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MÓDULO 02 DIMENSIONAMENTO DE PERFIS DE CHAPA DOBRADA/Teste-do-Módulo-2-AVANÇADO.docx
Teste do Módulo 2 - AVANÇADO
Assinalar a afirmação verdadeira:
Escolha uma:
Os perfis de chapa dobrada apresentam comportamento diferente dos perfis soldados e laminados
Os perfis de chapa dobrada são usados apenas em estruturas de pequeno porte
Os perfis de chapa dobrada são obtidos por laminação a frio
Os elementos constituintes da seção de um perfil de chapa dobrada recebem a denominação AA, quando:
Escolha uma:
Apresentem duas extremidades com dobras
Apresentam uma das extremidades livres
Apresentam suas extremidade livres
Os elementos constituintes da seção de um perfil de chapa dobrada recebem a denominação AL, quando:
Escolha uma:
Apresentem duas extremidades livres
Apresentam uma das extremidades livres
Apresentam suas extremidades com dobra
Os perfis de chapa dobrada podem apresentar qualquer espessura:
Escolha uma:
Desde que espessuras superiores a 5 mm
Desde que suas partes mantenham uma relação adequada entre largura e espessura e espessura
Desde que espessuras inferiores a 5 mm
Assinale a opção correta que complementa a frase a seguir:
No dimensionamento de barras submetidas à compressão simples, a força resistente de cálculo é obtida considerando ...
Escolha uma:
• a Flambagem por flexão, flexo-torção e torção da barra
• a Flambagem por flexão e flexo-torção da barra
• a seção bruta plastificando e a seção líquida na ruptura
Suponha um perfil U enrijecido usado como viga, então o valor máximo recomendado pela Norma para a relação largura-espessura da mesa é:
Escolha uma:
• b/t = 30
• b/t = 200
• b/t = 90
O conceito de largura efetiva e coeficiente de flambagem local dado na Norma referem-se a:
Escolha uma:
• distribuição de tensões independente do tipo de elemento
• diminuição da seção devida às dobras
• distribuição de tensões dependendo se elementos AA ou AL
O conceito de índice de esbeltez reduzido do elemento depende:
Escolha uma:
• da tensão de compressão no elemento, da relação b/t do elemento, do coeficiente de flambagem local e do material
• apenas da relação b/t do elemento
• apenas da tensão de compressão no elemento no estado limite último de escoamento, ou de flambagem e do coeficiente de flambagem local
O efeito “shear lag” pode ser desconsiderado no dimensionamento dos perfis quando:
Escolha uma:
• O vão da viga for maior que 30 vezes a altura livre da alma do perfil
• O vão da viga for maior que 30 vezes a largura livre da mesa do perfil
• O vão da viga for menor que 30 vezes a largura livre da mesa do perfil
No dimensionamento de barras submetidas a tração simples, a força resistente de cálculo é obtida:
Escolha uma:
• considerando a seção bruta (sem desconto dos furos) plastificando
• considerando a seção líquida (com desconto dos furos) plastificando e a seção bruta (sem desconto dos furos) na ruptura
• considerando a seção bruta plastificando e a seção líquida na ruptura
MÓDULO 02 DIMENSIONAMENTO DE PERFIS DE CHAPA DOBRADA/MÓDULO 2 - ROTEIRO - AVANÇADO.pdf
Módulo 2 - Tópicos deste módulo
Módulo 2 - DIMENSIONAMENTO DE PERFIS DE CHAPA
DOBRADA
Tópicos deste módulo
Vídeo 2 - Perfis de Chapa Dobrada
2. DIMENSIONAMENTO DE PERFIS DE CHAPA DOBRADA
2.1. Valores máximos da relação largura-espessura
2.2. Flambagem local (largura efetiva)
2.3. Deslocamentos
2.4. Efeito "shear lag"
2.5. Dimensionamento de barras submetidas à tração
2.6. Dimensionamento de barras submetidas à compressão centrada
2.7. Dimensionamento de barras submetidas à momento fletor
2.8. Dimensionamento de barras submetidas à força cortante
2.9. Dimensionamento de barras submetidas à momentos fletores e força cortante
simultaneamente
Módulo 2
DIMENSIONAMENTO DE PERFIS DE CHAPA DOBRADA -
Parte 1
Perfis de Chapa Dobrada
Como sabemos os perfis de chapa dobrada são obtidos pelo dobramento de chapas planas
em máquinas especiais chamadas dobradeiras. Devido a esse processo, e visando não alterar
substancialmente as características do material, as chapas utilizadas na conformação desses
perfis são chapas finas o que faz com que esses perfis sejam utilizados para obras de pequeno
e médio porte.
Os perfis de chapa dobrada apresentam algumas especificidades que diferenciam os critérios
para seu dimensionamento daqueles usados para perfis laminados e de chapas soldadas. Isso
ocorre principalmente devido às dobras e esbeltez desses perfis. Devido a essas
especificidades esses perfis são regidos por uma Norma especial, a NBR 14762:2010.
2.1. Valores máximos da relação largura-espessura
O primeiro critério se refere a questão da esbeltez das partes que compõem o perfil. Neste
critério é exigido um valor máximo da relação entre largura e espessura das partes que
compõem o perfil.
Esses valores são dados na tabela 3 da Norma, e para usá-la é necessário conceituar
inicialmente o que são elementos AA e AL das partes que compõe o perfil.
AA são elementos que apresentam dobras em suas duas extremidades, e são chamados de
elementos com bordas vinculadas.
Os elementos AL são aqueles que apresentam uma das extremidades sem dobras e são
denominados elementos de borda livre.
Figura 11
Legenda:
AA - elemento com bordas vinculadas
AL - elemento com borda livre
Figura 12 - Valores máximos da relação largura-espessura - Fonte: NBR 14762: 2001 - TABELA 3, p.12
(Na versão NBR 14762:2010 ver Tabela 4 - p.25)
Módulo 2
DIMENSIONAMENTO DE PERFIS DE CHAPA DOBRADA -
Parte 2
2.2. Flambagem local (largura efetiva)
Para verificação da resistência de perfis de chapa dobrada deve-se considerar uma redução na
área real do perfil, denominada área efetiva.
Para perfis abertos e tubulares não circulares, a resistência deve ser verificada pela área
efetiva do perfil dada pela largura efetiva dos elementos componentes do perfil. Para isso deve-
se levar em conta a possibilidade de flambagem local que provoca a diminuição das dimensões
da secção do perfil
A largura efetiva é um valor reduzido da largura real. A largura efetiva depende da distribuição
das tensões de compressão na região comprimida do perfil; depende, também do tipo de
elemento, se AA ou AL.
Seja
tensão mínima
tensão máxima
Os valores acima são definidos no item 7.2.1.1 da NBR 14762.
Elementos AA e AL com
Elementos AL com
= largura da região comprimida do elemento
índice de esbeltez reduzido
= coeficiente de flambagem local calculado conforme as tabelas 4 e 5 da NBR14762
= módulo de elasticidade do aço
= máxima tensão de compressão, podendo ser seu estado-limite último de escoamento da seção (
) ou seu estado-limite de instabilidade da barra ( , )
Para , a largura efetiva é a própria largura do elemento
SUGESTÃO
Quando possível adotar:
para elementos AA
para elementos AL
Assim a largura efetiva será a própria largura do elemento
2.3. Deslocamentos
O cálculo dos deslocamentos é feito por aproximação sucessiva, substituindo-se por > , que é
dado por:
Onde é a máxima tensão normal de compressão, calculada com a seção transversal efetiva.
2.4. Efeito "shear lag"
Para evitar o efeito "shear lag", o que aumentaria o já trabalhoso processo manual de cálculo
recomenda-se
que se adote a relação entre vão e largura livre da mesa (distância entre a face
da alma e a borda livre), igual a:
Ex: uma viga de 6 m deve ter largura máxima de 20 cm, pois
Módulo 2
DIMENSIONAMENTO DE PERFIS DE CHAPA DOBRADA -
Parte 3
2.5. Dimensionamento de barras submetidas à tração
O cálculo da força de tração resistente de cálculo é dada pela seguinte relação:
= área bruta
= área líquida fora da região da ligação, decorrente de furos e reduções
= área líquida na região da ligação
Para ligações parafusadas:
= dimensão do furo
= quantidade de furos
= espaçamento dos furos na direção da solicitação
= espaçamento dos furos na direção perpendicular à solicitação
= espessura
Para ligações soldadas:
(no caso de soldas transversais de topo, só deverá ser considerada a área bruta das partes
conectadas)
= coeficiente de redução da área líquida (ver NBR14762)
Para aceitação da seção deve-se ter usando o menor valor de calculados acima.
2.6. Dimensionamento de barras submetidas à compressão centrada
O cálculo da força de compressão resistente de cálculo é dada pela seguinte relação:
é calculada com os critérios do ítem 2.2.
é o fator de redução associado a flambagem calculado pela relação abaixo ou pode ser encontrado, já
calculado, na Tabela 8 NBR 14762.
Para
Para
= índice de esbeltez reduzido para barras comprimidas e é dado por:
= depende do tipo do perfil (simétricos, mono-simétricos ou assimétricos)
2.6.1. Para perfis simétricos tem-se:
a) Flambagem por flexão
(em relação ao eixo x e y)
b) Flambagem por torção
Onde:
= constante de empenamento da seção
= módulo de elasticidade
= módulo de elasticidade
= momento de inércia a torção
Adotar
= raio de giração polar da seção bruta em relação ao centro de torção
e = coordenadas do centro de torção em relação ao centroide da seção
2.6.2. Para perfis monossimétricos tem-se:
Figura 13
a) Para flambagem por flexão
b) Para flambagem por flexo-torção
e = são as forças normais de flambagem elástica dos perfis simétricos, dado x o eixo de
simetria
Atenção:
Usar o menor valor para o cálculo de para posterior cálculo de
A seção é aceita quando
c) Limitação para barras comprimidas
A Norma ainda exige que as barras comprimidas tenham uma esbeltez mínima dada por:
Onde é o comprimento de flambagem da barra e o raio de giração da seção.
2.6.3. Flambagem distorcional
Perfis U simples estão dispensados de verificação, exceto os que sejam também submetidos à
flexão tendo sua mesa comprimida livre e sua mesa tracionada conectada a um painel.
Para perfis U enrijecido e Z enrijecido estarão livres de verificação se for atendida a relação
mínima dada na tabela 11 pag.43 da NBR 14762: 2010.
Módulo 2
DIMENSIONAMENTO DE PERFIS DE CHAPA DOBRADA -
Parte 4
2.7. Dimensionamento de barras submetidas à momento fletor
O momento fletor resistente de cálculo é o menor valor dos calculados pelos itens abaixo:
2.7.1. Início de escoamento da seção efetiva
= módulo de resistência elástico para a seção calculado com as dimensões efetivas, com
2.7.2. Flambagem lateral por torção (calculado entre seções contidas lateralmente)
= módulo de resistência elástico da seção efetiva em relação à fibra comprimida,
com
para
para
para
Onde:
= módulo de resistência elástico da seção bruta em relação à fibra comprimida
- para seção simétricas ou mono-simétricas com flexão em torno do eixo
x de simetria
- para seção caixão
(ver 4.1-a)
(ver 4.1-b)
Adotar a favor da segurança
2.7.3. Flambagem distorcional
Perfis U simples estão dispensados de verificação, exceto os que sejam também submetidos à
flexão tendo sua mesa comprimida livre e sua mesa tracionada conectada a um painel.
Para perfis U enrijecido e Z enrijecido estão livres de verificação se for atendida a relação
mínima dada na tabela 14 pag.50 da NBR 14762:2010.
Para que a seção seja aceita, deve-se ter:
2.8. Dimensionamento de barras submetidas à força cortante
Para simplicidade de cálculo adotar
Onde
= espessura da alma
= altura da parte plana da alma
= coeficiente de flambagem local por cisalhamento
Para alma sem enrijecedores transversais, que é o caso mais comum,
Considerando essas simplificações pode-se calcular a força cortante resistente de cálculo
conforme abaixo:
A seção pode ser aceita quando:
2.9. Dimensionamento de barras submetidas à momentos fletores e força
cortante simultaneamente
Para facilidade de cálculo e por ser a situação mais comum, usar barras sem enrijecedores
transversais o que leva diretamente à fórmula de interação:
Onde os valores são os calculados nos itens 2.7 e 2.8.
Módulo 2
DIMENSIONAMENTO DE PERFIS DE CHAPA DOBRADA -
Leituras adicionais
Para complementar o conteúdo deste módulo, aos que quiserem se aprofundar no tema, recomendamos a
leitura do texto adicional, cujo link para download apresentamos a seguir.
Para abrir ou baixar este texto, clique no titulo do manual abaixo:
1. Coleção Manuais de Construção em Aço : Dimensionamento de perfis formados a
frio - ( conforme NBR 14762 e NBR 6355)
Rio de Janeiro: Instituto Brasileiro de Siderurgia - Centro Brasileiro da Construção em Aço,
2008.
Autores:
EDSON LUBAS SILVA
VALDIR PIGNATTA E SILVA
Exercício de dimensionamento de perfis de chapa dobrada
CBCA
EXERCÍCIO DE PROJETO E DIMENSIONAMENTO
Sobre o exercício:
Este exercício será desenvolvido ao longo do curso, em etapas.
Nessa segunda etapa, conforme o capítulo que estudamos, será sobre perfis de
chapa dobrada.
Instruções para a resolução do exercícios:
A resolução dos exercícios pode ser apresentada na forma de arquivos Power
point, .doc, pdf ou Opendocument. No caso da inclusão de figuras, elas podem ser
feitas em CAD e incorporadas ao documento como Pdf ou como figura (Jpeg).
Também podem ser feitas a mão e escaneadas, ou fotografadas, e incorporadas
ao documento. O importante é que a figura seja legível e de fácil entendimento, e,
na resolução do exercício se possa acompanhar o raciocínio de seu
desenvolvimento.
Após a resolução do exercício ele deve ser postado neste fórum e o roteiro de
cálculo e figuras incluídas como anexo.
Atenção: O arquivo não pode ultrapassar 5Mb pois este é o limite para
anexos.
Será utilizado o mesmo projeto do Sobradinho apresentado anteriormente, cujos
desenhos estão disponíveis no exercício do módulo anterior.
Exercício 2: Dimensionamento de perfis de chapa dobrada
Enunciado:
Utilizando o mesmo projeto do “Exercício 1: Lançamento de estrutura”, executar os
seguintes procedimentos:
1. Dimensionar
terças de cobertura;
2. Dimensionar barras da treliça.
MÓDULO 02 DIMENSIONAMENTO DE PERFIS DE CHAPA DOBRADA/MÓDULO 2 AVANÇADO EM PDF.zip
Dim_lig_modulo2.pdf
EAD - CBCA
Módulo2
Curso de Dimensionamento de
Estruturas de Aço - Ligações
em Aço
2.1 Valores máximos da relação largura-espessura
página 3
2.2 Flambagem local (largura efetiva)
página 4
2.3. Deslocamentos
página 5
2.4. Efeito “shear lag”
página 6
2.5 Dimensionamento de barras submetidas à tração
página 6
2.6 Dimensionamento de barras submetidas à compressão centrada
página 7
2.6.1 Para perfis simétricos tem-se:
página 7
2.6.2 Para perfis monossimétricos tem-se:
página 8
2.6.3 Flambagem distorcional
página 9
2.7 Dimensionamento de barras submetidas à momento fletor
página 9
2.7.1 Início de escoamento da seção efetiva
página 9
2.7.2 Flambagem lateral por torção (calculado entre seções contidas
lateralmente)
página 10
2.7.3 Flambagem distorcional
página 11
2.8 Dimensionamento de barras submetidas à força cortante
página 11
2.9 Dimensionamento de barras submetidas à momentos fletores e
força cortante simultaneamente
página 12
Sumário Módulo 2
DIMENSIONAMENTO DE PERFIS DE
CHAPA DOBRADA
Dimensionamento de Estruturas de Aço – EAD - CBCA
3
2.1. Valores máximos da relação largura-espessura
Video 2 - Perfis de Chapa Dobrada assista on-line
Como sabemos os perfis de chapa dobrada são obtidos
pelo dobramento de chapas planas em máquinas
especiais chamadas dobradeiras. Devido a esse
processo, e visando não alterar substancialmente as
características do material, as chapas utilizadas na
conformação desses perfis são chapas finas o que
faz com que esses perfis sejam utilizados para obras
de pequeno e médio porte.
Os perfis de chapa dobrada apresentam algumas
especificidades que diferenciam os critérios para
seu dimensionamento daqueles usados para perfis
laminados e de chapas soldadas. Isso ocorre
principalmente devido às dobras e esbeltez desses
perfis. Devido a essas especificidades esses perfis
são regidos por uma Norma especial, a NBR
14762:2010.
O primeiro critério se refere a questão da esbeltez
das partes que compõem o perfil. Neste critério é
exigido um valor máximo da relação entre largura e
espessura das partes que compõem o perfil.
Esses valores são dados na tabela 3 da Norma, e
para usá-la é necessário conceituar inicialmente o
que são elementos AA e AL das partes que compõe
o perfil.
AA são elementos que apresentam dobras em suas
duas extremidades, e são chamados de elementos
com bordas vinculadas.
Os elementos AL são aqueles que apresentam uma
das extremidades sem dobras e são denominados
elementos de borda livre.
Legenda:
AA - elemento com bordas vinculadas
AL - elemento com borda livre
Dimensionamento de Estruturas de Aço – EAD - CBCA
4
2.2. Flambagem local (largura efetiva)
Para verificação da resistência de perfis de chapa dobrada deve-se considerar uma redução na área real do
perfil, denominada área efetiva.
Para perfis abertos e tubulares não circulares, a resistência deve ser verificada pela área efetiva do perfil dada
pela largura efetiva dos elementos componentes do perfil. Para isso deve-se levar em conta a possibilidade
de flambagem local que provoca a diminuição das dimensões da secção do perfil
A largura efetiva é um valor reduzido da largura real. A largura efetiva depende da distribuição das tensões
de compressão na região comprimida do perfil; depende, também do tipo de elemento, se AA ou AL.
Seja
tenção mínima
tenção máxima
Os valores acima são definidos no item 7.2.1.1 da NBR 14762.
Elementos AA e AL com
Figura 12 - Valores máximos da relação largura-espessura
Fonte: NBR 14762: 2001 - TABELA 3, p.12
Dimensionamento de Estruturas de Aço – EAD - CBCA
5
Elementos AL com
= índice de esbeltez reduzido =
= largura da região comprimida do elemento
= coeficiente de flambagem local calculado conforme as tabelas 4 e 5 da NBR14762
= módulo de elasticidade do aço
= máxima tensão de compressão, podendo ser seu estado-limite último de escoamento
da seção , ou seu estado-limite de instabilidade da barra
Para , a largura efetiva é a própria largura do elemento
SUGESTÃO: quando possível adotar
, para elementos AA
, para elementos AL
Assim a largura efetiva será a própria largura do elemento
2.3. Deslocamentos
O cálculo dos deslocamentos é feito por aproximação sucessiva, substituindo-se por , que é dado
por:
Onde é a máxima tensão normal de compressão, calculada com a seção transversal efetiva.
Dimensionamento de Estruturas de Aço – EAD - CBCA
6
2.4. Efeito “shear lag”
Para evitar o efeito “shear lag”, o que aumentaria o já trabalhoso processo manual de cálculo recomenda-
se que se adote a relação entre vão e largura livre da mesa (distância entre a face da alma e a borda livre),
igual a:
Ex: uma viga de 6 m deve ter largura máxima de 30 cm, pois
2.5. Dimensionamento de barras submetidas à tração
O cálculo da força de tração resistente de cálculo é dada pela seguinte relação:
= área bruta
= área líquida fora da região da ligação, decorrente de furos e reduções
= área líquida na região da ligação
= dimensão do furo
= quantidade de furos
= espaçamento dos furos na direção da solicitação
= espaçamento dos furos na direção perpendicular à solicitação
= espessura
Para ligações parafusadas:
Dimensionamento de Estruturas de Aço – EAD - CBCA
7
Para ligações soldadas:
(no caso de soldas transversais de topo, só deverá ser considerada a área bruta das
partes conectadas)
= coeficiente de redução da área líquida (ver NBR14762)
Para aceitação da seção deve-se ter , usando o menor valor de calculados
acima.
2.6. Dimensionamento de barras submetidas à compressão
centrada
O cálculo da força de compressão resistente de cálculo é dada pela seguinte relação:
é calculada com os critérios do ítem 0.
é o fator de redução associado a flambagem calculado pela relação abaixo ou pode ser encontrado,
já calculado, na Tabela 8 NBR14762.
Para
Para
= índice de esbeltez reduzido para barras comprimidas e é dado por:
= depende do tipo do perfil (simétricos, mono-simétricos ou assimétricos)
2.6.1. Para perfis simétricos tem-se:
a) Flambagem por flexão
(em relação ao eixo x e y)
b) Flambagem por torção
Dimensionamento de Estruturas de Aço – EAD - CBCA
8
= módulo de elasticidade
= momento de inércia a torção
Adotar
= raio de giração polar da seção bruta em relação ao centro de torção
= coordenadas do centro de torção em relação ao centro
Onde:
= constante de empenamento da seção
= módulo de elasticidade
2.6.2. Para perfis monossimétricos tem-se:
a) Para flambagem por flexão
Figura 13
b) Para flambagem por flexo-torção
Dimensionamento de Estruturas de Aço – EAD - CBCA
9
= são as forças normais de flambagem elástica dos perfis simétricos, dado x o eixo de simetria
Atenção: usar o menor valor para o cálculo de para posterior cálculo de
A seção é aceita quando
c) Limitação para
barras comprimidas
A Norma ainda exige que as barras comprimidas tenham uma esbeltez mínima dada por:
Onde é o comprimento de flambagem da barra e o raio de giração da seção.
2.6.3. Flambagem distorcional
Perfis U simples estão dispensados de verificação, exceto os que sejam também submetidos à flexão tendo
sua mesa comprimida livre e sua mesa tracionada conectada a um painel.
Para perfis U enrijecido e Z enrijecido estarão livres de verificação se for atendida a relação mínima
dada na tabela 11 pag43 da NBR 14762:2010.
2.7. Dimensionamento de barras submetidas à momento fletor
O momento fletor resistente de cálculo é o menor valor dos calculados pelos itens abaixo:
2.7.1. Início de escoamento da seção efetiva
= módulo de resistência elástico para a seção calculado com as dimensões efetivas, com
e
Dimensionamento de Estruturas de Aço – EAD - CBCA
10
2.7.2. Flambagem lateral por torção (calculado entre seções
contidas lateralmente)
= módulo de resistência elástico da seção efetiva em relação à fibra comprimida, com
Onde:
= módulo de resistência elástico da seção bruta em relação à fibra comprimida
- para seção simétricas ou mono-simétricas com flexão em torno do eixo x de
simetria
- para seção caixão
Adotar a favor da se-
Dimensionamento de Estruturas de Aço – EAD - CBCA
11
2.7.3. Flambagem distorcional
Perfis U simples estão dispensados de verificação, exceto os que sejam também submetidos à flexão tendo
sua mesa comprimida livre e sua mesa tracionada conectada a um painel.
Para perfis U enrijecido e Z enrijecido estão livres de verificação se for atendida a relação mínima
dada na tabela 14 pag50 da NBR 14762:2010.
Para que a seção seja aceita, deve-se ter
2.8. Dimensionamento de barras submetidas à força cortante
Para simplicidade de cálculo adotar
Onde = espessura da alma
= altura da parte plana da alma
= coeficiente de flambagem local por cisalhamento
Para alma sem enrijecedores transversais, que é o caso mais comum,
Considerando essas simplificações pode-se calcular a força cortante resistente de cálculo conforme
A seção pode ser aceita quando:
Dimensionamento de Estruturas de Aço – EAD - CBCA
12
2.9. Dimensionamento de barras submetidas à momentos
fletores e força cortante simultaneamente
Para facilidade de cálculo e por ser a situação mais comum, usar barras sem enrijecedores transversais o
que leva diretamente à fórmula de interação
Onde os valores são os calculados nos itens 2.7 e 2.8.
MÓDULO 02 DIMENSIONAMENTO DE PERFIS DE CHAPA DOBRADA/LEITURA ADCIONAL DO MÓDULO 2 AVANÇADO.zip
449_Manual_Dimensionamento_de_Perfis_Formados_a_Frio_web.pdf
1
2
- 0
8
Dimensionamento de Perfis
Formados a Frio conforme
NBR 14762 e NBR 6355
DIMENSIONAMENTO DE PERFIS
FORMADOS A FRIO CONFORME
NBR 14762 e NBR 6355
Série “Manual de Construção em Aço”
· Galpões para Usos Gerais
· Ligações em Estruturas Metálicas
· Edifícios de Pequeno Porte Estruturados em Aço
· Alvenarias
· Painéis de Vedação
· Resistência ao Fogo das Estruturas de Aço
· Tratamento de Superfície e Pintura
· Transporte e Montagem
· Steel Framing: Arquitetura
· Interfaces AçoConcreto
· Steel Framing: Engenharia
· Pontes
· Steel Joist
· Viabilidade Econômica
· Dimensionamento de Perfis formados a Frio conforme NBR 14762 e NBR 6355
EDSON LUBAS SILVA
VALDIR PIGNATTA E SILVA
DIMENSIONAMENTO DE PERFIS
FORMADOS A FRIO CONFORME
NBR 14762 e NBR 6355
INSTITUTO BRASILEIRO DE SIDERURGIA
CENTRO BRASILEIRO DA CONSTRUÇÃO EM AÇO
RIO DE JANEIRO
2008
ã 2008 INSTITUTO BRASILEIRO DE SIDERURGIA/CENTRO BRASILEIRO DA
CONSTRUÇÃO EM AÇO
Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por quaisquer meio, sem a prévia autorização
desta Entidade.
Ficha catalográfica preparada pelo Centro de Informações do IBS/CBCA
Instituto Brasileiro de Siderurgia / Centro Brasileiro da Construção em Aço
Av. Rio Branco, 181 / 28 o Andar
20040007 Rio de Janeiro RJ
email: cbca@ibs.org.br
site: www.cbcaibs.org.br
Valdir Pignatta e Silva
Professor Doutor da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
Edson Lubas Silva
Mestre em Eng. de Estrut. pela Escola Politécnica da Univers. de SP
S586d Silva, Edson Lubas
Dimensionamento de perfis formados a frio conforme NBR 14762 e NBR 6355 /
Edson Lubas Silva, Valdir Pignatta e Silva. Dados eletrônico. Rio de Janeiro: IBS/
CBCA, 2008.
119p. – ( Série Manual de Construção em Aço)
Sistema Requerido: Adobe Acrobat Reader
Modo de acesso: World Wide Web: <HTTP://www.cbca ibs.org.br/nsite/site/
acervo_item_lista_manuais_construcao.asp>
Bibliografia
ISBN 9788589819169
1. Perfis formados a frio 2. Dimensionamento de perfis I. Títulos (série) II. Silva,
Valdir Pignatta e.
CDU 624.014.2 (035)
SUMÁRIO
Capítulo 1
Introdução 09
Capítulo 2
Fabricação e padronização de perfis formados a frio 13
2.1 Processo de fabricação 14
2.2 Tipos de aços 14
2.3 Efeito do dobramento na resistência do perfil 14
2.4 Padronização dos perfis formados a frio (NBR 6355:2003) 15
Capítulo 3
Comportamento estrutural de perfis de seção aberta 19
Capítulo 4
Flambagem local e o método das larguras efetivas 23
4.1 Fatores que influenciam no cálculo da largura efetiva 25
4.1.1 Condição de contorno 25
4.1.2 Distribuição de tensões 26
4.2 Cálculo das larguras efetivas 27
4.3 Elementos comprimidos com enrijecedor de borda 32
Capítulo 5
Flambagem por distorção da seção transversal 45
5.1 Seção do tipo U enrijecido submetida à compressão uniforme 47
5.2 Seções do tipo U enrijecido e Z enrijecido submetido à flexão em ao
eixo perpendicular à alma 49
Capítulo 6
Dimensionamento à tração 55
Capítulo 7
Dimensionamento à compressão 61
7.1 Força normal resistente de cálculo pela flambagem da barra por
flexão, por torção ou por flexotorção 63
7.1.1 Cálculo de NE em perfis com dupla simetria ou simétricos em
relação a um ponto 64
7.1.2 Cálculo de NE em perfis monossimétricos 64
7.1.3 Cálculo de NE em perfis assimétricos 64
7.2 Força normal resistente de cálculo pela flambagem por distorção
da seção Transversal 71
Capítulo 8
Dimensionamento à flexão 75
8.1 Início de escoamento da seção efetiva 76
8.2 Flambagem lateral com torção 76
8.3 Flambagem por distorção da seção transversal 77
8.4 Força cortante 83
8.5 Momento fletor e força cortante combinados 83
Capítulo 9
Dimensionamento à flexão composta 87
9.1 Flexocompressão 88
9.2 Flexotração 89
9.3 Fluxogramas 94
Referências Bibliográficas 103
Anexo
Anexo A Torção em perfis de seção aberta 107
Anexo B – Forças transversais não paralelas a um dos eixos principais 117
Apresentação
OCBCA – Centro Brasileiro da Construção em Aço tem a satisfação de oferecer aos profis
sionais envolvidos com o emprego do aço na construção civil o décimo quinto manual de uma série
cujo objetivo
é a disseminação de informações técnicas e melhores práticas.
Neste manual apresentase de forma didática os fundamentos teóricos e explicações práticas
para a utilização da norma brasileira ABNT NBR 14762 Dimensionamento de estruturas de aço
constituídas por perfis formados a frio, juntamente com a norma ABNT NBR 6355 – Perfis estruturais
de aço formados a frio – Padronização.
O manual inclui o programa Dimperfil concebido com foco nas normas NBR 14762 e 6355 que
calcula os esforços resistentes em barras isoladas, bem como as propriedades geométricas da se
ção bruta e efetiva que serão usadas no cálculo de deslocamentos.
Os perfis de aço formados a frio podem ser projetados para cada aplicação específica, com
dimensões adequadas às necessidades de projeto de elementos estruturais leves, tais como terças,
montantes, diagonais de treliças, travamentos, etc.
São eficientemente utilizados em galpões de pequeno e médio porte, coberturas, mezaninos,
engradamentos metálicos, moradias de interesse social, edifícios de pequeno e médio porte, entre
outras aplicações.
Centro dinâmico de serviços, capacitado para conduzir e fomentar uma política de promoção
do uso do aço na construção com foco exclusivamente técnico, o CBCA está seguro de que este
manual enquadrase no objetivo de contribuir para a difusão de competência técnica e empresarial
no País.
9
Capítulo 1
Introdução
10
Introdução
Este manual trata do dimensionamento de
perfis estruturais de aço fabricados a partir do
dobramento de chapas com espessura máxima
igual a 8 mm, denominados perfis formados a
frio. Tem por base as normas brasileiras ABNT
NBR 14762:2001 “Dimensionamento de es
truturas de aço constituídas por perfis formados
a frio” e ABNT NBR 6355:2003 “Perfis estrutu
rais de aço formados a frio – Padronização”.
Os perfis de aço formados a frio são cada
vez mais viáveis para uso na construção civil,
em vista da rapidez e economia exigidas pelo
mercado. Esse elemento estrutural pode ser efi
cientemente utilizado em galpões de pequeno
e médio porte, coberturas, mezaninos, em ca
sas populares e edifícios de pequeno porte.
Podem ser projetados para cada aplicação es
pecífica, com dimensões adequadas às neces
sidades do projeto de elementos estruturais le
ves, pouco solicitados, tais como terças, mon
tantes e diagonais de treliças, travamentos, etc.
A maleabilidade das chapas finas de aço per
mite a fabricação de grande variedade de se
ções transversais, desde a mais simples
cantoneira (seção em forma de L), eficiente para
trabalhar à tração, até os perfis formados a frio
duplos, em seção unicelular, também conheci
dos como seçãocaixão, que devido à boa rigi
dez à torção (eliminando travamentos), menor
área exposta, (reduzindo a área de pintura) e
menor área de estagnação de líquidos ou detri
tos (reduzindo a probabilidade de corrosão) ofe
recem soluções econômicas.
Como toda estrutura feita de aço, a cons
trução préfabricada com perfis formados a frio
possui um tempo reduzido de execução. Sendo
compostos por chapas finas, possui leveza, fa
cilidade de fabricação, de manuseio e de trans
porte, facilitando e diminuindo o custo de sua
montagem – menor gasto com transporte, além
de não necessitar maquinários pesados para
içamento.
Entretanto, para o correto dimensio
namento desse elemento, é necessário conhe
cer com detalhes o seu comportamento estrutu
ral, pois possui algumas particularidades em
relação às demais estruturas, tais como as de
concreto ou mesmo as compostas por perfis
soldados ou laminados de aço. Por serem cons
tituídas de perfis com seções abertas e de pe
quena espessura, as barras, que possuem bai
xa rigidez à torção, podem ter problemas de ins
tabilidade, deformações excessivas ou atingir
os limites da resistência do aço devido a esfor
ços de torção. Essa susceptibilidade à torção
ocorre até mesmo em carregamentos aplicados
no centro geométrico da seção transversal de
vigas e de pilares, podendo tornarse crítico
caso a estrutura não seja projetada com peque
nas soluções técnicas que minimizam este efei
to. Os conhecimentos dos esforços internos
clássicos, ensinados nos cursos de resistência
de materiais, momento fletores em torno dos
eixos x e y, momento de torção e esforços cor
tantes paralelos aos eixos x e y, não são sufici
entes para compreender o comportamento das
estruturas de seção aberta formadas por cha
pas finas. É necessário entender também um
outro tipo de fenômeno que ocorre nessas es
truturas: o empenamento. A restrição ao
empenamento causa esforços internos e o en
tendimento desses esforços é muito importante
e nem sempre é trivial. Para uma simples ilus
tração podemos citar o caso de um possível ti
rante constituído de um perfil Z, com o carrega
mento (força de tração) aplicado no centro geo
métrico da seção transversal que produz ten
sões de compressão nas mesas desse perfil.
Outro fenômeno comum nos perfis de seção
aberta é a distorção da seção transversal, que
consiste num modo de instabilidade estrutural
onde a seção transversal perde sua forma inici
al quando submetida a tensões de compressão,
causando perda significante na sua capacida
de de resistir esforços.
Neste manual, procurase apresentar de
forma didática e prática os fundamentos teóri
11
cos e explicar a utilização prática da norma bra
sileira para o dimensionamento de perfis de aço
formados a frio: NBR 14762:2001. O objetivo é
que este texto seja utilizado juntamente com a
norma de perfis formados a frio, pois ele não
abrange todos os aspectos de dimensio
namentos descritos na norma, mas ajuda no en
tendimento das questões conceituais mais im
portantes.
Certamente esse conhecimento proporci
onará aos engenheiros melhor avaliar a viabili
dade econômica de uma edificação incluindo
uma opção a mais a ser considerada na con
cepção estrutural do projeto: o emprego de per
fis formado a frio de aço.
13
Capítulo 2
Fabricação e padronização
de perfis formados a frio
14
Fabricação e padronização de perfis formados a frio
2.1 – Processo de Fabricação
Dois são os processos de fabricação dos
perfis formados a frio: contínuo e descontínuo.
O processo contínuo, adequado à fabrica
ção em série, é realizado a partir do desloca
mento longitudinal de uma chapa de aço, sobre
os roletes de uma linha de perfilação. Os roletes
vão conferindo gradativamente à chapa, a for
ma definitiva do perfil. Quando o perfil deixa a
linha de perfilação, ele é cortado no comprimento
indicado no projeto.
O processo descontínuo, adequado a pe
quenas quantidades de perfis, é realizado me
diante o emprego de uma prensa dobradeira. A
matriz da dobradeira é prensada contra a cha
pa de aço, obrigandoa a formar uma dobra.
Várias operações similares a essa, sobre a
mesma chapa, fornecem à seção do perfil a
geometria exigida no projeto. O comprimento do
perfil está limitado à largura da prensa.
O processo contínuo é utilizado por fabri
cantes especializados em perfis formados a frio
e o processo descontínuo é geralmente utiliza
do pelos fabricantes de estruturas metálicas.
2.2 – Tipos de aços
A NBR 14762:2001 “Dimensiona
mento de estruturas de aço constituídas por per
fis formados a frio – Procedimento” recomenda
o uso de aços com qualificação estrutural e que
possuam propriedades mecânicas adequadas
para receber o trabalho a frio. Devem apresen
tar a relação entre a resistência à ruptura e a
resistência ao
escoamento f u /f y maior ou igual
a 1,08, e o alongamento após ruptura não deve
ser menor que 10% para base de medida igual
a 50mm ou 7% para base de medida igual a
200mm, tomandose como referência os ensai
os de tração conforme ASTM A370.
A utilização de aços sem qualificação es
trutural para perfis é tolerada se o aço possuir
propriedades mecânicas adequadas para rece
ber o trabalho a frio. Não devem ser adotados
no projeto valores superiores a 180MPa e
300MPa para a resistência ao escoamento f y e
a resistência à ruptura f u , respectivamente.
2.3 Efeito do dobramento na
resistência do perfil
O dobramento de uma chapa, seja por
perfilação ou utilizandose dobradeira, provoca,
devido ao fenômeno conhecido como envelhe
cimento (carregamento até a zona plástica, des
carregamento, e posterior, porém não imedia
to, carregamento), um aumento da resistência
ao escoamento (f y ) e da resistência à ruptura
(f u ), conforme demonstram os gráficos apresen
tados na figuras 2.1 e2.2, com conseqüente re
dução de ductilidade, isto é, o diagrama tensão
deformação sofre uma elevação na direção das
resistências limites, mas acompanhado de um
estreitamento no patamar de escoamento. A re
dução de ductilidade significa uma menor ca
pacidade de o material se deformar; por essa
razão, a chapa deve ser conformada com raio
de dobramento adequado ao material e a sua
espessura, a fim de se evitar o aparecimento
de fissuras.
Figura 2.1 Aumento da resistência ao escoamento e da
resistência à ruptura, num perfil formado a frio por
perfiladeira (fonte: Revista Portuguesa de Estruturas)
Figura 2.2 Aumento da resistência ao escoamento e da
resistência à ruptura, num perfil formado a frio por prensa
dobradeira. (fonte: Revista Portuguesa de Estruturas)
15
O aumento das resistências ao escoamen
to e à ruptura se concentra na região das curvas
quando o processo é descontínuo, pois apenas
a região da curva está sob carregamento. No
processo contínuo esse acréscimo atinge outras
regiões do perfil, pois na linha de perfilação toda
a parte do perfil entre roletes está sob tensão.
O aumento da resistência ao escoamento
pode ser utilizado no dimensionamento de bar
ras submetidas à compressão ou à flexão, que
não estejam sujeitas à redução de capacidade
devido à flambagem local, conforme a equação
2.1.
sendo:
Df y acréscimo permitido à f y
f y resistência ao escoamento do aço virgem
f yc resistência ao escoamento na região da
curva
f u resistência à ruptura do aço virgem
r raio interno de dobramento;
t espessura.
C relação entre a área total das dobras e a
área total da seção para barras submetidas à
compressão; ou a relação entre a área das do
bras da mesa comprimida e a área total da
mesa comprimida para barras submetidas à
flexão
Apresentamse na tabela 2.1 alguns valo
res de Df y , em função de C, para aço com f y =
250MPa (f u = 360 MPa), f y = 300 MPa (f u = 400
MPa ) e f y = 355 MPa (f u = 490 MPa ).
(2.1)
Tabela 2.1 Valores de Df y
C
MPa MPa MPa
0,01 2 2 2
0,02 4 4 5
0,05 10 10 12
0,10 21 20 24
0,15 31 30 37
Df y
(1) Df y
(2) Df y
(3)
(1) f y = 250 MPa, f u = 360 MPa, r = t
(2) f y = 300 MPa, f u = 400 MPa, r = t
(3) f y = 355 MPa, f u = 490 MPa, r = 1,5 t
Atenção especial deve ser dada ao cálcu
lo das características geométricas dos perfis
formados a frio. A existência da curva, no lugar
do “ângulo reto”, faz com que os valores das
características geométricas (área, momento de
inércia, módulo resistente, etc.) possam ser,
dependendo das dimensões da seção, sensi
velmente reduzidos.
A variação nas dimensões da seção devi
da à estricção ocorrida na chapa quando do
brada, pode, por outro lado, ser desconsiderada
para efeito de dimensionamento.
2.4 – Padronização dos Perfis
Formados a Frio (NBR 6355:2003)
A Norma NBR 6355:2003 – “Perfis Estru
turais de Aço Formados a Frio”, padroniza uma
série de perfis formados com chapas de espes
suras entre 1,50 mm a 4,75 mm, indicando suas
características geométricas, pesos e tolerânci
as de fabricação.
A nomenclatura dos perfis também foi pa
dronizada. A designação dos nomes é feita da
seguinte forma: tipo do perfil x dimensões dos
lados x espessura, todas as dimensões são
dadas em mm. A tabela 2.2 mostra os tipos de
perfis padronizados e forma de nomenclatura
dos elementos.
No anexo A da NBR 6355:2003
apresentamse as seções transversais dos
perfis formados a frio.
16
Fabricação e padronização de perfis formados a frio
2.2
17
19
Capítulo 3
Comportamento estrutural
de perfis de seção aberta
20
Comportamento estrutural de perfis de seção aberta
Os estados limites últimos das barras de
seção transversal aberta, formadas por chapas
finas de aço, a serem considerados no
dimensionamento, freqüentemente estão asso
ciados à instabilidade local, distorcional ou glo
bal.
Cabe aqui uma consideração sobre no
menclatura que, por vezes, afeta o entendimen
to conceitual do fenômeno da flambagem. Tome
se um pilar ideal, absolutamente reto, sem im
perfeições de fabricação e submetido a um car
regamento perfeitamente centrado. Incremente
se esse carregamento gradativamente até atin
gir a chamada carga crítica, o pilar pode se
manter na posição reta indeformada, de equilí
brio instável, ou, se houver uma perturbação, por
menor que seja, procurar uma posição deforma
da estável. Há, portanto duas soluções teóricas
de equilíbrio.
Tomese, agora, um pilar real, com imper
feições geométricas. Novamente, aplicase uma
força perfeitamente axial. Ao se incrementar o
carregamento, a presença de imperfeições cau
sará flexão. Assim, desde o início, o pilar real
estará submetido à flexãocomposta e o estado
limite último poderá ser alcançado para valores
inferiores ao da força normal crítica.
Em termos mais simples, há uma diferen
ça conceitual entre a resposta estrutural de um
pilar ideal e a de um pilar real, imperfeito, mes
mo que ambos estejam sujeitos apenas à força
axial.
Para que não haja conflito entre o entendi
mento dos dois comportamentos distintos, as
principais escolas brasileiras definem
flambagem como a ocorrência de um ponto de
bifurcação no diagrama força x deslocamento
de um ponto de uma barra ou chapa comprimi
da. Em elementos estruturais reais, na presen
ça de imperfeições, não ocorre ponto de bifur
cação e, portanto, segundo a definição não ocor
re flambagem. Em outras palavras distinguese
a flambagem da flexão composta. Como, geral
mente, as imperfeições das estruturas de aço
são de pequeno valor, os modos de deforma
ção das barras de aço lembram os modos de
flambagem.
Neste manual, à semelhança da norma bra
sileira NBR 14762:2001, por simplicidade, os
modos reais de deformação que podem levar à
instabilidade são associados aos modos teóri
cos de flambagem e o termo “flambagem” é usa
do indistintamente para estruturas teóricas ou
reais.
No capítulo 4, discorrese de forma deta
lhada, sobre o fenômeno da instabilidade local
e sobre o método das larguras efetivas, proce
dimento simplificado para considerarse a ins
tabilidade no dimensionamento do perfil. No
capítulo 5, apresentamse considerações sobre
a instabilidade distorcional. No capítulo 7, dis
correse sobre os fenômenos de instabilidade
global, quais sejam
a instabilidade lateral com
torção das vigas e a instabilidade por flexão,
torção ou flexotorção de pilares.
A capacidade resistente das barras con
siderando as instabilidades globais relaciona
das com a torção está diretamente associada à
rigidez à flexão EI y , e à rigidez à torção da se
ção. A parcela da torção, em especial, depende
não apenas do termo correspondente à chama
da torção de Saint Venant, GI t , mas igualmente
da rigidez ao empenamento da seção, EC w .
Quanto mais finas as paredes da seção do per
fil, menores os valores das propriedades I t e
C w . Essas parcelas são proporcionais ao cubo
da espessura t das paredes, sofrendo grandes
variações para pequenas alterações no valor da
espessura.
Além dos fenômenos de instabilidade, a
barra pode estar sujeita à torção.
Nas vigas em que os carregamentos não
são aplicados no centro de torção da seção,
ocorre torção. As teorias de barras de Euler e
de Timoshenko, comumente ensinadas nos cur
sos de Resistência dos Materiais, não abran
gem esse comportamento das barras com se
ção aberta.
Para um entendimento geral do compor
tamento de um perfil de seção aberta, mostram
se no Anexo A de forma simples e intuitiva, as
21
pectos relacionados à torção e no Anexo B o
efeito de forças aplicadas em direções nãopa
ralelas aos eixos principais da seção transver
sal.
23
Capítulo 4
Flambagem local e o
método das larguras efetivas
24
Flambagem local e o método das larguras efetivas
No dimensionamento de perfis de chapa
dobrada, cuja seção transversal é constituída por
elementos de chapas finas com elevada rela
ção largura/espessura, é necessário verificar os
elementos quanto à flambagem local. No cálcu
lo convencional de estruturas de aço compos
tas de perfis laminados ou soldados a
flambagem local pode ser evitada pelo uso de
uma classe desses perfis, que tem uma relação
largura/espessura reduzida.
Os elementos planos que constituem a
seção do perfil nas estruturas de chapa dobra
das podem deformarse (flambar) localmente
quando solicitados à compressão axial, à com
pressão com flexão, ao cisalhamento, etc (figu
ra 4.1). Diferentemente da flambagem de barra,
a flambagem local não implica necessariamen
te no fim da capacidade portante do perfil, mas,
apenas uma redução de sua rigidez global à
deformação.
As chapas de aço ainda possuem consi
derável capacidade resistente após a ocorrên
cia da flambagem local. Sua capacidade resis
tente chegará ao limite somente quando as fi
bras mais comprimidas atingirem a resistência
ao escoamento do aço. Isso significa que o cor
reto dimensionamento desses elementos de
pende de uma análise nãolinear. Costumase
substituíla por expressões diretas, deduzidas a
partir de teorias simplificadas e calibradas
empiricamente. Atualmente, na norma brasilei
ra para o dimensionamento de perfis formados
a frio, NBR 14762:2001, é recomendado o mé
todo das larguras efetivas.
Para exemplificar o comportamento após
a ocorrência da flambagem local de uma cha
pa, considere uma placa quadrada simplesmen
te apoiada nas quatro bordas, sujeito a um es
forço de compressão normal em dois lados
opostos, como mostrado na figura 4.2.
Admitindose faixas como um sistema de
grelha, notase que, as faixas horizontais contri
buem para aumentar a rigidez à deformação das
barras verticais comprimidas. Nesse modelo, as
faixas horizontais se comportam como se fos
sem apoios elásticos distribuídos ao longo do
comprimento das barras comprimidas. Quanto
maior for a amplitude da deformação da barra
comprimida, maior será contribuição das “mo
las” para trazêla à posição vertical novamente.
Essa condição estável após a deformação per
pendicular ao seu plano é considerada no
dimensionamento dos perfis formados a frio.
Figura 4.2 Comportamento pósflambagem
Figura 4.3 Comportamento associado a grelha
Figura 4.1 Flambagem local
Flexão Compressão
25
(eq. 4.1)
4.1 Fatores que influenciam no
cálculo da largura efetiva
4.1.1 Condição de contorno
A condição de contorno dos elemen
tos de chapa, tal qual nas barras, influi na capa
cidade resistente.
A NBR 14762 designa dois tipos de
condição de contorno para os elementos de cha
pa, AA e AL, conforme exemplificado na figura
4.5.
Figura 4.5 Condições de contorno (extraída da
NBR14762:2001)
Os enrijecedores e as mesas não
enrijecidas dos perfis de aço, figura 4.6, são ele
mentos com um dos lados constituídos de bor
da livre, AL indicados da figura 4.5. Essa condi
ção reduz significativamente a capacidade re
sistente, pois, não ocorrem na configuração de
formada (figura 4.6), as diversas semiondas que
aproximam seu comportamento ao de uma cha
pa quadrada e nem há colaboração de “barras
horizontais” como um modelo de grelha. Em ele
mentos muito esbeltos, ou seja, com altos valo
res da relação largura/espessura, a largura efe
tiva calculada é muito pequena.
O coeficiente de flambagem, k, é o fator
inserido nas expressões para o cálculo das lar
guras efetivas que quantifica as diversas condi
ções de contorno e de carregamento das cha
pas, sendo obtido por meio da Teoria da Esta
bilidade Elástica. A tabela 4.1 mostra alguns va
lores clássicos para o coeficiente k.
Esse conceito de grelha pode ser
extrapolado para uma chapa retangular com a
dimensão longitudinal muito maior do que a
transversal, figura 4.3, e esse é o caso dos per
fis formados a frio. Nesse caso, a chapa apre
sentará comportamento equivalente a uma su
cessão de chapas aproximadamente quadra
das, sendo válido estender a conclusão sobre o
comportamento das chapas quadradas às cha
pas longas.
A rigidez à deformação da chapa é maior
junto aos apoios “atraindo” maiores tensões atu
antes. O máximo esforço suportado pela chapa
ocorre quando a tensão junto ao apoio atinge a
resistência ao escoamento, f y .
A figura 4.4 mostra a distribuição das ten
sões na chapa com o aumento gradual do car
regamento aplicado. De início, a distribuição
das tensões é uniforme com valor inferior ao da
tensão crítica de flambagem, figura 4.4a. Aumen
tando o carregamento a chapa se deforma e há
uma redistribuição das tensões internas (figura
4.4b) até atingir a resistência ao escoamento,
f y, figura 4.4c.
O conceito de larguras efetivas consiste
em substituir o diagrama da distribuição das
tensões, que não é uniforme, por um diagrama
uniforme de tensões. Assumese que a distri
buição de tensões seja uniforme ao longo da
largura efetiva “b ef ” fictícia com valor igual às ten
sões das bordas, figura 4.4d. A largura “b ef ” é
obtida de modo que a área sob a curva da dis
tribuição nãouniforme de tensões seja igual à
soma de duas partes da área retangular equi
valente de largura total “b ef ” e com intensidade
“f máx ”, conforme a equação 4.1.
Figura 4.4 Distribuição de tensões
26
Flambagem local e o método das larguras efetivas
Tabela 4.1 – Valores de k para algumas condi
ções de contorno e carregamento
Os elementos com enrijecedores de bor
da não podem ser incondicionalmente conside
rados como biapoiados. Como se pode notar
no modelo adotado para representar o
enrijecedor de borda na figura 4.7, um
enrijecedor pode não ser suficientemente rígido
para se comportar como um apoio adequado e
assim, comprometer a estabilidade da mesa
enrijecida. A capacidade adequada de um
enrijecedor
depende essencialmente do seu
momento de inércia, I x , portanto, os valores da
largura efetiva das mesas enrijecidas dos per
fis dependem da dimensão D do enrijecedor.
Por outro lado, o enrijecedor não deve ser muito
esbelto, ou seja, ter a dimensão D elevada, por
que ele próprio pode se instabilizar. O valor mais
adequado para a largura do enrijecedor está
entre 12% a 40% da mesa do perfil a ser
enrijecida, conforme mostra a figura 4.8, que foi
construída por meio de uma análise paramétrica
a partir das expressões da norma brasileira,
para alguns casos de perfis tipo Ue.
4.1.2 – Distribuição de tensões
A forma da distribuição de tensões aplica
da (figura 4.9) no elemento de chapa também
influência o cálculo da largura efetiva.
Figura 4.6 Elementos com bordas livres
Figura 4.8 Largura efetiva em função de D/b f
Figura 4.9 Distribuição de tensões
Figura 4.7 Enrijecedor de borda
(fig. 4.9a)
(fig. 4.6)
(fig. 4.9e)
(por ex. mesas de
perfis Ue Fig. 4.7)
27
Quando o carregamento na chapa não é
uniforme, há uma diminuição dos esforços de
compressão ao longo da borda carregada,
consequentemente aumentando a largura efeti
va calculada.
O valor da tensão, obviamente, é funda
mental na determinação da largura efetiva. Al
tos valores de tensões atuantes conduzem a
menores larguras efetivas.
4.2 Cálculo das larguras efetivas
Calculase a largura efetiva de uma chapa
comprimida (NBR 14762 item 7.2) por meio da
eq. 4.2.
(eq. 4.2)
(eq. 4.3)
Sendo
b – largura do elemento
λp índice de esbeltez reduzido do elemento
t – espessura do elemento
E – módulo de elasticidade do aço = 20 500 kN/
cm 2
s tensão normal de compressão definida por:
s = ρ.f y , sendo ρ o fator de redução associado
à compressão centrada e s = ρ FLT T .f y , sendo ρ FLT
o fator de redução associado à flexão simples.
k – coeficiente de flambagem local
Os valores do coeficiente de flambagem
k, para elementos classificados como AA e AL
(figura 4.5) são dados nas tabelas 4 e 5.
Notase que para valores de b ef < 0,673 a
equação 4.2 resulta em b ef = b
Nos casos onde há tensões de tração e
compressão no elemento, somente para ele
mentos com borda livre, calculase as largu
ras efetivas, substituindo na equação, a largura
total do elemento pela largura comprimida, b c ,
conforme a eq. 4.4 e figura 4.10.
Figura 4.10 – largura efetiva para elementos sob compres
são e tração
(eq.4.4)
onde b c é o comprimento da parte compri
mida do elemento AL.
As tabelas 4.2 e 4.3 mostram as equações
para o cálculo do coeficiente de flambagem k.
Como era de ser esperar o coeficiente k depen
de das condições de contorno e carregamen
tos dos elementos. A condição de carregamen
to é avaliada em função da relação entre a má
xima e mínima tensão atuante no elemento ψ.
Para o cálculo dos deslocamentos, deve
se considerar também, a redução de rigidez à
flexão da seção devido à flambagem local. Para
isso, utilizamse as mesmas expressões do cál
culo das larguras efetivas (equações 4.2 e 4.3)
substituindose a máxima tensão permitida no
elemento, s , pela tensão de utilização, n s .
n s é a máxima tensão de compressão
calculada para seção efetiva (portanto é neces
sário fazer interação), na qual se consideram as
combinações de ações para os estados limites
de serviço.
0, 22
1
p
ef
p
b
b b
l
l
æ ö
- ç ÷ ç ÷
è ø = £
0,95
p
b
t
kE
l
s
=
0, 22
1 c
p
ef
p
b
b b
l
l
æ ö
- ç ÷ ç ÷ è ø = £
28
Flambagem local e o método das larguras efetivas
4.2
Tabela 4.3
1
< 0
29
Exemplos de cálculos de larguras efetivas
em elementos comprimidos AL:
Exemplo 01 Cálculo da largura efetiva
da alma e mesas do perfil padronizado
U250x100x2,65 mm submetido ao esforço de
momento fletor em relação ao eixo x, sob uma
tensão de 21,32 kN/cm 2 :
Perfil U: b w = 25 cm b f = 10 cm t= 0,265 cm
aço: f y = 25 kN/cm
2 E= 20500 kN/cm 2
1 Cálculo das Larguras Efetivas
σ = 21,32 kN/cm2
admitindo distribuição linear de tensões,
com o valor máximo na fibra mais distante do
centro geométrico igual a σ = 21,32 kN/cm2 e
zero no centro geométrico podese calcular as
tensões em qualquer coordenada y da seção.
1.1 Largura efetiva do elemento [1]
Elemento AL
A largura, b, é o comprimento da parte reta do
elemento, descontados os trechos curvos:
b= 10,0 – 2.t = 10,0 – 2 . 0,265
b= 9,47 cm
podese tomar, neste caso, a tensão na fibra
média da mesa. Nos exemplos deste manual,
por simplificação e a favor da segurança, admi
tese que a tensão na fibra média é a tensão
máxima no perfil:
σ 1 = 21,32 kN/cm2
σ 2 = 21,32 kN/cm2
Somente tração no elemento!
1.2 Largura efetiva elemento[3]
Elemento AL
b= 9,47 cm
σ 1 = 21,32 kN/cm2
σ 2 = 21,32 kN/cm2
ψ = 1
1.2.1 NBR14762 Tab05.caso a (Tabela 4.3)
k= 0,43
λ
p
=1,85 [λ
p
> 0,673]
b ef = 4,51 cm
b ef,1 = 4,51 cm
1.3 Largura efetiva do elemento [2]
Elemento AA
σ 1 = 20,64 kN/cm
2
σ 2 = 20,64 kN/cm
2
ψ = 1
1.3.1 NBR14762 Tab04.caso d (Tabela 4.2)
b= 25 – 4.t = 25 – 4 . 0,265
b= 23,94 cm
k= 24
b= 23,94 cm
b c = 11,97 cm
b t = 11,97 cm
9, 47
0,335
0,43.20500
0,95 0,95
21,32
p
b
t
kE
l
s
= =
0, 22 0, 22 1 9,47 1
1,85
1,85
p
ef
p
b
b b
l
l
æ ö æ ö - ç ÷ - ç ÷ ç ÷ è ø è ø = = £
30
Flambagem local e o método das larguras efetivas
λ p =0,616 [λ p < 0,673]
b ef = b
Propriedades geométricas:
I x da seção bruta= 1120,17cm
4
I x da seção efetiva= 893,70cm
4
Para se calcular o momento de inércia da
seção efetiva é necessário calcular o novo cen
tro geométrico (CG) da seção transversal, des
contando a parte “nãoefetiva” dos elementos
com larguras efetivas reduzidas. Calculase en
tão, o momento de inércia em relação aos no
vos eixos de referência. Podese utilizar proces
sos automatizados para calcular essas proprie
dades geométricas como, por exemplo, o Excel
ou um programa específico para esse fim. O
Programa DimPerfil realiza esses cálculos e
exibe os resultados.
Exemplo 02 Cálculo da largura efetiva
da alma e mesas do perfil padronizado
U250x100x2.65 mm submetida ao esforço de
momento fletor em relação ao eixo de menor
inércia, y, para uma resistência ao escoamento
da fibra mais solicitada igual a 25,0 kN/cm 2 :
Perfil U: b w = 25 cm b f = 10 cm t= 0,265 cm
Aço: f y = 25 kN/cm2 E= 20500 kN/cm
2
Seção submetida a esforço de momento fletor
em relação ao eixo Y
1 Cálculo das Larguras Efetivas
σ = 25 kN/cm2
Admitese variação linear de tensões, sendo o
valor máximo igual a 25 kN/cm 2
1.1 Largura efetiva do elemento [1] = elemento
[3]
Elemento AL
A largura, b, é o comprimento da parte reta do
elemento, descontados os trechos curvos:
b= 9,47 cm
tensão na extremidade livre da mesa:
posição da fibra em relação ao CG.:
x 1 = 7,66 cm
σ
1
= 25 kN/cm2
tensão na extremidade conectada à alma:
posição do CG:
xg = 2,34 cm
posição da fibra:
x = 2,34 – 2*t = 1,812 cm
σ 2 =
25
1 81
7 66
,
,
´ =
σ 2 = 5,905 kN/cm
2
23,94
0, 265
24.20500
0,95 0,95
20,64
p
b
t
kE
l
s
= =
(Tração)
(Compressão)
31
1.2 Largura efetiva do elemento [2]
Elemento AA
xg = 2,34 cm
σ 1 = σ 2 = 7,20 kN/cm2 (tensão na fibra média da
alma)
Somente tração no elemento!
b ef = b = 23,94 cm
Propriedades geométricas:
I y da seção bruta= 112,82 cm
4
I y da seção efetiva= 20,76 cm
4
Exemplo 03 Cálculo da largura efetiva das
abas do perfil padronizado L80x80x3.35 mm
submetida ao esforço de compressão, sob uma
tensão de 8,6 kN/cm 2 :
Perfil L:
b= 8,0 cm t= 0,335 cm
fy= 25 kN/cm 2 E= 20500 kN/cm 2
1 Cálculo das Larguras Efetivas
σ = 8,6 kN/cm2
1.1 Largura efetiva do elemento [1] = elemento
[2]
Elemento AL
b= 8,0 – 2.t = 8,0 – 2 . 0,335
b= 7,33 cm
σ 1 = 8,6 kN/cm2
σ 2 = 8,6 kN/cm2
ψ = 1
1.1.1 NBR14762 Tab.05 caso a (Tabela 4.3)
k= 0,43
λp=1,66 [λp > 0,673]
0, 22 0, 22 1 9, 47 1
1,66
1,66
p
ef
p
b
b b
l
l
æ ö æ ö - ç ÷ - ç ÷ ç ÷
è ø è ø = = £
bef= 4,94 cm à bef,1= 4,94 cm
σ1= σ2=
( ) 0 265 2 34 2
25
7 66
, ,
,
-
´
7,33
0,335
0,43.20500
0,95 0,95
8,6
p
b
t
kE
l
s
= =
λp=0,72 [λp > 0,673]
ψ = 5,905 / (25,0)
ψ = 0,236
1.1.1 NBR14762 Tab.05 caso d
k= 0,624 (Tabela 4.3)
32
Flambagem local e o método das larguras efetivas
b ef = 7,07 cm
b ef,1 = 7,07 cm
Propriedades geométricas:
A da seção bruta= 5,18 cm 2
A da seção efetiva= 5,00 cm 2
4.3 Elementos comprimidos com
enrijecedor de borda
Para calcular a largura efetiva de um ele
mento com enrijecedor de borda é necessário
considerar as dimensões do elemento (b) e as
do enrijecedor de borda (D) (figura 4.11). Se o
elemento b for pouco esbelto (valor de b/t pe
queno até cerca de 12) não haverá necessida
de de enrijecedor para aumentar sua capacida
de resistente de compressão e sua largura efe
tiva será igual à largura bruta. Para elementos
esbeltos o enrijecedor de borda deverá servir
como um apoio “fixo” na extremidade do elemen
to. Nesse caso a largura efetiva calculada de
penderá da esbeltez do elemento (b/t), da es
beltez do enrijecedor de borda (D/t) e da inércia
do enrijecedor de borda (I s momento de inér
cia do enrijecedor em relação ao seu centro
geométrico, figura 4.11).
Além de servir como apoio, o enrijecedor,
também, se comporta como um elemento de
borda livre (AL) sujeito à flambagem local. A ocor
rência da flambagem local do enrijecedor indu
zirá a flambagem local na mesa enrijecida. Um
enrijecedor de borda adequado é aquele que
tem condições de se comportar como um apoio
à mesa. Para isso, ele precisa ter uma rigidez
mínima, ou seja, um momento de inércia míni
mo, denominada de I a . Se o enrijecedor for ina
dequado, ou seja I s <I a , o comportamento da cha
pa da mesa, será mais próximo a uma chapa
com borda livre, portanto o valor do coeficiente
de flambem local para mesa, k, será pequeno
aproximandose ao da chapa livre. Quando as
dimensões do enrijecedor não respeitam os li
mites de adequação, será necessário, também,
reduzir a largura efetiva do enrijecedor de bor
da, d s da figura 4.12, a fim de se reduzir as ten
sões nele aplicadas.
O procedimento para o cálculo das largu
ras efetivas para elementos com enrijecedores
de borda, na norma brasileira é feito da seguin
te forma:
Figura 4.11 elemento enrijecido
0, 22 0, 22 1 7,33 1
0,72
0,72
p
ef
p
b
b b
l
l
æ ö æ ö - ç ÷ - ç ÷ ç ÷
è ø è ø = = £
33
Figura 4.12 Enrijecedor de borda
Primeiramente se calcula 0 p l , que é o va
lor da esbeltez reduzida da mesa como se ela
fosse um elemento de borda livre (AL):
(eq. 4.5)
Caso I – 0 p l < 0,673 Elemento pouco
esbelto. Mesmo que a mesa fosse de borda livre
(AL) sua largura efetiva seria igual a largura bru
ta. Nesse caso então, não seria necessária a
ajuda do enrijecedor de borda.
b ef = b à para a mesa comprimida
Caso II – 0,673 < 0 p l < 2,03 – Elemento
medianamente esbelto, precisa ser apoiado
pelo enrijecedor para aumentar sua capacida
de resistente.
O cálculo da largura efetiva é feito por meio
da equação 4.2, onde o coeficiente de
flambagem k, é calculado conforme a equação
4.6.
O momento de inércia de referência (ade
quado) para o enrijecedor é determinado con
forme a equação 4.7.
O momento de inércia da seção bruta do
enrijecedor em relação ao seu centro geométri
co em torno do eixo paralelo ao elemento
enrijecido é determinado conforme a equação
4.8.
O valor de k a é calculado pela equação 4.9
ou 4.10, conforme o caso.
1 para enrijecedor de borda simples com
40 140 o o q £ £ e 0,8
D
b
£ , onde q é mostrado na
figura 3.9a:
(eq. 4.6)
(eq. 4.7)
(eq. 4.8)
(eq. 4.9)
0
0, 43
0,95 0,623
p
y
b b
t t
E E
f
l
s
= =
( ) 0,43 ,043 s a a
a
I
k k k
I
= - + £
( ) 3 4 0 400 0, 49 0,33 a p I t l = -
3 2 .
12 s
d t sen
I q =
5, 25 5 4,0 a
D
k
b
æ ö = - £ ç ÷
è ø
(a)
(b)
34
Flambagem local e o método das larguras efetivas
2 para outros tipos de enrijecedor:
k a = 4,0 (eq. 4.10)
Com o valor de k obtido da equação 4.6
obtémse a largura efetiva por meio da equa
ção 4.2 já apresentada, que aqui se repete.
Sendo
(equação 4.2)
(equação 4.3)
A largura efetiva do elemento é divido em
dois trechos próximos às extremidades do ele
mento, o primeiro trecho de comprimento b ef,1
no lado da alma do perfil e o segundo trecho
b ef,2 no lado do enrijecedor de borda, esses va
lores são obtidos por meio das equações 4.11
e 4.12.
Caso a inércia (I s ) do enrijecedor de bor
da não seja adequada para servir como um
apoio para a mesa enrijecida, este deve ter sua
área efetiva reduzida, afim de que se diminuam
as tensões nele atuantes, conforme equações
4.13 e 4.14.
Para enrijecedor de borda simples (figu
ra 4.12a):
A largura efetiva do enrijecedor de borda
deve ser previamente calculada tratandoo como
um elemento de borda livre, AL e as proprieda
des geométricas da seção efetiva do perfil me
(eq. 4.11)
(eq. 4.12) b ef,1 = b ef – b ef,2
(eq. 4.13)
tálico, A ef , I xef , I yef são calculadas considerando
a largura d s do enrijecedor de borda.
Para demais enrijecedores de borda (figura
4.12b):
Caso III – 0 p l > 2,03 – Elemento muito esbelto.
O enrijecedor precisa ter alta rigidez para apoi
ar a mesa adequadamente.
O cálculo da largura efetiva é feito por meio da
equação 4.2, onde o coeficiente de flambagem
k, é calculado conforme a equação 4.15.
Sendo
b ef , b ef,1 , b ef,2 , d s , k a e A s são calculados da mes
ma forma que no caso II.
Exemplos de cálculos de larguras efetivas em
perfis com mesas enrijecidas:
Exemplo 04 – Cálculo da largura efetiva da
alma e mesas do perfil padronizado Ue
250x100x2,65 mm submetido ao esforço nor
mal de compressão, sob uma tensão de 25,00
kN/cm 2 :
Aço: f y =
25 kN/cm
2 E= 20500 kN/cm 2
G= 7884,615 kN/cm 2
Seção submetida a esforço normal
1 Cálculo das Larguras Efetivas
σ = 25 kN/cm 2
(eq. 4.14)
(eq. 4.15)
(eq. 4.16)
0, 22
1
p
ef
p
b
b
l
l
æ ö
- ç ÷ ç ÷ è ø =
0,95
p
b
t
kE
l
s
=
,2 2 2
ef ef s
ef
a
b b I
b
I
æ ö
= £ ç ÷
è ø
s
s ef ef
a
I
d d d
I
= £
( ) s s ef ef ef
a
I
A A A A área efetiva do enrijecedor
I
= £ - -
( ) 3 0, 43 0,43 s a a
a
I
k k k
I
= - + £
( ) 4 0 56 5 a p I t l = +
35
1.1 Largura efetiva dos enrijecedores de bor
da
Elemento AL
b= 1,97 cm
σ
1
= 25 kN/cm 2 σ
2
= 25 kN/cm 2
ψ = σ
1
/σ
2
= 1,0
1.1.1 NBR14762 Tab.05 caso a (tabela 4.3)
k= 0,43
0,417
como λ p < 0,673, então:
b ef = b
b ef = 1,97 cm
1.2 Largura efetiva das mesas enrijecidas
1.2.1 NBR14762. 7.2.2.2 Elemento com
enrijecedor de borda:
σ 1 = 25 kN/cm2
σ 2 = 25 kN/cm2
b=8,94 cm
D=2,5 cm t= 0,265 cm d ef =1,97 cm
d=1,97 cm σ=25 kN/cm 2
θ=90 º
k a = 3,85 < 4,0
Como 0.673 < λ p0 < 2,03, então:
Caso II:
λ
p
=0,769
como λ
p
> 0,673 – então:
b ef =8,301 cm
(eq. 4.2)
1.97
0,265
. 0, 43.20500
0,95 0,95
25
p
y
b
t
k E
f
l = = =
0
8,94
0, 265
20500
0,623 0,623
25
p
y
b
t
E
f
l = = = 1,891
3 2 3 2 . 1,97 .0,265. (90)
12 12 s
d t sen sen I q = =
Is= 0,1689 cm 4
2,5
5,25 5 5, 25 5 4,0
8,94 a
D
k
b
æ ö æ ö = - = - £ ç ÷ ç ÷ è ø è ø
( ) 3 4 0 400 0, 49 0,33 a p I t l = -
Ia = ( ) 3 4 400 0, 265 0,49 1,891 0,33 ´ ´ -
Ia=0,419 cm 4
( ) 0, 43 ,043 s a a
a
I
k k k
I
= - + £
Is/Ia=0,403
( ) 0,403 3,85 0,43 0, 43 k = - +
k=2,602
8,94
0,265
2,62.20500
0,95 0,95
25
p
b
t
kE
l
s
= = (eq. 4.3)
0, 22 0, 22 1 8,94 1
0,769
0,769
p
ef
p
b
b
l
l
æ ö æ ö - ç ÷ - ç ÷ ç ÷ è ø è ø = =
36
Flambagem local e o método das larguras efetivas
b ef,2 = 1,672 cm
b ef,1 = b ef – b ef,2 = 8,301 – 1,672
b ef,1 = 6,629 cm
como I s < I a , então:
d s = 1,97 . 0,43= 0,794 cm
1.3 Largura efetiva da alma
Elemento AA
b= 23,94 cm
σ
1
= 25 kN/cm 2
σ
2
= 25 kN/cm 2
ψ = 1
1.3.1 NBR14762 Tab.04 caso a (tabela 4.2)
k= 4
b ef = 12,508 cm
b ef,1 = b ef,2 = b ef /2
b ef,1 = 6,254 cm
b ef,2 = 6,254 cm
Propriedades geométricas:
A da seção bruta= 12,79 cm 2
A da seção efetiva= 8,80 cm 2
Exemplo 05 Cálculo da largura efetiva da alma
e mesas do perfi l padronizado Z 45
100x50x17x1,2 mm submetido ao esforço nor
mal de compressão, sob uma tensão de 25,00
kN/cm 2 :
Aço: fy= 25 kN/cm2 E= 20500 kN/cm2
G= 7884,615 kN/cm2
Seção submetida a esforço normal
1 Cálculo das Larguras Efetivas
σ = 25 kN/cm 2
1.1 Largura efetiva dos enrijecedores
Elemento AL
b= 1,565 cm
σ 1 = 25 kN/cm
2
σ 2 = 25 kN/cm
2
ψ = 1
1.1.1 NBR14762 Tab.05 caso a (tabela 4.3)
k= 0,43
,2 2 2
ef ef s
ef
a
b b I
b
I
æ ö
= £ ç ÷
è ø
,2
8,301
0, 403
2 ef
b æ ö = ç ÷ è ø
s
s ef ef
a
I
d d d
I
= £
23,94
0, 265
4.20500
0,95
25
p l =
λp=1,66 [λp > 0,673]
0, 22
23,94 1
1,66
1,66 ef
b
æ ö - ç ÷
è ø = (eq. 3.2)
1,565
0,12
0, 43.20500
0,95
25
p l = = 0,731
[λp > 0,673]
(eq. 4.2)
37
3 2 3 2 . 1,565 .0,12. (45)
12 12 s
d t sen sen
I q = =
Is= 0,0192 cm 4
1,7
5, 25 5 5, 25 5 4,0
4,625 a
D
k
b
æ ö æ ö = - = - £ ç ÷ ç ÷ è ø è ø
ka= 3,40
( ) 4 0 56 5 a p I t l = + = ( ) 4 56 2,161 5 0,12 ´ +
Ia= 0,026 cm 4
( ) 3 0,43 0,43 s a a
a
I
k k k
I
= - + £
Is/Ia= 0,734
( ) 3 0,734 3,41 0,43 0, 43 k = - +
k=3,10
4,625
0,12
3,10.20500
0,95
25
p l =
b ef,1 = 1,497 cm
1.2 Largura efetiva das mesas
1.2.1 NBR14762. 7.2.2.2 Elemento com
enrijecedor de borda (com inclinação de 45º):
σ
1
= 25 kN/cm 2
σ 2 = 25 kN/cm
2
b=4,625 cm D=1,70 cm
t=0,12 cm d ef =1,497 cm
d=1,565 cm σ=25 kN/cm 2
θ=45 º
Como λ p0 =2,161 > 2,03, então:
1.3 Largura efetiva da alma
Elemento AA
b= 9,52 cm
σ 1 = 25 kN/cm
2
σ 2 = 25 kN/cm
2
ψ = 1
1.3.1 – Tabela 4.2 – caso a (NBR14762 Tab04)
k= 4
0,22
1,565 1
0,731
0,731 ef
b
æ ö - ç ÷
è ø = = 1,497 cm
0
4,625
0,12
20500
0,623 0,623
25
p
y
b
t
E
f
l = = = 2,161
λp=0,805 [λp > 0,673]
0,22
4,625 1
0,805
0,805 ef
b
æ ö - ç ÷
è ø =
bef=4,175 cm
,2 2 2
ef ef s
ef
a
b b I
b
I
æ ö
= £ ç ÷
è ø
,2
4.175
0,734
2 ef
b æ ö = ç ÷
è ø
bef,2= 1,532 cm
bef,1 = bef – bef,2= 4,175 – 1,532
bef,1= 2,642 cm
como Is < Ia, então:
s
s ef ef
a
I
d d d
I
= £
ds= 0,734 . 1,497 = 1,099 cm
38
9,52
0,12
4.20500
0,95
25
p l =
λp=1,458 [λp > 0,673]
0, 22
9,52 1
1,458
1, 458 ef
b
æ ö - ç ÷
è ø =
bef= 5,544 cm
bef,1= 2,772 cm
bef,2= 2,772 cm
Flambagem local e o método das larguras efetivas
Propriedades geométricas:
A da seção bruta= 2,8 cm 2
A da seção efetiva= 2,10 cm 2
Exemplo 06 Cálculo da largura efetiva da alma
e mesas do perfil Ue com enrijecedor de borda
adicional, Uee 200x100x25x10x2,65 mm sub
metido a momento fletor em relação ao eixo de
maior inércia, X, sob uma tensão máxima de
25,00 kN/cm 2 :
Aço: f y = 25 kN/cm2 E= 20500 kN/cm
2
G= 7884,615 kN/cm 2
Uee: b w = 20,0 b f = 10,0 D= 2,5 D e = 1,0
t= 0,265 α=0 β=90 θ=90
Seção submetida a esforço de momento fletor
em relação ao eixo X
1 Cálculo das Larguras Efetivas
σ
máx
= 25 kN/cm 2
O cálculo das tensões nas extremidades de cada
elemento é feito considerando diagrama linear
de tensões ao longo da altura do elemento com
a linha neutra passando pelo centro geométrico
e perpendicular ao plano de aplicação do mo
mento e o máximo valor de tensão igual a 25
kN/cm 2 (tração ou compressão) na fibra mais
distante da linha neutra:
1.1 – Largura efetiva do enrijecedor de borda
e do enrijecedor de borda adicional:
O valor de b/t máximo em elementos com borda
livre (AL) submetidos a uma tensão de 25 kN/
cm 2 para ter a largura efetiva igual a largura bru
ta (b ef = b) é dado pela equação 4.3 ao igualar
se a esbelteza reduzida, λ p , a 0,673:
0,673
.20500
0,95
p
b
t
k
l
s
= = è
0, 43.20500
0,95 0,673
25
b
t =
39
b/t max = 12 – (máximo valor de b/t no qual não
será necessário reduzir a largura do elemento
de borda livre, para uma tensão de 25kN/cm 2 )
Como neste exemplo as relações largura/espes
sura dos enrijecedores de borda e enrijecedores
adicionais do perfil são bem pequenas, respec
tivamente 5,4 e 1,8, então as larguras efetivas
desses elementos são iguais suas larguras bru
tas.
b/t = 1,44 / 0,265= 5,4 – enrijecedor de borda
b/t = 0,47 / 0,265= 1,8 – enrijecedor adicional
1.2 Largura efetiva da mesa enrijecida
NBR14762. 7.2.2.2 Elemento com enrijecedor
de borda e enrijecedor de borda adicional:
Por simplificação e a favor da segurança, será
admitido que a máxima tensão dada ocorre na
fibra média do elemento :
σ
1
= 25 kN/cm2
σ 2 = 25 kN/cm2
b=8,94 cmt=0,265 cm
I s = 0,247 cm4
σ=25 kN/cm2
Como 0,673 < λ p < 2,03 – então:
Caso II
Ia=0,419 cm 4
I s /I a =0,591
k a = 4,0 – para enrijecedores de borda que não
sejam os simples
k=3,175
λ
p
=0,696
como λ p > 0,673 – então:
b ef = 8,785 cm
b ef,2 = 2,596 cm
0
8,94
0, 265
20500
0,623
25
p l = = 1,891
( ) 3 4 0 400 0, 49 0,33 a p I t l = - =
( ) 3 4 400 0, 265 0, 49 1,891 0,33 ´ ´ -
( ) 0,43 ,043 s a a
a
I
k k k
I
= - + £
( ) 0,591 4 0, 43 0, 43 k = - +
8,94
0, 265
3,175.20500
0,95
25
p l =
0, 22 0, 22 1 8,94 1
0,696
0,696
p
ef
p
b
b
l
l
æ ö æ ö - ç ÷ - ç ÷ ç ÷ è ø è ø = =
,2 2 2
ef ef s
ef
a
b b I
b
I
æ ö
= £ ç ÷
è ø
,2
8,785
0,591
2 ef
b æ ö = ç ÷ è ø
40
Flambagem local e o método das larguras efetivas
b ef,1 = b ef – b ef,2 = 8,785 – 2,596
b ef,1 = 6,188 cm
como I s < I a , então a área efetiva do enrijecedor
de borda a ser considerada nas propriedades
geométricas de deve ser reduzida na propor
ção I s /I a
Isso pode ser obtido diminuindo a
espessura efetiva do enrijecedor de borda:
t ef = 59.1% . 0,265 = 0,157 cm
1.3 Largura efetiva da Alma: Elemento AA
b= 18,94 cm
σ
1
= 23,993 kN/cm2
σ 2 = 23,993 kN/cm2
ψ = 1
1.3.1 NBR14762 Tab04.caso d (tabela 4.2)
k= 24
b= 18,94 cm
b c = 9,47 cm
b t = 9,47 cm
como λ p =0,525 < 0,673 então,
b ef = 18,94 cm
bef = b
Propriedades geométricas:
I x da seção bruta= 767,09 cm
4
I x da seção efetiva= 743,88 cm
4
Exemplo 07 Cálculo da largura efetiva da alma
e mesas do perfi l padronizado Cr
100x50x20x2,0 mm submetido a momento fletor
em relação ao eixo X, sob uma tensão máxima
de 25,00 kN/cm 2 com os enrijecedores voltados
para o lado das tensões de compressão :
Aço: f y = 25 kN/cm2 E= 20500 kN/cm
2
G= 7884,615 kN/cm 2
Perfil: Cr: bw=10 bf=5 D=2 t=0,2
Nota: Mesas enrijecidas sob tensões de
compressão não uniformes, como é o caso des
te exemplo (momento fletor aplicado no eixo
perpendicular às mesas), não possuem nas nor
mas em vigor um procedimento de cálculo es
pecífico. É necessário, portanto, a favor da se
gurança, considerar que estes elementos estão
uniformemente comprimidos.
s
s ef
a
I
A A
I
=
0,591 = s
a
I
I
18,94
0, 265
24.20500
0,95 0,95
25
p
b
t
kE
l
s
= = = 0,525
41
Seção submetida a esforço de momento fletor
em relação ao eixo X
1 Cálculo das Larguras Efetivas
σ
máx
= 25 kN/cm2
1.1 Largura efetiva dos enrijecedores
Elemento AL
b= 1,6 cm
σ 1 = 25 kN/cm
2
σ 2 = 25 kN/cm
2
ψ = σ
1/
σ
2
= 1,0
1.1.1 NBR14762 Tab05.caso a (tabela 4.3)
k= 0,43
λ
p
=0,448462
como λ p < 0,673, então
b ef = 1,6 cm
b ef = b
1.2 Largura efetiva das mesas enrijecidas
NBR14762. 7.2.2.2 Elemento com enrijecedor
de borda:
y 1 = 4,78 (posição da extremidade junto ao
enrijecedor)
y 2 = 4,42 (posição da extremidade junto a alma
do perfil)
y máx = 5,08 y mín = 4,72
(obs. para o divisor dessa equação use sempre
a coordenada mais distante do CG do perfil, em
módulo).
b=9,2 cm D=2 cm
t=0,2 cm d ef =1,6 cm
d=1,6 cm σ=23,52 kN/cm 2
θ=90 º
b ef = 7,283 cm
1.6
0,2
0, 43.20500
0,95
25
p l = =
σ1=
4 78
25
5 08
,
,
´ - = 23,523 kN/cm 2
σ2=
4 42
25
5 08
,
,
´ = 21,78 kN/cm 2
0
9, 2
0, 2
20500
0,623 0,623
25
p
y
b
t
E
f
l = =
λp0=2,50
Como λp0 > 2,03, então:
Caso III:
3 2 3 2 . 1,6 .0, 2. (90)
12 12 s
d t sen sen
I q = =
Is= 0,068 cm 4
2
5, 25 5 5, 25 5 4,0
9, 2 a
D
k
b
æ ö æ ö = - = - £ ç ÷ ç ÷ è ø è ø
ka=4
( ) 4 0 56 5 a p I t l = + = ( ) 4 56 2,50 5 0, 2 ´ +
Ia=0,232 cm 4
( ) 3 0, 43 0,43 s a a
a
I
k k k
I
= - + £
Is/Ia=0,294
( ) 3 0,294 4 0,43 0,43 k = - +
k=2,80
9, 2
0, 2
2.8.20500
0,95
25
p l =
λp= 0,98 [λp > 0,673]
0, 22
9, 2 1
0,98
0,98 ef
b
æ ö - ç ÷
è ø =
bef= 7,283 cm
42
Flambagem local e o método das larguras efetivas
b ef,2 =1,071cm
b ef,1 = b ef – b ef,2 = 9,2 – 1,071
b ef,1 = 6,212 cm
como I s < I a , então:
d s = 1,6 . 0,294= 0,471 cm
d s = 0,471 cm
1.3 Largura efetiva da mesa
Elemento AA
b= 4,2 cm
σ
1
= 23,257 kN/cm 2
σ 2 = 23,257 kN/cm
2
Elemento somente sob tensões de tração!
Propriedades geométricas:
I x da seção bruta= 69,98 cm
4
I x da seção efetiva= 47,78 cm
4
,2 2 2
ef ef s
ef
a
b b I
b
I
æ ö
= £ ç ÷
è ø
,2
7, 283
0, 294
2 ef
b æ ö = ç ÷
è ø
s
s ef ef
a
I
d d d
I
= £
43
45
Capítulo 5
Flambagem por distorção da
seção transversal
46
Flambagem por distorção da seção transversal
A flambagem por distorção é caracteriza
da pela alteração da forma inicial da seção
transversal ocorrendo uma rotação dos elemen
tos submetidos à compressão.
Esse fenômeno tornase mais evidente em:
aços de alta resistência
em elementos com maior
relação
largura da mesa
largura da alma ,
elementos com menor largura do
enrijecedor de borda,
seção cujos elementos são poucos es
beltos (menor b/t). Nesse caso, a carga crítica
de flambagem distorcional pode ser menor do
que a da flambagem local.
Uma característica que diferencia a
flambagem local da distorcional é a deformada
póscrítica. Na flambagem por distorção a se
ção perde sua forma inicial (figuras 5.1 e 5.2), o
que não ocorre na flambagem local.
Figura 5.1 Flambagem local e distorcional
a) compressão centrada b) momento fletor
Figura 5.2 – Distorção da seção transversal
Figura 5.3 Modelo simplificado proposto por Hancock &
Lau
A NBR 14762:2001 utiliza o método sim
plificado proposto por Hancock, para calcular a
força crítica
de flambagem por distorção dos
perfis formados a frio. Esse modelo simplifica
do dispensa a solução numérica que demanda
ria programas de computador.
Hancock idealizou um modelo de viga
composto apenas pela mesa do perfil e do seu
enrijecedor, submetido à compressão. A ligação
da mesa com a alma é representada por dois
apoios de molas, um para restringir à rotação e
outro para restringir o deslocamento horizontal,
conforme esquematizado na figura 5.3. Esse
modelo procura considerar, de forma aproxima
da, a influência da alma sobre a mesa compri
mida, por meio de coeficientes de mola k f e x k ,
respectivamente, à rotação e translação. É fácil
notar que quanto mais esbelta for a alma (maior
b w /t), menor serão os valores de e k f e x k .
A partir desse modelo matemático, com
algumas simplificações, é possível determinar
se a tensão crítica de distorção do perfil e, con
seqüentemente, a força normal e o momento
fletor críticos. Esses esforços podem ser deter
minados conforme os itens 7.7.3 e 7.8.1.3 da
NBR 14762.
47
(eq. 5.5)
O coeficiente de mola à rotação (equação
5.4) depende do valor da tensão no qual a alma
está solicitada. Quanto maior for essa tensão,
menor será a restrição que ela poderá oferecer
para a mesa. No caso da compressão uniforme
admitese que o perfil está sob tensão unifor
me, o que significa que a alma estará solicitada
a, no máximo, à tensão σ dist . Sendo assim, é
necessário fazer uma iteração para a obtenção
da tensão crítica da flambagem por distorção.
Admitese, inicialmente, que k f = 0 ao substituir
a equação 5.2 pela equação 5.5 para a obten
ção do primeiro valor de σ dist da iteração . A se
guir, com o valor da primeira tensão crítica en
contrada calculase o (equação 5.4) e, em fim,
calculase σ dist .
Sendo assim, é necessário fazer esta pe
quena interação na obtenção da tensão crítica
da flambagem por distorção. Admitise inicial
mente que a rigidez k f = 0 ao substituir a
equação 5.2 pela equação 5.5 na obtenção do
primeiro σ dist . Depois com a primeira tensão
crítica encontrada calculase o k f (equação 5.4)
e, em fim, calculase σ dist definitivo admitindo,
desta vez, a contribuição da rigidez a rotação
que a alma exerce sobre a mesa.
As propriedades geométricas do modelo
estudado, A d ; I x ; I y ; I xy ; I t ; h x e h y devem ser calcu
ladas para a seção transversal constituída ape
nas pela mesa e do enrijecedor de borda (figu
ra 5.4), cujas expressões são apresentadas a
seguir:
Figura 5.4 – Propriedades geométrica da mesa e o
enrijecedor de borda
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷ ÷
ø
ö
ç ç
è
æ
+
s
-
+
= f
2
2
d
2
w
d
2
w
2
dist
d w
3
L b
L b
Et
11 , 1
1
) L 06 , 0 b ( 46 , 5
Et
k
a1 = (h/b1)(b2 + 0,039It Ld 2 ) As expressões para o cálculo da tensão
crítica de distorção,σ dist , encontramse no anexo
D da NBR 14762 e são apresentada a seguir.
5.1 Seção do tipo U enrijecido
submetida à compressão uniforme
Para as seções transversais com relação
b f / b w compreendida entre 0,4 e 2,0 a tensão
crítica à distorção pode se determinada por
meio da equação 5.1.
s dist = (0,5E/A d ){a 1 + a 2 – [(a 1 + a 2 )
2 4 3 ]
0,5 }
(eq. 5.1)
Onde:
a 1 = (h/b 1 )(b 2 + 0,039I t L d
2 ) + k f /(b 1 hE)
(eq. 5.2)
a 2 = h(I y 2 y o b 3 /b 1 )
a 3 = h(a 1 I y hb 3
2 /b 1 )
b 1 = h x
2 + (I x + I y )/A d
b 2 = I x b f
2
b 3 = I xy b f
b 4 = b 2 = I x b f
2
h = (p/L d )
2
L d = 4,8(b 4 b w /t
3 ) 0,25 (eq.5.3)
Sendo L d o comprimento teórico da semi
onda na configuração deformada.
(eq. 5.4)
dist pode ser calculada, em primeira apro
ximação, pela equação 5.1 coma 1 conforme in
dicado na equação 5.5.
σ
48
Flambagem por distorção da seção transversal
A d = (b f + D)t
I x = b f t
3 /12 + tD 3 /12 + b f t h y
2 + Dt(0,5D +
h y )
2
I y = tb f
3 /12 + Dt 3 /12 + Dt(b f + h x )
2 + b f t(h x
+ 0,5b f )
2
I xy = b f t h y (0,5b f + h x ) + Dt(0,5D + h y )(b f +
h)
I t = t
3 (b f + D)/3
h x = 0,5(b f
2 + 2b f D)/(b f + D)
h y = 0,5D
2 /(b f + D)
b f ; b w ; D ; t são indicados na figura 5.2.
Outro fator que deve ser observado na aná
lise da flambagem por distorção é o limite de
validade das expressões normatizadas, ou seja,
0,4 < b f / b w < 2,0. Essa limitação se deve à
calibaração da equação 5.4 para o cálculo de
k f . Para perfis fora dessa faixa é necessário
empregar métodos mais precisos.
A tabela 5.1 indica as dimensões mínimas
que deve ter o enrijecedor de borda (em rela
ção a dimensão da alma, D/b w ) de perfis Ue de
forma a dispensar maiores verificações à
flambagem por distorção. Essa tabela, retirada
do anexo D da NBR 14762, foi construída com
base nas tensões críticas de flambagem, em
regime elástico, pelo método das faixas finitas.
Para cada modo de flambagem, global, local ou
distorcional, há uma tensão crítica diferente (veja
a figura 7.2).
As dimensões recomendadas pelas
tabela 5.1 garantem que o modo distorcional não
será o modo crítico de flambagem .
A tabela 5.1 é válida para barras em que
L x , L y e L t são iguais. As barras em que os com
primentos de flambagem mencionados são di
ferentes, por exemplo, barras com travamentos
intermediários, devem ser verificados à
distorção pela equação 5.1
Exemplo 08: (exemplo de utilização da tabela
5.1)
Qual deve ser o comprimento mínimo do
enrijecedor do perfil Ue 200x100xDx3 mm de
uma barra submetida à compressão centrada
para não ser necessário a verificação da
flambagem por distorção?
Da tabela 5.1, por interpolação linear, temse:
b w / t
b
f
/ b
w
100 67 50
0,4 0,04 0,0664 0,08
0,5 0,0929
0,6 0,06 0,1194 0,15
100
0,5
200
f
w
b
b = =
200
67
3
w b
t = =
0,0929
w
D
b = è D= 0,0929 . 200= 18,58 mm
Tabela 5.1 – Valores mínimos da relação D/b w
de seções do tipo U enrijecido submetida à
compressão centrada para dispensar a verifi
cação da flambagem por distorção.
49
Para uma barra onde os comprimentos de
flambagem são iguais, L x =L y =L t , o menor valor
de enrijecedor de borda para dispensar a verifi
cação da flambagem por distorção é D= 19mm.
5.2 Seções do tipo U enrijecido e Z
enrijecido submetidas à flexão em
relação ao eixo perpendicular à alma
A tensão crítica de flambagem elástica por
distorção σ dist para seções do tipo U enrijecido
e do tipo Z enrijecido submetidas à flexão em
relação ao eixo perpendicular à alma pode ser
determinada conforme a equação 5.1 substitu
indose apenas as equações de L d (eq. 5.3) e
k f (eq. 5.4) pelas equações 5.6 e 5.7
respectivamente.
L d = 4,8(0,5I x b f
2 b w /t
3 ) 0,25 (eq. 5.6)
(eq. 5.7)
De mesma forma que no caso da compres
são uniforme, σ dist deve ser calculada, em pri
meira aproximação utilizandose a equação 5.1,
mas substituindo a equação de 5.2 pela equa
ção 5.5.
Se o valor de k f . resultar negativo, k f .
deve ser novamente calculado com σ dist =0.
Se o comprimento livre à flambagem por
distorção (L dist distância
entre seções com res
trição total à distorção da mesa comprimida) for
inferior a L d teórico, calculado conforme equa
ção 5.6, então L d pode ser substituído pelo com
primento livre à flambagem por distorção.
A tabela 5.2 indica as dimensões mínimas
que deve ter o enrijecedor de borda (em rela
ção a dimensão da alma, D/b w ) de perfis Ue e
Ze de forma a dispensar maiores verificações
à flambagem por distorção . Essa tabela foi re
tirada do anexo D da NBR 14762.
Tabela 5.2 – Valores mínimos da relação
D/b w de seções do tipo U enrijecido e Z
enrijecidos submetida à flexão para dispensar
a verificação da flambagem por distorção.
Exemplos para o cálculo da tensão de
distorção no perfil:
Exemplo 09 Cálculo da tensão crítica de
flambagem elástica à distorção do perfil padro
nizado Ue 250x100x25x2.65 mm submetido ao
esforço normal de compressão:
1 Cálculo de σ dist [NBR 14762Anexo D]
NBR 14762 Anexo D3: Seções Ue submeti
dos a compressão uniforme
t=0,265 cm b w =25 cm b f =10 cm
D=2,5 cm E=20500 kN/cm 2
Propriedades geométricas da mesa e
enrijecedor (ver item 5.1 e figura 5.4):
A d = 3,05661 cm
2 I x = 1,00392 cm
4
I y = 28,20113 cm
4
I xy = 2,83349 cm
4 I t = 0,07145 cm
4
C w = 0,00079 cm
6
h x = 5,556 cm h y = 0,2454 cm
x 0 = 3,73896 cm y 0 =0,24098 cm
Equação da tensão crítica de flambagem
elástica por distorção é dada por (eq. 5.1):
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷ ÷
ø
ö
ç ç
è
æ
+ +
s
-
+
= f 2
w
2
d
4
w
4
d
2
d
4
w
2
dist
d w
3
b L 39 , 13 b 192 , 2 L 56 , 12
L b
Et
11 , 1
1
) L 06 , 0 b ( 73 , 2
Et
k
sdist = (0,5E/Ad){a1 + a2 – [(a1 + a2) 2 4a3] 0,5 }
50
Flambagem por distorção da seção transversal
b 4 = b 2 = I x b f
2 = 1,004 . 10 2
b 4 =100,392
b 2 =100,392
comprimento teórico da semionda na configu
ração deformada:
L d = 4,8(b 4 b w /t
3 ) 0,25
L d = 4,8(100,392 . 25 /0,265
3 ) 0,25
L d =91,985 cm
h = (p/L d )
2 = (p/91,985) 2
h=0,0011664511
b 1 = h x
2 + (I x + I y )/A d
b 1 = (5,556)
2 + (1,004 + 28,201)/3,057
b 1 =40,4193
b 3 = I xy b f = 2,83349 . 10
b 3 = 28,3349
s dist deve ser calculada em primeira
aproximação com,
a 1 = (h/b 1 )(b 2 + 0,039I t L d
2 )
a 1 = (0,001166 / 40,419)(100,392 + 0,039
. 0,07145.(91,985) 2
a 1,1ªaprox = 0,0035776
a 2 = h(I y 2 y o b 3 /b 1 ) = 0,001166 (28,201 –
2(0,24098).28,33349 / 40,4193)
a 2 =0,033289
a 3 = h(a 1 I y hb 3
2 /b 1 ) = 0,001166
(0,0035776 . 28,20113 0,001166
(28,3349) 2 / (40,4193))
a 3 =0,00009066
Para o primeiro cálculo de s dist
(considerando k f = 0 ):
s dist = (0,5 . 20500 / 3,0566).{0,00358+
0,03329– [(0,00358+0,03329) 2 – 4,0 .
0,0000907] 0,5 }
s dist,1ªaprox =17,70 kN/cm
2
então o coeficiente à rotação da mola para a
tensão calculada será:
k f =1,0336
a 1 = (h/b 1 )(b 2 + 0,039I t L d
2 ) + k f /(b 1 hE)
a 1 = 0,0035776 + 1,0336 / (40,419 .
0,001167 . 20500 )
a 1 =0,0046470723
a 3 = h(a 1 I y hb 3
2 /b 1 ) = 0,00117 (0,004647
. 28,201 0,00117 (28,335) 2 / (40,419))
a 3 =0,0001258402
finalmente o valor da tensão crítica, σ dist :
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷ ÷
ø
ö
ç ç
è
æ
+
s -
+
= f
2
2
d
2
w
d
2
w
2
dist
d w
3
L b
L b
Et
11 , 1
1
) L 06 , 0 b ( 46 , 5
Et
k
( )
( ) ( )
2 3 2
2 2 2
20500. 0, 265 1,11 17,70 25 91,985
1
20500 0, 265 25 91,985 5,46 25 0,06. 91,985
k f
é ù æ ö ´ ´
ê ú = ç ÷ ´ + + ê ú è ø ë û
sdist = (0,5E/Ad){a1 + a2 – [(a1 + a2) 2 4a3] 0,5 }
( ) { } 0,5 2 dist 0,5 20500 = 0,00465+ 0,03329 0,00465 + 0,03329 4 0,0001258 3,057 s ´ æ ö é ù ´ ´ ç ÷ ë û è ø
51
σ dist = 24,63 kN/cm
2
Exemplo 10 Cálculo da tensão crítica de
flambagem elástica à distorção do perfil Ue
150x60x20x2 mm submetido ao esforço de
momento fletor no plano perpendicular a alma:
Ue: b w =15 cm b f =6 cm D=2 cm t=0,2 cm
E= 20500 kN/cm2
1 Cálculo de σ dist [NBR 14762Anexo D]
NBR 14762 Anexo D4: Seções Ue e Ze sub
metidos a flexão em relação ao eixo perpendi
cular à alma
Propriedades geométricas da mesa e enri
jecedor:
A d = 1,454 cm
2 I x = 0,370 cm
4 I y = 4,7879 cm
4
I xy = 0,757 cm
4 I t = 0,01936 cm
4 C w = 0,00014
cm 6
h x = =3,4177 cm h y = 0,2504 cm x 0 = 2,05286
cm
y 0 = 0,24568 cm
Equação da tensão crítica de flambagem
elástica por distorção é dada por (eq. 5.1):
b 4 = b 2 = I x b f
2 = 0,370 . 6 2
b 4 =13,32612
b 2 =13,32612
comprimento teórico da semionda
na configuração deformada:
L d = 4,8(0,5I x b f
2 b w /t
3 ) 0,25
L d = 4,8(0,5 . 0,370 . 6
2 15 / 0,2 3 ) 0,25
L d =50,7469 cm
h = (p/L d )
2 = (p/50,7469) 2
h= 0,0038324789
b 1 = h x
2 + (I x + I y )/A d
b 1 = (3,4177)
2 + (0,370 + 4,7879) / 1,454
b 1 =15,22775
b 3 = I xy b f = 0,757 . 6
b 3 = 4,54386
σ dist deve ser calculada em primeira aproxima
ção com,
σ
1
= (h/b
1
)(b
2
+ 0,039I
t
L
d
2 )
a
1
= (0,0038324789/15,22775)( 13,32612+ 0,039 .
0,01936.( 50,7469) 2
a 1,1ªaprox = 0,0038432481
a 2 = h(I y 2 y o b 3 /b 1 ) = 0,0038324789 (4,7879 –
2(0,24568). 4,54386 / 15,227749)
a 2 = 0,018911515
a 3 = h(a 1 I y hb 3
2 /b 1 ) = 0,003832479
(0,003843248 . 4,7879 0,0038325 (4,5439) 2 /
(15,228))
a 3 = 0,0000506074
Para o primeiro cálculo de σ dist (considerando
k f = 0 ):
σ
dist
= (0,5 . 20500/ 1,454).{ 0,003843+0,01891–
[(0,003843+0,01891) 2 –4,0 . 0,00005061 ] 0,5 }
a
dist,1ªaprox
= 35,22 kN/cm 2
coeficiente de mola à rotação:
k
φ
=3,10215 > 0 (ok!)
sdist = (0,5E/Ad){a1 + a2 – [(a1 + a2) 2 4a3] 0,5 }
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
÷ ÷
ø
ö
ç ç
è
æ
+
s
-
+
= f
2
2
d
2
w
d
2
w
2
dist
d w
3
L b
L b
Et
11 , 1
1
) L 06 , 0 b ( 46 , 5
Et
k
( )
( ) ( )
2 3 2
2 2 2
20500. 0, 2 1,11 35, 218 15 50,749
1
20500 0, 2 15 50,749 5, 46 15 0,06. 50,749
k f
é ù æ ö ´ ´
ê ú = ç ÷ ´ + + ê ú è ø ë û
52
Flambagem por distorção da seção transversal
a 1 = (h/b 1 )(b 2 + 0,039I t L d
2 ) + k f /(b 1 hE)
a 1 = 0,0038432481+ 3,10215 /
(15,2277496434. 0,0038324789.20500)
a 1 = 0,0064361959
a 3 = h(a 1 I y hb 3
2 /b 1 ) = 0,0038432
(0,00384325 . 4,7879 0,003843
(4,54386) 2 / (15,22775))
a 3 = 0,0000981869
σ
dist
= 67,27 kN/cm 2
sdist = (0,5E/Ad){a1 + a2 – [(a1 + a2) 2 4a3] 0,5 }
( ) { } 0,5 2 dist 0,5 20500 = 0,006436+ 0,01891 0,006436+ 0,01891 4 0,000098187 1,454 s ´ æ ö é ù ´ ´ ç ÷ ë û è ø
53
55
Capítulo 6
Dimensionamento à tração
56
Dimensionamento à tração
Antes de adotar os valores das dimensões
dos perfis a serem utilizadas no projeto é ne
cessário estar atento aos limites geométricos
imposto pela norma em especial as relações
largura/espessuras máximas que consta no item
7.1 da NBR 14762:2001.
É apresentada na tabela 6.1 alguns dos
limites impostos pela norma quanto aos valores
máximos da relação larguraespessura:
Tabela 6.1 Valores máximos da relação
larguraespessura para elementos comprimidos
No dimensionamento a tração dos perfis
metálicos são necessários fazer dois tipos de
verificações: a primeira, denominada verifica
ção ao escoamento da seção bruta,
corresponde verificar se, ao longo da barra, as
tensões são menores que o limite de escoamen
to do aço. A segunda verificação, denominada
de verificação da capacidade última da seção
efetiva, é feita na região das ligações, onde exis
te a interferência dos furos para passagem dos
parafusos, que reduzem a área tracionada em
determinadas seções. A excentricidade da en
trada de carga de tração no perfil também é
considerada no dimensionamento. Na região da
ligação, onde o esforço normal é transmitido de
um elemento para outro, as tensões não são, no
caso geral, uniformes na seção. Sendo neces
sário introduzir um coeficiente na expressão do
esforço resistente que represente este efeito, C t .
O valor do coeficiente C t é obtido empiricamente
e a NBR 14762:2001 apresenta tabelas para
sua obtenção. A verificação da capacidade últi
ma da seção efetiva é feita com a tensão última
de ruptura a tração do aço, f u , pois permitese
plastificação na seção para a distribuição das
tensões.
As peças tracionadas não devem ter
índice de esbeltez superior a 300:
r – raio de giração
L – comprimento da barra
k – coeficiente para comprimento de flambagem
A força normal de tração resistente de cál
culo N t,Rd deve ser tomada como o menor valor
entre as equações 6.1 e 6.2:
N t,Rd = Af y / g com g = 1,1 (eq. 6.1)
N t,Rd = C t A n f u / g com g = 1,35 (eq. 6.2)
A área bruta da seção transversal da barra;
A n área líquida da seção transversal da barra.
Para ligações soldadas, considerar An =
A. Nos casos em que houver apenas soldas
transversais (soldas de topo), A n deve ser con
300
kL
r
l = £
( ) 2 0,9 / 4 n f f A A n d t ts g = - + S (eq. 6.3)
57
siderada igual à área bruta da(s) parte(s)
conectada(s) apenas.
d f dimensão do furo,
n f quantidade de furos contidos na linha de rup
tura analisada, figura 6.1;
s é o espaçamento dos furos na direção da
solicitação, figura 6.1;
g espaçamento dos furos na direção perpen
dicular à solicitação, figura 6.1;
t espessura da parte conectada analisada
C t coeficiente de redução de área líquida con
forme item 7.6.1 da NBR 14762:2001 mostra
dos nas tabelas 6.2 a 6.4.
Tabela 6.2 Chapas com ligações parafusadas
Figura 6.1 – Linha de ruptura
d diâmetro nominal do parafuso;
Em casos de espaçamentos diferentes,
tomar sempre o maior valor de g para cálculo de
C t ;
Nos casos em que o espaçamento entre
furos g for inferior à soma das distâncias entre
os centros dos furos de extremidade às respec
tivas bordas, na direção perpendicular à solici
tação (e 1 + e 2 ), C t deve ser calculado substituin
do g por e 1 + e 2 .
Havendo um único parafuso na seção ana
lisada, C t deve ser calculado tomandose g como
a própria largura bruta da chapa.
Nos casos de furos com disposição em zig
zag, com g inferior a 3d, C t deve ser calculado
tomandose g igual ao maior valor entre 3d e a
soma e 1 + e 2 .
Tabela 6.3 Chapas com ligações soldadas
Figura 6.2 – Ligações parafusadas
Figura 6.3 – Ligações soldadas
58
Dimensionamento à tração
Tabela 6.5 – Perfis com ligações parafusadas
b largura da chapa;
L comprimento da ligação parafusada (figura
6.2) ou o comprimento da solda (figura 6.3);
x excentricidade da ligação, tomada como a
distância entre o plano da ligação e o centróide
da seção transversal do perfil (figuras 6.2 e 6.3).
Exemplos de tirantes:
Exemplo 11 Cálculo da capacidade resisten
te à tração de um tirante de 3,5 m de compri
mento em perfil padronizado L 100x40x2 mm,
com a ligação feita por meio de 4 parafusos com
diâmetro de 12,5 mm na alma conforme dispos
tos na figura abaixo: Adotar aço f y = 25 kN/cm
2 e
f u = 40 kN/cm
2
1) Verificação ao escoamento da seção bruta:
N t,Rd = Af y / g
A= 3,468 cm 2
f y = 25,0 kN/cm
2
g = 1,1
N t,Rd = 3,468
. 25,0 / 1,1 = 78,83 kN
2) Verificação da ruptura da seção efetiva:
N t,Rd = C t A n f u / g
g = 1,35
( ) 2 0,9 / 4 n f f A A n d t ts g = - + S
n f = 2
d f = 1,25+0,15 cm
s = 3 cm
g = 4 cm
C t – tabela 6.2 – perfis com ligações parafusa
das:
Perfis U com dois ou mais parafusos na dire
ção da solicitação
C t = 1 – 0,36(x/L) < 0,9 (porém, não inferior a
0,5)
L = 3+3+3 = 9 cm x = 0,98 cm (coordenada
do centro geométrico)
Ct = 1 – 0,36 (0,98 / 9) = 0,96
N t,Rd = 0,96 . 2,72 . 40 / 1,35 = 77,36 kN
N t,Rd é o menor valor calculado:
N t,Rd = 77,36 kN
Verificação da esbeltez da barra:
r min = r y = 1,23
2 0, 2.3
0,9 3,468 2.(1, 25 0,15).0, 2
4.4
æ ö
= - + + ç ÷
è ø
n A =2,72 cm 2
300
kL
r
l = £ à 1 350 300
1, 23
l × = £ à 285 300 l = £ ok!
2
2
dois ou mais
parafusos
dois ou mais
parafusos
59
Exemplo 12 Cálculo da capacidade resisten
te à tração de um tirante de 5,0 m de compri
mento em perfil padronizado L 100x4,75 mm,
com a ligação feita com 2 parafusos com diâ
metro de 16 mm conforme dispostos na figura
abaixo: Adotar aço f y = 25 kN/cm
2 e f u = 40 kN/
cm 2
(r min = 1,95 cm)
1) Verificação ao escoamento da seção bruta:
N t,Rd = Af y / g
A= 9,129cm 2
f y = 25,0 kN/cm
2
g = 1,1
N t,Rd = 9,129
. 25,0 / 1,1
N t,Rd = 207,47 kN
2) Verificação da ruptura da seção efetiva:
N t,Rd = C t A n f u / g
g = 1,35
( ) 2 0,9 / 4 n f f A A n d t ts g = - + S
n f = 1
d f = 1,6+0,15 cm
s = 0; neste caso a linha de ruptura abrange
apenas um furo (figura 6.1 linha de ruptura 2)
( ) 0,9 9,129 1.(1,6 0,15).0, 475 0 = - + + n A = 7,47
cm 2
C t – tabela 6.2 – perfis com ligações parafusa
das:
Perfis L com dois ou mais parafusos na direção
da solicitação
C t = 1 – 1,2(x/L) < 0,9 (porém, não inferior a 0,4)
L = 4 cm x = 2,48 cm (coordenada do centro
geométrico)
C t = 1 – 1,2 (2,48 / 4) = 0,25 à C t = 0,4
N t,Rd = 0,4 . 7,47 . 40 / 1,35 = 88,53 kN
N t,Rd é o menor valor calculado:
N t,Rd = 88,53 kN
Verificação da esbeltez da barra:
r min = 1,95
300
kL
r
l = £ à
1 500
300
1,95
l
×
= £ à 256 300 l = £ ok!
61
Capítulo 7
Dimensionamento à
compressão
62
Dimensionamento à compressão
Barras comprimidas estão sujeitas à
flambagem por flexão (ou flambagem de Euler),
à flambagem por torção ou à flambagem por
flexotorção. Essas denominações devemse às
formas da deformação póscritíca, como se pode
ver na figura 7.1
O aumento da esbeltez da barra diminui
sua capacidade para resistir aos esforços
solicitantes. Isso significa que a máxima tensão
que poderá atuar num elemento de chapa será
a tensão crítica de flambagem global e não mais
a tensão de escoamento do aço, máx s = crít s . As As
larguras efetivas dos elementos da seção são,
portanto, calculadas para esse valor de tensão.
Em peças excessivamente esbeltas a ten
são crítica de flambagem global é muito peque
na, menor que da flambagem local (figura 7.1a),
não havendo redução das larguras efetivas, a
seção efetiva é a própria seção bruta. Nesses
casos é a flambagem global que determina a
capacidade resistente do perfil.
Em peças curtas as cargas críticas da
flambagem global são altíssimas e a capacida
de resistente do perfil é determinada pela resis
tência do material (o aço) somado aos efeitos
da flambagem local.
a) flambagem por torção b) flambagem por flexotorção
Figura 7.1
Figura 7.3 Perfil que não ocorre a flambagem distorcional
Figura 7.2 Perfil que ocorre a flambagem distorcional
Para uma faixa de esbeltez intermediária
da barra, não excessivamente esbelta ou curta,
pode ocorrer um fenômeno que é desacoplado
da flambagem local e global: a flambagem por
distorção. A ocorrência desse fenômeno depen
de da geometria da seção transversal e do com
primento longitudinal da barra comprimida ou
fletida (L x , L y e L t ). Existem perfis em que a
flambagem por distorção não ocorre. Isso acon
tece quando o comprimento crítico para a
flambagem distorcional (L dist crítico) é elevado o
suficiente para ocasionar flambagem global an
tes de atingir esse comprimento, (figura 7.3).
As figuras 7.2 e 7.3 mostram exem
plos de curvas da capacidade resistente e com
primento de barras submetidas à compressão
centrada. Os modos de flambagens que ocor
rem para cada comprimento da barra são iden
tificados. O perfil representado na figura 7.2 terá
ocorrência de flambagem por distorção quando
seu comprimento estiver dentro de uma peque
na faixa próximo ao comprimento de distorção
crítico, L d . Os valores apresentados nas tabelas
das relações mínimas b w /D para se dispensar a
verificação da flambagem por distorção, foram
extraídas de análises desse tipo, utilizando um
63
programa de faixas finitas para encontrar os
esforços críticos e identificar os casos onde N dist
< N 0 , conforme a figura 7.3.
Cálculo da capacidade resistente de bar
ras submetidas à compressão centrada confor
me a norma brasileira NBR 14762:2001:
A força normal de compressão resistente
de cálculo N c,Rd deve ser tomada como o menor
valor calculado entre:
1 – Força normal resistente de cálculo pela
flambagem da barra por flexão, por torção ou
por flexotorção.
2 Força normal resistente de cálculo pela
flambagem por distorção da seção transversal.
A primeira verificação engloba a interação
dos modos de flambagem global e local do per
fil. A flambagem por distorção ocorre de modo
independente das demais e de forma súbita,
sendo sua verificação realizada em separado
na segunda verificação.
7.1 – Força normal resistente de
cálculo pela flambagem da barra por
flexão, por torção ou por flexotorção.
Processo de cálculo NBR 14762:2001:
1 Cálculo das propriedades geométricas da
seção bruta (A, I x , I y , C w , r x , r y )
2 Cálculo da força normal de compressão elás
tica, N e (sempre considerando a seção bruta)
3Cálculo de λ 0 =
y
e
f
N
bruta A
aproximado – (equa
ção 7.3)
4 Cálculo de ρ usando λ 0 aproximado – (equa
ção 7.2)
5 Cálculo de A ef com σ = ρ*f y
( ) 0 5 2 2 0
1
1 0 , , r
b b l
= £
+ -
(eq. 7.4)
( ) 2 0 0 0 5 1 0 2 , , b a l l é ù = + - + ë û
0
ef y
e
A f
N
l = (eq. 7.5)
6 Cálculo de λ 0 =
y
e
f
N
ef A
(2º cálculo de λ 0 ).
7 Cálculo de ρ usando o segundo valor de λ 0 (2º
cálculo de ρ).
8Cálculo da força resistente ,
y ef
c Rd
f A
N
r
g
= (eq.
7.3)
A força normal de compressão resistente
de cálculo N c,Rd deve ser calculada por:
N c,Rd = r A ef f y / g ,com g = 1,1 (eq. 7.1)
ρ fator de redução associado à flambagem
calculado pela equação 7.2 ou por meio das tabelas
7.2 a 7.4.
(eq. 7.2)
a é o fator de imperfeição inicial. Nos ca
sos de flambagem por flexão, os valores de a
variam de acordo com o tipo de seção e o eixo
da seção em torno do qual a barra sofrerá flexão
na ocorrência da flambagem global. Os valores
de a são obtidos, conforme tabela 7.1 (Tabela 7
da NBR 14762), sendo:
curva a:a = 0,21
curva b:a = 0,34
curva c: a = 0,49
Nos casos de flambagem por torção ou
por flexotorção, devese tomar a curva b.
l 0 é o índice de esbeltez reduzido para
barras comprimidas, dado por:
(eq. 7.3)
64
Dimensionamento à compressão
A ef é a área efetiva da seção transversal
da barra, calculada com base nas larguras efe
tivas dos elementos, adotando s = rf y . Para o
primeiro cálculo de r pode ser adotado de for
ma aproximada, A ef = A para o cálculo de l 0 .
N e é a força normal de flambagem elásti
ca da barra, calculado conforme item 7.7.2 da
NBR 14762, conforme mostrase a seguir:
7.1.1 Cálculo de Ne em perfis com dupla
simetria ou simétricos em relação a um ponto
A força normal de flambagem elástica N e
é o menor valor entre:
C w constante de empenamento da seção;
E módulo de elasticidade;
G módulo de elasticidade transversal;
I t momento de inércia à torção uniforme;
K x L x comprimento efetivo de flambagem por
flexão em relação ao eixo x;
K y L y comprimento efetivo de flambagem por
flexão em relação ao eixo y;
K t L t comprimento efetivo de flambagem por
torção. Quando não houver garantia de impedi
mento ao empenamento, devese tomar K t igual
a 1,0.
r 0 é o raio de giração polar da seção bruta em
relação ao centro de torção, dado por:
r 0 = [r x
2 + r y
2 + x 0
2 + y 0
2 ] 0,5 (eq. 7.7)
r x ; r y raios de giração da seção bruta em
relação aos eixos principais de inércia x e y,
respectivamente;
x 0 ; y 0 coordenadas do centro de torção
na direção dos eixos principais x e y, respecti
vamente, em relação ao centróide da seção.
7.1.2 Cálculo de Ne em perfis
monossimétricos
A força normal de flambagem elástica N e
de um perfil com seção monossimétrica, cujo
eixo x é o eixo de simetria, é o menor valor en
tre:
Caso o eixo y seja o eixo de simetria, bas
ta substituir y por x e x 0 por y 0
7.1.3 Cálculo de Ne em perfis
assimétricos
A força normal de flambagem elástica N e
de um perfil com seção assimétrica é dada pela
menor das raízes da seguinte equação cúbica:
r 0
2 (N e N ex )(N e N ey )(N e N et ) N e
2 (N e N ey )x 0
2
N e
2 (N e N ex )y 0
2 = 0
(eq.7.10)
N ex ; N ey ; N et ; x 0 ; y 0 ; r 0 conforme definidos pelas
equações 7.4 a 7.6.
2
2
) ( x x
x
ex
L K
EI
N
p
= (eq. 7.6)
2
2
) ( y y
y
ey
L K
EI
N
p
= (eq. 7.7)
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+ = t
t t
w
et GI
L K
EC
r
N
2
2
2
0 ) (
1 p
(eq. 7.8)
2
2
) ( y y
y
ey
L K
EI
N
p
= (eq. 7.10)
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
-
- -
-
+
=
2
2
0 0
2
0 0 ) (
] ) / ( 1 [ 4
1 1
] ) / ( 1 [ 2 et ex
et ex et ex
ext
N N
r x N N
r x
N N
N (eq. 7.11)
(eq. 7.4)
(eq. 7.5)
(eq. 7.6)
(eq. 7.8)
(eq. 7.9)
65
.11)
66
Dimensionamento à compressão
67
Exemplos de cálculo de pilares submeti
do à compressão:
Exemplo 13 Cálculo da capacidade resisten
te a esforços de compressão do montante de
uma treliça de seção do tipo U 100x50x2,0 mm
e comprimento de 1,5m. Sem travamentos in
termediários, apenas as ligações nas extremi
dades (k x =k y =k t =1,0):
f y = 25 kN/cm
2 E= 20500 kN/cm 2
G= 7884,615 kN/cm 2
Barras submetidas à compressão centrada
[NBR 147627.7]
1 Flambagem da barra por flexão, por torção
ou por flexotorção [NBR 147627.7.2]
1.1 Cálculo Ne
L x = 150 cm L y = 150 cm L t = 150 cm
r 0 = 5,298 cm x 0 = 3,108 cm
I x =61,491 cm
4 I y =9,726 cm
4 I t =0,052 cm
4
C w =159,068 cm
6 A=3,87cm 2
N ex = 552,95 kN
N ey = 87,46 kN
N et = 65,43 kN
Perfil monosimétrico: em relação ao eixo X
[NBR14762 7.7.2.2]
2
2
) ( x x
x
ex
L K
EI
N
p
= =
2
2
20500 61 491
150
,
( )
p ×
2
2
) ( y y
y
ey
L K
EI
N
p
= =
2
2
20500 9 726
150
,
( )
p ×
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+ = t
t t
w
et GI
L K
EC
r
N
2
2
2
0 ) (
1 p
=
2
2 2
1 20500 159 068
7884 61 0 052
5 298 150
,
, ,
, ( )
p é ù ×
+ × ê ú
ë û
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
-
- -
-
+
=
2
2
0 0
2
0 0 ) (
] ) / ( 1 [ 4
1 1
] ) / ( 1 [ 2 et ex
et ex et ex
ext
N N
r x N N
r x
N N
N
68
0
ef y
e
A f
N
l = = 3 87 25
62 67
,
,
×
λ0= 1,242
( ) 2 0 5 1 0 34 1 242 0 2 1 242 , , , , , b é ù = + - + ë û
β = 1,448
Dimensionamento à compressão
N ext = 62,67 kN
N e é o menor valor entre N ey e N ext :
N e = 62,67 kN
modo de flambagem global: flexotorção
Nos casos de flambagem por torção ou por
flexotorção, devese tomar a curva b – 0 34 , a = .
Cálculo do λ 0 aproximado (calculado com a área
efetiva igual a área da seção bruta):
A ef = A b = 3,87cm
2
ρ = 0,456 (aproximado, calculado com A
ef
= A)
σ = ρ .f
y
= 11,39 kN/cm 2 (com ρ aproximado)
Cálculo da área efetiva com a tensão = 11,39
kN/cm 2 :
Largura efetiva das mesas
Elemento AL
b= 4,4 cm
σ 1 = 11,39 kN/cm2
σ 2 = 11,39 kN/cm2
ψ = 1
Tabela 4.3 caso a: k= 0,43 (NBR14762 Tab05)
λ
p
(b=4,6 t=0,2 k=0,43 =11,39 ):
λ p =0,870 [λ p > 0,673]
b ef = 3,949 cm
Largura efetiva da alma
Elemento AA
b= 9,2 cm
σ 1 = 11,39 kN/cm2
σ 2 = 11,39 kN/cm2
ψ = 1
Tabela 4.2 caso a: k= 4 (NBR14762 Tab04)
λ p (b=9,2 t=0,2 k=4 σ=11,39 ):
λ p =0,571 [λ p < 0,673]
b ef = 9,2 cm
b ef = b
Portanto,
A ef = 3,61 cm
2
Cálculo de λ 0 final
2
2 2
552 95 65 43 4 552 95 65 43 1 3 108 5 298
1 1
2 1 3 108 5 298 552 95 65 43
, , , , [ ( , / , ) ]
[ ( , / , ) ] ( , , ) ext
N
é ù + × × - -
= - - ê ú
- - + ê ú ë û
( ) 0 5 2 2 0
1
1 0 , , r
b b l
= £
+ -
( ) 0 5 2 2
1
1 0
1 448 1 448 1 242
, ,
, , ,
r = £
+ -
0
ef y
e
A f
N
l = = 3 61 25
62 67
,
,
×
λ0= 1,20
( ) 2 0 5 1 0 34 1 2 0 2 1 2 , , , , , b é ù = + - + ë û
β = 1,39
( ) 0 5 2 2 0
1
1 0 , , r
b b l
= £
+ -
( ) 0 5 2 2
1
1 0
1 39 1 39 1 2
, ,
, , ,
r = £
+ -
ρ = 0,478
γ = 1,1
,
y ef
c Rd
f A
N
r
g
=
,
0,478 25 3,61
1,1
× ×
= c Rd N
Nc,rd= 39,22 kN
69
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+ = t
t t
w
et GI
L K
EC
r
N
2
2
2
0 ) (
1 p
=
2
2 2
1 20500 12951 32
7884 61 0 268
11 868 150
,
, ,
, ( )
p é ù ×
+ × ê ú
ë û
Exemplo14 Cálculo da capacidade resisten
te de flambagem por flexão de um pilar com
seção do tipo Ue 200x100x25x2,65 mm e com
primento de 3,0m com um travamento no meio
do vão na direção de menor inércia (k x = 1,0 k y =
k t =0,5):
f y = 25 kN/cm
2 E= 20500 kN/cm 2
G= 7884,615 kN/cm 2
1 Flambagem da barra por flexão, por torção
ou por flexotorção [NBR 147627.7.2]
1.1 Cálculo N e
L x = 300 cm L y = 150 cm
L t = 150 cm
r 0 = 11,868 cm x c = 7,858 cm
y c = 0 cm
I x =749,504 cm
4 I y =157,365 cm
4
I t =0,268 cm
4
C w =12951,323 cm
6 A=11,463 cm 2
N ex = 1684,942 kN
N ey = 1415,074 kN
N et = 841,839 kN
Perfil monosimétrico: em relação ao eixo X
[NBR14762 7.7.2.2]
N ext = 657,444 kN
Para perfis monossimétricos N e é o menor valor
entre N ey e N ext :
N e = 657,44 kN
modo de flambagem global: flexotorção
Nos casos de flambagem por torção ou por
flexotorção, devese tomar a curva b à 0 34 , a = .
Cálculo do λ 0 aproximado (calculado com a área
efetiva igual a área da seção bruta):
A ef = A b = 11,463 cm
2
ρ = 0,806 (aproximado, calculado com A
ef
= A)
σ= ρ.f
y
= 20,14 kN/cm 2 (com ρ aproximado)
Cálculo da área efetiva com a tensão ó= 20,14
kN/cm 2 :
Largura efetiva dos enrijecedores de borda:
Elemento AL
b= 1,97 cm
σ 1 = 20,14 kN/cm
2
σ 2 = 20,14 kN/cm
2
2
2
) ( x x
x
ex
L K
EI
N
p
= =
2
2
20500 749 50
300
,
( )
p ×
2
2
) ( y y
y
ey
L K
EI
N
p
= =
2
2
20500 157 36
150
,
( )
p ×
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
-
- -
-
+
= 2
et ex
2
0 0 et ex
2
0 0
et ex
ext ) N N (
] ) r / x ( 1 [ N N 4
1 1
] ) r / x ( 1 [ 2
N N
N
2
2 2
1684 94 841 83 4 1684 94 841 83 1 7 85 11 86
1 1
2 1 7 85 11 86 1684 94 841 83
, , , , [ ( , / , ) ]
[ ( , / , ) ] ( , , ) ext
N
é ù + × × - -
= - - ê ú
- - + ê ú ë û
0
ef y
e
A f
N
l = = 11 46 25
657 44
,
,
×
λ0= 0,66
( ) 2 0 5 1 0 34 0 66 0 2 0 66 , , , , , b é ù = + - + ë û
β = 0,796
( ) 0 5 2 2 0
1
1 0 , , r
b b l
= £
+ -
( ) 0 5 2 2
1
1 0
0 796 0 796 0 66
, ,
, , ,
r = £
+ -
70
ψ = 1 à Tabela 4.3 caso a (NBR14762 Tabela05)
k= 0,43
λ
p
= 0,37
[λ
p
> 0,673]
b ef = 1,97 cm
b ef = b
Largura efetiva das mesas
NBR14762. 7.2.2.2 Elemento com enrijecedor
de borda:
σ
1
= 20,14 kN/cm2
σ 2 = 20,14 kN/cm2
b=8,94 cmD=2,5 cm t=0,265 cm
d ef =1,97 cm d=1,97 cm σ=20,14 kN/cm
2
I s = 0,1688 cm4
λ p0 =1,69
Como 0,673 < λ p0 < 2,03, então:
Caso II:
( ) 3 4 0 400 0, 49 0,33 a p I t l = - =
( ) 3 4 400 0, 265 0, 49 1,69 0,33 ´ ´ -
I a =0,2492 cm
4
Dimensionamento à compressão
k=3,24
λ p (b=8,94 t=0,265 k=3,24 σ=20,14 ):
λ p =0,617 [λ p < 0,673]
b ef =8,94 cm
b ef = b
como I s < I a , então:
d s = 0,677 . 1,97 = 1,33 cm
d s =1,33 cm
Largura efetiva elemento da alma
Elemento AA
b= 18,94 cm
σ 1 = 20,14 kN/cm2
σ 2 = 20,14 kN/cm2
ψ = 1
– Tabela 4.2 – caso a à k= 4
λ p (b=18,94 t=0,265 k=4 σ=20,14 ):
b ef,1 = 6,53 cm
b ef,2 = 6,53 cm
Área da seção efetiva: A ef = 9,57 cm
2
Cálculo de λ 0 final
1,97
0, 265
0, 43 20500
0,95 0,95
20,14
l = =
× p
y
b
t
kE
f
0
8,94
0, 265
20500
0,623 0,623
25
l = = p
y
b
t
E
f
2,8
5,25 5 5, 25 5 4,0
8,94
æ ö æ ö = - = - £ ç ÷ ç ÷ è ø è ø
a
D
k
b
s
s ef ef
a
I
d d d
I
= £
18,94
0, 265
4.20500
0,95
25
l = p =1,179 [λp > 0,673]
0, 22
18,94 1
1,179
1,179
æ ö - ç ÷
è ø = ef b = 13,06 cm
0
ef y
e
A f
N
l = = 9 57 25
657 44
,
,
×
71
ρ= 0,835
γ = 1,1
,
y ef
c Rd
f A
N
r
g
=
,
0,835 25 9,57
1,1
× ×
= c Rd N
Nc,rd= 181,70 kN
λ0= 0,603
( ) 2 0 5 1 0 34 0 603 0 2 0 603 , , , , , b é ù = + - + ë û
β = 0,75
7.2 – Força normal resistente de
cálculo pela flambagem por distorção
da seção transversal
Para as barras com seção transversal
aberta sujeitas à flambagem por distorção, a
força normal de compressão resistente de cál
culo N c,Rd deve ser calculada pelas expressões
seguintes:
A é área bruta da seção transversal da
barra;
l dist é o índice de esbeltez reduzido referen
te à flambagem por distorção, dado por:
para l dist < 1,414
N c,Rd = Af y {0,055[l dist – 3,6]
2 + 0,237}/ g
σ dist é a tensão convencional de flambagem
elástica por distorção, calculada pela teoria da
estabilidade elástica ou conforme anexo D da
NBR 14762.
Exemplo15 Cálculo da capacidade re
sistente de flambagem por distorção de um pi
lar com seção do tipo Ue 200x100x25x2,65 mm
e comprimento de 3,0m:
f y = 25 kN/cm
2 E= 20500 kN/cm 2
G= 7884,615 kN/cm 2
Flambagem por distorção da seção transversal
[NBR 147627.7.3]:
1.1 Cálculo da tensão crítica de flambagem por
distorção, σ dist (Capítulo 4.2)
NBR 14762 Anexo D3: Seções Ue submeti
dos a compressão uniforme
t=0,265 cm b w =20 cm b f =10 cm D=2,5 cm
E=20500 kN/cm 2
Propriedades geométricas da mesa e
enrijecedor:
A d =3,05 cm
2 I x =1,003 cm
4 I y =28,201 cm
4
I xy =2,833 cm
4
I t =0,0714 cm
4 C w =0,000 cm
6 h x =5,555 cm
h y =0,245 cm x 0 =3,74 cm y 0 =0,2409 cm
( ) 0 5 2 2 0
1
1 0 , , r
b b l
= £
+ -
( ) 0 5 2 2
1
1 0
0 75 0 75 0 603
, ,
, , ,
r = £
+ -
Nc,Rd = Afy (1 – 0,25ldist 2 ) / g
para 1,414 £ ldist £ 3,6
onde, g =1,1
l dist = (f y /s dist )
0,5
72
Dimensionamento à compressão
Equação da tensão crítica de flambagem
elástica por distorção é dada por (eq. 4.1):
comprimento teórico da semionda na con
figuração deformada:
λ
dist
deve ser calculada em primeira aproximação
com,
então o coeficiente à rotação da mola para a
tensão calculada será:
1.2 – Cálculo da força resistente:
sdist = (0,5E/Ad){a1 + a2 – [(a1 + a2) 2 4a3] 0,5 }
b4 = b2 = Ixbf 2 = 1,004 . 10 2
β4=100,392 β2= β4= 100,392
Ld = 4,8(b4 bw /t 3 ) 0,25
Ld = 4,8(100,392 . 20 /0,265 3 ) 0,25
Ld=86,99 cm
h = (p/Ld) 2 = (p/86,99) 2
η=0,001304
b1 = hx 2 + (Ix + Iy)/Ad
b1 = (5,556) 2 + (1,004 + 28,201)/3,057
β1=40,4193
b3 = Ixybf = 2,83349 . 10
β3= 28,3349
a1 = (h/b1)(b2 + 0,039It Ld 2 )
a1 = (0,001304 / 40,419)(100,392 +
0,039 . 0,07145.(86,99) 2
α1,1ªaprox= 0,003919
a2 = h(Iy 2 yob3/b1) = 0,001304 (28,201 –
2(0,2409).28,33349 / 40,4193)
α2=0,037218
a3 = h(a1Iy hb3 2 /b1) =
0,001304 (0,003919 . 28,3349 –
0,001304 (28,3349) 2 / (40,4193))
α3=0,0001103
Para o primeiro cálculo de sdist
(considerando kf = 0 ):
sdist = (0,5 . 20500 / 3,0566).{0,003919+
0,037218– [(0,003919+0,037218) 2 –
4,0 . 0,0001103 ] 0,5 }
σdist,1ªaprox=19,35 kN/cm 2
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
s
-
+
= f
2
2
d
2
w
d
2
w
2
dist
d w
3
L b
L b
Et
11 , 1
1
) L 06 , 0 b ( 46 , 5
Et
k
( )
( ) ( )
2 3 2
2 2 2
20500. 0,265 1,11 19,35 20 86,99
1
20500 0,265 20 86,99 5, 46 20 0,06. 86,99 f
é ù æ ö ´ ´
ê ú = ç ÷ ´ + + ê ú è ø ë û
k
kφ =1,98
a1 = (h/b1)(b2 + 0,039It Ld 2 ) + kf /(b1hE)
a1 = 0,001304 / 40,419)(100,392 +
0,039 . 0,07145.(86,99) 2 +1,98/
(40,4193 . 0,001304 . 20500) = 0,005753
a3 = h(a1Iy hb3 2 /b1) = 0,001304 (0,005753 .
28,201 0, 001304 (28,335) 2 /
(40,419)) = 0,0001778
finalmente o valor da tensão crítica, σdist:
sdist = (0,5E/Ad){a1 + a2 – [(a1 + a2) 2 4a3] 0,5 }
( ) { } 0,5 2 dist 0,5 20500 = 0,005753+ 0,03721 0,005753 + 0,03721 4 0,0001778 3,057 s ´ æ ö é ù ´ ´ ç ÷ ë û è ø
γ= 1,1
ldist = (fy/sdist) 0,5 = (25/31,11) 0,5
λdist= 0,896
73
.
Como λdist < 1.414, então,
Nc,Rd = Afy (1 – 0,25ldist 2 ) / g
A= 11,463 cm 2
fy= 25 kN/cm 2
Nc,Rd = 11,463 . 25 (1 – 0,25 . 0,896 2 ) / 1,1
Nc,Rd = 208,194 kN
75
Capítulo 8
Dimensionamento à
flexão
76
Dimensionamento à flexão
O momento fletor resistente de cálculo M Rd
deve ser tomado como o menor valor calculado
entre:
1 –Momento de cálculo que causa escoamento
na seção na fibra mais solicitada.
2 – Momento de cálculo referente à flambagem
lateral com torção.
3 – Momento de cálculo referente à flambagem
por distorção da seção transversal.
8.1 Início de escoamento da seção
efetiva
W ef módulo de resistência elástico da
seção efetiva calculado com base nas larguras
efetivas dos elementos, com σ calculada para o
estado limite último de escoamento da seção,
σ = f y.
Devese observar nessa verificação que
o centro geométrico da seção efetiva não coin
cide com da seção bruta, essa diferença modi
fica a coordenada da fibra mais solicitada, para
o cálculo de W ef .
8.2 Flambagem lateral com torção
A flambagem lateral com torção ocorre em
vigas fletidas. Este modo de flambagem é re
sultado
da instabilidade longitudinal da viga. É
possível entender a origem desse fenômeno
observando uma viga fletida e isolando
esquematicamente a parte comprimida da
tracionada, figura 8.1. A região comprimida ao
longo do comprimento da barra pode ser anali
sada como um “pilar” submetido a esforços de
compressão e com apoios elásticos ao longo
de um de seus lados (que é formado pela re
gião tracionada). Este pilar também está sujei
to flambagem a flexão de Euler, porém sua dire
ção de menor inércia, nesse caso é a do eixo y.
Como a “barra” comprimida está apoiada num
de seus lados, quando ocorrer a perda de esta
bilidade à flexão, o perfil tenderá a torcer. Des
sa forma a rigidez envolvida nesse modo de
flambagem é a rigidez a flexão em torno do eixo
y e também a rigidez a torção.
O momento fletor resistente de cálculo re
ferente à flambagem lateral com torção, toman
dose um trecho compreendido entre seções
contidas lateralmente, deve ser calculado por:
W c,ef módulo de resistência elástico da
seção efetiva em relação à fibra comprimida,
calculado com base nas larguras efetivas dos
elementos, adotando σ = ρ FLT .f y ;
ρ
FLT
fator de redução associado à flambagem
lateral com torção, calculado por:
para λ 0 < 0,6: ρ FLT = 1,0
para 0,6 < λ 0 < 1,336:ρ FLT = 1,11(1 – 0,278λ 0
2 )
para λ 0 ³ 1,336: ρ FLT = 1/λ 0
2
λ 0 = (W c f y /M e )
0,5
W c módulo de resistência elástico da seção
bruta em relação à fibra comprimida;
M e momento fletor de flambagem lateral com
torção, em regime elástico. As equações para
o cálculo de M e para os casos mais comuns
encontramse no item 8.8.1.2 da norma,
conforme a seguir:
As expressões apresentadas para o
cálculo de M e foram deduzidas para
carregamento aplicado na posição do centro de
torção. A favor da segurança, também podem
ser empregadas nos casos de carregamento
Figura 8.1 – Tensões em viga sob flexão
MRd = Wef fy / g (g = 1,1)
MRd = [rFLT Wc,ef fy] / g (g = 1,1)
77
M e = C b r 0 (N ey N et )
0,5
Em barras com seção monossimétrica,
sujeitas à flexão em torno do eixo perpendicular
ao eixo de simetria, consultar bibliografia espe
cializada.
barras com seção Z pontosimétrica (si
métricas em relação a um ponto), com carrega
mento no plano da alma:
M e = 0,5C b r 0 (N ey N et )
0,5
barras com seção fechada (caixão), su
jeitas à flexão em torno do eixo x:
M e = C b (N ey GI t )
0,5
N ey ; N et ; r 0 conforme definidos no capítulo 7.
Os valores de K y L y e K t L t podem ser to
mados com valor inferiores a L y e L t , respecti
vamente, desde que justificados com base em
bibliografia especializada. Para os balanços
com a extremidade livre sem contenção lateral,
K y L y e K t L t podem resultar maiores que L y e L t ,
respectivamente, em função das condições de
vínculo, por exemplo, em barras contínuas
conectadas apenas pela mesa tracionada, por
tanto com deslocamentos laterais, rotação em
torno do eixo longitudinal e empenamento par
cialmente impedidos no apoio. Nesse caso
devese consultar bibliografia especializada.
C b é o coeficiente de equivalência de mo
mento na flexão, que a favor da segurança pode
ser tomado igual a 1,0 ou calculado pela seguinte
expressão:
Para balanços com a extremidade livre
sem contenção lateral e para barras submeti
das à flexão composta, C b deve ser tomado igual
a 1,0.
M max é o máximo valor do momento fletor
solicitante de cálculo, em módulo, no trecho ana
lisado;
M A é o valor do momento fletor solicitante
de cálculo, em módulo, no 1 o . quarto do trecho
analisado;
M B é o valor do momento fletor solicitante
de cálculo, em módulo, no centro do trecho ana
lisado;
M C é o valor do momento fletor solicitante
de cálculo, em módulo, no 3 o . quarto do trecho
analisado;
8.3 Flambagem por distorção da
seção transversal
Para as barras com seção transversal
aberta sujeitas à flambagem por distorção, o
momento fletor resistente de cálculo deve ser
calculado pela seguinte expressão:
Onde:
M dist é o momento fletor de flambagem por
distorção, dado por:
para λ dist < 1,414: M dist = W c f y (1 – 0,25λ dist
2 )
para λ dist ³ 1,414: M dist = W c f y /λ dist
2
W c módulo de resistência elástico da
seção bruta em relacão a fibra comprimida;
λ dist é o índice de esbeltez reduzido refe
rente à flambagem por distorção, dado por:
σ dist é a tensão convencional de flambagem
elástica por distorção, calculada pela teoria da
estabilidade elástica ou conforme anexo D da
norma (capítulo 5 deste manual).
Exemplo para as três verificações ao mo
mento fletor:
C B A max
max
b M 3 M 4 M 3 M 5 , 2
M 5 , 12
C
+ + +
=
MRd = Mdist / g (g = 1,1)
ldist = (fy/sdist) 0,5
aplicado em posição estabilizante, isto é, que
tende a restaurar a posição original da barra
(por exemplo, carregamento gravitacional
aplicado na parte inferior da barra). Em casos
de carregamento aplicado em posição
desestabi l izante, consultar bibliografia
especializada.
barras com seção duplamente simétrica
ou monossimétrica sujeitas à flexão em torno do
eixo de simetria (eixo x):
78
Dimensionamento à flexão
Exemplo 16 Cálculo do momento fletor
resistente em torno do eixo X do perfil padroni
zado U250x100x2,65 mm. O comprimento da
viga é de 320 cm, sem travamentos intermediá
rios, submetido a um carregamento distribuído,
tensão de escoamento de 25,0 kN/cm 2 :
1 Início de escoamento da seção efe
tiva [NBR 147627.8.1.1]
Cálculo da seção efetiva é realizado para uma
tensão de σ =25 kN/cm 2 :
Seção submetida a esforço de momento fletor
em relação ao eixo X
Cálculo das Larguras Efetivas
Largura efetiva da mesa inferior:
Somente Tração no elemento!
b ef = b
Largura efetiva da mesa superior:
Elemento AL
b= 9,47 cm
σ 1 = 25 kN/cm
2
σ 2 = 25 kN/cm
2
ψ = 1
Tabela 4.3 caso a (NBR14762 Tabela05)
k= 0,43
λ
p
=2,00 [λ
p
> 0,673]
b ef = 4,208 cm
b ef,1 = 4,208 cm
Largura efetiva da alma
Elemento AA
b= 23,94 cm
σ 1 = 24,19 kN/cm
2
σ 2 = 24,19 kN/cm
2
ψ= 1
Tabela 4.2 caso d (NBR14762 Tabela04)
b c = 9,47 cm
b t = 9,47 cm
b= 18,94 cm
k= 24
λ
p
=0,667 [λ
p
< 0,673]
b ef = b
b ef,1 = 5,98 cm
b ef,2 = 11,97 cm
b ef,1 + b ef,2 > b c
b ef = b
Propriedade geométrica da seção efetiva:
Para calcular o módulo resistente efetivo
(W ef ) é necessário encontrar o novo CG da se
ção efetiva e calcular o momento de inércia em
relação aos novos eixos de referência. O módulo
resistente é definido como sendo o momento
de inércia da seção dividido pela distância da
fibra mais distante (y máx ).
Podese utilizar processos automatizados
para calcular essas propriedades geométricas
MRd = Wef fy / g (g = 1,1)
9, 47
0, 265
0,43.20500
0,95 0,95
25
l
s
= = p
b
t
kE
18,94
0,265
24 20500
0,95 0,95
23,99
l
s
= =
× p
b
t
kE
79
momento máximo:
2
8 máx
qL
M =
momento em B:
2
8 B
qL
M =
momento em A e C:
2 3
32 c A
qL
M M = =
como, por exemplo, o Excel ou um programa
específico para este fim. O Programa
DimPerfil
realiza esses cálculos e exibe os resultados.
I x_ef = 878,00 cm
4
W x_ef = 878,00/14,04 = 64,58 cm
3
2 Flambagem lateral com torção [NBR
147627.8.1.2]
2.1 Cálculo Me
Cálculo de C b :
Para uma viga biapoiada submetida a car
regamento distribuído uniforme:
C b = 1,13 (não depende do valor do carregamento)
Cálculo de M e :
Perfil monossimétrico
L x = 320 cm L y = 320 cm
L t = 320 cm r 0 = 11,756 cm
x c = 5,723 cm y c = 0 cm
C w = 12013,76 cm2
Cálculo de W c – módulo resistente do per
fil em relação à fibra comprimida (seção bruta):
máxima coordenada Y= 12,367 cm (fibra com
primida)
I x = 1120,17 cm
4
W c = 90,574 cm
3
Cálculo de λ 0 :
λ 0 = (W c f y /M e )
0,5
λ 0 = 0,913
como 0,6 < λ 0 < 1,336,
ρ
FLT
= 1,11(1 – 0,278λ
0
2 )
ρ FLT = 0,8526
MRd = Wef fy / g
MRd = 62,58 . 25 / 1,1
MRd = 1421,08 kN.cm
MRd = [rFLT Wc,ef fy] / g
C B A max
max
b M 3 M 4 M 3 M 5 , 2
M 5 , 12
C
+ + +
=
2
2 2
( )
qL q
M x x x = × - ×
2
2
) ( x x
x
ex
L K
EI
N
p
= = 2213,286 kN
2
2
) ( y y
y
ey
L K
EI
N
p
= = 222,911 kN
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+ = t
t t
w
et GI
L K
EC
r
N
2
2
2
0 ) (
1 p
= 187,375 kN
Me= Cbr0(NeyNet) 0,5 = 2714,847 kN.cm
80
Dimensionamento à flexão
O valor da tensão a ser tomada no cálculo das
larguras efetivas é dado por:
σ = ρ
FLT
f
y
= 0,8526 . 25= 21,32 kN/cm 2
O cálculo das larguras efetivas foi realizado no
exemplo 01.
máxima coordenada da fibra comprimida Y=
13,933 cm
módulo resistente em relação as fibras
comprimidas da seção efetiva
M Rd = [r FLT W c,ef f y ] / g = 0,8526 . 64,14 . 25 / 1,1
M Rd = 1242,9 kN.cm
3– Flambagem por distorção da seção
transversal [NBR 147627.8.1.3]
Perfis com mesa sem enrijecedor de bor
da não estão sujeitos a flambagem por distorção
da seção transversal, nesses perfis fenômeno
da flambagem local (verificado pelo método das
larguras efetivas) será sempre crítico compara
do com cálculo de distorção da seção pelo mo
delo de Hancok mostrados no capítulo 04.
O momento resistente do perfil será o me
nor valor calculado em 1 e 2:
M Rd = 1242,9 kN.cm
Exemplo 17 Cálculo da capacidade re
sistente ao momento fletor em relação ao eixo
X de uma viga de 4,0m de comprimento, perfil
Ue 150x60x20x2, submetida a uma carga con
centrada no meio do vão. Aço f y = 30 kN/cm
2 ;
E= 20500 kN/cm 2 .
1 Início de escoamento da seção efe
tiva [NBR 147627.8.1.1]
1 Cálculo das Larguras Efetivas para se
ção submetida a esforço de momento fletor em
relação ao eixo X:
σ = 30 kN/cm 2
Largura efetiva do enrijecedor de borda inferi
or e da mesa inferior do perfil:
Elementos tracionados! – b ef = b
Largura efetiva do enrijecedor de borda supe
rior
Elemento AL
γ = 1,1
Ixef= 893,693 cm 4
Wcef=
893 693
13 933
,
,
= 64,14 cm 3
MRd = Wef fy / g (g = 1,1)
b= 1,6 cm
σ1= 28,784 kN/cm 2
σ2= 22,297 kN/cm 2 ψ= 0,775
NBR14762 Tab05.caso b
0 £ y = s2 / s1 < 1,0 à
k = 0,578 / (y + 0,34)
k= 0,519
(tabela 4.3)
81
Largura efetiva da mesa superior
NBR14762. 7.2.2.2 Elemento com enrijecedor
de borda:
σ
1
= 30 kN/cm 2
σ 2 = 30 kN/cm
2
b=5,2 cm D=2 cm t=0,2 cm
d ef =1,6 cm d=1,6 cm σ=30 kN/cm
2
θ=90 º
Como 0.673 < λ p0 < 2,03, então:
Caso II:
W x da seção efetiva é igual ao W x da seção
bruta!
W xef = W x = 28,002 cm
3
M Rd = 28 . 30 / 1,1
M Rd = 763,6 kN.cm
2 – Flambagem lateral com torção [NBR
147627.8.1.2]
[λ p < 0,673]
1,61
0, 2
0,519 20500
0,95
30
l =
× p
= 0,438
[λp ? 0,673]
bef= 1,6 cm bef = b
0
5, 2
0, 2
20500
0,623
30
l = p =1,597
3 2 3 2 . 1,6 .0,2. (90)
12 12
q = = s
d t sen sen
I = 0,068267 cm 4
2
5, 25 5 5, 25 5 4, 0
5, 2
æ ö æ ö = - = - £ ç ÷ ç ÷ è ø è ø
a
D
k
b
ka=3,327
( ) 3 4 0 400 0, 49 0,33 a p I t l = - =
( ) 3 4 400 0, 2 0, 49 1,597 0,33 ´ ´ -
=0,059 cm 4
Is/Ia=1,152
( ) 0,43 ,043 s a a
a
I
k k k
I
= - + £
è k=3,327
5, 2
0,2
3,327 20500
0,95 0,95
30
l
s
= =
× p
b
t
kE
= 0,574
[λp ? 0,673]
bef=5,2 (bef = b)
como Is/Ia=1,152 > 1,0, então
ds = def
‐ Largura efetiva da alma:
Elemento AA
b= 14,2 cm
σ1= ‐28,78 kN/cm 2 σ2= 28,78 kN/cm 2 è ψ= ‐1
‐ NBR14762 ‐ Tab04.caso d
bc= 7,1 cm bt= 7,1 cm
k = 4 + 2(1y) + 2(1y) 3 à k= 24
14, 4
0,2
24.20500
0,95 0,95
28,78
l
s
= = p
b
t
kE
= 0,572
bef= 14,2 cm (bef = b)
(tabela 4.2)
< <
82
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+ = t
t t
w
et GI
L K
EC
r
N
2
2
2
0 ) (
1 p
= 39,726 kN
2
2
) ( y y
y
ey
L K
EI
N
p
= = 37,999 kN
momento máximo:
4 máx
PL
M =
momento em B:
4 B
PL
M =
momento em A e C:
8 c A
PL
M M = =
Dimensionamento à flexão
Cálculo M e
Cálculo de C b :
Para uma viga biapoiada submetida
a uma força concentrada no meio do vão:
C b = 1,31 (não depende da carga P)
Perfil monossimétrico
L x = 400 cm L y = 400 cm L t = 400 cm
r 0 = 7,845 cm x c = 4,645 cm
C w =1440,47 cm
2
I x = 207,21 cm
4 I y = 30,05 cm
4 I t = 0,079 cm
4
M e = C b r 0 (N ey N et )
0,5 = 399,27 kN.cm
máxima coordenada Y= 7,4 cm (fibra comprimi
da)
I x = 207,211 cm
4
W x = 28,002 cm
3
λ
0
= (W
c
f
y
/M
e
) 0,5 = 1,45
0,6 < λ 0 < 1,336
ρ FLT = 1,11(1 – 0,278λ 0
2 )
ρ FLT = 0,475
O valor da tensão a ser tomada no cálculo das
larguras efetivas é dado por:
σ = ρ
FLT
f
y
= 0,475 . 30= 14,25 kN/cm 2
No item anterior foi calculado as larguras efeti
vas do perfil para uma tensão de 30,0 kN/cm 2 e
o resultado foi que a seção efetiva é igual a se
ção bruta. Como nesse caso que a tensão é
menor, podese concluir a seção efetiva será
igual a seção bruta, σ =14,25 kN/cm 2 .
máxima coordenada Y= 7,4 cm (fibra comprimi
da)
3 – Flambagem por distorção da seção
transversal [NBR 147627.8.1.3]
O cálculo de σ dist foi realizado no exemplo 10:
σ dist =67,27 kN/cm
2
λ
dist
= (f
y
/s
dist
) 0,5 = (30/67,27) 0,5
λ dist = 0,668
para λ dist < 1,414:
MRd = [rFLT Wc,ef fy] / g
C B A max
max
b M 3 M 4 M 3 M 5 , 2
M 5 , 12
C
+ + +
=
2
2
) ( x x
x
ex
L K
EI
N
p
= = 262,028 kN
γ = 1,1
Ixef= Ix = 207,211 cm 4
Wcef=
207 211
7 4
,
,
=28,002 cm 3
MRd = [rFLT Wc,ef fy] / g
MRd= 362,9 kN.cm
MRd = Mdist / g (g = 1,1)
83
M dist = W c f y (1 – 0,25λ dist
2 )
M dist = 28,002 . 30 . (1 – 0,25 . 0,668
2 )
M dist = 746,34 kN.cm
M Rd = M dist / g
M Rd = 746,34 / 1,1
M Rd = 678,5 kN.cm
O momento resistente do perfil é o menor
valor calculado nos itens 1, 2 e 3:
M Rd = 362,9 kN.cm
8.4 Força cortante
No dimensionamento das peças submeti
das ao esforço cortante, como nas demais es
truturas de aço, as tensões de cisalhamento na
alma do perfil devem ser verificadas. Uma cha
pa de aço (alma) sob esforços cisalhantes tam
bém está sujeita ao fenômeno da flambagem
local. Sendo necessário, portanto, limitar as ten
sões atuantes quando a chapa for esbelta. A
norma brasileira apresenta expressões para
capacidade resistente ao esforço cortante para
três intervalos de esbelteza da alma (h/t).
A força cortante resistente de cálculo V Rd
deve ser calculada por:
t espessura da alma;
h largura da alma (altura da parte plana da
alma);
k v coeficiente de flambagem local por
cisalhamento, dado por:
para alma sem enrijecedores transver
sais:
k v = 5,34
para alma com enrijecedores transversais
dimensionado conforme as exigências do item
7.5 da NBR 14762:2001.
a é a distância entre enrijecedores trans
versais de alma.
Para seções com duas ou mais almas,
cada alma deve ser analisada como um elemen
to separado resistindo à sua parcela de força
cortante.
8.5 Momento fletor e força cortante
combinados
Em peças onde existem esforços de mo
mento fletor e esforço cortante (em todas as
barras com carregamento transversal aplicado)
o efeito associado das tensões normais devido
ao momento fletor com as tensões cisalhantes
deve ser verificado.
Para barras sem enrijecedores transver
sais de alma, o momento fletor solicitante de
cálculo e a força cortante solicitante de cálculo
na mesma seção, devem satisfazer à seguinte
expressão de interação:
(M Sd / M 0,Rd )
2 + (V Sd / V Rd )
2 < 1,0
M Sd momento fletor solicitante de cálculo;
para h/t £ 1,08(Ekv/fy) 0,5
VRd = 0,6fyht / g (g = 1,1)
para 1,08(Ekv/fy) 0,5 < h/t £ 1,4(Ekv/fy) 0,5
VRd = 0,65t 2 (kvfyE) 0,5 / g (g = 1,1)
para h/t > 1,4(Ekv/fy) 0,5
VRd = [0,905Ekvt 3 /h] / g (g = 1,1)
1,0 a/h para
) / (
34 , 5
0 , 4
2
£ + =
h a
k v
1,0 a/h para
) / (
0 , 4
34 , 5
2
> + =
h a
k v
84
M 0,Rd momento fletor resistente de cálcu
lo pelo escoamento da seção efetiva, conforme
o item 8.1;
V Sd força cortante solicitante de cálculo;
V Rd força cortante resistente de cálculo
conforme o item 8.4.
Para barras com enrijecedores transver
sais de alma, além de serem atendidas as exi
gências do item 8.1 e 8.4 deste manual, quando
M Sd /M 0,Rd > 0,5 e V Sd /V Rd > 0,7 deve ser satisfei
ta a seguinte expressão de interação:
Exemplo 18 – Verificação quanto ao
cisalhamento do perfil do exemplo 17 para uma
carga de cálculo concentrada no meio do vão
da viga biapoiada no valor de 4 kN (Ue
150x60x20x2; L= 400 cm) .
Solicitações na barra:
M sd = P.L/4 = 4 . 400 / 4 = 400 kN.cm
V sd = P/2 = 2 kN
M 0,Rd = 763,6 kN.cm – Momento resistente
pelo escoamento das fibras mais solicitadas
(exemplo 17 item 1).
Dimensionamento à flexão
Cálculo do esforço cortante resistente:
h = 14,20 (altura da parte plana da alma)
h= 14,2 cm kv= 5,34 h/t= 71
1,08(E.k v /f y )
0,5 = 65,3
1,4(E.k v /f y )
0,5 = 84,6
como,
1,08(E.k v /f y )
0,5 < h/t <= 1,4.(E.k v /f y )
0,5 , então,
V Rd = 0,65t
2 (k v f y E)
0,5 / g
V Rd = 0,65 . 0,2
2 (5,34 . 30 . 20500) 0,5 / 1,1
V Rd = 42,8 kN
Verificação do efeito combinado momento fletor
e esforço cortante:
(M Sd / M 0,Rd )
2 + (V Sd / V Rd )
2 < 1,0
(400 / 763,6) 2 + ( 2 / 42,8) 2
0,274 + 0,002 = 0,276 < 1,0 – Verificado!
0,6(MSd / M0,Rd) + (VSd / VRd) £ 1,3
85
87
Capítulo 9
Dimensionamento à
flexão composta
88
Dimensionamento à flexão composta
A força normal solicitante de cálculo e os
momentos fletores solicitantes de cálculo devem
satisfazer as equações de interação apresen
tadas neste capítulo.
9.1 Flexocompressão
Em perfis submetidos a flexocom
pressão é necessário verificar a combinação de
esforços por meio de duas equações, 9.1 e 9.2.
A equação 9.1 considera os efeitos de segun
da ordem na barra, a equação 9.2 apenas quan
to a resistência do material. No entanto, quando
o esforço normal da barra for relativamente pe
queno, (N c,Sd < 0,15 . N c,Rd ) podese utilizar ape
nas a equação 9.3 para a verificação á flexo
compressão.
Quando N c,Sd / N c,Rd < 0,15 as duas expres
sões anteriores podem ser substituídas por:
Onde:
N c,Sd força normal de compressão
solicitante de cálculo, considerada constante na
barra;
M x,Sd ; M y,Sd momentos fletores solicitantes
de cálculo, na seção considerada, em relação
aos eixos x e y, respectivamente;
(eq. 9.1)
e
(eq. 9.2)
(eq. 9.3)
N c,Rd força normal de compressão resis
tente de cálculo, conforme os itens 7.1 e 7.2;
N 0,Rd força normal de compressão resis
tente de cálculo, calculada conforme 7.1, nesse
caso tomandose para o cálculo o valor de ρ =
1,0 e calculase a aréa efetiva do perfil com a
tensão σ = f y ;
M x,Rd ; M y,Rd momentos fletores resisten
tes de cálculo, em relação aos eixos x e y, res
pectivamente, calculados conforme 8.1, 8.2 e 8.3
(no cálculo do momento resistente pela
flambagem lateral com torção, conforme 8.2 o
valor de C b deve ser igual a 1,0).
N ex ; N ey forças normais de flambagem
elástica, em relação aos eixos x e y, respectiva
mente, calculadas por:
I x ; I y momentos de inércia da seção bruta
em relação aos eixos x e y, respectivamente;
(K x L x ) ; (K y L y ) comprimentos efetivos de
flambagem em relação aos eixos x e y, respec
tivamente;
C mx ; C my coeficientes de equivalência
de momento na flexão composta, em relação aos
eixos x e y, respectivamente, determinados con
forme a), b) ou c) seguintes:
a) barras de estruturas indeslocáveis, sem
ações transversais entre as extremidades:
C m = 0,6 0,4(M 1 /M 2 )
M 1 é o menor e M 2 o maior dos dois mo
mentos fletores solicitantes de cálculo nas ex
tremidades do trecho sem travamento lateral. A
relação M 1 /M 2 é positiva quando esses momen
tos provocarem curvatura reversa e negativa em
caso de curvatura simples.
1 0
1 1
, , ,
, , ,
, ,
, my y Sd c Sd mx x Sd
c Sd c Rd c Sd
x Rd y Rd
ex ey
C M N C M
N N N
M M
N N
+ + £
æ ö æ ö
- - ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø
0
1 0 , , ,
, , ,
, y Sd c Sd x Sd
Rd x Rd y Rd
M N M
N M M
+ + £
1 0 , , ,
, , ,
, y Sd c Sd x Sd
c Rd x Rd y Rd
M N M
N M M
+ + £
Nex = p 2 EIx / (KxLx) 2 Ney = p 2 EIy / (KyLy) 2
89
b) barras de estruturas indeslocáveis, su
jeitas à ações transversais entre as extremida
des:
Caso não sejam determinados de manei
ra mais precisa, os seguintes valores de C m
podem ser adotados:
1) para ambas as extremidades da barra
engastadas: C m = 0,85
2) para os demais casos: C m = 1,0
c) barras de estruturas deslocáveis: C m =
1,0
9.2 Flexotração
e
N t,Sd força normal de tração solicitante
de cálculo, considerada constante na barra;
M x,Sd ; M y,Sd momentos fletores solicitantes
de cálculo, na seção considerada, em relação
aos eixos x e y, respectivamente;
N t,Rd força normal de tração resistente de
cálculo, conforme o capítulo 7;
M xt,Rd ; M yt,Rd momentos fletores resisten
tes de cálculo, na seção considerada, em rela
ção aos eixos x e y, respectivamente, calcula
dos com base no escoamento da fibra
tracionada da seção bruta, dados por
M xt,Rd = W xt f y /g e
M yt,Rd = W yt f y /g com g = 1,1;
W xt ; W yt módulos de resistência elásti
cos da seção bruta em relação aos eixos x e y,
respectivamente, referentes à fibra tracionada;
M x,Rd ; M y,Rd momentos fletores resisten
tes de cálculo, em relação aos eixos x e y, res
pectivamente, conforme 8.1, 8.2 e 8.3.
Exemplo 19 – Verificação da viga abaixo
quanto à flexocompressão:
Perfil Ue 150x60x20x2 mm. Aço f y = 30 kN/cm
2 ;
E= 20500 kN/cm 2 .
Esforços solicitantes:
M xSd = 1 .4
2 /8 = 2 kN.m = 200,0 kN.cm
N c,Sd = 5,0 kN
Esforços resistentes:
N c,Rd = 29,09 – cálculo é demonstrado a seguir.
N c,Rd / N c,Sd = 5,0/29,09 = 0,17 > 0,15, portanto
na verificação da combinação dos esforços de
vem ser satisfeitas as equações 9.1 e 9.2.
M x,Rd = 277,08 kN.cm
N ex = 262,03 kN
N ey = 38,00 kN
N 0,Rd = 130,31 kN
Os cálculos dos esforços acima relaciona
dos são demonstrados adiante.
Coeficientes:
C b = 1,0 – para o cálculo do momento re
sistente pela flambagem lateral com torção para
momentos em torno dos eixos X e Y.
C mx = 1,0 – critério b) para determinação
de C m : estruturas indeslocáveis sujeitas à ações
transversais entre as extremidades
1ª verificação: equação 9.1 considerando
os efeitos de 2ª ordem.
*os carregamentos apresentados são valores de cálculo,
já considerados os devidos coeficientes de majoração.
1 0 , , ,
, , ,
, y Sd x Sd t Sd
xt Rd yt Rd t Rd
M M N
M M N
+ + £
1 0 , , ,
, , ,
, y Sd x Sd t Sd
x Rd y Rd t Rd
M M N
M M N
+ - £
1 0
1 1
, , ,
, , ,
, ,
, my y Sd c Sd mx x Sd
c Sd c Rd c Sd
x Rd y Rd
ex ey
C M N C M
N N N M M
N N
+ + £
æ ö æ ö
- - ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø
90
Dimensionamento à flexão composta
2ª verificação: equação 9.2 verificando a
resistência do material.
Conclusão: o perfil adotado resiste o car
regamento solicitado
Cálculo dos esforços resistentes no perfil: M x,Rd ;
N ex ; N ey ; N 0,Rd ; N c,RD
Cálculo de M xRd
Barras submetidas à Flexão Simples [NBR
147627.8]
1 Início de escoamento da seção efetiva [NBR
147627.8.1]
calculado no exemplo 17 (item 1)
M Rd = 763,6 kN.cm
2 Flambagem por distorção da seção trans
versal [NBR 147627.8.1.3]
calculado no exemplo 17 (item 3)
M Rd = 678,5 kN.cm ( flambagem por distorção)
3 Flambagem lateral com torção [NBR 14762
7.8.1.2]
Cálculo M e semelhante ao realizado no
exemplo 17 (item 2), porém neste caso o valor
de C b adotado deverá ser igual a 1,0.
C b = 1
Perfil monossimétrico
L x = 400 cm L y = 400 cm
L t = 400 cm
r 0 = 7,845 cm x c = 4,645 cm
C w = 1440,47 cm
2
I x = 207,21 cm
4 I y = 30,05 cm
4
I t = 0,079 cm
4
M e = C b r 0 (N ey N et )
0,5 = 304,78 kN.cm
máxima coordenada Y= 7,4 cm (fibra comprimi
da)
I x = 207,211 cm
4
W x = 28,002 cm
3
λ
0
= (W
c
f
y
/M
e
) 0,5 = 1,66
0,6 < λ 0 < 1,336
ρ
FLT
= 1,11(1 – 0,278λ
0
2 )
ρ FLT = 0,363
O valor da tensão a ser tomada no cálculo das
larguras efetivas é dado por:
σ = ρ
FLT
f
y
= 0,363 . 30= 10,89 kN/cm 2
No exemplo 17 foi calculado as larguras
efetivas desse perfil para uma tensão de 30,0
kN/cm 2 e o resultado foi que a seção efetiva é
igual a seção bruta. Nesse caso que a tensão é
menor podese concluir a seção efetiva é igual
a seção bruta, σ =10,89 kN/cm 2 .
máxima coordenada Y= 7,4 cm (fibra comprimi
da)
g = 1,1
I xef = 207,211 cm
4
W cef = 28,002 cm
3
M Rd = [ρ FLT W c,ef f y ] / g
M Rd = 277,08 kN.cm
O momento fletor resistente de cálculo M Rd
deve ser o menor valor calculado:
5 0 1 0 200
0 908 1 0
29 09 5 0
1 277 08
262 03
, ,
, ,
, ,
,
,
×
+ = £
æ ö - ç ÷
è ø
0
1 0 , , ,
, , ,
, y Sd c Sd x Sd
Rd x Rd y Rd
M N M
N M M
+ + £
5 0 200
0 76 1 0
130 31 277 08
,
, ,
, ,
+ = £
2
2
) ( x x
x
ex
L K
EI
N
p
= = 262,028 kN
2
2
) ( y y
y
ey
L K
EI
N
p
= = 37,999 kN
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+ = t
t t
w
et GI
L K
EC
r
N
2
2
2
0 ) (
1 p
= 39,726 kN
91
M Rd = 763,679 kN.cm (escoamento da seção)
M Rd = 277,08 kN.cm (flambagem lateral com tor
ção)
M Rd = 678,534 kN.cm (distorção da seção trans
versal)
M x,Rd = 277,08 kN.cm
Cálculo de N 0,Rd
Para calcular N 0,Rd , utilizase mesmo
procedimento do cálculo de N Rd porém e tomado
o valor de ρ = 1 (este é o valor máximo de N Rd
para pilares curtos onde não ocorre flambagem
global)
1 Cálculo das Larguras Efetivas para seção
submetida a esforço de compressão centrada:
σ= 30 kN/cm 2
Largura efetiva dos enrijecedores de borda
Elemento AL
b= 1,6 cm
σ 1 = 30 kN/cm2
σ 2 = 30 kN/cm2
ψ= 1
– Tabela 4.3 caso a (NBR14762 Tab05)
k= 0,43
bef= 1,6 cm
bef = b
30
20500 43 , 0
95 , 0
2 , 0
6 , 1
×
= p l = 0,491 [λp = 0,673]
Largura efetiva das mesas
[NBR14762. 7.2.2.2 Elemento com enrijecedor
de borda]
σ 1 = 30 kN/cm2
σ 2 = 30 kN/cm2
b=5,2 cm D=2 cm t=0,2 cm
d ef =1,6 cm
d=1,6 cm σ=30 kN/cm2 θ=90 º
0
5,2
0,2
20500
0,623
30
l = p =1,597
Como 0.673 < λp0 < 2,03, então:
Caso II:
3 2 3 2 . 1,6 .0,2. (90)
12 12
q
= = s
d t sen sen
I = 0,068267 cm 4
2
5, 25 5 5, 25 5 4, 0
5,2
æ ö æ ö = - = - £ ç ÷ ç ÷
è ø è ø
a
D
k
b
ka=3,327
( ) 3 4 0 400 0,49 0,33 a p I t l = - =
( ) 3 4 400 0,2 0,49 1,597 0,33 ´ ´ - =0,059 cm 4
Is/Ia=1,152
( ) 0, 43 ,043 s a a
a
I
k k k
I
= - + £ è k=3,327
5, 2
0,2
3,327 20500
0,95 0,95
30
l
s
= =
× p
b
t
kE
= 0,574
[λp = 0,673]
bef=5,2 (bef = b)
como Is/Ia=1,152 > 1,0, então ds = def
Largura efetiva da alma
[NBR14762. 7.2.2.2 Elemento com enrijecedor
de borda]
92
Dimensionamento à flexão composta
Cálculo de N c,Rd Barras submetidas à com
pressão centrada [NBR 147627.7]
1 Flambagem
por distorção da seção trans
versal [NBR 147627.7.3]
1.1 Cálculo de σ dist [NBR 14762Anexo D4]
NBR 14762 Anexo D3: Seções Ue submeti
dos a compressão uniforme
Propriedades geométricas da seção composta
da mesa e enrijecedor (ver ítem 5.1 e figura 5.4)
t=0,2 cm b w =15 cm b f =6 cm
D=2 cm A d =1,45425 cm
2
E=20500 kN/cm 2
I x =0,37017 cm
4 I y =4,78792 cm
4
I xy =0,75731 cm 4
I t =0,01936 cm
4 C w =0,00014 cm
6
h x =3,4177 cm
h y =0,2504 cm x 0 =2,05286 cm
y 0 =0,24568 cm
Cálculo dos coeficientes
a
1,1ªaprox
=0,0028609
a 2 =0,013372 a 3 =0,0000271634
β
1
=15,227749 β
2
=13,32612
β
3
=4,54386 β
4
=13,32612
L
d
=60,348 cm σ=0,00270997
k =0,8941 a dist,1ªaprox =26,70 kN/cm
2
a 1 =0,0039178194 a 3 =0,0000408769
σ dist = (0,5E/A d ){a 1 + a 2 – [(a 1 + a 2 )
2 4a 3 ]
0,5 }
σ dist =39,84 kN/cm
2
Cálculo da forma normal resistente devido a
distorção da seção transversal
λ
dist
= (f
y
/σ
dist
) 0,5
λ dist = (30/39,84)
0,5
λ dist = 0,868
σ 1 = 30 kN/cm2
σ 2 = 30 kN/cm2
b= 14,2 cm
Tabela 4.2 caso a [NBR14762 Tab04]
k = 4
14, 2
0,2
4.20500
0,95 0,95
28,78
l
s
= = p
b
t
kE
= 1,43
[λp > 0,673]
0,22 0, 22 1 14,2 1
1, 43
1,85
l
l
æ ö æ ö - ç ÷ - ç ÷ ç ÷
è ø è ø = = £
p
ef
p
b
b b
bef= 8,4 cm
bef,1= bef,2= 4,20 cm
0, 22 0, 22 1 14,2 1
1, 43
1,85
l
l
æ ö æ ö - ç ÷ - ç ÷ ç ÷
è ø è ø = = £
p
ef
p
b
b b
bef= 8,4 cm
bef,1= bef,2= 4,20 cm
Aef= 4,78 cm 2
N0Rd = Aef . fy /γ (ρ = 1)
γ = 1,1
N0Rd= 130,307 kN
93
Como, λ dist < 1,414 então,
N c,Rd = Af y (1 – 0,25λ dist
2 ) / g
g = 1,1
A= 5,937 cm 2
f y = 30 kN/cm
2
N dist = 131,435 kN
2 Flambagem da barra por flexão, por torção
ou por flexotorção [NBR 147627.7.2]
N ex = 262,028 kN (demonstrado no cálculo de
M xRd deste exemplo)
N ey = 37,999 kN (demonstrado no cálculo de
M xRd deste exemplo)
N et = 39,726 kN (demonstrado no cálculo de
M xRd deste exemplo)
Perfil monosimétrico: em relação ao eixo X
[NBR14762 7.7.2.2]
N ext = 37,527 kN
N e = 37,527 kN (menor valor entre N ex , N ey , N et e
N ext )
modo de flambagem: flambagem por flexotor
ção a= 0,34 (curva b)
(sempre que o modo crítico de flambagem for
por flexotorção tomase a curva b de resistên
cia)
( Aef = A para esse primeiro cálculo de λ 0 )
Cálculo da área efetiva:
Resumo do cálculo das larguras efetivas:
σ = 5,39 kN/cm 2
1 Largura efetiva dos enrijecedores
Elemento AL
b= 1,6 cm
σ 1 = 5,39 kN/cm
2 σ 2 = 5,39 kN/cm
2 ψ= 1
NBR14762 Tab05.caso a k= 0,43
λ p (b=1,6 t=0,2 k=0,43 σ=5,39 ) à λ p =0,208
[λ p < 0,673]
b ef = b
2 Largura efetiva das mesas enrijecidas
NBR14762. 7.2.2.2 Elemento com enrijecedor
de borda:
σ 1 = 5,39 kN/cm
2 σ 2 = 5,39 kN/cm
2
b=5,2 cm D=2 cm t=0,2 cm
d ef =1,6 cm
d=1,6 cm σ=5,39 kN/cm 2 θ=90 º
λ p0 =0,677
I s = 0,068267 cm4
k a =3,327
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
-
- -
-
+
=
2
2
0 0
2
0 0 ) (
] ) / ( 1 [ 4
1 1
] ) / ( 1 [ 2 et ex
et ex et ex
ext
N N
r x N N
r x
N N
N
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+
-
- -
-
+
=
2
2
0 0
2
0 0 ) (
] ) / ( 1 [ 4
1 1
] ) / ( 1 [ 2 et ex
et ex et ex
ext
N N
r x N N
r x
N N
N
0
ef y
e
A f
N
l = = 5 937 30
37 527
,
,
×
= 2,179
( ) 2 0 5 1 0 34 2 179 0 2 2 179 , , , , , b é ù = + - + ë û
β= 3,209
( ) 0 5 2 2 0
1
1 0
,
, r
b b l
= £
+ -
ρ= 0,18 (aproximado)
σ= 5,39 kN/cm 2 (com ρ aproximado)
94
Dimensionamento à flexão composta
[λ p < 0,673]
Conclusão: para essa tensão, a área da seção
efetiva é igual a da seção bruta.
A ef = 5,937 cm2
λ
0
= 2,179 (usando a área efetiva calculada)
β = 3,209
ρ = 0,18 (novo valor de usando λ
0
calculado com
A
ef
)
g = 1,1
N c,Rd = 29,09 kN
A força normal de compressão de cálculo deve
ser o menor valor calculado: [NBR 147627.7.1]
N c,Rd = 29,089 kN (flambagem por flexotorção)
N c,Rd = 131,435 kN (flambagem por distorção)
N c,Rd = 29,089 kN
Ia=0,0001 cm 4 k=3,327
Is/Ia= 68267
λp(b=5,2 t=0,2 k=3,327 σ=5,39 ) à λp=0,243
[λp ? 0,673] à bef = b
3 Largura efetiva da alma
Elemento AA
b= 14,2 cm
σ1= 5,39 kN/cm 2
σ2= 5,39 kN/cm 2 à ψ= 1
NBR14762 Tab04.caso a à k= 4
λp(b=14,2 t=0,2 k=4 σ=5,39 ) à λp=0,606
0,673 < λ p0 < 2,03 Caso II
9.3 Fluxogramas
A seguir apresentamse fluxogramas
orientativos para o dimensionamento de perfis
formados a frio.
95
96
Dimensionamento à flexão composta
97
98
Dimensionamento à flexão composta
99
100
Dimensionamento à flexão composta
101
103
Referências
Bibliográficas
104
Referências Bibliográficas
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NOR
MAS TÉCNICAS (2001). NBR 14762:
Dimensionamento de estruturas de aço cons
tituídas por perfis formados a frio. Rio de Janei
ro: ABNT
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NOR
MAS TÉCNICAS (2003). NBR 6355: Perfis es
truturais de aço formados a frio Padronização.
Rio de Janeiro: ABNT
BATISTA, E. M.; MALITE, M.;
RODRIGUES, F. C. (2001). Perfis formados a
frio: Comportamento e dimensionamento. IV
Seminário Internacional O Uso de Estruturas
Metálicas na Construção Civil/ I Congresso In
ternacional da Construção Metálica (ICICOM).
FRUCHTENGARTEN, J.. Notas de aula
da disciplina PEF 5734 Estruturas Metálicas
II, do curso de pós graduação – Escola Politéc
nica da Universidade de São Paulo, São Paulo.
CARVALHO, P. R. at al (2006). Curso bá
sico de perfis de aço formados a frio. 2ª ed.
Porto Alegre.
SILVA, E. L. (2006). Sobre o
dimensionamento de perfis formados a frio.
Dissertação de Mestrado – Escola Politécnica
da Universidade de São Paulo, São Paulo.
105
107
Anexo A
Torção em Perfis de Seção Aberta
108
Anexo A Torção em perfis de seção aberta
A.1 – Carregamentos transversais
fora do centro de torção
Figura A.1 – Seção aberta com força cortante fora do CT
A figura A.1 mostra uma seção Ue,
monossimétrica, submetida a um esforço cor
tante V cuja linha de ação não passa pelo cen
tro de torção. As forças v 1 , v 2 ,...v 5 representam
as resultantes das tensões de cisalhamento atu
antes nos elementos de chapa da seção. No
tamse pela figura dois pontos importantes:
1. fazendo o equilíbrio
das forças verticais,
notase que o esforço cortante na alma do per
fil, (v 3 ), é maior que o esforço cortante atuante
na seção (V):
Como na verificação ao esforço cortante
nos perfis formados a frio admitese que todo o
esforço cortante é absorvido pela alma é impor
tante notar que esforço a ser resistido pela alma
deve ser maior que a cortante atuante na se
ção: V Rd > v 3 (onde V Rd é o esforço cortante re
sistente da alma do perfil).
2. fazendo o equilíbrio do momento das
forças no plano da seção, constatase a exis
tência de um momento de torção (M t ) agindo na
seção transversal. É possível notar pela figura
A.1 que, em relação a um ponto arbitrário, o
momento de torção resultante é diferente de
zero: . t M F d = å = v 1 .d 1 + ... + v 5 .d 5 + V.d = 0,
em que “d i ” são as distâncias entre a linha de
aplicação das cortantes “v i ” e o ponto conside
rado.
Porém, é intuitivo pensar que existe um
ponto no plano da seção, em que, se as forças
transversais externas forem nele aplicadas não
ocorrerá torção na seção, pois o momento de
torção resultante das forças de cisalhamento
(V 1 .d 1 , ...V 5 .d 5 ) será igual em módulo mas com
sentido contrário ao momento de torção causa
do pelo carregamento externo. Esse ponto exis
te e é definido, na teoria de flexão, como o cen
tro de torção. Isso ocorre quando o carregamento
é aplicado numa linha que passa pelo CT da
seção (distante x c do centro geométrico), q v da
figura A.1.
Se o carregamento aplicado em uma
viga não passar pelo centro de torção da
seção transversal, a viga estará submetida
à torção.
Observação: CT, centro de torção, é o cen
tro de rotação da seção quando está submeti
da somente à torção. Nos perfis de seção aber
ta de paredes esbeltas, o centro de torção (CT)
coincide com o centro de cisalhamento da se
ção. No caso particular de seção com um eixo
de simetria, o CT encontrase sobre esse eixo.
Nas seções duplamente simétricas o centro de
torção coincide com o centro geométrico da
seção, como são os casos dos perfis tipo I si
métricos.
A.2 Torção
O empenamento de uma seção
corresponde a deslocamentos que ocorrem fora
do seu plano ao ser submetida à torção (fig. A.4).
Ocorre apenas torção uniforme, quando não há
qualquer restrição ao livre empenamento na di
reção longitudinal. A torção uniforme é caracte
V + v3 – v5 – v1 = 0 è v3 = V + v1 + v5
109
rizada por causar na seção transversal um esta
do de tensões de cisalhamento puro. Quando
há restrição ao livre empenamento, ocorre a tor
ção nãouniforme. A torção nãouniforme causa
na seção transversal tensões normais de tração
e compressão (que podem ser vistas como
momentos fletores aplicados em determinadas
regiões da seção) e tensões de cisalhamento.
O efeito do momento de torção (M t ) apli
cado numa barra, portanto, deve ser considera
do em duas parcelas: a primeira se refere à tor
ção de Saint Venant M z , ou simplesmente tor
ção uniforme, e a segunda ao efeito da restri
ção ao empenamento, sendo denominada de
torção com flexão T ù , ou simplesmente torção
nãouniforme. Assim, temos a equação A.1.
M t = M z + T ω (A.1)
A.2.1 Torção Uniforme
Figura A.2 – Tensões de cisalhamento na torção uniforme
As tensões de cisalhamento de um perfil
de seção aberta submetido à torção uniforme
(sem restrição ao empenamento) têm distribui
ção linear ao longo da espessura do perfil, como
mostra o detalhe da figura A.2. O valor da máxi
ma tensão de cisalhamento, máx t , numa seção
submetida ao esforço de torção uniforme, M z ,
pela teoria da torção uniforme (teoria de Saint
Venant) é dado pela equação A.2.
onde, I t é o momento de inércia à torção
da seção transversal. Para perfis de seção aber
ta e paredes finas, o momento de inércia à tor
ção é obtido pela equação A.3.
onde, b i são os comprimentos dos lados
da seção e t é a espessura.
O valor da rigidez a torção é dado por G.I t ,
onde G é o módulo de elasticidade transversal
do material que a barra é formada. Para o aço,
temse G = 7.884 kN/cm 2 .
A.2.2 Torção nãouniforme
Figura A.4 – Empenamento na torção uniforme
O empenamento de uma seção
corresponde a deslocamentos que ocorrem fora
do seu plano. A presença do empenamento em
uma barra invalida as simplificações adotadas
na resistência dos materiais, dentre as quais a
hipótese das seções permanecerem planas na
configuração deformada da barra. A restrição
ao empenamento, ou seja, impedir que ocor
ram deslocamentos fora do plano de uma se
ção, implica no surgimento de tensões normais
t
I
M
t
z
máx = t (eq. A.2)
å = 3
3 t b I i t (eq. A.3)
110
e de cisalhamento na seção transversal. Os efei
tos da restrição ao empenamento devem ser
considerados tanto na análise de tensões quan
to na avaliação da instabilidade da barra.
A figura A.4 mostra um perfil Ue sob efeito
de torção uni forme (sem restrição ao
empenamento) provocada pela aplicação dire
ta de um momento de torção. Não há restrições
a deslocamentos nas extremidades dessa bar
ra, podendo se deformar livremente. Nesse caso,
percebese na configuração deformada da bar
ra, deslocamentos fora do plano das seções,
configurando o empenamento da seção.
Na figura A.5a, no entanto, a barra está
com uma das extremidades engastada. Nesse
caso, o impedimento ao empenamento em uma
extremidade induz à flexão das mesas em seu
próprio plano, o que conduzirá a tensões nor
mais e de cisalhamento nas mesas. Esse tipo
de solicitação origina na barra uma configura
ção de esforços internos que não podem ser
representados pelos esforços internos clássicos
(esforço normal, momento fletor, cortante e tor
ção).
Figura A.5 – Torção nãouniforme (a) e bimomento (b)
A figura A.5b apresenta o mesmo perfil da
figura A.5a separado em duas partes, substitu
indose a solicitação externa original, M t , por um
par de momentos, M, aplicados nos planos das
Anexo A Torção em perfis de seção aberta
mesas do perfil. Esse par de momentos repro
duz a configuração original gerada pelo momen
to M t .
As tensões normais e de cisalhamento
existentes na seção transversal, decorrentes da
restrição ao empenamento, são similares às
tensões oriundas do par de momentos fletores
M, aplicados nos planos das mesas do perfil.
Esse par de momentos fletores multiplicado pela
distância entre eles é denominado de
bimomento, M
ω
= M.h. Ao bimomento estão as
sociadas tensões de cisalhamento agindo nos
elementos de chapa do perfil. A somatória dos
momentos, no plano da seção, devido às resul
tantes das tensões de cisalhamento, τ 1 , τ 2 , τ 3 ... τ n
(figura A.6) resulta em um momento de torção,
T
ω
, denominado de torção com flexão, que
corresponde exatamente à parcela do esforço
de torção aplicado, M t , que é resistido pela res
trição ao empenamento da seção. O esforço de
torção com flexão ao longo da barra (também
chamado de torção nãouniforme), T
ω
, tem o va
lor da derivada do bimomento ao longo da bar
ra, M
ω
, com o sinal oposto, equação A.4.
Figura A.6 – Tensões na torção nãouniforme
A distribuição das tensões normais da se
ção transversal devido à restr ição ao
empenamento assemelhase ao mostrado na
(a) (b)
'
w w M T - = (eq. A.4)
111
figura A.6. Notase que as tensões de tração e
compressão na seção, realmente comportam
se como se houvesse momentos fletores
de
sentido opostos agindo nas mesas do perfil e
as tensões de cisalhamento são corresponden
tes a essas tensões normais. Os deslocamen
tos normais ao plano da seção transversal acom
panham a distribuição de tensões da figura A.6.
A resultante das tensões normais, nesse caso é
nula, e por isso não acarreta nenhum esforço
normal adicional na seção transversal. A resul
tante das tensões de cisalhamento é o momen
to de torção T
ω
.
Figura A.7 – Empenamento na tração
O empenamento na seção transversal não
ocorre somente quando submetida a momento
de torção, mas também, quando a seção é sub
metida a forças fora do seu plano. A figura A.7
procura mostrar de forma intuit iva o
empenamento na seção Ue quando submetida
a uma força de tração (T) localizada próximo ao
vértice do perfil.
Parte das tensões provocadas pela força
T será distribuída na mesa superior e parte irá
para a alma do perfil. As excentricidades da for
ça em relação a ambas conduzem à ocorrência
de momentos fletores nos planos da mesa e
alma da seção, similares ao caso da torção
aplicada ao perfil, configurando o empenamento
da seção. Note que, algo similar ocorre, com
sinal trocado, quando a força for de compres
são, nesse caso, acoplandose aos fenômenos
de flambagem.
O valor do bimomento, (M
ω
), causado pela
aplicação de uma força na direção longitudinal
(figura A.7), na seção onde a força é aplicada, é
obtido pela equação A.5.
onde, ) (P w é o valor da área setorial da
seção no ponto de aplicação da força T, figura
A.7 (nessa ilustração mostrase uma força de
tração, mas ocorre o mesmo, com o sinal troca
do, com uma força de compressão). Uma expli
cação geral sobre a área setorial pode ser vista
no item A.3.
Também neste caso, de aplicação de for
ça longitudinal excêntrica, há esforços internos
de torção induzidos pelas tensões cisalhantes
resultante da restrição ao empenamento (τ 1 , τ 2 ,
τ 3 dafigura 2.6). O valor desse momento de tor
ção nãouniforme, T, é determinado pela equa
ção A.4. Em vista de o momento externo ser nulo,
o momento de torção nãouniforme é equilibra
do por um momento de torção uniforme na se
ção, M
ω
, como mostram as equações A.6 e A.7.
Para calcular os efeitos do empenamento
na seção transversal necessitase das chama
das propriedades setoriais da seção, ω, S
ω
e I
ω
.
Uma explanação geral de como obter essas pro
priedades é mostrada no item A.3 .
As expressões completas das tensões que
atuam numa seção transversal, levandose em
conta os efeitos do empenamento, são mostra
das nas equações A.8 e A.9.
Mω= T. ) (P w (eq. A.5)
Mt = z M T w + = 0 (eq. A.6)
z M T w = - (eq. A.7)
112
Anexo A Torção em perfis de seção aberta
(eq. A.8)
(eq. A.9)
Como pode ser visto na equação A.8, há
uma parcela adicional àquelas da teoria da Re
sistência dos Materiais, correspondente ao efei
to da restrição ao empenamento. A distribuição
dessa parcela das tensões normais, na seção
transversal, portanto, é análoga à da área
setorial ω(s) (figuraA.7).
Da mesma forma, notase na equação A.9,
também, uma parecela adicional, em relação
aos da teoria da Resistência dos Materiais. A
distribuição dessa parecela das tensões de
cisalhamento, na seção transversal, é análoga
à do momento estático setorial, S w ( cuja a defi
nição é mostrada mais adiante). As tensões de
cisalhamento da equação A.9 são constantes
na espessura do perfil, ou seja, não consta nes
sa equação a parcela de tensões oriundas da
torção uniforme. A tensão de cisalhamento total
é determinada adicionandose o valor obtido da
equação A.9 , ao da equação A.2.
A3 Propriedades setoriais
Para calcular os efeitos do empenamento
na seção transversal necessitase das chama
das propriedades setoriais da seção. São pro
priedades geométricas definidas por Vlasov na
teoria de torção nãouniforme. Pode ser feita
uma analogia entre as propriedades setoriais
(área setorial, ω, momento estático setorial, S
ω
e momento de inércia setorial, T
ω
) e as proprie
dades das figuras planas (área, A, momento es
tático, S e momento de inércia à flexão, I). Não
é objetivo deste texto detalhar o cálculo das pro
priedades setoriais, mas, para um entendimen
to geral, serão apresentadas as equações que
as definem e as equações das propriedades
setoriais das principais seções transversais.
CT
s) ( w da equação A.10 é chamada de área
setorial do ponto s em relação ao pólo CT e a
origem O, onde s e r n são vetores com sentido
e direção conforme mostrados na figura A.8. É
usual representar ) (s w por um diagrama traçado
sobre a linha média da seção transversal, com
o valor de ω indicado na direção normal ao con
torno, como mostrado nas figuras A.8 e A.9.
Figura A.8 – Propriedades setoriais
O momento estático setorial no ponto s,
definido na equação A.12, é a área sob o dia
grama da área setorial no intervalo entre o pon
to s e a origems 0 multiplicada pela espessura t,
conforme mostra a figura A.8. A origem s 0 deve
ser um ponto em que S ù é igual a zero, podese
tomar as extremidades do perfil onde o momento
estático setorial é sempre zero.
2 2
x y xy x y x xy y
x y xy x y xy
I M I M I M I M N
x y
A I I I I I I
s
M
I
w
w
w
- -
= - + +
- -
2 2
1
( ) ( ) y xy x x x xy y y v y x
x y xy x y xy
V I V I V I V I
S s S s
t I I I I I I
( )
T
S s
I t
w
w
w
t
é ù + +
= - + ê ú
- - ê ú ë û
ò - =
s
n
CT
s ds r 0 ) ( w (eq. A.10)
113
O momento de inércia setorial, I
ω
, é defini
do pela equação A.13 e é também chamado de
constante de empenamento da seção transver
sal, C
ω
. A rigidez da seção transversal ao
empenamento é definida pelo produto EC w .
A seguir mostramse os valores da área
setorial, ω, dos principais perfis formados a frio:
Figura A.9 – Área setorial de seções Ue e U
Seção Ue e U:
Figura A.10 – Área setorial de seções Z e Z90
Seção L:
Nos perfis tipo L não existe empenamento.
Nesse caso há apenas torção uniforme quando
submetido a esforços de torção (figura A.11).
Figura A.11 – Seção L
0 = w (eq. A.23)
Para os perfis U, Ue, Cr, Z 90 e Z 45 , os valo
res de I
ω
(ou C
ω
) podem ser encontrados nas
tabelas da NBR 6355:2003 para os perfis pa
dronizados ou utilizandose das equações apre
sentadas na mesma norma para os perfis não
padronizados.
No caso de perfi l Z simples (não
enrijecido) o valor de I
ω
pode ser calculado utili
zandose as equações A.18 e A.19 introduzin
ò =
s
s
tds s S
0
. ) ( w w (eq. A.12)
2 1
w c b e w = (eq. A.14)
2 1 2
f w b b w w - = (eq. A.15)
( )D b e w w f c + - = 2 3 (eq. A.16)
g c c x x e - = (eq. A.17)
Seção Z:
A
t b b
w f w
2
2
1 = (eq. A.18)
2 1 2
f w b b w w - = (eq. A.19)
Seção Z90:
÷ ÷
ø
ö
ç ç
è
æ
+ + = 2 1 2
D D b
b b
A
t b
w w
f w f
(eq. A.20)
2 1 2
w f b b w w - = (eq. A.21)
D b w w f - = 2 3 (eq. A.22)
114
Anexo A Torção em perfis de seção aberta
doas na equação de definição, A.13, como
mostrase a seguir:
onde A 1 representa o trecho positivo e A 2
o trecho negativo da área setorial nas mesas,
figura A.12.
Figura A.12 – Áreas setoriais
1 2 e w w são dados nas equações A.18 e
A.19 respectivamente.
Exemplo A.1 Determinar as máximas
tensões de tração e de compressão, na seção
onde é aplicado a carga, de um tirante constitu
ído de perfil tipo Z, submetido a uma força con
centrada de tração, no centro geométrico, no
valor de 100 kN.
Perfil Z 200x50x3
Resolução:
ò = A dA I
2 w w =
2 2 2
1 1 1 2 2 2 2 alma mesa mesa dA dA dA w w w + + ò ò ò
2 2
1 1 w alma
dA b t w w = ò
( )
2 3 1 2 2 1 1
1 1 1 0
1 3
b
mesa
b
dA k x tdx t
b
w w
æ ö
= = ç ÷
è ø
ò ò
2 3
2 2 2
2 2
2 3 mesa
b
dA t
b
w w
æ ö
= ç ÷
è ø
ò
então,
2 2 3 3
2 1 1 2 2
1
1 2
2 2
3 3 w
b b
I b t
b b w
w w w
æ ö æ ö
= + + ç ÷ ç ÷
è ø è ø
(eq. A.24)
onde,
1
1
1 2
b bf
w
w w
=
+
(fig. A.12)
2
2
1 2
b bf
w
w w
=
+
(fig. A.12)
M N
A I
w
w
s w = +
Mω= T. ) (P w
2
( ) 2
w f
P
b b t
A
w = (Anexo A eq. A.18)
) (P w = 8,33
Mω= 100 × 8,33 = 833 kN.cm 2
Iω= 1875cm 6
(Anexo A eq. A.24)
M
I
w
w
w
s w = 833
1875
w =
100
11,1
9 n
N
A
s = = = kN/cm 2
115
Tensão no CG do perfil (máxima tensão de
tração)
Tensão na extremidade do perfil (máxima ten
são de compressão)
Podese visualizar as distribuições de ten
sões na seção transversal no exemplo acima,
onde um tirante constituído de perfil tipo Z apre
senta tensões de compressão consideráveis em
alguns pontos da seção pela figura A.13. Essas
tensões ocorrem na extremidade das mesas do
perfil, quando a parcela das tensões de tração,
A
N
, for menor que a parcela das tensões devido
ao empenamento, que são negativas (ou seja,
de compressão).
100 833
8,33
9 1875
s = + = 11,1+3,7 =
+14,8 kN/cm 2
100 833
41,66
9 1875
s = - = 11,118,5 =
7,4 kN/cm 2
117
Anexo B
Forças transversais nãoparalelas a um
dos eixos principais
118
Anexo B Forças transversais nãoparalelas a um dos
eixos principais
Nos casos em que os eixos principais não
coincidem com as direções das forças aplica
das, a seção transversal do perfil ficará subme
tida a momentos fletores em torno dos dois ei
xos principais e não apenas a momento no pla
no do carregamento. Se o carregamento apli
cado não passar pelo centro de torção (CT) a
seção estará sujeita, também, a esforços de
torção (vide Anexo A). No caso dos perfis tipo Z
e Z com enrijecedor de borda, o centro de tor
ção (CT) coincide com o centro geométrico
(CG), não ocorrendo torção quando submetidos
a forças que passem pelo CG.
Uma força transversal vertical aplicada na
alma do perfil Z, não produzirá esforços de tor
ção, porém, as resultantes das tensões de
cisalhamento, V 1 e V 3 , nas mesas de um perfil Z
submetido a uma força transversal vertical apli
cada na sua alma (passando pelo CG), resul
tam em uma força agindo na direção x. Essa
força provoca um momento fletor em torno do
eixo y, como é mostrado na figura B.1b. Então,
o resultado da força vertical q v , aplicado no CG
de um perfil Z é, além do momento fletor em tor
no de x, deslocamento horizontal da seção ( x
na figura B.1c) e momento fletor em torno do
eixo y, conforme a ilustração da barra deforma
da mostrada na figura B.1.C.
Os efeitos das tensões de cisalhamento
horizontais, responsáveis pelo momento fletor
em torno do eixo y, podem ser analisados e
quantificados projetandose a força vertical, q v ,
nas direções principais de inércia do perfil e
estudando o comportamento do perfil (distribui
ção das tensões na seção e os deslocamentos
na barra), a partir dos eixos principais de inér
cia da seção (x’ e y’).
(a)
(b)
(c)
Figura B.1 – Efeitos de forças transversais nãoparalelas a
um dos eixos principais
Δ
119
Fenômeno análogo ocorre na seção tipo
cantoneira. No entanto, como o centro de tor
ção não coincide com centro geométrico, um
carregamento transversal que passe pelo CG
da cantoneira produzirá, também, esforços de
torção na seção, por isso, esse perfil não é indi
cado quando há ocorrência de carregamentos
transversais, apenas para trabalhar à tração ou
à compressão.
As tensões e deslocamentos decorrentes
do momento fletor aplicado no perfil podem ser
calculados utilizandose as equações comple
tas da Resistência dos Materiais, válidas para
eixos de referências diferentes dos eixos prin
cipais de inércia, conforme mostrado nas equa
ções B.1 a B.4.
(tensões normais) (eq. B.1)
(tensões de cisalhamento) (eq. B.2)
(deslocamento na direção y) (eq. B.3)
(deslocamento na direção x) (eq. B.4)
y
I I I
M I M I
x
I I I
M I M I
2
xy y x
y xy x y
2
xy y x
x xy y x
-
-
+
-
-
- = s
x 2
xy y x
y y xy x
y 2
xy y x
x x xy y S
I I I
I V I V
S
I I I
I V I V
t .
-
+
-
-
+
= t
2
xy y x
xy y y x
I I I
I M I M
" Ev
-
+ -
=
2
xy y x
xy x x y
I I I
I M I M
" Eu
-
-
=
1
2
- 0
8
Dimensionamento de Perfis
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