫sen3xcosxdx∫sen3xcosxdx −1/8cos4x−1/4cos2x+C−1/8cos4x−1/4cos2x+C 1/8cos4x+1/4cos2x+C1/8cos4x+1/4cos2x+C 1/8cos4x−1/4cos2x+C1/8cos4x−1/4cos2x+C −1/8cos4x+1/4cos2x+C−1/8cos4x+1/4cos2x+C −1/4cos4x−1/4cos2x+C−1/4cos4x−1/4cos2x+C Explicação: Integral Trigonométrica7. O aluno João resolveu a integral abaixo através da substituição trigonométrica, mas o resultado encontrado ainda não está correto. De acordo com o seu conhecimento de cálculo II, dê a solução correta da integral. ∫x2dx√4−x2∫x2dx4-x2 = 2θ−2senθcosθ+C2θ-2senθcosθ+C Considere : x=2senθx=2senθ √4−x2=2cosθ4-x2=2cosθ arcsen(2)−(x2).√4−x2 +Carcsen(2)-(x2).4-x2 +C 2arcsen(x2)−(x2)+C2arcsen(x2)-(x2)+C 2arcsen(x2)−(x2).√4−x2 +C2arcsen(x2)-(x2).4-x2 +C 2arcsen(x4)−√4−x2 +C2arcsen(x4)-4-x2 +C 2sen(x2)−√4−x2 +C2sen(x2)-4-x2 +C 8. Calcular a integral ∫sen4xcos4xdx∫sen4xcos4xdx x−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+cx−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+c x/3−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+cx/3−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+c x/12−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+cx/12−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+c x/64−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+cx/64−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+c x/32−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+cx/32−sen4x/128+x/128+sen8x/1024+c Calculo 2 parte 5 tecnicas de integração 1. Qual é o resultado da integral ∫(2x−3)(x−1)(x−7)dx∫(2x−3)(x−1)(x−7)dx? 1/6ln|x−1|−11/6ln|x−7|+C1/6ln|x−1|−11/6ln|x−7|+C ln|x−1|+11/6ln|x−7|+Cln|x−1|+11/6ln|x−7|+C ln|x−1|+13/6ln|x−7|+Cln|x−1|+13/6ln|x−7|+C 1/6ln|x−1|+ln|x−7|+C1/6ln|x−1|+ln|x−7|+C 1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C Explicação: Integral por frações parciais 2. Calcule a integral ∫x2−1x4−x2dx∫x2-1x4-x2dx, usando o método das Frações Parciais. −2x+C-2x+C lnx−1x+Clnx-1x+C lnx+2x+Clnx+2x+C −x+C-x+C −1x+C-1x+C 3. Determine a solução da integral: ∫2x+21x2−7xdx∫2x+21x2-7xdx -5 ln|x| + 3 ln|x-7| + C -3 ln|x| + 5 ln|x-7| + C 3 ln|x| - 5 ln|x-7| + C 5 ln|x| - 3 ln|x-7| + C 3 ln|x| + 5 ln|x-7| + C 4. Resolvendo a integral ∫dx/(x2+3x)∫dx/(x2+3x) temos como resposta : 1/3ln|x/(x−3)|+C1/3ln|x/(x−3)|+C 1/6ln|x/(x+3)|+C1/6ln|x/(x+3)|+C 1/2ln|x/(x+3)|+C1/2ln|x/(x+3)|+C ln|x/(x+3)|+Cln|x/(x+3)|+C 1/3ln|x/(x+3)|+C1/3ln|x/(x+3)|+C Explicação: Integral por Frações Parciais 5. Marque a alternativa que indica a solução da integral abaixo através das frações parciais. ∫x+7x2−x−6dx∫x+7x2−x−6dx 2ln(x-3) + c ln(x-3) + 2ln(x+2) + c 3ln(x+2) + c ln(x-3) - ln(x+2) 2ln(x-3) - ln(x+2) + c Explicação: Essa integral é resolvida através da técnica das frações parciais. Nesse caso, devemos fatorar a equação do segundo grau e aplicar a técnica. 6. Resolvendo a integral ∫dx/(x2−1)∫dx/(x2−1) 1/2ln|(x−1)/(x+1)|+C1/2ln|(x−1)/(x+1)|+C 1/3ln|(x−1)/(x+1)|+C1/3ln|(x−1)/(x+1)|+C 3/2ln|(x−1)/(x+1)|+C3/2ln|(x−1)/(x+1)|+C ln|(x−1)/(x+1)|+Cln|(x−1)/(x+1)|+C −1/2ln|(x−1)/(x+1)|+C−1/2ln|(x−1)/(x+1)|+C Explicação: Integral por Frações Parciais 7. Resolvendo a integral∫(x2+x+2)(x2−1)dx∫(x2+x+2)(x2−1)dx 2ln|x+1|+ln|x+1|+C2ln|x+1|+ln|x+1|+C 2ln|x−1|−ln|x+1|+C2ln|x−1|−ln|x+1|+C x+2ln|x−1|−ln|x+1|+Cx+2ln|x−1|−ln|x+1|+C x+ln|x−1|−ln|x+1|+Cx+ln|x−1|−ln|x+1|+C 2x+2ln|x−1|−ln|x+1|+C2x+2ln|x−1|−ln|x+1|+C Explicação: Integral por Frações Parciais 8. Resolvendo a integral ∫(2x−3)/((x−1)(x−7))dx∫(2x−3)/((x−1)(x−7))dx temos como resposta: ln|x−1|+11/6ln|x−7|+Cln|x−1|+11/6ln|x−7|+C 1/3ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C1/3ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C 1/5ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C1/5ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C −1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C−1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C 1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C Explicação: Integral por Frações Parciais Explicação: Integral trigonométrica 1. Resolvendo a integral ∫(x−9)(x+5)(x−2)dx∫(x−9)(x+5)(x−2)dx temos como resposta: ln|x+5|−ln|x−2|+Cln|x+5|−ln|x−2|+C ln|x−5|+ln|x−2|+Cln|x−5|+ln|x−2|+C ln|x−5|−ln|x−2|+Cln|x−5|−ln|x−2|+C 3ln|x+5|−ln|x−2|+C3ln|x+5|−ln|x−2|+C 2ln|x+5|−ln|x−2|+C2ln|x+5|−ln|x−2|+C Explicação: Integração por frações parciais 2. Calcule a única resposta correta para a integral I=∫sen3+lnxxdxI=∫sen3+lnxxdx I=−cos(3+lnx)+CI=-cos(3+lnx)+C I=−cos(x+ln3)+CI=-cos(x+ln3)+C I=−cos(3x−lnx)+CI=-cos(3x-lnx)+C I=−cos(3−lnx)+CI=-cos(3-lnx)+C I= cos(3+lnx)+CI= cos(3+lnx)+C Explicação: Trata-se de uma substituição simples, na qual usa-se para a função u=3+lnxu=3+lnx e du=dxxdu=dxx. 3. Resolvendo a integral∫(x2+x+2)(x2−1)dx∫(x2+x+2)(x2−1)dx x+2ln|x−1|−ln|x+1|+Cx+2ln|x−1|−ln|x+1|+C 2ln|x+1|+ln|x+1|+C2ln|x+1|+ln|x+1|+C x+ln|x−1|−ln|x+1|+Cx+ln|x−1|−ln|x+1|+C 2x+2ln|x−1|−ln|x+1|+C2x+2ln|x−1|−ln|x+1|+C 2ln|x−1|−ln|x+1|+C2ln|x−1|−ln|x+1|+C Explicação: Integral por Frações Parciais 4. Marque a alternativa que indica a solução da integral abaixo através das frações parciais. ∫x+7x2−x−6dx∫x+7x2−x−6dx ln(x-3) - ln(x+2) 2ln(x-3) - ln(x+2) + c 2ln(x-3) + c 3ln(x+2) + c ln(x-3) + 2ln(x+2) + c Explicação: Essa integral é resolvida através da técnica das frações parciais. Nesse caso, devemos fatorar a equação do segundo grau e aplicar a técnica. 5. Resolvendo a integral ∫dx/(x2−1)∫dx/(x2−1) −1/2ln|(x−1)/(x+1)|+C−1/2ln|(x−1)/(x+1)|+C 1/3ln|(x−1)/(x+1)|+C1/3ln|(x−1)/(x+1)|+C ln|(x−1)/(x+1)|+Cln|(x−1)/(x+1)|+C 1/2ln|(x−1)/(x+1)|+C1/2ln|(x−1)/(x+1)|+C 3/2ln|(x−1)/(x+1)|+C3/2ln|(x−1)/(x+1)|+C Explicação: Integral por Frações Parciais 6. Resolvendo a integral ∫dx/(x2−5x+6)∫dx/(x2−5x+6) temos: ln|(x+3)/(x−2)|+Cln|(x+3)/(x−2)|+C 2ln|(x−3)/(x−2)|+C2ln|(x−3)/(x−2)|+C −ln|(x−3)/(x−2)|+C−ln|(x−3)/(x−2)|+C ln|(x−3)/(x−2)|+Cln|(x−3)/(x−2)|+C ln|(x−3)/(x+2)|+Cln|(x−3)/(x+2)|+C Explicação: Integral por Frações Parciais 7. Resolvendo a integral ∫(2x−3)/((x−1)(x−7))dx∫(2x−3)/((x−1)(x−7))dx temos como resposta: 1/5ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C1/5ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C 1/3ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C1/3ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C ln|x−1|+11/6ln|x−7|+Cln|x−1|+11/6ln|x−7|+C −1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C−1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C 1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C1/6ln|x−1|+11/6ln|x−7|+C Explicação: Integral por Frações Parciais 8. O valor da integral de cos x para x = pi/2 é: 1 0,5 não existe em R 0 -1 Calculo 2 parte 6 tecnicas de integração 1. A Integral da função x² - 5x + 6 é: x³ - 2,5x² + 6x x³/3 - 2,5x² + 6x² x³ - 2,5 x² + 6x x³/3 -5x²/2 + 6 x³/3 - 2,5x² + 6x 2. A área limitada pelas funções f(X) = X² - 6X + 5 e g(X) = 6X - 5 - X² é 24,99 u.a. 24,66 u.a. 21,33 u.a. 24,00 u.a. 20,00 u.a. Explicação: A integral finita de 1 a 5 da g(X) resulta 32/3 e de f(X) resulta - 32/3. A área limitada por f(X) e g(X) = 64/3 =21,33 3. Calculando a integral ∫dx/√(x2−25)∫dx/√(x2−25) temos como resultado: ln|x+√(x2+25)|+Cln|x+√(x2+25)|+C ln|x+√(x2+35)|+Cln|x+√(x2+35)|+C ln|x−√(x2+25)|+Cln|x−√(x2+25)|+C ln|x+√(x2−25)|+Cln|x+√(x2−25)|+C −ln|x+√(x2+25)|+C−ln|x+√(x2+25)|+C Explicação: Redolução por substituição trigonométrica 4. Utilizando tecnicas de integracaoencontre a solucao da integral 1/ (1+ √xx): ∫11+√xdx∫11+xdx √x−ln(1+√x3)+Cx−ln(1+x3)+C √x+secxx+secx 2√x−2ln(1+√x)+C2x−2ln(1+x)+C ln(1+√x)+senxCln(1+x)+senxC 2√x−2sen(1+√x)+C2x−2sen(1+x)+C Explicação: Tome u=√x, x=u2 dx=2u substituindo na integral ∫(1/1+u )2u du 2∫u/(1+u) du faça a mudança de variável w=1+u dw=du entao podemo dizer que u du= w−1dw ∫(w−1) (1/w)dw ∫1 dw−∫1/w dw = w− ln w = 1+u−ln(1+u) = 2(1+u−ln(1+u)) = u=√x 2√x−2ln(1+√x)+C 5. Calcule a integral ∫sen5xsen2xdx∫sen5xsen2xdx 1/6sen3x−1/12sen7x+C1/6sen3x−1/12sen7x+C 1/2sen3x−1/12sen7x+C1/2sen3x−1/12sen7x+C 1/6sen3x−1/14sen7x+C1/6sen3x−1/14sen7x+C 1/6sen3x−sen7x+C1/6sen3x−sen7x+C 1/4sen3x−1/14sen7x+C1/4sen3x−1/14sen7x+C Explicação: Usar substituição trigonométrica 6. Qual a solução da integral: ∫2x+21x2−7xdx∫2x+21x2-7xdx ? 3 ln|x| - 5 ln|x-7| + C 3 ln|x| + 5 ln|x-7| + C -3 ln|x| + 5 ln|x-7| + C -5 ln|x| + 3 ln|x-7| + C 5 ln|x| - 3 ln|x-7| + C 7. Calcule a integral ∫2x+1x2−7x+12dx∫2x+1x2-7x+12dx ln∣∣∣(x−9)9x−3∣∣∣+Cln|(x-9)9x-3|+C ln∣∣ ∣∣(x−9)9(x−3)7∣∣ ∣∣+Cln|(x-9)9(x-3)7|+C ln∣∣∣(x−9)2(x−3)3∣∣∣+Cln|(x-9)2(x-3)3|+C ln∣∣ ∣∣x−9(x−3)7∣∣ ∣∣+Cln|x-9(x-3)7|+C ln∣∣∣x−9x−3∣∣∣+Cln|x-9x-3|+C 8. Usando as técnicas de integração resolva a integral da função racional f(x)=8x−9(x−3)(x+2)f(x)=8x-9(x-3)(x+2) A integral terá como solução 2 ln |x-3| + 5 ln | x+2 | + c A integral terá como solução 3 ln |x-3| + 5 ln | x+2 | + c A integral terá como solução 5 ln |x-3| - 3 ln | x+2 | + c A integral terá como solução 3 ln |x-3| + ln | x+2 | + c A integral terá como solução 3 ln |x-3| + 2 ln | x+2 | + c 1. Calcule a integral ∫2x+1x2−7x+12dx∫2x+1x2-7x+12dx ln∣∣∣(x−9)2(x−3)3∣∣∣+Cln|(x-9)2(x-3)3|+C ln∣∣ ∣∣(x−9)9(x−3)7∣∣ ∣∣+Cln|(x-9)9(x-3)7|+C ln∣∣ ∣∣x−9(x−3)7∣∣ ∣∣+Cln|x-9(x-3)7|+C ln∣∣∣x−9x−3∣∣∣+Cln|x-9x-3|+C ln∣∣∣(x−9)9x−3∣∣∣+Cln|(x-9)9x-3|+C 2. Usando as técnicas de integração resolva a integral da função racional f(x)=8x−9(x−3)(x+2)f(x)=8x-9(x-3)(x+2) A integral terá como solução 3 ln |x-3| + ln | x+2 | + c A integral terá como solução 3 ln |x-3| + 2 ln | x+2 | + c A integral terá como solução 2 ln |x-3| + 5 ln | x+2 | + c A integral terá como solução 5 ln |x-3| - 3 ln | x+2 | + c A integral terá como solução 3 ln |x-3| + 5 ln | x+2 | + c 3. O resultado da integral abaixo é: ex - e2x +C xe2x - e2x +C xe2x/2 - e2x/4 +C e2x - xe3x +C e2x/4 - e2x/2 +C 4. A área limitada pelas funções f(X) = X² - 6X + 5 e g(X) = 6X - 5 - X² é 24,99 u.a. 21,33 u.a. 20,00 u.a. 24,66 u.a. 24,00 u.a. Explicação: A integral finita de 1 a 5 da g(X) resulta 32/3 e de f(X) resulta - 32/3. A área limitada por f(X) e g(X) = 64/3 =21,33 5. Calculando a integral ∫dx/√(x2−25)∫dx/√(x2−25) temos como resultado: ln|x+√(x2+35)|+Cln|x+√(x2+35)|+C ln|x−√(x2+25)|+Cln|x−√(x2+25)|+C −ln|x+√(x2+25)|+C−ln|x+√(x2+25)|+C ln|x+√(x2−25)|+Cln|x+√(x2−25)|+C ln|x+√(x2+25)|+Cln|x+√(x2+25)|+C Explicação: Redolução por substituição trigonométrica 6. Qual a solução da integral: ∫2x+21x2−7xdx∫2x+21x2-7xdx ? -5 ln|x| + 3 ln|x-7| + C -3 ln|x| + 5 ln|x-7| + C 5 ln|x| - 3 ln|x-7| + C 3 ln|x| + 5 ln|x-7| + C 3 ln|x| - 5 ln|x-7| + C 7. Calcule a integral ∫sen5xsen2xdx∫sen5xsen2xdx 1/4sen3x−1/14sen7x+C1/4sen3x−1/14sen7x+C 1/6sen3x−1/12sen7x+C1/6sen3x−1/12sen7x+C 1/2sen3x−1/12sen7x+C1/2sen3x−1/12sen7x+C 1/6sen3x−1/14sen7x+C1/6sen3x−1/14sen7x+C 1/6sen3x−sen7x+C1/6sen3x−sen7x+C Explicação: Usar substituição trigonométrica 8. Utilizando tecnicas de integracao encontre a solucao da integral 1/ (1+ √xx): ∫11+√xdx∫11+xdx 2√x−2ln(1+√x)+C2x−2ln(1+x)+C ln(1+√x)+senxCln(1+x)+senxC √x+secxx+secx √x−ln(1+√x3)+Cx−ln(1+x3)+C 2√x−2sen(1+√x)+C2x−2sen(1+x)+C Explicação: Tome u=√x, x=u2 dx=2u substituindo na integral ∫(1/1+u )2u du 2∫u/(1+u) du faça a mudança de variável w=1+u dw=du entao podemo dizer que u du= w−1dw ∫(w−1) (1/w)dw ∫1 dw−∫1/w dw = w− ln w = 1+u−ln(1+u) = 2(1+u−ln(1+u)) = u=√x 2√x−2ln(1+√x)+C Calculo 2 parte 7 aplicação integral 1. Uma curva é definida pela funçao f(x). A integral da funçao f(x) = e-x com limite de integraçao superior sendo mais infinito e o limite inferior sendo menos infinito é uma integral imprópria. Encontre o resultado de tal integral. A integral será uma integral imprópria com resultado zero. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero. . A integral será uma integral imprópria com resultado -1. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero. A integral será uma integral imprópria com resultado mais infinito. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero. A integral será uma integral imprópria com resultado menos infinito. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero. A integral será uma integral imprópria com resultado 1. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero. Explicação: A integral será uma integral imprópria com resultado mais infinito. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero. 2. Utilizando o método de integraçao de funçoes racionais por fraçoes parciais determine o valor da integral da funçao 1/(x2 - 4). O valor da integral será ln [(x-2)/(x+2)] + c O valor da integral será [(x-2)/(x+2)] + c O valor da integral será (1/4) ln [(x-2)/(x+2)] + c O valor da integral será (1/4) ln [x+2] + c O valor da integral será (1/4) ln [x-2] + c 3. As bordas de cima e de baixo de um pôster têm 6 cm e as bordas laterais medem 4 cm. Se a área do material impresso sobre o pôster estiver fixa em 384 cm², encontre as dimensões do pôster com a menor área 22 cm x 36 cm 21 cm x 37 cm 20 cm x 40 cm nenhuma das alternativas 25 cm x 35 cm 4. Calcular o comprimento do arco da curva dada por y = x^(3/2) - 4, de A = (1, -3) até B = (4, 4). 7,63 3,63 6,63 5,63 4,63 5. Encontre a soluçãopara a integral ∫dxx∫dxx |x|+c|x|+c x−1+cx-1+c ln|2x|+cln|2x|+c x+cx+c ln|x|+cln|x|+c 6. Resolva a integral abaixo ∫ ( ex )/(3 + 4ex ) dx 3/4 ln ( 3 + 4ex ) + c ln ( 3 + 4ex ) + c 1/4 ln ( 3 + 4ex ) + c 1/4 ln ( 4 + 4ex ) + c 4 ln ( 3 + 4ex ) + c 1. Uma curva é definida pela funçao f(x). A integral da funçao f(x) = e-x com limite de integraçao superior sendo mais infinito e o limite inferior sendo menos infinito é uma integral imprópria. Encontre o resultado de tal integral. A integral será uma integral imprópria com resultado zero. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero. . A integral será uma integral imprópria com resultado mais infinito. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero. A integral será uma integral imprópria com resultado menos infinito. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero. A integral será uma integral imprópria com resultado -1. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero. A integral será uma integral imprópria com resultado 1. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero. Explicação: A integral será uma integral imprópria com resultado mais infinito. Para resolver esta integral deveremos dividir em duas integrais. A primeira integral passará a ter o limite superior zero e o inferior menos infinito e a segunda integral terá o limite superior mais infinito e o inferior zero. 2. Resolva a integral abaixo ∫ ( ex )/(3 + 4ex ) dx ln ( 3 + 4ex ) + c 4 ln ( 3 + 4ex ) + c 3/4 ln ( 3 + 4ex ) + c 1/4 ln ( 4 + 4ex ) + c 1/4 ln ( 3 + 4ex ) + c 3. As bordas de cima e de baixo de um pôster têm 6 cm e as bordas laterais medem 4 cm. Se a área do material impresso sobre o pôster estiver fixa em 384 cm², encontre as dimensões do pôster com a menor área 21 cm x 37 cm 25 cm x 35 cm 20 cm x 40 cm nenhuma das alternativas 22 cm x 36 cm 4. Encontre a solução para a integral ∫dxx∫dxx |x|+c|x|+c x+cx+c x−1+cx-1+c ln|x|+cln|x|+c ln|2x|+cln|2x|+c 5. Calcular o comprimento do arco da curva dada por y = x^(3/2) - 4, de A = (1, -3) até B = (4, 4). 4,63 3,63 7,63 5,63 6,63 6. Utilizando o método de integraçao de funçoes racionais por fraçoes parciais determine o valor da integral da funçao 1/(x2 - 4). O valor da integral será (1/4) ln [x-2] + c O valor da integral será (1/4) ln [(x-2)/(x+2)] + c O valor da integral será (1/4) ln [x+2] + c O valor da integral será [(x-2)/(x+2)] + c O valor da integral será ln [(x-2)/(x+2)] + c Calculo 2 parte 8 aplicação integral 1. Ao resolvermos a integral trigonométrica ∫senx/(cos)^2 x) dx utilizamos o método da substituição de variáveis, obtendo como resposta correta: sec x + c tg x + c cossec x + c ln|sen x|+ c ln|cos x|+ c 2. A curva abaixo y=(x2)23y=(x2)23 representa a trajetória de uma partícula no plano cartesiano. Encontre o comprimento percorrido pela partícula da origem até o ponto x = 2. 1027(10√10+1)1027(1010+1) 227(10√10)227(1010) (10√10−1)(1010-1) 227(√10−1)227(10-1) 227(10√10−1)227(1010-1) 3. Usando as regras de integraçao, determine a integral da funçao f(x) = ( x3 - 6x + 3) /x . A integral terá como resultado x3 / 3 - 5x + 3/x +c A integral terá como resultado x3 / 3 - 5x + 3 ln | x| +c A integral terá como resultado x3 / 3 - 5x + 3 ln | x| A integral terá como resultado x3 / 3 - 5x + c A integral terá como resultado x3 / 3 - 5x + 3 +c 4. Determine o comprimento de um arco da curva dada na forma paramétrica x = - cos t e y = sen t limitado por [0, pi] 4 pi 5 pi 2 pi pi 3 pi Explicação: comprimento de um arco 5. Calcule a integral abaixo e marque a única alternativa correta 6. Calcule o comprimento do arco da curva dada pory=x3/2−4y=x3/2−4de A(1,-3) até B( 4,4) . 5/6[80√10−13√13]5/6[80√10−13√13] 4/27[80√10−13√13]4/27[80√10−13√13] 1/27[80√10−13√13]1/27[80√10−13√13] 1/3[80√10−13√13]1/3[80√10−13√13] 1/27[70√10−13√13]1/27[70√10−13√13] Explicação: Comprimento de um arco 7. Determine a área limitado pela curva 5x - x2 9/2 u.a 125/6 u.a 125/3 125/3 u.a 250/3 u.a 8. Determine o comprimento de um arco da curva dada na forma paramétrica x = 3t + 2 e y = t -1 limitado por [ 0,2] 4√104√10 3√103√10 6√106√10 2√102√10 5√105√10 Explicação: Comprimento de um arco 1. Calcule a integral abaixo e marque a única alternativa correta 2. Calcule o comprimento da espiral r = et , onde t representa o teta, para teta pertencente ao intervalo [0,2π][0,2π]. (√2)(e2π)(2)(e2π) u.c (e2π−1)(e2π-1) u.c (eπ−1)(eπ-1) u.c (√5)(eπ)(5)(eπ) u.c √2(e2pi−1)2(e2pi−1) u.c Explicação: ∫√f′(x)2+f(x)2dx∫f′(x)2+f(x)2dx ∫√(et)2+(et)2dx=∫√2(et)2dx=∫√2et=√2et∫(et)2+(et)2dx=∫2(et)2dx=∫2et=2et Aplicando os limites de integracao temos de 0 a 2pi √2(e2pi−1)2(e2pi−1) u.c 3. Determine o comprimento de um arco da curva dada na forma paramétrica x = 3t + 2 e y = t -1 limitado por [ 0,2] 3√103√10 4√104√10 5√105√10 6√106√10 2√102√10 Explicação: Comprimento de um arco 4. Calcular o comprimento do arco dado por x=y3/3+1/4yx=y3/3+1/4y sendo seus limites de integração assim representados 1< y< 3 22/5 46/6 50/4 27/5 53/653/6 Explicação: Comprimento de um arco 5. Determine o comprimento de um arco da curva dada na forma paramétrica x = - cos t e y = sen t limitado por [0, 3pi] 4 pi 8 pi 3pi 2 pi 6 pi Explicação: comprimento do arco 6. Determine o comprimento do arco da curvay=x2/3y=x2/3 do ponto (0,1) a (8,4). 1/27(403/2−133/2)1/27(403/2−133/2) 2/57(403/2−133/2)2/57(403/2−133/2)2/27(403/2−133/2)2/27(403/2−133/2) 2/37(403/2−133/2)2/37(403/2−133/2) 5/27(403/2−133/2)5/27(403/2−133/2) Explicação: Comprimento de um arco 7. Determine a área limitado pela curva 5x - x2 125/3 125/3 u.a 250/3 u.a 125/6 u.a 9/2 u.a 8. Calcule o comprimento do arco da curva dada pory=x3/2−4y=x3/2−4de A(1,-3) até B( 4,4) . 1/27[80√10−13√13]1/27[80√10−13√13] 1/3[80√10−13√13]1/3[80√10−13√13] 1/27[70√10−13√13]1/27[70√10−13√13] 4/27[80√10−13√13]4/27[80√10−13√13] 5/6[80√10−13√13]5/6[80√10−13√13] Explicação: Comprimento de um arco Calculo 2 parte 9 aplicação integral 1. Determine a integral de ∫(x^2).sen(x^3 )dx. -[(x^3)/3]. [cos((x^4)/4)] -[(x^3)/3]. [cos(x^3)] [cos(x^3)]/3 - [cos(x^4)]/4 - [cos(x^3)]/3 2. Calculando ∫∞0e−xdx∫0∞e-xdx, obtemos 0 ∞∞ 1212 1 e3e3 3. Calcular o volume gerado pela funçãoy=√xy=√x em torno do eixo x limitado pelas retas y= 0 x = 0 e x= 4 12 pi 8 pi 9 pi 11 pi 10 pi Explicação: Volume 4. Determine o volume gerado pela parábola y = x2 girando em torno do eixo y, no intevalo [0,4]. 8π8π 10π10π ππ 20 3π3π 5. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada por y = x2/4, x = 1, x = 4 e y = 0. 1023/80 u.v. 206/15 u.v. 1024/80 u.v. 206/30 u.v. 1924/80 u.v. 6. Calcular o volume gerado pela função f(x) = x, em torno do eixo x limitado pelas retas y= 0 x= 1 e x = 4. 255π3255π3 225π3225π3 245π3245π3 250π3250π3 235π3235π3 Explicação: Volume 7. Calculando a integral impropria ∫2−∞8(4−x)2dx∫-∞28(4-x)2dx, obtemos 0 +∞+∞ e3e3 2 4 8. Calcular o volume gerado pela função f(x) =x, em torno do eixo x limitado pelas retas y= 0 x= 0 e x = 3 14 pi 10 pi 9 pi 12 pi 15 pi Explicação: Volume 1. Calcule o volume do sólido S gerado pela revolução da região da função y = 2x em torno da reta x = 2, limitado por y = 1 e y = 3 172π15172π15 190π15190π15 192π14192π14 182π15182π15 192π15192π15 Explicação: Volume 2. Determine a integral de ∫(x^2).sen(x^3 )dx. - [cos(x^3)]/3 - [cos(x^4)]/4 -[(x^3)/3]. [cos(x^3)] [cos(x^3)]/3 -[(x^3)/3]. [cos((x^4)/4)] 3. Calcular o volume gerado pela função f(x) =x, em torno do eixo x limitado pelas retas y= 0 x= 0 e x = 3 9 pi 14 pi 12 pi 15 pi 10 pi Explicação: Volume 4. A integral de 1/x^2 dx é: -x x 1 -1/x 1/x Explicação: calcular a integral 5. Determine o volume do sólido obtido com a rotação, em torno do eixo y, da região compreendida entre o eixo y e a curva x=2y,1≤y≤4x=2y,1≤y≤4 3π3π 2π2π ππ π2π2 3π23π2 6. Calculando a integral imprópria ∫∞11(x+1)3dx∫1∞1(x+1)3dx, obtemos 3838 0 +∞+∞ 1818 1 7. No contexto de investimento e formação de capital, se M(t) representa o montante de capital de uma empresa existente em cada instante t e I(t) representa a taxa de investimento líquido por um período de tempo, então M(t) = ∫baI(t)dt∫abI(t)dt fornece o montante acumulado no período a≤t≤ba≤t≤b. Considere a função I(t) = t ln (t) defina t≥1t≥1, representa a taxa de investimento líquido, em milhares de reais de uma empresa de cosméticos. Nesse caso, utilizando ln(3) = 1,1, o valor do montante acumulado no período de 1≤t≤31≤t≤3é igual a: R$ 3 750,00 R$ 2 950,00 R$ 1 100,00 R$ 4 950,00 R$ 2 100,00 8. Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2. 16 14 20 12 10 Calculo 2 parte 10 aplicação integral 1. Defina (r, t), onde t representa o teta, supondo que r < 0 e , para o ponto P, cujas coordenadas cartesianas são (√3,−13,-1). r = 1 e teta = π6π6 r = 3 e teta = π2π2 r = 2 e teta = 5ππ r = -2 e teta = 5ππ/6 r = 4 e teta = ππ 2. A área no primeiro quadrante da região delimitada pelas curvas y=4 e y=x2y=4 e y=x2 é 8/3 1/3 16/3 2/3 4/3 3. As primeiras idéias do Cálculo surgiram na Grécia antiga, há 2500 anos atrás. Naquela época os gregos já sabiam calcular a área de qualquer região poligonal, dividindo-a em triângulos e somando as áreas obtidas. Para o cálculo de áreas de regiões planas limitadas por curvas, eles usavam o chamado Método da Exaustão. Esse método consistia em considerar polígonos inscritos e circunscritos à região. No prosseguimento desta história a matemática evolui. Assinale a alternativa verdadeira: Mesmo diminuindo o número de lados dos polígonos inscritos na área a ser calculada, eles não conseguiam chegar a valores bem próximos do valor real da área. portanto, um método equivocado. Mesmo aumentando o número de lados dos polígonos inscritos na área a ser calculada, eles não conseguiam chegar a valores próximos do valor real da área, portanto, um método equivocado. Diminuindo o número de lados dos polígonos inscritos na área a ser calculada, eles conseguiam chegar a valores bem próximos do valor real da área. Todas as respostas anteriores são falsas. Aumentando o número de lados dos polígonos inscritos na área a ser calculada, eles conseguiam chegar a valores bem próximos do valor real da área. 4. Transforme as coordenadas cartesianas ( 1, -1) em coordenada polar (√5,7π/4)(√5,7π/4) (√3,7π/4)(√3,7π/4) (√2,7π/4)(√2,7π/4) (√2,7π/2)(√2,7π/2) (√2,6π/4)(√2,6π/4) Explicação: Coordenadas Polares 5. Uma função da Receita Marginal é dada por RMg(x) = 30 - 2x + 3x2. Determine a função receita total R(x)=3x−x2+x3R(x)=3x−x2+x3 R(x)=30x−x2−x3R(x)=30x−x2−x3 R(x)=30x−x2+x3R(x)=30x−x2+x3 R(x)=20x−x2+x3R(x)=20x−x2+x3 R(x)=30x−x2+20x3R(x)=30x−x2+20x3 Explicação: Aplicação da Integral 6. Determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são: (-4, (7pi)/6) (2 rz(3) , 2)sãoasc∞rdenadascartesianas (2 , 2) são as coordenadas cartesianas. (1 √3,2)(1 3,2) são as coordenadas cartesianas. (5 , 2) são as coordenadas cartesianas. (rz(5) , 2)sãoasc∞rdenadascartesianas. 7. Determine a área da região compreendida entre as curvas : 4x²+y=4 x4-y=1 104/15 15 104 71/15 83/15 8. Transfome as coordenadas polares do pontos P = (2, π/2) em coordenadas cartesianas as coordenadas cartesianas: (x,y)=(1,5) as coordenadas cartesianas: (x,y)=(1,2) as coordenadas cartesianas: (x,y)=(3,2) as coordenadas cartesianas: (x,y)=(2,2) as coordenadas cartesianas: (x,y)=(0,2) Explicação: Comoρ = 2 e θ = π/2, temos que x = ρ cos θ = 2 cos π/2 = 0 y = ρ sen θ = 2 sen π/2 = 2 são as coordenadas cartesianas de P Calculo 2 parte 10 b aplicação integral 1. A produtividade Marginal de uma empresa em relação a produção diária de patinetes P é dada pordP/dx=30−0,2xdP/dx=30−0,2xonde x representa o número funcionários incumbidos da venda. Qual é a função da Produtividade ? P=−30x+0,1x2P=−30x+0,1x2 P=30x−0,1x2P=30x−0,1x2 P=−30x−0,1x2P=−30x−0,1x2 P=30x+0,1x2P=30x+0,1x2 P=3x−0,1x2P=3x−0,1x2 Explicação: aplicação da integral 2. Transforme as coordenadas polares (4,π/6)(4,π/6) em coordenadas cartesianas (√3,2)(√3,2) (2√3,0)(2√3,0) (2√3,1)(2√3,1) (2√3,3)(2√3,3) (2√3,2)(2√3,2) Explicação: Coordenada polar 3. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada por y = x2 e y = x3. 5/7 u.v. 2/35 u.v. 2/7 u.v. 0 u.v. 2/5 u.v. Gabarito Coment. 4. Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por y = x 3 , y = 0 e x = 1 em torno do eixo y . Nenhuma das respostas anteriores /3 5. Transforme as coordenadas cartesianas ( 1, -1) em coordenada polar (√3,7π/4)(√3,7π/4) (√2,7π/4)(√2,7π/4) (√2,7π/2)(√2,7π/2) (√5,7π/4)(√5,7π/4) (√2,6π/4)(√2,6π/4) Explicação: Coordenadas Polares 6. As primeiras idéias do Cálculo surgiram na Grécia antiga, há 2500 anos atrás. Naquela época os gregos já sabiam calcular a área de qualquer região poligonal, dividindo-a em triângulos e somando as áreas obtidas. Para o cálculo de áreas de regiões planas limitadas por curvas, eles usavam o chamado Método da Exaustão. Esse método consistia em considerar polígonos inscritos e circunscritos à região. No prosseguimento desta história a matemática evolui. Assinale a alternativa verdadeira: Aumentando o número de lados dos polígonos inscritos na área a ser calculada, eles conseguiam chegar a valores bem próximos do valor real da área. Diminuindo o número de lados dos polígonos inscritos na área a ser calculada, eles conseguiam chegar a valores bem próximos do valor real da área. Mesmo diminuindo o número de lados dos polígonos inscritos na área a ser calculada, eles não conseguiam chegar a valores bem próximos do valor real da área. portanto, um método equivocado. Todas as respostas anteriores são falsas. Mesmo aumentando o número de lados dos polígonos inscritos na área a ser calculada, eles não conseguiam chegar a valores próximos do valor real da área, portanto, um método equivocado. 7. A área no primeiro quadrante da região delimitada pelas curvas y=4 e y=x2y=4 e y=x2 é 2/3 16/3 1/3 4/3 8/3 8. Transfome as coordenadas polares do pontos P = (2, π/2) em coordenadas cartesianas as coordenadas cartesianas: (x,y)=(1,5) as coordenadas cartesianas: (x,y)=(0,2) as coordenadas cartesianas: (x,y)=(3,2) as coordenadas cartesianas: (x,y)=(1,2) as coordenadas cartesianas: (x,y)=(2,2) Explicação: Como ρ = 2 e θ = π/2, temos que x = ρ cos θ = 2 cos π/2 = 0 y = ρ sen θ = 2 sen π/2 = 2 são as coordenadas cartesianas de P 1. Determine a área da região compreendida entre as curvas : 4x²+y=4 x4-y=1 104/15 104 83/15 15 71/15 2. Determine as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são: (-4, (7pi)/6) (2 , 2) são as coordenadas cartesianas. (2 rz(3) , 2)sãoasc∞rdenadascartesianas (5 , 2) são as coordenadas cartesianas. (rz(5) , 2)sãoasc∞rdenadascartesianas. (1 √3,2)(1 3,2) são as coordenadas cartesianas. 3. Uma função da Receita Marginal é dada por RMg(x) = 30 - 2x + 3x2. Determine a função receita total R(x)=20x−x2+x3R(x)=20x−x2+x3 R(x)=3x−x2+x3R(x)=3x−x2+x3 R(x)=30x−x2+x3R(x)=30x−x2+x3 R(x)=30x−x2+20x3R(x)=30x−x2+20x3 R(x)=30x−x2−x3R(x)=30x−x2−x3 Explicação: Aplicação da Integral 4. Defina (r, t), onde t representa o teta, supondo que r < 0 e , para o ponto P, cujas coordenadas cartesianas são (√3,−13,-1). r = 2 e teta = 5ππ r = -2 e teta = 5ππ/6 r = 1 e teta = π6π6 r = 4 e teta = ππ r = 3 e teta = π2π2 5. As primeiras idéias do Cálculo surgiram na Grécia antiga, há 2500 anos atrás. Naquela época os gregos já sabiam calcular a área de qualquer região poligonal, dividindo-a em triângulos e somando as áreas obtidas. Para o cálculo de áreas de regiões planas limitadas por curvas, eles usavam o chamado Método da Exaustão. Esse método consistia em considerar polígonos inscritos e circunscritos à região. No prosseguimento desta história a matemática evolui. Assinale a alternativa verdadeira: Aumentando o número de lados dos polígonos inscritos na área a ser calculada, eles conseguiam chegar a valores bem próximos do valor real da área. Mesmo aumentando o número de lados dos polígonos inscritos na área a ser calculada, eles não conseguiam chegar a valores próximos do valor real da área, portanto, um método equivocado. Todas as respostas anteriores são falsas. Mesmo diminuindo o número de lados dos polígonos inscritos na área a ser calculada, eles não conseguiam chegar a valores bem próximos do valor real da área. portanto, um método equivocado. Diminuindo o número de lados dos polígonos inscritos na área a ser calculada, eles conseguiam chegar a valores bem próximos do valor real da área. 6. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região R delimitada por y = x2 e y = x3. 2/7 u.v. 2/35 u.v. 5/7 u.v. 0 u.v. 2/5 u.v. Gabarito Coment. 7. A área no primeiro quadrante da região delimitada pelas curvas y=4 e y=x2y=4 e y=x2 é 4/3 1/3 8/3 2/3 16/3 8. Transfome as coordenadas polares do pontos P = (2, π/2) em coordenadas cartesianas as coordenadas cartesianas: (x,y)=(1,2) as coordenadas cartesianas: (x,y)=(2,2) as coordenadas cartesianas: (x,y)=(0,2) as coordenadas cartesianas: (x,y)=(1,5) as coordenadas cartesianas: (x,y)=(3,2) Explicação: Como ρ = 2 e θ = π/2, temos que x = ρ cos θ = 2 cos π/2 = 0 y = ρ sen θ = 2 sen π/2 = 2 são as coordenadas cartesianas de P
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