física geral 3º semestre

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UNIVERSIDADE DE TAUBATÉ 
 
2016 
Apostila de física 
Geral 
3º semestre 
PROF. Thomaz Barone 
 
 
Unitau - Universidade de Taubaté – Instituto Básico de Ciências Exatas 
Apostila de Física Geral III – professor Thomaz Barone 
 
 1 
 
Orientações Pedagógicas para disciplina 
Física Geral 
 Prof. Thomaz Barone 
I. A disciplina de Física Geral é apostilada cabendo ao aluno possuir sua própria apostila; 
II. Ao termino de cada aula ministrada, a apostila apresenta uma série de exercícios relacionados ao conteúdo da aula 
que devem ser realizados periodicamente evitando acumulo dos mesmos e possibilitando esclarecimento de duvidas ao 
longo do semestre; 
III. Os exercícios propostos da apostila não serão resolvidos em sala, sendo as duvidas tratadas anteriormente ao inicio de 
cada uma das aulas ou posteriormente ao termino das mesmas; 
IV. Cabe ao aluno a responsabilidade de resolver os exercícios propostos ao termino de cada aula esclarecendo as dúvidas 
nas aulas seguintes; 
V. A avaliação será continua compreendendo três instrumentos: 
a. Atividades deixadas de uma aula para outra, que podem ser pequenas pesquisas ou exercícios – somando 2,0 
pontos; 
b. Uma avaliação intermediária com consulta a material manuscrito de aula, onde não será permitido xerox ou 
impressão de qualquer espécie – somando 2,0 pontos; 
c. Avaliação semestral, sem consulta – somando 6,0 pontos. 
VI. As avaliações dos itens A e B não admitem segunda chamada, no caso do item A não ser entregue na data prevista 
classificará 0,0 como nota e no item B só será permitida execução em outro dia num prazo máximo de 7 dias após a 
data a ser tratado com o professor em horário alternativo à aula e mediante apresentação de justificativa, a qual o 
professor terá direito de recusa; 
Justificativas aceitáveis: doença ou acidente do aluno ou parente de 1º grau comprovadas, convocação oficial de órgão 
público ou militar. 
VII. As vistas de prova ocorrerão no mesmo dia no caso dos exercícios dos itens A e B, e no prazo de exata uma semana do 
ítem C, o não comparecimento da vista será entendido como ausência de interesse do aluno na mesma; 
VIII. Em todas as avaliações, é proibido o uso de qualquer aparelho eletrônico que não seja uma calculadora científica 
simples; 
IX. É expressamente proibido o empréstimo de qualquer material durante a execução de qualquer atividade avaliativa; 
X. A confirmação de presença é diária sendo realizada em qualquer momento da aula através de chamada nominal; 
XI. O tempo de duração da aula é definido pela instituição cabendo ao aluno a responsabilidade por sua entrada 
posterior ao inicio da aula ou saída anterior ao fim da aula; 
XII. Os exercícios das avaliações contemplarão o conteúdo e o nível de dificuldade dos exercícios da apostila, porém não 
necessariamente serão idênticos aos mesmos; 
XIII. Qualquer pré-requisito ou conteúdo ministrado em disciplina paralela no curso poderá ser utilizado em exercícios de 
sala ou avaliações desde que o conteúdo contemple séries do ensino básico ou semestres anteriores ou igualitários ao 
que o aluno cursa. 
Um ótimo semestre a todos! 
Prof. Thomaz Barone 
thomaz.barone@unitau.com.br 
 
 
 
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I. introdução ao estudo do eletromagnetismo 
 
I.1: Histórico do eletromagnetismo 
 Os fenômenos eletromagnéticos remontam à formação do globo terrestre, desde a formação de chuvas 
com descargas elétricas até o aparecimento do campo magnético terrestre. Os primeiros fenômenos 
descritos datam do século VII a.C tendo sido relatados por Tales de Mileto que teria observado tais 
fenômenos a partir da fricção de âmbar, ou Elektra em grego, que levava a uma eletrização e eventual 
atração elétrica. Os fenômenos magnéticos por sua vez, têm uma descrição um pouco mais antiga, são da 
região da magnésia, na Ásia Menor, onde um pastor chamado Magnes, observou que algumas pedras 
grudavam em seu cajado de ponta de ferro, sem contar a utilização da bússola pelos chineses desde o 
século III a.C, tais pedras foram posteriormente chamadas de magnetita (óxido de ferro). Coube a Gilbert, 
em 1600, médico da corte inglesa, a observação do campo magnético terrestre bem como a atração de 
objetos entre si após serem atritados, seu livro, “De Magnete” pode ser considerado o primeiro tratado 
científico a fazer distinção entre o magnetismo e a eletricidade, Gilbert também observou que o vidro quando atritado com a seda 
adquiria a mesma propriedade do âmbar e por isso definiu o que chamou de eletricidade vítrea e eletricidade resinosa. Ainda no 
século XVII, em 1640, Otto Von Guericke construiu a primeira máquina para produzir eletricidade 
estática enquanto no século XVIII, a partir da década de 1720, Stephen Gray observou a possibilidade de 
transporte da carga elétrica através de fios condutores, dando a primeira definição de condutores e 
isolantes. 
 Benjamin Francklin e Charles du Fay, já no século XVIII, observaram que a eletricidade encontra-
se presente em toda a forma de matéria, observando os dois “tipos” de eletricidade, que originalmente 
foram denominados de eletricidade vítrea e eletricidade resinosa, acabaram por deduzir o que hoje 
sabe-se, que não passam de um mesmo fenômeno relacionado às cargas, as quais batizaram 
posteriormente de positivas e negativas, porém ainda considerando a eletricidade 
como um fluido que percorre o corpo. Segundo o pensamento de Du Fay o excesso de fluido caracterizaria a 
carga positiva enquanto a falta de fluido caracterizaria a carga negativa. Ainda nesse século, em 1745, na 
cidade de Leyden, Pieter van Musschenbroeck conseguiu, pela primeira vez armazenar de forma segura a 
eletricidade num experimento conhecido como garrafa de Leyden, que se tornou o 
primeiro condensador da história. Todavia, “durante as décadas de 1760 e 1770,” 
tornou-se claro, devido ao trablaho experimental de Francklin, do químico e físico 
Joseph Priestley e do excêntrico milionário experimentador Henry Cavendish, 
que a força de atração ou repulsão entre cargas elétricas variava, tal como a 
gravidade, de acordo com o inverso do quadrado da distancia entre elas.” (RONAN, COLLIN A.; 
1987). Foi apenas em 1785 que Charles Coulomb conseguiu quantificar a força de atração ou repulsão 
elétrica através de uma balança de torção e aplicando o mesmo princípio que Cavendish aplicara à 
gravidade um século antes, nascia uma relação entre a lei da força gravitacional e a lei da foça elétrica 
utilizando-se de uma balança de torção. Na mesma época que um biólogo italiano, Luigi Galvani, em 
1780, observou os efeitos da corrente elétrica sobre o sistema nervoso de animais, concluindo que o 
funcionamento deste era elétrico. O ultimo grande avanço do século ocorreria em 1799 quando 
Alessandro Volta conseguiu construir a primeira pilha, a partir de discos de zinco intercalados por discos 
de papelão embebidos em solução salina, possibilitando a produção de corrente elétrica, o que abriu 
caminho para os estudos de eletrodinâmica, possibilitando a Ampere e Ohm o estudo mais detalhado da 
corrente elétrica e da eletrodinâmica. A eletrodinâmica abriu caminho para a experiência de Hans 
Cristian Oersted que em 1820 relacionou o fenômeno magnético ao fenômeno elétrico; na mesma época 
Faraday observou o fenômeno oposto, produzindo corrente elétrica através da oscilação do campo 
Tales de mileto 
James Clerk Maxwell 
Benjamin Francklin 
Charles Coulomb 
Alessandro Volta 
 
 
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Apostila de Física Geral III – professor Thomaz Barone3 
 
magnético no tempo, paralelamente Nicolas Tesla, estudou o campo magnético, agora já como um campo independente do 
elétrico, enquanto Lenz observou a relação entre a corrente elétrica e o campo, dando continuidade aos trabalhos de Faraday e 
abrindo caminho a uma teoria unificada que foi estruturada na segunda metade do século XIX por James Clark Maxwell, criador 
da teoria clássica do eletromagnetismo. “Quando Maxwell e Lorentz deram os toques finais à teoria, eletricidade e magnetismo 
já estavam indissoluvelmente entrelaçados.” (GRIFFTHIS, D.J.; 2011). 
 
 1.2: Conceito de Forças Fundamentais 
 O universo, tal qual o conhecemos hoje, respeita a algumas propriedades que não conseguimos ainda explicar totalmente. 
Entre elas as forças de interação primárias ou forças fundamentais, responsáveis pela estruturação e consistência do universo. 
Segundo nossos conhecimentos atuais podemos definir que o universo conhecido formou-se a partir de uma singularidade, “em 
algum tempo no passado (entre 10 e 20 bilhões de anos atrás), a distância entre as galáxias vizinhas deve ter sido zero. Nesse 
tempo, que chamamos de Big Bang (ou grande explosão), a densidade do universo e a curvatura do espaço tempo devem ter 
sido infinitas. Dado que a matemática não pode realmente lidar com números infinitos, isto significa que a teoria da 
relatividade geral prevê que existe um ponto no universo onde ela própria desmorona. Tal ponto é um exemplo do que os 
matemáticos chamam de singularidade.” (HAWKINS, S; 2000). Esse estado de singularidade é o que entendemos como o inicio 
do universo, logo em seguida a essa singularidade temos os instantes iniciais “segundo a evidencia que dispomos, em seus 
instantes iniciais o universo era uma sopa de matéria e radiação em condições de extrema densidade, temperatura e pressão, 
atingindo energias muitas ordens de grandeza maiores que as atingidas nos laboratórios de hoje.”(HORVATH, J., LUGONES, 
G.; 2007). A partir de então iniciou seu processo de desenvolvimento e expansão até a forma e tamanho que possui atualmente, 
sendo esse desenvolvimento orientado pelas leis universais da física. Segundo essas leis apenas quatro formas de interações 
participaram desse estágio inicial de formação: a interação forte, responsável pela união dos quarks para formar as partículas que 
compõem o núcleo atômico, a interação fraca responsável pelos decaimentos radioativos, à interação gravitacional, responsável 
pela coesão do universo e a interação eletromagnética, responsável pela interação entre subpartículas atômicas. Todas essas 
interações, embora conhecidas sejam apenas descritas, não existindo ainda uma teoria que explique sua origem. Uma 
característica interessante a respeito dessas quatro interações também é o fato de que todas elas apresentam uma ação à distância, 
ou seja, os corpos não necessitam de um contato físico para interagirem. Isso leva a uma classificação das forças conhecidas em: 
 
 
 
 
 Qualquer força conhecida encaixa-se a essa classificação. Atualmente apenas quatro forças de campo são conhecidas, 
justamente as quatro chamadas de forças fundamentais. Todas as outras forças, ou as chamadas forças de contato não passam de 
forças de campo em casos especiais, sendo todas elas de origem eletromagnéticas. “Além de serem preponderantemente 
dominantes no dia a dia, as forças eletromagnéticas são as únicas totalmente compreendidas.” (GRIFFTHIS, D. J.; 2011) 
forças 
contato: 
necessitam de um contato 
entre as superficies dos 
corpos para que ocorra 
campo: 
não necessita de contato 
entre as superfícies dos 
corpos para que ocorram 
 
 
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 1.3: Introdução à teoria elétrica atual 
 Toda a matéria que conhecemos é composta por estruturas microscópicas denominadas átomos. A 
teoria atômica tem suas raízes na Grécia antiga nos trabalhos de Leucipo e Demócrito, no século V a.C. 
mas foi esquecida sendo retomada, já no século XIX por John Dalton, no seu trabalho Um novo sistema 
para a filosofia química, proposto em 1808, que entendeu o átomo como uma esfera indivisível, a própria 
palavra átomo significa indivisível. Para Dalton “a existência dos átomos era a única ideia que poderia 
explicar certas propriedades dos gases que observava, o que o levou a formular e postular as leis de 
proporções definidas, primeira tentativa de relacionar o átomo com a química.” (ABDALLA, MARIA C. 
B.;2006). As ideias de Dalton e Demócrito diferenciavam apenas no que tange ao fato de que para Demócrito os átomos 
variavam em formas geométricas, na teoria de Demócrito, “o mundo é, portanto, composto de montes de matéria em um mar de 
vazio total. Os átomos são substancias sólidas, infinitos em número e forma e, a maioria deles, se não todos, muito pequenos 
para serem vistos” (RONAN, COLLIN A.; 1987), enquanto para Dalton eram todos esféricos, variando apenas em volume. 
Todavia não se pode deixar de notar as semelhanças, muito embora, a teoria grega “difere marcadamente da teoria atômica 
moderna, pois nossa teoria, cujas fundações foram lançadas no século XIX, baseia-se numa medição cuidadosa e numa análise 
química precisa; a teoria atômica grega não deve ser confundida com ela porque, por mais brilhante que seja intelectualmente, 
foi o resultado de técnicas não-experimentais.” (RONAN, COLLIN A.; 1987). 
 A concepção de indivisibilidade foi reformulada com os trabalhos de 
J.J. Thompson nos tubos de raios catódicos, método proposto por Rontgen 
para estudo de radiação eletromagnética, “os raios catódicos surgem 
quando se aplica uma diferença de potencial entre duas placas de metal 
colocadas num tubo de vidro sob alto vácuo. Os raios são emitidos do 
cátodo, ou seja, do eletrodo negativo, daí vem o nome raios catódicos” 
(ABDALLA, MARIA C. B.;2006). O grande problema é que Thomson 
descobriu que, ao contrário do que ocorrera com Rontgen, os raios que ele 
produzira eram partículas, conseguindo inclusive determinar sua relação 
carga-massa. Thompson descobriu com suas experiências em 1897 que os 
átomos seriam formados por duas partes, sendo a mais leve com carga 
negativa, que denominou elétron, termo originalmente utilizado por Stoney 
para a menor quantidade de carga elétrica. Observou ainda que tal partícula era sensível a campos magnéticos e que era muito 
menor que o átomo. “Evidentemente, com a descoberta do elétron, ficou absolutamente claro que ele é bem mais elementar do 
que o mais leve dos elementos químicos.” (ABDALLA, MARIA C. B.;2006). 
 O primeiro passo estava dado, Thomson conseguiu provar ainda que a partícula descoberta era muito 
mais pesada que o átomo de hidrogênio, mas apenas em 1911 o físico neozelandês Ernest Rutherford 
identificou o núcleo atômico dando origem à ideia do átomo nucleado. 
 Rutherford propôs, em 1910, um experimento no qual bombardeou uma placa fina de ouro com radiação 
alfa, núcleos de hélio ionizado, e percebeu que, ao contrário do que esperava, que a maioria da radiação 
ricocheteasse, a radiação atravessava a folha sendo refletida apenas em pequenos pontos de diâmetro muito 
pequeno. Nas palavras do próprio Rutherford, “foi como atirar uma bala de canhão a uma folha de papel e 
ela ricochetear.” Em 1911, Rutherford propôs a 
teoria do átomo nucleado. “Segundo sua 
proposta, cada átomo tem um núcleo central; 
este possui carga elétrica positiva e contem a 
maior parte da massa do átomo. A carga elétrica positiva desse núcleo 
é equilibrada por um ou mais elétrons existentes fora dele.” (RONAN, 
COLLIN A.; 1987). Com isso era possível entender o que Rutherford 
denominou núcleo atômico, todaviahavia ainda um grande problema, 
“a teoria de Maxwell determinava que uma carga em movimento 
John Dalton 
Ernest Rutherford 
 
 
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orbital devia emitir radiação em frequências cada vez mais altas, perdendo cada vez mais energia, até colidir com o núcleo. Em 
outras palavras o eletromagnetismo clássico prevê que o átomo é instável.” (GLEISER, M.;1997). 
 O problema da instabilidade do átomo foi resolvido por Niels Bohr, um dos teóricos mais brilhantes do 
século XX ao postular que os elétrons não poderiam descrever qualquer órbita ao redor do núcleo, mas apenas 
órbitas com uma quantidade de energia definida, aplicando o conceito de quantização de Max Planck à 
eletrosfera do átomo, nascia o modelo básico do átomo com o qual trabalhamos hoje e segundo o qual átomos 
são estruturas fornadas por duas partes fundamentais, um núcleo central, positivo e responsável por 99% de 
sua massa e um grande espaço vazio denominado eletrosfera, “se inflássemos um núcleo atômico ate que ele 
atingisse o tamanho de uma bola de tênis, os elétrons seriam encontrados a duzentos metros de distancia.” (GLEISER, 
M.;1997). Ambas são preenchidas por partículas menores, também chamadas de partículas subatômicas, os prótons, propostos 
em 1919 por Rutherford após experimentos com radiação alfa, “a palavra próton vem do grego e quer dizer primeiro. Não se 
sabe direito quando o termo foi associado à carga positiva do núcleo do átomo de hidrogênio. Segundo consta, próton apareceu 
pela primeira vez numa nota de rodapé do trabalho de Rutherford de 1919.” (ABDALLA, MARIA C. B.;2006), os elétrons, 
anteriormente descobertos em 1897 por Thomson e o nêutron, descoberto em 1932 por James Chadwick. 
 
1.4: Propriedades elétricas da matéria 
 As partículas subatômicas apresentam, à exceção do nêutron, e como várias outras 
na natureza, a propriedade de gerar interação no espaço ao seu redor com outras 
partículas, interação essa que ficou conhecida como interação elétrica. Tal interação 
pode ser atrativa ou repulsiva, o que conduziu à ideia inicial de dois tipos de 
eletricidade, hoje, descartada essa primeira hipótese, admite-se que existe apenas um 
tipo de eletricidade, mas que se manifestas devido a uma propriedade intrínseca das 
partículas denominada carga. 
 Pode-se afirmar que: carga é a propriedade das partículas que permite uma 
interação elétrica entre elas sem necessariamente contato entre as mesmas. “A 
carga é uma propriedade fundamental e característica de todas as partículas elementares que constituem a matéria” (REITZ, J. 
R., MILFORD, F. J., CHRISTY, R. W.; 1982) Embora propriedade da matéria a carga é um ente físico sem definição precisa e 
tudo o que sabemos é como ela se manifesta, mas não porque se manifesta, reagindo de duas formas diferentes, o que levou ao 
conceito de sinal de cargas. “Cada objeto, em nosso visível e tangível mundo, contém uma enorme quantidade de carga; (...) 
com tal igualdade – ou equilíbrio – de cargas, dizemos que o objeto está eletricamente neutro.” (HALLIDAY E RESNICK, 
1993). Assim, “ao próton e ao elétron associou-se uma propriedade chamada carga elétrica, e convencionou-se estabelecer que 
a carga elétrica associada ao próton é positiva enquanto a carga elétrica associada ao elétron é negativa.” (BONJORNO, 
2013). 
 
 
 
carga elétrica 
positiva: 
relacionada ao 
próton 
negativa: 
relacionada ao 
elétron 
 
 
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 Foi Benjamin Francklin quem definiu arbitrariamente que a eletricidade pode aparecer na “forma positiva” ou na “forma 
negativa” observando uma alteração no seu comportamento, em algumas circunstancias as cargas promovem uma interação 
atrativa enquanto em outras um interação repulsiva. Assim podemos concluir que “a presença de cargas elétricas é constatada 
através da existência de forças (atrativas ou repulsivas) entre as mesmas.” (MARTINS, N,; 1975). O que explica um pouco 
mais do funcionamento e estabilidade do átomo. “Do ponto de vista das interações, no núcleo os prótons estão sujeitos à força 
eletromagnética e à força forte, enquanto os nêutrons interagem via força forte.” (DA SILVA, C.;2014) 
Em resumo: 
 
 
 Em um átomo eletricamente neutro as cargas positivas do núcleo são iguais às cargas negativas da eletrosfera, bem como num 
corpo eletricamente neutro as cargas negativas apresentam o mesmo valor que as cargas positivas, nesse caso esse corpo não 
produz interação elétrica sobre outro. 
 Tal descrição, da duplicidade de sinais da carga elétrica, sendo empírica, baseia-se no princípio elétrico fundamental, ou 
Princípio de Du Fay: 
 
“Cargas elétricas de mesmo sinal se repelem e cargas elétricas de sinais contrários se atraem” 
 
 Ou seja, as partículas levam em si a propriedade de responder umas às outras, segundo uma característica denominada carga, 
que além do sinal também tem por característica uma quantidade mensurável. Quantitativamente a carga é medida no Sistema 
internacional (SI) em Coulombs. 
 
“Um Coulomb é a quantidade de carga que atravessa em um segundo a seção reta de um fio percorrido 
por uma corrente de um ampère .” 
 
 Dentro da teoria das partículas fundamentais da natureza conclui-se que o 
elétron é uma partícula fundamental da matéria, ou seja, tem caráter indivisível, 
alia-se a isso o fato de ele ser o responsável pela quase totalidade dos 
fenômenos elétricos e químicos do cotidiano, o que o torna extremamente 
importante do ponto de vista científico. Como já discutido Thomson determinou 
a relação carga-massa para o elétron, mas “entre 1906 e 1913, o físico 
estadunidense Robert Andrews Milikan conseguiu estabelecer 
experimentalmente que a carga do elétron, em módulo, é a menor carga elétrica 
e, portanto, indivisível. Por isso chama-se também carga elementar.” 
(BONJORNO, 2013). Para tanto Milikan desenvolveu um experimento para 
mensurar a carga elétrica do elétron através de uma gota de óleo eletricamente 
carregada, inicialmente carregou a gota com um único elétron e posteriormente a soltou em um cilindro de vácuo, no qual ele 
aplicava um campo elétrico variável, ao equilibrar o peso da gota através da força elétrica ele poderia calcular o valor da sua 
carga, chegando com isso à carga do elétron. O valor mensurado e ainda admitido como sendo o correto foi denominado carga 
fundamental, correspondente a todo e qualquer elétron, sendo uma das constantes físicas da natureza. Tal valor é: 
átomo 
núcleo 
próton: 
carga positiva 
nêutron: 
carga neutra 
eletrosfera 
elétron: 
carga negativa 
 
 
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 7 
 
 
 
 
 
e = 1,6.10
-19
 C 
 
 Ou seja, qualquer elétron, em qualquer ponto do universo apresenta obrigatoriamente essa carga elétrica. O que também 
equivale a dizer que ara juntarmos 1 C de carga precisamos de uma quantia considerável de elétrons: 
 
1C = 6,25.10
18
 elétrons 
 
 Experimentalmente observa-se ainda que a carga do próton é, numericamente, igual à do elétron sendo, todavia, positiva e 
respondendo às mesmas características de ser uma constante como a do elétron. Disso decorre que um corpo será eletricamente 
neutro quando apresentar a mesma quantidade de prótons e de elétrons, o que equivale a dizer que suas cargas negativa e 
positiva são iguais. “Quando falamos que um objeto está carregado significadizer que ele possui uma pequena quantidade de 
carga desequilibrada ou carga líquida.” (HALLIDAY E RESNICK, 1993). Tal fato nos leva a nomear prótons, elétrons e 
corpos carregados como sendo portadores de carga. 
 
Portador de carga é uma partícula, ou conjunto de partículas que apresenta uma carga líquida 
diferente de zero, seja ela positiva ou negativa. 
 
 Quimicamente sabe-se que nas interações entre os átomos os elétrons podem fluir de um átomo para outro, tal fato também se 
dá com corpos extensos, todavia como as partículas são pontos materiais obrigatoriamente apresentam as propriedades 
fundamentais da matéria: massa e conservação; ou seja, os prótons e os elétrons apresentam massas definidas, mensuradas 
experimentalmente e que também se constituem em constantes da natureza: 
 
 
Massa do próton : 1,67.10
-27
 kg 
Massa do elétron : 9,11.10
-31 
kg 
 
 
 Além da massa as partículas respeitam o princípio de Lavoisier de conservação, o que leva à conclusão de que, como a carga 
elétrica é também propriedade intrínseca delas e ela é quantizada, tem-se que: 
 
“A carga elétrica total de um sistema físico fechado é conservada” 
 
 Tal princípio, denominado Princípio da Conservação da Carga (PCC) não encontra casos particulares na física clássica. 
 Pode-se então definir um quadro comparativo entre o próton e o elétron: 
 
 
 
 
carga 
 
massa 
 
Próton 
 
 
+ 1,6.10
-19
C
 
 
1,67.10
-27
kg 
 
Elétron 
 
 
- 1,6.10
-19
C 
 
9,11.10
-31
kg 
 E podemos considerar dois princípios como sendo fundamentais no eletromagnetismo: 
 
 
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 Como o elétron é uma partícula fundamental tem-se que é impossível encontrar-se frações de elétrons, ou seja, em qualquer 
corpo só é possível obter um múltiplo de um número inteiro de elétrons e, portanto da carga fundamental, o que leva à conclusão 
de que, para corpos extensos a carga elétrica total do corpo, representada por Q, seria: 
 
Q = carga elétrica total do corpo 
q
+
 = valor da carga elétrica positiva do corpo 
q
-
 = valor da carga elétrica negativa do corpo 
 
 
Q = q
+
 - q
-
 
 
Onde: 
 
q = n . e 
 
sendo: 
n = número de prótons ou de elétrons do corpo 
e = carga fundamental (1,6.10
-19
 C) 
 
 Observa-se que n obrigatoriamente é um número inteiro positivo, devido a isso dizemos que a carga elétrica é quantizada. 
“Quando uma grandeza física tal como a carga pode ter somente valores discretos em vez de qualquer valor dizemos que é uma 
grandeza quantizada.” (HALLIDAY, RESNICK; 1993). Todavia, tal qual acontece com a energia “a natureza granular da 
eletricidade não se manifesta em experiências macroscópicas, do mesmo modo que não podemos sentir as moléculas de água 
quando nela mergulhamos a mão.” (HALLIDAY, RESNICK; 1993). 
 Define-se que: 
Q > 0 , o corpo está carregado com carga elétrica positiva; 
Q = 0 , o corpo está eletricamente neutro; 
Q < 0 , o corpo está eletricamente negativo. 
princípios básicos da eletrostática 
Quantização da carga: 
a carga de um sistema físico é sempre um 
multiplo inteiro da carga fundamental 
Atração e repulsão: 
cargas de mesmo sinal se repelem e de 
sinais contrários se atraem 
Conservação da Carga: 
a carga total de um sistema físico isolado 
não se altera 
 
 
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 O que obrigatoriamente leva às conclusões: 
 A carga líquida de um corpo extenso é a diferença entre sua carga positiva e negativa; 
 Corpos eletricamente neutros não são corpos que não possuem cargas elétricas mas sim corpos nos quais as cargas 
positivas e negativas apresentam o mesmo valor; 
 Todos os corpos da natureza apresentam cargas elétricas; 
 Corpos neutros que ganham elétrons ficam negativos e corpos neutros que perdem elétrons ficam positivos; 
 
 Para facilidade de estudo pode-se definir que o portador de carga que se movimenta é o elétron, nesse caso um corpo positivo 
é aquele que perdeu elétrons enquanto um corpo negativo é aquele que ganhou elétrons, isso devido tanto ao comportamento 
atômico do elétron quanto ao fato de apresentar massa aproximadamente 2000 vezes menor que o próton, todavia sabe-se que 
existem casos nos quais íons inteiros podem se deslocar em soluções, não necessariamente sendo os negativos, em outras 
palavras, “em um condutor metálico, as cargas móveis são sempre elétrons, contudo é mais conveniente descrever o processo 
como se as cargas móveis fossem positivas. Em soluções iônicas e em gases ionizados, existem cargas móveis positivas e 
negativas.” (YOUNG, FREEDMAN, SEARS, ZEMANSKI; 2013) 
 
I.5: Eletrização 
 Outra característica importante a ser salientada nesse processo é o fato de que cada material apresenta uma “facilidade” para a 
passagem de carga por ele, ou seja, em alguns materiais a carga flui mais facilmente, ou com menos gasto de energia, que em 
outros, “os materiais, como o vidro, que conservam as cargas nas regiões onde elas surgem 
são chamados isolantes, ou dielétricos. Os materiais nos quais as cargas se espalham 
imediatamente são chamados condutores.” (RAMALHO, NICOLAU, TOLEDO; 2003), tal 
fato ocorre quando, a partir das ligações em compostos sólidos metálicos a nuvem eletrônica 
se estende por todo o material. Os elétrons dessa nuvem “não estão ligados a qualquer 
átomo, mas estão deslocalizados sobre o cristal. Esses elétrons são chamados de elétrons 
livres ou gás de elétrons.” (RUSSEL, JOHN B.;2012) É a presença ou não destes elétrons 
livres que leva à classificação desses materiais inicialmente em corpos isolantes ou corpos 
condutores. 
 Corpos isolantes: são aqueles nos quais a carga elétrica, ou as partículas 
portadoras, fluem com muita dificuldade, demandando um grande gasto de energia para seu movimento; 
 Corpos condutores: são aqueles nos quais as cargas elétricas, ou as partículas portadoras, fluem com facilidade, 
necessitando de pouca energia pra tal movimento, ou seja, uma vez no corpo se espalham por sua superfície. 
 Existem ainda corpos semicondutores e corpos supercondutores, os primeiros dependem de sua composição química, o que 
chamamos de dopagem, enquanto os segundos dependem das condições físicas a que estão expostos, principalmente térmicas, 
“a estrutura e a natureza elétrica dos átomos são responsáveis pelas propriedades dos condutores e isolantes.” (HALLIDAY, 
RESNICK; 1996). Elétrons com mobilidade na estrutura do material são denominados elétrons livres enquanto os que estão 
altamente presos aos átomos são denominados elétrons ligados. “Os elétrons livres num metal são responsáveis por suas 
características condutividades elétrica e térmica.” (RUSSEL, JOHN B.;2012) Assim: 
 
 
 
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 10 
 
 
enxofre
 
 
I.5.1: Eletrização por atrito 
 
 Esse processo de eletrização ocorre entre dois isolantes neutros, havendo a necessidade de fricção entre eles, nesse caso a 
carga é forçada entre os corpos havendo transferência de elétrons entre os corpos devido à diferença de eletronegatividade entre 
os materiais que compõem os corpos, ou seja, a tendência que os corpos possuem de atrair para si os elétrons, bem como às 
forças microscópicas que atuam sobre eles. Um dos corpos ganha elétrons ficando negativoenquanto o outro perde elétrons 
ficando positivo, como pelo PCC o numero total de cargas não pode ser alterado tem-se que as cargas de ambos os corpos ficam 
iguais em módulo mas com sinais opostos. Experimentalmente é possível construir uma sequência na qual podemos identificar 
qual dos corpos ficará negativo e qual ficará positivo, tal sequencia é denominada série triboelétrica, e é ordenada de forma que 
o material que estiver à direita fique positivo (por ser menos eletronegativo) e o que estiver à esquerda fique negativo (por ser 
mais eletronegativo). Um exemplo de serie seria: 
 
 
Vidro – mica – lã – seda – papel – madeira – âmbar – ebonite – enxofre 
 
 
 Assim se esfregarmos papel ao vidro o papel ficará negativo e o vidro positivo, pois o vidro vem antes na série, enquanto se 
esfregarmos o mesmo papel ao âmbar o papel ficará positivo e o âmbar negativo. 
 
I.5.2 Eletrização por contato 
 
 Esse processo consiste em encostar dois corpos condutores sendo um deles obrigatoriamente carregado, nesse caso a carga 
elétrica flui facilmente entre eles estipulando um equilíbrio que será discutido mais tarde, porém respeitando o PCC, ou seja, os 
corpos ficam com cargas que podem apresentar módulos diferentes mas sinais iguais. Uma observação importante é a de que 
para corpos iguais, ou seja, de mesmas dimensões e mesmo material, a carga final em um processo de eletrização por contato 
será a média aritmética das cargas iniciais dos corpos, nesse caso a carga final de todos será igual, tanto em módulo quanto 
em sinal. 
 
 I.5.3Eletrização por indução 
 
 O mais importante de todos os processos, implica no fato de não haver contato entre os corpos durante a eletrização. Um dos 
corpos obrigatoriamente tem de estar inicialmente carregado, esse será o chamado indutor, pois ele forçará a eletrização do outro 
corpo, que será chamado induzido e que, por sua vez deve estar ligado a outro corpo para descarregar suas cargas. O princípio 
corpos 
condutores 
elétrons livres 
elétrons ligados 
isolantes elétrons ligados 
 
 
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 11 
 
que rege esse fenômeno é o principio de Du Fay, que leva ao fato de a carga final do 
induzido é sempre oposta à carga do indutor. 
Uma conclusão a que se chega no estudo da indução é a de que um corpo eletrizado A 
atrairá um condutor B se este apresentar carga oposta ao corpo A ou estiver neutro. 
 Outro fato que deve ser levado em conta é o de que tanto nosso corpo quanto a Terra 
são condutores, então: 
a) Não se consegue eletrizar por atrito um corpo segurando-o diretamente com a 
mão, uma vez que as cargas fluirão para nosso corpo; 
b) Todo corpo quando ligado à Terra descarrega, ou seja, az superfície da Terra 
funciona como uma espécie de “esponja” de cargas, descarregando qualquer corpo que a 
ela esteja ligado. 
 Pelo estudo da indução podemos facilmente notar que “um corpo carregado pode exercer força até mesmo sobre objetos 
descarregados.” (YOUNG, FREEDMAN, SEARS, ZEMANSKI; 2013). Uma vez que, pela simples proximidade é possível 
polarizar o corpo neutro tão mais fácil quanto mais condutor for esse corpo. Mesmo corpos dielétricos podem ser polarizados, 
todavia, com maior dificuldade já que “mesmo em um isolante, as cargas elétricas podem se deslocar ligeiramente para frente 
ou para trás, quando existe uma carga em suas vizinhanças.” (YOUNG, FREEDMAN, SEARS, ZEMANSKI; 2013). 
 
Exercício resolvido 1: 
 A massa de uma moeda de cobre é 3,11g. Sendo eletricamente neutra, ela contém cargas iguais de cargas positivas e negativas. 
Qual é o módulo q da carga total positiva na moeda? R.:137kC 
 
Exercício resolvido 2: 
Três esferas metálicas iguais, A, B e C, estão apoiadas em suportes isolantes, tendo a esfera A 
carga elétrica negativa. Próximas a ela, as esferas B e C estão em contato entre si, sendo que C 
está ligada à Terra por um fio condutor, como na figura. A partir dessa configuração o fio é 
retirado e, em seguida, a esfera A é levada para muito longe. Finalmente, as esferas B e C são 
afastadas uma da outra. Após estes procedimentos quais as cargas das três esferas? 
 
Exercício resolvido 3: 
Uma esfera metálica (A), eletricamente neutra é posta em contato com outra esfera igual, carregada com carga 4Q. Depois a 
esfera A é posta em contato com outra esfera igual e carregada com carga 2Q. Qual a carga final da esfera A depois de entrar em 
contato com a segunda esfera carregada? R.: 2Q 
1ª lista de exercícios propostos 
 
1) Dois bastões metálicos idênticos estão carregados com a carga de 9µC. Eles são colocados em contato com um terceiro 
bastão, também idêntico aos outros dois, mas cuja carga líquida é zero. Após o contato entre eles ser estabelecido, afastam-
se os três bastões. Qual é a carga líquida resultante, em 
C,μ
 no terceiro bastão? R.: 6 
 
2) Deseja-se eletrizar um objeto metálico, inicialmente neutro, pelos processos de eletrização conhecidos, e obter uma 
quantidade de carga negativa de 3,2µC. Para se conseguir a eletrização desejada será preciso retirar ou colocar quantos 
elétrons? R.: acrescentar ao objeto 
20
 trilhões de elétrons 
 
3) Uma esfera metálica 
A,
 eletrizada com carga elétrica igual a -20 µC é colocada em contato com outra esfera idêntica B 
 
 
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eletricamente neutra. Em seguida, encosta-se a esfera B em outra C, também idêntica eletrizada com carga elétrica igual a 
50 µC. Após esse procedimento, as esferas B e C são separadas. Determine a carga elétrica armazenada na esfera B no final 
desse processo. R.: 20µC 
 
4) Duas esferas metálicas iguais, A e B, estão carregadas com cargas QA = 76 µC e QB = 98 µC respectivamente. Inicialmente, 
a esfera A é conectada momentaneamente ao solo através de um fio metálico. Em seguida, as esferas são postas em contato 
momentaneamente. Calcule a carga final da esfera B, em 
C.μ
 R.:49 µC 
 
5) Sete bilhões de habitantes, aproximadamente, é a população da Terra hoje. Assim considere a Terra uma esfera carregada 
positivamente, em que cada habitante seja equivalente a uma carga de 1 u.c.e.(unidade de carga elétrica), estando esta 
distribuída uniformemente. Desse modo, qual a densidade superficial de carga, em ordem de grandeza, em u.c.e./m
2
? 
Considere: Raio da Terra = 6 x 10
6
 m e 
π
= 3. R.10
-5
 
 
6) Três esferas metálicas idênticas, A, B e C, se encontram isoladas e bem afastadas uma das outras. A esfera A possui carga Q 
e as outras estão neutras. Faz-se a esfera A tocar primeiro a esfera B e depois a esfera C. Em seguida, faz-se a esfera B 
tocar a esfera C. No final desse procedimento, determine as cargas das esferas A, B e C, respectivamente. 
R.: Q/4, 3Q/8 e 3Q/8 
7) Um fato pouco frisado é a igualdade numérica entre a carga do elétron e a do próton. Considere uma esfera de zinco de 
massa 6,54 g na qual a carga do elétron e a do próton diferem entre si por uma parte em um milhão da carga elementar (
Q
=1,0 x 10
−6
 e ). Nesse caso, calcule o módulo do excesso de carga, em coulomb. Dados: Constante de Avogadro: 6,0 
x 10
23 
; Carga elementar: e = 1,6 x 10
−19
 C R.: 0,29 
 
8) Três esferas condutoras idênticas A, B e C estão sobre tripés isolantes. A esfera A tem inicialmente carga elétrica de 6,4µC, 
enquanto B e C estão neutras. Encostam-se as esferas A e B até o equilíbrio eletrostático e separam-se as esferas. Após isso, 
o procedimento é repetido, destafeita com as esferas B e C. Sendo a carga elementar 1,6.10
-19
 C, calcule o número total de 
elétrons que, nessas duas operações, passam de uma esfera a outra. R.: 3,0 . 10
13
 
 
9) Duas pequenas esferas metálicas idênticas e eletricamente isoladas, X e Y, estão carregadas com cargas elétricas + 4 C e - 8 
C, respectivamente. As esferas X e Y estão separadas por uma distância que é grande em comparação com seus diâmetros. 
Uma terceira esfera Z, idêntica às duas primeiras, isolada e inicialmente descarregada, é posta em contato, primeiro, com a 
esfera X e, depois, com a esfera Y. Quais as cargas elétricas finais nas esferas X, Y e Z respectivamente. 
 R.: + 2 C, - 3 C e - 3 C 
 
10) Duas pequenas esferas idênticas A e B têm cargas respectivamente QA = -14 . 10
-6
 e QB = 50 . 10
-6
C. As duas são colocadas 
em contato e após atingido o equilíbrio eletrostático são separadas. Lembrando-se que a carga de um elétron é 1,6 . 10
-19
C, 
é correto afirmar que, após atingido o equilíbrio, o que acontece com as partículas atômicas das esferas? 
R.: 2 . 10
14
 elétrons terão passado de A para B. 
 
11) Quatro esferas condutoras idênticas, 1, 2, 3 e 4, estão isoladas umas das outras. Inicialmente, 1 está com carga Q e as outras 
estão neutras. Em seguida, faz-se o contato entre as esferas 1 e 2; após, realiza-se o contato entre as esferas 1 e 3 e 
finalmente entre 1 e 4. Após cada contato, as esferas são separadas. Quais as cargas finais das esferas? 
 R.: q1 = Q/8, q2 = Q/2, q3 = Q/4, q4 = Q/8 
 
 
 
 
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II. Estudo das grandezas vetoriais em eletrostática 
II.1:Lei de Coulomb 
 “O problema fundamental que a teoria eletromagnética espera resolver é o seguinte: temos algumas cargas elétricas Q 
(vamos chama-las de cargas fonte); que forças elas exercem em outra carga q (vamos chamá-la de carga de prova)? As 
posições das cargas fonte são dadas (como funções do tempo); a trajetória da partícula de prova deve ser calculada. Em geral, 
tanto as cargas fontes quanto as de prova estão em movimento.” (GRIFFTHIS, D. J.; 2011) 
 Para tanto se recorre às leis do movimento de Newton que se baseiam no conceito de força para descrever as funções de 
movimento. Da definição entende-se que força é uma interação (ação) entre dois corpos, ou seja, existe um corpo que atua, 
fazendo a força enquanto outro sofre a ação do primeiro, sofre a força. Sendo uma interação entre dois corpos a força deve estar 
sempre relacionada a eles, sendo o primeiro passo entender quem faz e quem sofre a força. 
 A força elétrica foi estudada no século XVIII por Charles Augustin Coulomb e, devido a isso 
muitas vezes também é denominada força coulombiana, sendo sua lei chamada lei de Coulomb. 
Devido à sua extrema semelhança com a lei da gravitação universal de Newton há muitas 
especulações ao fato de Coulomb ter se inspirado na primeira uma vez que os fenômenos elétricos 
em muitos momentos são semelhantes aos gravitacionais, a grande diferença entre eles reside no fato 
de que a gravidade é sempre atrativa, não se identificou até hoje um efeito de gravidade repulsivo, 
enquanto a eletricidade pode ser atrativa ou repulsiva segundo os sinais das cargas como já 
enunciado no princípio de Du Fay. 
 Baseado no mesmo princípio que Henry Cavendish utilizou para definir a constante gravitacional 
G, Coulomb utilizou uma balança de torção na qual acoplou cargas elétricas medindo a reação 
através das torções o que o levou a enunciar empiricamente a lei da interação entre duas cargas 
elétricas pontuais separadas por uma distância qualquer da seguinte forma: 
 
 
As forças de interação elétricas entre duas partículas puntiformes eletrizadas possuem intensidades 
iguais e são sempre dirigidas segundo o segmento de reta que as une. Suas intensidades são diretamente 
proporcionais ao módulo do produto das cargas e inversamente 
proporcionais ao quadrado da distância entre as partículas. 
 
 Matematicamente: 
 
 ⃗⃗ 
 
 
 ̂ 
Onde: 
F = força elétrica entre as cargas medida em newtons ( N ) 
q = carga elétrica medida em coulombs ( C ) 
r = distância entre as duas cargas elétricas medida em metros ( m ) 
r12 = vetor unitário na direção da reta que une o centro das cargas 
k = constante de Coulomb, ou constante eletrostática. 
 
Balança de torção 
 
 
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 14 
 
 
 Como a força é um agente vetorial, ou seja, apresenta intensidade, direção e sentido, a equação acima apresenta o versor 
direcional ̂, que aponta na direção da reta suporta que atravessa o centro dos dois 
corpos envolvidos na interação, para situações em que se busque apenas o valor da 
força (intensidade do vetor) o versor pode ser simplesmente desconsiderado. Neste 
caso a lei assume a forma: 
 
 
 
 
 
 
 Onde: 
F = força elétrica entre as cargas => [F] = N 
K = constante eletrostática ou constante de Coulomb => 9.10
9 
N.m²/C² 
q = cargas envolvidas => [q] = C 
R = distancia entre as cargas => [R] = m 
 
 A definição de Coulomb leva em consideração duas situações: 
 As cargas envolvidas devem ser pontuais, ou seja, a distância entre os corpos deve ser muitíssimo maior que as 
dimensões desses corpos, ou essas dimensões devem ser desconsideradas; 
 As cargas envolvidas devem estar em repouso, ou seja, a Lei de Coulomb é uma lei eminentemente eletrostática. 
 A intensidade das forças sobre cada uma das cargas é igual, ou seja, vale a terceira lei do movimento de Newton, enquanto a 
direção da força é dada pelo versor r12 que acompanha o segmento de reta que une os corpos, todavia o sentido das forças será 
dado pelo princípio de Du Fay. 
 A constante eletrostática representa uma discussão interessante uma vez que simplifica a lei tendo, como o próprio nome diz, 
um valor constante, já que é calculada como uma relação entre outros valores também constantes, seu valor, no vácuo e em 
unidades do sistema internacional seria aproximadamente: 
 
 
 
 A constante eletrostática demonstra “a importância do meio onde as duas cargas estão imersas. Se duas cargas separadas 
por certa distancia passam do vácuo para um meio material, o valor da força elétrica diminui. Ocorre a redução por um fator 
denominado constante dielétrica do meio” (BONJORNO, CLINTON; 2013) que atua sobre uma constante mais fundamental, 
relacionada com a velocidade da luz no vácuo, e que define a constante eletrostática. Tal constante sim, pertence à tabela de 
constantes universais da física e representa a capacidade do campo elétrico de permear a região à sua volta, a permissividade 
elétrica do vácuo (ε0) tal constante apresenta, no SI, o seguinte valor: 
k = 9.10
9
 N.m
2
/C
2
 
 
 
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 15 
 
 
𝒌 
𝟏
𝟒𝝅𝜺𝟎
 
ε0 = 8,85.10
-12
 C²/N.m² 
 
 Trabalhando com a permissividade elétrica a constante eletrostática pode ser calculada a partir da seguinte relação: 
 
 
 
 É importante observar que, da definição de k, “para todos os meios materiais ε0 < ε. Daí concluímos que, para cargas 
puntiformes, a força é maior quando as cargas elétricas se localizam no vácuo.” (MARTINS, N.;1975). 
 Para o caso de mais de duas cargas envolvidas no processo, desde que respeitando as condições 
para utilizaçãoda lei de Coulomb “podemos usar o princípio da superposição, que também é um 
resultado de experimentos, para determinar a força resultante em determinada carga – somando 
vetorialmente as forças parciais exercidas sobre ela em função de cada uma das cargas restantes 
individualmente.” (NOTAROS, B. M.; 2011). Em outras palavras, “isso significa que a força que 
atua sobre a carga q1, devido às demais cargas q2, q3,... é a soma vetorial das forças de cada uma 
das cargas , como se as demais não estivessem presentes.” (MARTINS, N.;1975). Então 
matematicamente falando sempre usaremos as cargas aos pares para determinar as forças 
individuais e depois procedemos a soma vetorial dessas forças. 
Exercício resolvido 4: 
Duas cargas puntiformes, de 0,05μC cada uma, estão separadas por uma distância de 10cm. Achar: 
a) O módulo da força exercida por uma carga sobre a outra. R.: 2,25.10
-3
N 
b) O numero de unidades fundamentais de carga em cada uma delas. R.: 3,125.10
11
 elétrons 
Exercício resolvido 5: 
Três cargas puntiformes estão sobre o eixo dos x. A carga q1 = 25nC está na origem, a carga q2 = -10nC em x = 2m e a q0 = 
20nC em x = 3,5m. Determine a resultante de forças em q0. R.: -4,33.10
-7
N 
Exercício resolvido 6: 
A carga q1= +25nC está na origem, a carga q2 = -15nC está no eixo dos x em x = 2m e a carga q0= +20nC está no ponto P(2,2), 
em unidades do SI. Achar a força resultante sobre q0. R.: 4,85.10
-7
N 
Exercício resolvido 7: 
A distância média r entre o elétron e o próton no núcleo do átomo de hidrogênio é de 5,3.10
-11
m. 
a) Qual a força eletrostática média que atua entre essas duas partículas? R.: 8,2.10
-8
N 
b) Qual é o módulo da força gravitacional entre elas? R.: 3,61.10
-47
N 
 
 
 
 
 
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Exercício resolvido 8: 
 
Dois corpos estão afastados entre si por uma distância de 5.10
-10
m. Sabendo que a força entre estes corpos é de 3,7nN determine 
quantos elétrons foram retirados do sistema. R.: 3,2.10
-19
eletrons 
 
2ª lista de exercícios propostos: 
1) Duas pequenas esferas, E1 e E2 feitas de materiais isolantes diferentes, inicialmente neutras, são atritadas uma na outra 
durante 5s e ficam eletrizadas. Em seguida, as esferas são afastadas e mantidas a uma distância de 30 cm, muito maior que 
seus raios. A esfera E1 ficou com carga elétrica positiva de 0,8 nC. Determine: 
a) a diferença N entre o número de prótons e o de elétrons da esfera E1 após o atrito; R.: 5.10
9
 
b) o sinal e o valor da carga elétrica Q de E2 após o atrito; R.: -8.10
-10
C 
c) o módulo da força elétrica F que atua entre as esferas depois de afastadas. R.:6,4.10
-8
N 
 
2) Sabe-se atualmente que os prótons e nêutrons não são partículas elementares, mas sim partículas formadas por três quarks. 
Uma das propriedades importantes do quark é o sabor, que pode assumir seis tipos diferentes: top, bottom, charm, strange, up 
e down. Apenas os quarks up e down estão presentes nos prótons e nos nêutrons. Os quarks possuem carga elétrica 
fracionária. Por exemplo, o quark up tem carga elétrica igual a qup = (2/3)e e o quark down e o qdown = (-1/3)e onde e é o 
módulo da carga elementar do elétron. 
a) Quais são os três quarks que formam os prótons e os nêutrons? 
b) Calcule o módulo da força de atração eletrostática entre um quark up e um quark down separados por uma distância d = 
0,2.10
-15
m R.:1280N 
 
3) Uma pequenina esfera vazada, no ar, com carga elétrica igual a 1µC e massa 10g é perpassada por um aro semicircular 
isolante, de extremidades A e B situado num plano vertical. Uma partícula carregada 
eletricamente com carga igual a 4µC é fixada por meio de um suporte isolante, no centro 
C do aro, que tem raio R igual a 60 cm conforme ilustra a figura ao lado. Despreze 
quaisquer forças dissipativas e considere a aceleração da gravidade constante. 
Ao abandonar a esfera, a partir do repouso, na extremidade A qual a intensidade da reação 
normal, em newtons, exercida pelo aro sobre ela no ponto mais baixo (ponto D) de sua 
trajetória? R.: 0,4N 
 
4) Uma esfera condutora, indicada pelo número 1 na figura ao lado, tem massa m = 20g e carga 
negativa –q. Ela está pendurada por um fio isolante de massa desprezível e inextensível. Uma segunda 
esfera condutora, indicada pelo número 2 na figura, com massa M = 200g e carga positiva Q = 3µC está 
sustentada por uma haste isolante. Ao aproximar a esfera 2 da esfera 1 ocorre atração. Na situação de 
equilíbrio estático, o fio que sustenta a esfera 1 forma um ângulo θ = 27º com a vertical e a distância 
entre os centros das esferas é de 10 cm. Calcule a carga -q da esfera 1. (Para a resolução deste problema 
considere tan 27º = 0,5) R.:37 nC 
 
5) Considere duas cargas elétricas pontuais, sendo uma delas Q1 localizada na origem de um eixo x e a outra Q2 localizada em 
x = L. Uma terceira carga pontual, Q3 é colocada em x = 0,4L. Considerando apenas a interação entre as três cargas pontuais 
e sabendo que todas elas possuem o mesmo sinal, qual é a razão Q2/Q1 para que Q3 fique submetida a uma força resultante 
nula? R.:2,25 
 
 
 
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6) Duas cargas elétricas pontuais, Q = 2µC e q = 0,5µC estão amarradas à extremidade de um 
fio isolante. A carga q possui massa m = 10g e gira em uma trajetória de raio R = 10cm, vertical, em 
torno da carga Q que está fixa. 
Sabendo que o maior valor possível para a tração no fio durante esse movimento é igual a T = 11N, 
determine o módulo da velocidade tangencial quando isso ocorre. R.:10m/s 
 
7) Duas pequenas esferas eletrizadas, com cargas Q1 e Q2 separadas pela distância d, se repelem com uma força de intensidade 
4 mN Substituindo-se a carga Q1 por outra carga igual a 3Q1 e aumentando-se a distância entre elas para 2d, determine o 
novo valor da força de repulsão. R.: 3mN 
 
8) Duas partículas de massas m1 e m2 estão presas a uma haste retilínea que, por sua 
vez, está presa, a partir de seu ponto médio, a um fio inextensível, formando uma 
balança em equilíbrio. As partículas estão positivamente carregadas com carga Q1 = 
3µC e Q2 = 0,3µC.. Diretamente acima das partículas, a uma distância d, estão duas 
distribuições de carga Q3 = -1 µC e Q4 = -6 µC, conforme descreve a figura ao lado. 
Sabendo que o valor de m1 é de 30 g e que a aceleração da gravidade local é de 10 m/s
2
, determine a massa m2. R.:18g 
 
9) O gráfico ao lado mostra como varia a força de repulsão entre duas 
cargas elétricas, idênticas e puntiformes, em função da distância entre elas. 
Determine: 
a) o valor da força F. R.: 1kN 
b) a intensidade das cargas elétricas. R.: 0,1mC 
 
 
10) Um pêndulo elétrico de comprimento R e massa m = 0,2 kg, eletrizado com carga Q positiva, é 
repelido por outra carga igual, fixa no ponto A. A figura mostra a posição de equilíbrio do pêndulo. 
Qual é o módulo das cargas? 
R.: 7,74.10
-7
 C 
 
 
11) Considere uma balança de braços desiguais, de comprimentos ℓ1 e ℓ2, 
conforme mostra a figura. No lado esquerdo encontra-se pendurada uma 
carga de magnitude Q e massa desprezível, situada a certa distância de outra 
carga, q. No lado direito encontra-se uma massa m sobre um prato de massa 
desprezível. Considerando as cargas como pontuais e sendo desprezível a 
massa do prato da direita, determine o valor de q para equilibrar a massa m. 
R.: 

1
2
2
0
8mg d
(3 3 k Q12) A figura ao lado ilustra uma mola feita de material isolante elétrico, não deformada, toda 
contida no interior de um tubo plástico não condutor elétrico, de altura h = 50 cm. Colocando-se 
sobre a mola um pequeno corpo (raio desprezível) de massa 0,2 kg e carga positiva de 9.10
-6
C, a 
mola passa a ocupar metade da altura do tubo. Determine o valor da carga, em coulombs, que 
deverá ser fixada na extremidade superior do tubo, de modo que o corpo possa ser posicionado em 
equilíbrio estático a 5 cm do fundo. R.: 4.10
-6
C 
 
13) Duas cargas +q estão fixas sobre uma barra isolante e distam entre si uma distância 2d. Uma outra barra isolante é fixada 
perpendicularmente à primeira no ponto médio entre essas duas cargas. O sistema é colocado de modo que esta última haste 
 
 
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fica apontada para cima. Uma terceira pequena esfera de massa m e carga +3q furada é atravessada pela haste vertical de 
maneira a poder deslizar sem atrito ao longo desta, como mostra a figura a seguir. A distância de equilíbrio da massa m ao 
longo do eixo vertical é z. Com base nessas informações, o valor da massa m em questão pode 
ser escrito em função de d, z, g e k, onde g é a aceleração gravitacional e k a constante 
eletrostática. 
Determine a expressão para a massa m. 
 R.:
2
2 2 3/2
6kq z
m
g(d z )


 
 
14) Duas esferas idênticas, carregadas com cargas Q = 30 µC, estão suspensas a partir de um mesmo ponto 
por dois fios isolantes de mesmo comprimento como mostra a figura. Em equilíbrio, o ângulo θ, formado 
pelos dois fios isolantes com a vertical, é 45
°
. Sabendo que a massa de cada esfera é de 1 kg, que a Constante 
de Coulomb é k = 9 × 10
9
 N m
2
/C
2
 e que a aceleração da gravidade é g = 10 m/s
2
, determine a distância entre 
as duas esferas quando em equilíbrio. R.:0,9m 
 
 
15) As cargas Q1 = 2Q e Q2= 3Q se repelem no vácuo com força de 0,6N quando afastadas de 3m. Determine o valor de Q em 
Coulombs. R.: 10.10
-6
C 
 
Desafio: 
 Duas pequenas bolas condutoras idênticas, de massa m e carga q, estão suspensas por fios não-condutores de comprimento L, 
como mostra a figura no exercício 7. Suponha o ângulo entre os fios tão pequeno que seu seno seja igual a sua tangente e mostre 
que, no equilíbrio: 
 (
 
 
)
 
 
 
 
II.2. O estudo do Campo Elétrico 
II.2.1: Definição 
 Como visto a força elétrica tem uma atuação à distância, classicamente entende-se que essa 
interação é levada entre as cargas por um ente físico chamado Campo, o campo é um conceito pensado 
no século XIX por Michael Faraday quando em seus estudos observou que, ao atravessar um fio a 
corrente elétrica exercia uma força perpendicular a ele. Podemos então fazer a descrição da interação 
destas partículas apelando para a noção de campo de forças. É importante observar que “o campo 
elétrico não é uma mera abstração matemática conveniente para a realização de cálculos. É uma 
entidade real, capaz de transportar energia e momento.” (CHAVES, A.; 2007). Assim, ao invés de 
dizer que tal partícula age sobre a outra, podemos dizer que ela cria um campo; toda outra partícula 
que se encontrar nesse campo estará submetida a certa força. Em mecânica clássica, o campo não é 
senão um meio de descrever o fenômeno da interação à distância entre as partículas, segundo ela “o 
campo elétrico é uma entidade vetorial que varia de um ponto a outro e que é determinada pela configuração das cargas fontes; 
em termos físicos E(r) é a força por unidade de carga que seria exercida sobre uma carga de prova que fosse colocada em P.” 
(GRIFFITHIS, D. J.;2011). Assim sendo, para forças de contato: 
Michael Faraday 
 
 
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 19 
 
 
 
 
 
Corpo ↔ corpo 
Enquanto que, para forças de campo: 
Corpo ↔ campo ↔ corpo 
 Isto é, o corpo gera o campo que, por sua vez, atua sobre outro corpo. 
 Pode-se definir classicamente o campo como sendo: 
 Campo é a região do espaço na qual uma carga elétrica pode sentir a presença de outra carga. 
 Matematicamente ainda pode-se determinar o campo como sendo: 
 Campo é a quantidade de força por unidade de carga sentida por uma partícula em determinado 
ponto do espaço. 
 Concluímos que: quanto mais intenso o campo maior será a força sentida pela partícula, o que gerará uma maior aceleração, 
considerando o fenômeno mecânico pode-se afirmar que “o campo indica apenas como se comportaria o corpo de prova caso 
colocado na vizinhança da esfera para a qual o campo é construído” (EINSTEIN, A., INFELD, L.;1938). 
 Hoje se entende o campo como sendo uma região de troca entre os chamado portadores de interação, os fótons no caso 
eletromagnético, que transmitem à distância as interações fundamentais, nesse caso o campo nada mais é que um “mar de 
portadores” os quais também são chamados partículas mensageiras, ou seja, “o campo elétrico é um estado físico especial 
existente em torno dos objetos carregados.” (NOTAROS, 2011). A interação nesse caso é entendida como sendo a interação 
entre esses mensageiros e as partículas, “ao dizermos que o campo elétrico é a região do espaço que envolve uma carga elétrica 
e na qual, ao colocarmos outra carga, esta sofre a ação de uma força de atração ou de repulsão, estamos dando uma noção 
apenas qualitativa do que convencionamos chamar de campo elétrico” (MARTINS, N.; 1975). 
 Classicamente, entretanto a interação elétrica é entendida como sendo uma interação entre os campos produzidos pelas duas 
cargas, assim cada carga leva consigo um campo que a acompanha e a interação entre esses dois campos será a interação elétrica, 
nesse caso poderíamos tranquilamente mudar o referencial e ainda assim teríamos o mesmo resultado. 
 A carga que produz o campo é denominada carga geratriz, enquanto a carga que sente o campo é denominada carga 
teste, ou de prova. Em termos da carga teste e da definição podemos definir o campo elétrico como sendo: 
 
 ⃗⃗ 
 ⃗⃗ 
 
 
Onde: 
 
E = campo elétrico => N/C 
F = força elétrica => N 
q = carga teste => C 
 
 
 
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 20 
 
 Como depende de uma força o campo tem natureza vetorial, sendo seu módulo dado pela equação acima, sua direção igual à 
da força e seu sentido dependente do sinal da carga. 
 Observe-se ainda que, como já dito, o conceito de carga teste ou geratriz depende do referencial adotado, toda carga pode ser 
tanto teste quanto geratriz sem com isso interferir no resultado físico do problema. 
 
II.2.2 Sentido do campo e linhas de campo 
 
 Para o estudo do sinal do campo convenciona-se analisar o sinal que a 
carga teria caso a carga teste fosse positiva, o que nem sempre acontece, mas a 
partir dessa convenção pode-se traçar um conjunto de situações e sendo o 
campo uma grandeza vetorial pode ser representado por um conjunto de 
vetores. A esse conjunto de vetores Faraday deu o nome de linhas de campo, 
elas representam o campo elétrico em cada ponto do espaço apontando na 
direção que uma carga teste positiva sofreria se colocada no campo, “uma 
linha de força é uma linha (ou curva) imaginária traçada de tal forma que 
sua direção e sentido em qualquer ponto sejam os do campo elétrico naquele 
ponto” (REITZ, MILFORD, CHRISTY; 1982). Assim as linhas de campo: 
 
 Apontaem direção à geratriz se esta for negativa; 
 Aponta no sentido contrário à geratriz se essa for positiva. 
 Ou seja, uma carga teste solta no campo elétrico de uma carga positiva aponta sempre na direção oposta a ela, se afastando 
com o tempo enquanto que uma carga teste solta no campo de uma carga negativa será atraída para a carga ao longo do tempo. 
“De modo geral as cargas positivas são fontes (divergências) de linhas de força e as negativas são sumidouros (convergências) 
dessas linhas. Nenhuma linha de força se interrompe em um ponto do espaço em que não haja carga elétrica.” (CHAVES, A.; 
2007). 
 Outra característica das linhas de campo é que elas se tornam mais densas quanto maior for a intensidade do campo 
considerado no ponto. 
 Ao colocarem-se duas cargas juntas o campo assumirá a seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 Existem ainda os chamados campos uniformes, que se formam entre placas carregadas, 
direcionando-se sempre de uma para a outra, como na figura ao lado. Campos elétricos uniformes 
são aqueles que apresentam a mesma intensidade em qualquer de seus pontos, sendo 
extremamente importantes para o estudo do eletromagnetismo. Uma carga constante colocada em 
seu interior sofrerá então uma força constante que a imprimirá uma aceleração igualmente 
constante, o que faz com que tal carga descreve um MRUV na direção das linhas de campo e com 
o sentido definido por seu sinal. 
Cargas sinais opostos 
Cargas de mesmo 
sinal 
 
 
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 21 
 
 Em todos os casos deve-se observar que o campo sempre aponta da carga positiva para a negativa, ou seja, sai da 
positiva e direciona-se para a negativa, o que facilmente nos leva a concluir que uma carga teste positiva acompanhará a 
direção do campo enquanto que uma carga teste negativa se moverá na direção oposta ao campo. 
 
Exercício resolvido 9: 
 
Quando uma carga de prova de 5nC for colocada num certo ponto, sofre uma força de 2.10
-4
 N, na direção x. Qual o campo 
elétrico nesse ponto? R.: 4.10
4
 N/C 
 
Exercício resolvido 10: 
 Um elétron tem velocidade inicial de 2.10
6
m/s, na direção x. O elétron entra num campo elétrico uniforme ⃗⃗ ( ) ̂ . 
Achar: 
a) A aceleração do elétron. 
 R: 7,025.10
13
m/s
2
. 
b) Quanto tempo o elétron leva pra cobrir a distância de 10cm na direção x do campo. R.: 5.10-8 s 
c) Qual o desvio do elétron , e em que direção ele está apontando, após o elétron ter coberto a distância de 10cm na 
direção x dentro do campo? R.: 8,78cm na direção –j 
Exercício Resolvido 11: 
Um campo elétrico uniforme é estipulado entre duas placas carregadas horizontais que apresentam uma distância de 2cm entre si 
e um comprimento de 10cm. Um elétron parte do início do campo com velocidade inicial de 5.10
6
 m/s que faz um ângulo de 45° 
com a placa inferior e o eixo dos x. O campo elétrico está na direção dos y positivos e tem módulo 3,5.10
3
 N/C. Com qual das 
placas o elétron colidirá e em qual ponto? R.: na placa inferior no ponto x = 4cm 
 
3ª lista de exercícios propostos 
1) Num ponto onde o campo elétrico tem intensidade 105 N/C coloca-se uma carga puntiforme de -2µC. Determine a força 
que atua sobre o campo. R.: -0,2N 
 
2) Uma carga elétrica puntiforme q = 1µC com massa de 10-6kg é abandonada em repouso, num ponto A de campo elétrico 
uniforme de intensidade 10
5
 N/C. Determine: 
a) A intensidade da força que atua em q.. R.: 0,1N 
b) A aceleração sofrida pela carga. R.: 105m/s2 
c) A velocidade de q ao passar por um ponto distante 0,2m de A.. R.: 2.102m/s 
 
3) Para achar a aceleração de um elétron, ou de qualquer outra partícula carregada, é importante ter a razão entre a carga 
elétrica e a massa da partícula. 
a) Calcular e/m do elétron. R.: 1,76.1011 C/kg 
b) Qual o módulo e qual a direção da aceleração de um elétron num campo elétrico e uniforme que tem módulo de 100 
N/C? R.: 1,76.10
13
m/s
2
 
c) Só é possível fazer os cálculos das velocidades do elétron com mecânica não relativística se a velocidade do elétron for 
significativamente menor que a velocidade da luz c. Calcular o tempo necessário para que um elétron em repouso num campo 
elétrico de 100 N/C alcance a velocidade de 0,01c. Qual a distância percorrida por esse elétron nesse intervalo de tempo? 
R.: 0,171µs e 25,6cm 
 
 
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 22 
 
4) Uma gota de óleo tem massa de 4.10-14 kg e uma carga líquida de 4,8.10-19C. Uma força elétrica, dirigida na vertical, 
para cima, equilibra a força da gravidade, e a gota de óleo está em equilíbrio. Qual a direção e o módulo do campo elétrico? R.: 
8,3.10
5
 N/C, vertical para cima 
 
5) Uma esfera de peso 20√3 N, com carga de 2C, está em repouso sobre um plano inclinado, liso, feito de material 
isolante, que faz 30° com a horizontal. Determine a intensidade e o sentido do campo elétrico horizontal sobre a esfera. R.: 
10N/C 
 
6) Um pêndulo cônico é constituído por um corpo de massa 4g que está preso a um fio de 8cm e descreve 
uma trajetória de raio igual a 5cm devido apenas à ação de um campo elétrico. Sabendo que a carga do corpo é de 
5µC determine o campo elétrico a que ele está sujeito. R.: 6,4.10
3
N/C 
 
7) Uma pequena esfera de massa M igual a 0,1kg e carga elétrica q = 1,5µC está, em equilíbrio 
estático, no interior de um campo elétrico uniforme gerado por duas placas paralelas verticais carregadas 
com cargas elétricas de sinais opostos. A esfera está suspensa por um fio isolante preso a uma das placas 
conforme o desenho abaixo. Determine a intensidade, a direção e o sentido do campo elétrico. Dados: cos θ 
= 0,8 e sen θ = 0,6 
R.: 5.10
5 
N/C horizontal, da esquerda para a direita 
 
 
8) Uma carga pontual de 8µC e 2g de massa é lançada horizontalmente com velocidade de 20m/s num campo elétrico uniforme 
de módulo 2,5 kN/C direção e sentido conforme mostra a figura a seguir. A carga 
penetra o campo por uma região indicada no ponto A, quando passa a sofrer a ação do 
campo elétrico e também do campo gravitacional. 
Ao considerar o ponto A como sendo a origem de um sistema de coordenadas xOy 
calcule as velocidades vx e vy quando a carga passa pela posição x = 0 pela primeira vez 
novamente. 
R.: vx = -20m/s , vy = -40m/s 
 
9) Em uma aula de laboratório de Física, para estudar propriedades de cargas elétricas, foi realizado um experimento em que 
pequenas esferas eletrizadas são injetadas na parte superior de uma câmara, em vácuo, onde há um campo elétrico uniforme 
na mesma direção e sentido da aceleração local da gravidade. Observou-se que, com campo elétrico de módulo igual a 
2kN/C uma das esferas, de massa 3,2.10
-15
kg permanecia com velocidade constante no interior da câmara. Determine o 
numero de elétrons em relação ao de prótons que essa esfera possui. R.:100 elétrons a mais que prótons. 
 
10) Um próton é injetado no ponto O e passa a se mover no interior de um capacitor plano de placas paralelas, cujas dimensões 
estão indicadas na figura ao lado. 
O próton tem velocidade inicial v0 com módulo 10
5
 m/s e direção formando um ângulo 
θ igual a 45° com o eixo x horizontal. O campo elétrico está orientado na direção do 
eixo y conforme mostrado na figura. Supondo que somente o campo elétrico uniforme 
no interior do capacitor atue sobre o próton, calcule qual deve ser o mínimo módulo 
deste campo para que o próton não colida com a placainferior. R.: 8.10
2
 N/C 
 
11) É conhecido e experimentalmente comprovado que cargas elétricas aceleradas emitem radiação eletromagnética. Este efeito 
é utilizado na geração de ondas de rádio, telefonia celular, nas transmissões via satélite etc. Quando o módulo da 
velocidade de uma partícula com carga elétrica e for pequeno comparado ao módulo da velocidade da luz c no vácuo, 
 
 
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 23 
 
prova-se, utilizando a eletrodinâmica clássica, que a potência com a qual a carga elétrica 
com aceleração constante a irradia ondas eletromagnéticas é 
2 2
irr 3
0
1 2e a
P
4 3c


, onde 
0
 é 
a constante de permissividade elétrica. 
Desprezando-se efeitos relativísticos, considera-se um próton abandonado em repouso em 
um campo elétrico uniforme de intensidade E = 14.10
19
 N/C produzido por um capacitor de 
placas paralelas uniformemente carregadas com cargas de sinais opostos como esquematizado na figura ao lado. 
A distância entre as placas é d = 4.10
-15
m, o meio entre elas é o vácuo, o campo gravitacional é desprezado e o tempo 
necessário para o próton percorrer a distância entre as duas placas é t = 10
-19
s. 
Calcule a energia irradiada durante todo o percurso entre as placas, considerando que a potência de irradiação é 
2
irrP a 
, 
onde 
2
52
3
0
1 2e
6 10 kg s
4 3c
    

. Apresente os cálculos. R.: 1,176.10
-14
J 
12) Uma pequena esfera de 1,6 g de massa é eletrizada retirando-se um número n de elétrons. Dessa forma, quando a esfera é 
colocada em um campo elétrico uniforme de 10
9
 N/C, na direção vertical para cima, a esfera fica flutuando no ar em 
equilíbrio. Calcule o número de elétrons retirados da esfera. R.: 10
8
 elétrons 
 
13) Determine a carga elétrica de uma partícula com 2,0 g de massa, para que ela permaneça em repouso, quando colocada em 
um campo elétrico vertical, com sentido para baixo e intensidade igual a 500 N/C. R.: - 40µC 
 
14) O fato de os núcleos atômicos serem formados por prótons e nêutrons suscita a questão da coesão nuclear, uma vez que os 
prótons, que têm carga positiva q = 1,6 × 10
-19
 C , se repelem através da força eletrostática. Em 1935, H. Yukawa propôs 
uma teoria para a força nuclear forte, que age a curtas distâncias e mantém os núcleos coesos. 
a) Considere que o módulo da força nuclear forte entre dois prótons FN é igual a vinte vezes o módulo da força eletrostática 
entre eles FE , ou seja, FN = 20 FE. Obtenha o módulo da força nuclear forte FN entre os dois prótons, quando separados 
por uma distância = 1,6 × 10
-15
 m, que é uma distância típica entre prótons no núcleo. R.:1,8kN 
 
b) As forças nucleares são muito maiores que as forças que aceleram as partículas em grandes aceleradores como o LHC. 
Num primeiro estágio de acelerador, partículas carregadas deslocam-se sob a ação de um campo elétrico aplicado na 
direção do movimento. Sabendo que um campo elétrico de módulo E = 2,0 × 10
6
 = N/C age sobre um próton num 
acelerador, calcule a força eletrostática que atua no próton. R.:3,2.10
-13 
N 
 
15) Em um seletor de cargas, uma partícula de massa m e eletrizada com carga q é 
abandonada em repouso em um ponto P, entre as placas paralelas de um capacitor 
polarizado com um campo elétrico E. A partícula sofre deflexão em sua trajetória 
devido à ação simultânea do campo gravitacional e do campo elétrico e deixa o 
capacitor em um ponto Q, como registrado na figura ao lado. 
Deduza a razão q/m, em termos do campo E e das distâncias d e h. 
R.: q/m = 
 
 
g . d
E . h
 
16) Entre 1909 e 1916, o físico norte-americano Robert Milikan (1868-1953) realizou inúmeras repetições de seu famoso 
experimento da "gota de óleo", a fim de determinar o valor da carga do elétron. O experimento, levado a efeito no 
interior de uma câmara a vácuo, consiste em contrabalançar o peso de uma gotícula eletrizada de óleo pela aplicação de 
um campo elétrico uniforme, de modo que a gotícula se movimente com velocidade constante. 
Suponha que, numa repetição desse experimento, uma determinada gotícula de óleo tenha um excesso de cinco elétrons, 
e que seu peso seja de 4, 0 × 10 
-15
 N. Nessas circunstâncias, para que a referida gotícula se movimente com velocidade 
constante, determine a intensidade do campo elétrico aplicado. R.: 5 kN/C 
 
 
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 24 
 
17) TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: 
No início do século XX (1910), o cientista norte-americano ROBERT 
MILLIKAN conseguiu determinar o valor da carga elétrica do ELÉTRON como 
q = -1,6

10
-19
C. Para isso colocou gotículas de óleo eletrizadas dentro de um 
campo elétrico vertical, formado por duas placas eletricamente carregadas, 
semelhantes a um capacitor de placas planas e paralelas, ligadas a uma fonte de 
tensão conforme ilustração. 
Admita que cada gotícula tenha uma massa de 1,6

10
-15
 kg. Determine o valor 
do campo elétrico necessário para equilibrar cada gota, considerando que ela tenha a sobra de um único ELÉTRON 
(carga elementar). R.:10
5
 N/C 
 
18) Em uma impressora a jato de tinta, gotas de certo tamanho são ejetadas de um pulverizador em movimento, passam por 
uma unidade eletrostática onde perdem alguns elétrons, adquirindo uma carga q, 
e, a seguir, se deslocam no espaço entre placas planas paralelas eletricamente 
carregadas, pouco antes da impressão. 
Considere gotas de raio igual a 10 µm lançadas com velocidade de módulo v = 
20 m/s entre placas de comprimento igual a 2,0 cm, no interior das quais existe 
um campo elétrico vertical uniforme, cujo módulo é E = 8,0x10
4
N/C (veja 
figura). Considerando que a densidade da gota seja de 1000 kg/m
3
 e sabendo-se 
que a mesma sofre um desvio de 0,30 mm ao atingir o final do percurso, calcule 
o módulo da sua carga elétrica. R.: 3,1 x 10
-14
 C 
 
19) Nas impressoras a jato de tinta, os caracteres são feitos a partir de minúsculas gotas de tinta que são arremessadas 
contra a folha de papel. O ponto no qual as gotas atingem o papel é determinado 
eletrostaticamente. As gotas são inicialmente formadas, e depois carregadas 
eletricamente. Em seguida, elas são lançadas com velocidade constante v em uma 
região onde existe um campo elétrico uniforme entre duas pequenas placas 
metálicas. O campo deflete as gotas conforme a figura a seguir. O controle da 
trajetória é feito escolhendo-se convenientemente a carga de cada gota. Considere 
uma gota típica com massa m=1,0×10
-10
kg, carga elétrica q=-2,0×10
-13
C, 
velocidade horizontal v=6,0m/s atravessando uma região de comprimento 
L=8,0×10
-3
m onde há um campo elétrico E=1,5×10
6
N/C. 
a) Determine a razão Fe/Fp entre os módulos da força elétrica e da força peso que 
atuam sobre a gota de tinta. R.:300 
b) Calcule a componente vertical da velocidade da gota após atravessar a região com campo elétrico. R.: 4m/s 
 
20) O pêndulo da figura está em equilíbrio sob ação do campo gravitacional 
vertical e de um campo elétrico horizontal de amplitude E=2,0kN/C. A esfera do 
pêndulo tem massa m=3,0kg e carga elétrica q=2,0×10
-2
C. O fio tem massa desprezível. 
Qual o valor da tensão no fio, em newtons? 
R.:50N 
 
 
 
 
21) A figura representa duas placas metálicas paralelas de largura L=1,0×10-2m, 
entre as quais é criado um campo elétrico uniforme, vertical, perpendicular às placas, 
dirigido para baixo e de módulo E=1,0×10
4
N/C. 
Um elétron