2 Cálculo 1 Funções

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Fundamentos de economia Pedro Nakashima06/06/2016
Fundamentos de economia
Profº Pedro Nakashima
Cálculo - Funções
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 2/2006/06/2016
Intuitivamente, a palavra função evoca uma ideia de
dependência. Quando se diz que a área de um quadrado é função
de seu lado, que a estatura de uma criança é função de sua idade
ou que a quantidade demandada de uma mercadoria é função de
seu preço, o que se pretende dizer é que a área do quadrado
depende de seu lado, a estatura da criança depende de sua idade e
a quantidade demandada da mercadoria depende de seu preço.
Funções – ideia intuitiva
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 3/2006/06/2016
Essas sentenças podem também ser expressas em símbolos
que, pela comodidade de uso, se tornaram universais. Assim,
chamando por A a área do quadrado e por L seu lado, a
dependência será expressa por A = f(L) ou A = A (L), símbolos que
afirmam que A é função de L. Como A depende de L, A é chamada
variável dependente e L variável independente. Da mesma forma
pode-se escrever simbolicamente E = f(i) para dizer que a estatura
E é função da idade i ou q = f(p) para dizer que a quantidade
demandada q de uma mercadoria é função de seu preço p.
Funções – ideia intuitiva
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 4/2006/06/2016
1. Escreva funções, descrevendo os seguintes fatos:
a) Receita R de um comerciante que vende a quantidade
variável q de mercadorias ao preço unitário de R$ 50,00.
R = 50q
b) Salário mensal y de um operário que ganha R$ 3.300,00
fixos mais R$ 15.00 por hora extra. sabendo que o número x de
horas extras varia todo mês.
Y = 3.300 + 15x
Funções – ideia intuitiva - Exercícios
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 5/2006/06/2016
2. Um vendedor ambulante compra objetos ao preço unitário de R$ 15,00 e vende cada
unidade a R$ 25,00.
a) Expresse seu custo diário C em função da quantidade comprada q.
C = 15q
b) Expresse sua receita diária R em função da quantidade vendida q, que se supõe
igual à quantidade comprada.
R = 25q
c) Expresse seu lucro diário L em função da quantidade q.
L = 10q
d) Qual o lucro do vendedor por unidade vendida (Lucro Unitário, Lu, ou Lucro
Médio, Lme)?
Lme=10
Funções – ideia intuitiva - Exercícios
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 6/2006/06/2016
Chama-se função do conjunto A no conjunto B
uma relação f entre os elementos do conjunto A
e os elementos do conjunto B que faz
corresponder a cada elemento de A um único
elemento de B.
Funções – conceito matemático
O conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto B é chamado
contradomínio da função. Como a definição não obriga que todos os elementos de
B sejam atingidos pela função, o conjunto dos elementos atingidos chama-se
imagem de A pela função f ou simplesmente imagem da função. Se A e B são
conjuntos de números reais, tem-se uma função de variável real a valores reais.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 7/2006/06/2016
Intuitivamente, diz-se que uma função y = f(x) é
contínua num ponto x0 de seu domínio quando,
atribuindo a x valores "próximos" de x0, obtêm-se
para y valores "próximos" de f(x0)
Funções – Características – Função Contínua e Descontínua
Uma função é contínua quando é contínua em todos os pontos do seu domínio. Isto
quer dizer que o gráfico da função não apresenta saltos em pontos que pertencem
ao domínio da função.
A função que não é contínua diz-se que é descontínua.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 8/2006/06/2016
À esquerda, o gráfico de uma
função contínua e, à direita o
gráfico de uma função
descontínua.
Funções – Características – Função Contínua e Descontínua
Só tem sentido dizer que uma função é contínua (ou
descontínua) em pontos que são do seu domínio. A
função y=1/x, por exemplo, cujo gráfico se apresenta à
esquerda, é contínua em todo o domínio, pois, embora
seu gráfico apresente um salto n ponto x=0, esse ponto
não pertence a seu domínio.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 9/2006/06/2016
Uma função y = f(x) é limitada superiormente se existe algum valor L, chamado limitante
superior, que não é superado por nenhum valor da função, isto é, para o qual se tem f(x) ≤
L, qualquer que seja x. O valor L deve pertencer ao contradomínio da função, mas não
obrigatoriamente à imagem da função.
Funções – Características – Função Limitada
Exemplo:
Seja a função Receita (R) de uma empresa, em que a 
variável x é a verba gasta em propaganda:
Nesta função (gráfico à esquerda), existe, por exemplo, o
valor L = 10, que não é superado por nenhum valor da
função. Então, 10 é um limitante superior da função.
Existem outros, como 20, por exemplo.
O menor dos limitantes superiores, no caso o valor 10, é chamado supremo da função.
Indica-se o supremo por Sup.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 10/2006/06/2016
Uma função y = f(x) é limitada inferiormente se existe algum valor I, chamado limitante
inferior, que seja menor ou igual a qualquer outro valor atingido pela função, isto é, se f(x)
≥ I para qualquer valor de x. O valor I deve pertencer ao contradomínio de f, embora possa
não pertencer à sua imagem. O maior dos limitantes inferiores é chamado ínfimo da
função. Indica-se o ínfimo por Inf.
Funções – Características – Função Limitada
Exemplo:
Seja a função Custo Médio (CMe) de uma empresa, em 
que a variável q é a quantidade produzida:
A função não atinge valores menores do que 20. (a
função só é definida para q > O). Então 20 é um
limitante inferior da função, que nem sequer é atingido.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 11/2006/06/2016
Observa-se que, de acordo com as definições dadas, os limitantes inferior e superior não
precisam ser únicos e podem ou não ser atingidos pela função. No entanto, o supremo e o
ínfimo são únicos, embora também não precisem obrigatoriamente pertencer à imagem.
Se pertencerem à imagem, serão respectivamente o máximo e o mínimo absolutos da
função, conceitos que serão abordados ainda neste item.
Funções – Características – Função Limitada
Uma função é limitada quando é limitada inferior e superiormente.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 12/2006/06/2016
Uma função y = f(x) é crescente se, atribuindo a x valores crescentes, se obtêm para y
valores também crescentes. Exemplos:
Funções – Características – Função Crescente e Decrescente
Na Figura 1.17, se forem atribuídos a x acréscimos iguais, obtêm-se para y acréscimos
também iguais. Diz-se, então, que essa função cresce a taxas constantes. (= Função linear)
Na Figura 1.18, acréscimos iguais em x acarretam acréscimos crescentes para y. Essa função
cresce a taxas crescentes. (= Função convexa = Função c/ concavidade voltada p/ cima)
Na Figura 1.19, acréscimos iguais em x acarretam acréscimos decrescentes para y e a função
cresce a taxas decrescentes. (= Função côncava = Função c/ concavidade voltada p/ baixo)
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 13/2006/06/2016
Uma função y = f(x) é decrescente se, atribuindo a x valores crescentes, se obtêm para y
valores decrescentes. Exemplos:
Funções – Características – Função Crescente e Decrescente
Na Figura 1.20, se forem atribuídos a x acréscimos iguais, obtêm-se para y decréscimos também
iguais. Diz-se, então, que essa função decresce a taxas constantes. (= Função linear)
Na Figura 1.21, acréscimos iguais em x acarretam decréscimos decrescentes para y. Essa função
decresce a taxas decrescentes. (= Função convexa = Função c/ concavidade voltada p/ cima)
Na Figura 1.22, acréscimos iguais em x acarretam acréscimos decrescentes para y e a função
decresce a taxas crescentes. (= Função côncava = Função c/ concavidade voltada p/ baixo)
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 14/2006/06/2016
Uma função pode não ser crescente (ou decrescente) em todo o seu domínio, tendo intervalosem que cresce e intervalos em que decresce, apresentando, então, máximos ou mínimos locais,
conforme o caso.
Diz-se que o ponto x0 é ponto de máximo local (ou ponto de máximo relativo) de uma função y
= f(x) se o valor assumido pela função no ponto x0 for maior do que qualquer outro valor
assumido pela função em pontos de seu domínio que estejam numa vizinhança de x0 , isto é,
para qualquer x nessas condições tem-se f(x0) > f(x). Nesse caso, f(x0) é chamado valor máximo
local ou simplesmente máximo local.
Analogamente, x0 é ponto de mínimo local (ou relativo) de y = f(x) se, para qualquer x do
domínio da função que esteja na vizinhança de x0 , tem-se f(x0) < f(x). Nesse caso, f(x0) é
chamado mínimo local.
Não se deve confundir máximo local ou relativo com máximo absoluto, que é o maior valor
assumido pela função em todo o seu domínio. Da mesma forma, mínimo absoluto é o menor
valor assumido pela função no seu domínio. Exemplo:
Funções – Características – Máximos e mínimos de uma função
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 15/2006/06/2016
A figura acima representa uma função y = f(x), que tem, no intervalo de zero a dez, suposto
seu domínio, três pontos de máximo local: x = 2, x = 5 e x = 9 e dois pontos de mínimo
local: x = 3 e x = 7.
Embora tenha vários pontos de máximo local e mínimo local, o ponto de máximo absoluto
x = 5 é único. Nesse ponto, a função assume seu maior valor, Y = 4. A função tem também
um único ponto de mínimo absoluto que não coincide com nenhum dos pontos de mínimo
local. É o ponto x = 10, em que a função assume seu menor valor, y = -3.
Funções – Características – Função Crescente e Decrescente
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 16/2006/06/2016
Os pontos onde a função muda de curvatura e passa de
crescente (ou decrescente) a taxas crescentes para
crescente (ou decrescente) a taxas decrescentes, ou
vice-versa, são chamados pontos de inflexão da
função.
Funções – Características – Função Crescente e Decrescente
Os pontos x = 1 e x = 2, da figura à
esquerda, são pontos de inflexão.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 17/2006/06/2016
Exemplo (função demanda q= -5p + 100):
Em q = -5p + 100, tem-se q = f(p), onde q é função
explícita de p.
Pode-se também escrevê-la na forma F(x,y) = O,
onde q é função implícita de p, como 5p+q-100=0.
Funções – Características – Função inversa
Se uma expressão da forma F(x,y) =0, além de representar uma função da forma y = f(x),
puder também representar outra função da forma x = g(y), diz-se que as funções f e g são
inversas ou que g é inversa de f, e representa-se g por f-1, que é a notação comum para a
função Inversa.
Podemos também escrever p = -q/5 + 20, situação em que temos p = f-1(p), onde p é função
explícita de q.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 18/2006/06/2016
Funções – Características – Função inversa
Nem toda função é inversível. Para que uma
função tenha inversa é necessário que sua
imagem coincida com seu contradomínio (1) e
que elementos diferentes do domínio sejam
levados, pela função, a elementos diferentes na
É fácil também concluir que os gráficos das funções
inversas são simétricos em relação à bissetriz do 1º
quadrante do sistema de eixos, pois o que é feito
na inversão de funções não passa de uma troca de
variáveis, em que a variável dependente passa a
ser independente e vice-versa, e a função f-1 traz
para o conjunto A os mesmos elementos que a
função f levou de A para B.
imagem (2), pois, do contrário, a inversa não seria uma função, o que pode facilmente ser
constatado por um esquema como o representado na Figura 1.26.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 19/2006/06/2016
Funções – Características – Função composta
Muitas vezes uma grandeza variável z é função de
outra variável y que, por sua vez, é função de uma
terceira variável x. Nesse caso, quando se exprime
z como função de x, está-se fazendo uma
composição de funções, em que z é função
composta de x.
Em símbolos, se z = f(y) e y = g(x), então z = f(g(x))
ou, chamando a função composta fg por h, tem-se
z = h(x).
Para que duas funções possam compor-se é. necessário que a imagem da primeira função
esteja contida no domínio da segunda função, pois, caso contrário, a composta não seria
uma função. O motivo dessa afirmação pode ser percebido pela simples observação de um
esquema como o que está representado na figura acima.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 20/2006/06/2016
Funções – Características – Função composta
Exemplo:
- O salário y varia com o número x de horas extras
de trabalho de um operário.
- Quanto maior o salário y, maior poderá ser o
consumo C.
Podemos exprimir essas relações da seguinte
forma:
𝐶 = 0,6𝑦 + 100 e 𝑌 = 3.300 + 15𝑥
Para exprimir o consumo C em função das horas extras x, basta substituir, na função C, o
valor de y:
𝐶 = 0,6(3.300 + 15𝑥) + 100 ⇒ 𝐶 = 2.080 + 9𝑥
Observe-se, em outro exemplo, que a composta de uma função com sua inversa (quando 
existe, é a função identidade. Exemplo: substitua p=-q/5+20 em q=-5p+100 e obtenha q=q.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 21/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
1. Função Demanda.
2. Função Oferta.
3. Função Utilidade.
4. Curva do Orçamento ou Restrição Orçamentária ou Curva de Possibilidades
de Consumo.
5. Função de Produção.
6. Curva (fronteira) de Possibilidades de Produção.
7. Função Custo.
8. Função Receita.
9. Função Lucro.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 22/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
1. Função Demanda.
Pode-se observar, durante certo intervalo de tempo, em determinado mercado, que a
quantidade demandada de uma mercadoria varia com o seu preço, com os preços de outras
mercadorias que têm alguma relação com ela, com a renda ou o gosto do consumidor
disposto a adquiri-la ou, ainda, com o menor ou maior impacto que certa propaganda
provocou no mercado consumidor. Pode-se restringir, porém, essa observação apenas à
variação da demanda em relação ao preço da própria mercadoria, considerando-se a
interferência das outras variáveis como constantes.
A função Demanda, como relação entre quantidade demandada e preço de uma
mercadoria, descreve, então, o comportamento do consumidor que compra mais quando o
preço cai e compra menos quando o preço sobe. Essa variação inversa entre preço e
quantidade demandada que se observa na função demanda é chamada lei da demanda e
caracteriza uma função decrescente. As exceções à lei da demanda são irrelevantes.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 23/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
1. Função Demanda. Continuação.
A demanda de uma mercadoria também pode ser expressa como função de outra
determinante que não seja o preço da própria mercadoria. Pode-se estar interessado em
estudar, por exemplo, a variação da quantidade demandada de uma mercadoria em função
do preço de outra mercadoria que lhe seja relacionada (substituta ou complementar). A
demanda pode também ser estudada como função da renda do consumidor.
Pode-se ainda estar interessado pela função Demanda de um consumidor ou pela
função Demanda do mercado, que é a soma das funções Demanda de todos os
consumidores da mercadoria considerada.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 24/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
2. Função Oferta.
Assim como a demanda, a oferta também pode ser expressa por uma função,
relacionando-se preço e quantidade oferecida de uma mercadoria e descrevendo-se, desta
vez, o comportamento do produtor. Como no caso da demanda, quando se considera apenas
o preço como determinante da quantidade que é ofertada de uma mercadoria, está-se
supondo constantes as demais determinantes.
A função Oferta é uma função crescente, poisquando o preço sobe, existem mais
produtores interessados em colocar no mercado quantidades cada vez maiores de seu
produto; quando o preço cai, essa quantidade ofertada diminui.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 25/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
Equilíbrio:
Preço de equilíbrio é o preço correspondente a iguais quantidades de demanda e de
oferta. A esse preço, os compradores estão dispostos a comprar a mesma quantidade que os
vendedores estão dispostos a vender. O preço de equilíbrio pode ser determinado
matematicamente como ponto de interseção entre a curva S da oferta e a curva D da
demanda. A esse preço pE, as quantidades demandada e ofertada são iguais a qE e são
chamadas quantidade de equilíbrio.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 26/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
3. Função Utilidade.
A função Utilidade pretende medir a satisfação de um consumidor em função da
quantidade consumida de certo bem ou serviço. Naturalmente, como a satisfação é um
conceito subjetivo e imensurável, a função Utilidade apenas descreve teoricamente, em
números cardinais, aquilo que só poderia ser descrito, na realidade, por meio de
comparações. Assim, tem sentido dizer que a satisfação de um faminto é maior quando
come três sanduíches do que quando come dois. Parece totalmente teórico, porém, medir
com números sua satisfação, dizendo, por exemplo, que sua satisfação é 28 quando come
dois sanduíches e aumenta para 37 quando come três.
Suponha-se, porém, que o consumidor possa medir numericamente sua satisfação ao
adquirir uma unidade de um produto ou receber a prestação de um serviço qualquer. Essa
suposição permite idealizar uma função, em que a utilidade U do consumidor depende da
quantidade x do bem por ele adquirido ou serviço a ele prestado.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 27/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
3. Função Utilidade. Continuação.
Observa-se que a utilidade aumenta quando a quantidade consumida aumenta,
tendendo a um ponto de saturação para certa quantidade e depois podendo até diminuir
com a quantidade.
A função deve, então, crescer a taxas
decrescentes, e pode ter um ponto de máximo e
depois decrescer.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 28/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
4. Curva do orçamento [ou Restrição Orçamentária do consumidor (terminologia mais
comum) ou Curva de possibilidades de Consumo].
Quando se conhecem o orçamento (verba disponível) de um consumidor e os preços
dos produtos que pretende comprar, pode-se estabelecer uma relação entre as quantidades
desses produtos que podem ser adquiridos por ele com essa verba.
Suponha-se que o consumidor tem uma verba V para adquirir os produtos X e Y de
preços px e py, respectivamente. As quantidades x e y que podem ser adquiridas a fim de
esgotar a renda R estão relacionadas de acordo com a expressão:
𝑝𝑥𝑥 + 𝑝𝑦𝑦 = 𝑅
em que y é função implícita de x. O gráfico que representa essa função tem o nome de Curva
do Orçamento, Restrição Orçamentária do Consumidor ou Curva da Possibilidade de
Consumo.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 29/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
4. Curva do orçamento [ou Restrição Orçamentária do consumidor (nome mais comum) ou
Curva de possibilidades de Consumo]. Continuação.
Observe-se, na Curva do Orçamento, que os pontos que
estão sobre a reta representam combinações das quantidades x e
y que podem ser adquiridas esgotando-se a renda R, e os pontos
do interior do triângulo OAB representam combinações de
quantidades que podem ser adquiridas sem esgotar a renda R.
Os pontos A e B representam respectivamente as quantidades
máximas que podem ser adquiridas dos produtos Y e X.
A Curva do Orçamento é obviamente decrescente, pois quando se compram
quantidades crescentes do produto X, os saldos restantes da verba V serão cada vez menores
para a aquisição de unidades do produto Y.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 30/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
4. Curva do orçamento [ou Restrição Orçamentária do consumidor (nome mais comum) ou
Curva de possibilidades de Consumo]. Continuação.
DESLOCAMENTOS DA RESTRIÇÃO ORÇAMENTÁRIA DO CONSUMIDOR
Um aumento (redução) da
renda disponível acarreta, no
gráfico, uma translação para a
direita (para a esquerda),
passando da posição AB para a
posição A'B' (A'B' para AB).
Um aumento (queda) do preço do bem X
acarreta no gráfico uma aproximação
(afastamento) da reta do orçamento em
relação ao eixo dos y, mantendo fixo o
ponto A de interseção nesse eixo e
passando da posição AB para a posição
AB' (AB' para AB).
O mesmo se dá, em relação ao
eixo dos x, quando o aumento
(queda) é no preço do bem Y,
isto é, o gráfico passa da
posição AB para a posição A'B
(A'B para AB)
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 31/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
5. Função de Produção.
A função Produção Total ou função Produção dá a quantidade produzida na unidade
de tempo como função de um conjunto de fatores, chamados insumos de produção, tais
como capital, trabalho, matéria-prima. Naturalmente, pode-se ater à variação da produção
como função apenas de um fator, considerando-se fixos os demais. Se q é a quantidade
desse insumo utilizado e Pé a quantidade produzida, então P = f(q).
A observação dos fatos mostra que a produção cresce quando esse fator cresce e, de
acordo com a Lei dos Rendimentos Decrescentes, há uma quantidade decrescente de
produção extra quando se adicionam sucessivamente quantidades iguais de um fator de
produção. Isso quer dizer que a produção cresce a taxas decrescentes e às vezes passa por
um ponto de máximo, ou saturação, e depois decresce.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 32/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
5. Função de Produção. Continuação.
O gráfico da função Produção começa na
origem, pois P(O) = O. Em geral, a Lei dos
Rendimentos Decrescentes começa a vigorar a
partir de certo ponto, e é normal, no início da
curva, a Produção crescer a taxas crescentes,
conforme a ilustração da figura, que mostra três
estágios: (1) Cresce a taxas crescentes; (2) Cresce
a taxas decrescentes; (3) Decresce.
Conhecida a função Produção, pode-se determinar a função Produção (“Produto”)
Média dividindo-se a produção total P pela quantidade q de insumo considerado. Assim, a
produção média dá a quantidade produzida por unidade de insumo utilizado na produção,
isto é,
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 33/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
6. Curva (“fronteira”) de Possibilidades de Produção.
A Curva de Possibilidade de Produção ou Curva de Transformação de Produção é o
nome que se dá ao gráfico que representa as combinações possíveis entre as quantidades x e
y de dois produtos fabricados por uma firma que usa os mesmos recursos de produção, que
são naturalmente limitados.
O aumento na quantidade produzida do primeiro produto acarreta redução da
quantidade produzida do segundo produto, uma vez que são utilizados os mesmos recursos
na fabricação dos dois, e acréscimos iguais na quantidade x produzem decréscimos
crescentes em y, pois a concentração de recursos em um só produto é cada vez menos
produtiva. Assim, a função representada pelo gráfico decresce a taxas decrescentes,
conforme mostra a figura a seguir.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 34/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
6. Curva (“fronteira”) de Possibilidades de Produção. Continuação.
Os pontos que estão sobre a curva
representam combinações de quantidades x e y
que esgotam os recursos destinados à produção,
e os pontos interioresà curva representam
combinações possíveis, embora com recursos
ociosos. Os pontos de interseção com os eixos
dos x e dos y representam respectivamente as
quantidades máximas x e y que podem ser
produzidas de cada um dos produtos.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 35/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
7. Função Custo.
A função Custo descreve o custo de produção de determinado bem e varia em
função da quantidade produzida desse bem.
No custo de produção existe uma parcela fixa Cf, que não depende da quantidade
produzida e outra variável Cv, que depende da quantidade produzida. A parcela fixa
chamada custo fixo corresponde aos gastos fixos de produção, tais como instalação ou
manutenção do prédio. A parcela variável corresponde aos gastos com a produção
propriamente dita, isto é, envolve compra de matéria-prima, pagamento de mão-de-obra
etc. É chamada custo variável.
O custo fixo pode ser considerado como uma função constante, a função Custo Fixo,
cujo gráfico é paralelo ao eixo horizontal.
O custo variável é função da quantidade produzida. O gráfico dessa função começa
na origem, pois não se têm gastos com a produção quando nada se produz. Esses gastos de
produção crescem à medida que a produção cresce, o que caracteriza uma função
crescente.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 36/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
7. Função Custo. Continuação.
A função Custo Total. ou simplesmente função Custo, é a soma das funções
Custo Fixo e Custo Variável:
C = Cf + Cv
Seu gráfico (figura à esquerda) nada mais é do que a
translação do gráfico da função Custo Variável para cima, de
um número de unidades igual a Cf, pois se obtém Custo Total
pela soma ao Custo Variável de uma parcela fixa igual a Cf.
A partir da função Custo, pode-se determinar a função Custo Médio ou Custo Unitário,
que dá o preço médio de custo ou preço por unidade. A função Custo Médio é obtida
dividindo-se a função Custo pela quantidade produzida q:
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 37/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
7. Função Custo. Continuação.
Pode-se observar que quanto maior a
quantidade produzida de um bem, menor será
seu custo por unidade, o que caracteriza uma
função decrescente. Esse custo por unidade
não deverá ser menor que certo valor
positivo, o que faz com que a função seja
limitada inferiormente.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 38/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
8. Função Receita.
A função Receita descreve o total bruto recebido pela venda de uma quantidade
variável de um produto.
Se o preço do produto for FIXO, qualquer que seja a quantidade vendida q, a receita pode
ser determinada multiplicando-se o preço unitário fixo p0 pela quantidade q:
R = p0 q
A função é crescente a taxas constantes e seu gráfico é uma reta que passa pela origem.
Nesse caso, a função Demanda será dada pela função Constante:
p=p0
e seu gráfico será uma reta paralela ao eixo dos x
A função Receita Média ou Receita Unitária, determinada pelo quociente entre a receita e a
quantidade vendida, será também constante:
𝑅𝑚𝑒 =
𝑅
𝑞
= 𝑝𝑜
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 39/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
8. Função Receita. Continuação.
Função Demanda, Função Receita e Função Receita Média para o caso de preço
fixo.
Função 
Demanda
p
Função 
Receita
R
Função
Receita
Média
Rme
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 40/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
8. Função Receita. Continuação.
Se o preço for VARIÁVEL, a quantidade demandada (ou vendida) varia com o preço, e a
Receita para cada quantidade será obtida como produto do preço, agora variável, pela quantidade
correspondente.
R = p q
Um exemplo numérico certamente elucidará melhor esse caso. Suponha-se uma mercadoria
cuja demanda seja dada pela função:
Suponha uma mercadoria com função demanda:
𝑞 = −
𝑝
2
+ 50 (a demanda inversa é 𝑝 = −2𝑞 + 100)
Temos que a Receita a Receita Média serão dadas por, respectivamente:
𝑅 = −2𝑞2 + 100𝑞 e 𝑅𝑚𝑒 = −2𝑞 + 100 = 𝑝
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 41/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções
8. Função Receita. Continuação.
Função Demanda, Função Receita e Função Receita Média para o caso de preço
variável.
Função 
Demanda
p
Função 
Receita
R
Função
Receita
Média
Rme
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Alguns modelos econômicos representados por funções
9. Função Lucro.
O lucro é obtido como diferença entre receita e custo. Assim, a função Lucro
Total ou simplesmente função Lucro é expressa pela diferença entre as funções Receita e
Custo, isto é:
O gráfico da função Lucro deve partir do eixo vertical, de
um ponto situado abaixo da origem, pois já foi visto que R(O) = O e
que C(0) = Cf. Portanto, L (0) = R(0) - C(0) = -Cf.
Para preços de custo e de venda fixos, supondo-se que
uma mercadoria tem preço de venda superior ao preço de custo, a
função é crescente. Seu gráfico será uma reta que corta o eixo
horizontal no ponto em que o custo é igual à receita, que faz com que
o lucro seja igual a zero.
Para preços de venda que variam com a demanda, preços
muito altos determinam quantidades demandadas muito baixas, o
que acarreta decrescimento da receita e, consequentemente, do
lucro. Nesse caso, a função Lucro pode crescer até um ponto de
máximo local e depois decrescer.
𝐿 = 𝑅 − 𝐶
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9. Função Lucro.
Os pontos de interseção entre os gráficos das funções Receita e Custo (Figura
1.45) têm o nome de break-even point. Como o lucro é calculado como diferença entre
receita e custo, ele será nulo no ponto em que a receita for igual ao custo. Portanto, o
break-even point representa um ponto em que o lucro é igual a zero.
Exemplo:
Imagine o caso de um professor que tirou cópias de apostilas para seus alunos. Gastou R$ 200,00
na digitação, calculou o preço de custo de cada apostila (papel e álcool) em R$ 4,00 e vendeu cada uma
por R$ 5,00.
Observa-se no custo uma parcela fixa de R$ 200,00 (Custo Fixo, Cf) e uma parcela que depende da
quantidade chamada custo variável (Cv) que poderá ser calculada multiplicando-se o custo unitário, R$
4,00, pela quantidade variável q. Assim, a expressão do Custo Total (C) será:
𝐶 = 200 + 4𝑞
A Receita é calculada multiplicando-se o preço unitário de venda, R$ 5,00, pela quantidade
vendida q (suponha-se que todas as apostilas mimeografadas sejam vendidas). Sua expressão será:
𝑅 = 5𝑞
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Alguns modelos econômicos representados por funções
9. Função Lucro. Continuação.
Exemplo. Continuação:
A função Lucro (L) deve descrever o lucro para qualquer quantidade q, isto é, deve ser a diferença
entre a receita e o custo para qualquer quantidade q.
𝐿 = 5𝑞 − 200 + 4𝑞 = 𝑞 − 200
O break-even point indica a quantidade mínima de apostilas que deviam ser feitas e vendidas
para que o professor não tenha prejuízo, no último caso, 200. Mas se Receita e Custo forem:
𝑅 = −2𝑞2 + 100𝑞 e C = 𝑞2 + 10𝑞 + 375
E o lucro, por consequência:
𝐿 = −3𝑞2 + 90𝑞 − 375
Há dois pontos de break-even respectivamente para q = 5 e q = 25 (para esse valores, o lucro é
zero). Quantidades compreendidas entre 5 e 25 produzem um lucro positivo, pois para essas quantidades
a receita é maior do que o custo. Quantidades menores do que 5 ou maiores do que 25 fazem com que o
lucro seja negativo, pois para esses valores a receita é menor do que o custo.
O lucro máximo, L = 300 para q = 15,é representado pelo ponto onde as funções Receita e Custo
estão mais distantes entre si (a distância é de 300 unidades).
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Alguns modelos econômicos representados por funções
9. Função Lucro. Continuação.
Exemplo. Continuação:
Observe-se, ainda, que, ao contrário do que
acontece com a maioria das funções que descrevem
fatos econômicos, a função Lucro tem valores
negativos, e tem sentido econômico qualquer valor
de L para o qual se tem O ≤ q ≤ 50, no exemplo.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 46/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções. Exercícios.
1. Dadas as funções 𝑞 = 4𝑝 − 3 e 𝑞 =
120
𝑝+10
− 5 , respectivamente oferta e demanda para
certo produto, faça seus gráficos no mesmo sistema de eixos e determine o ponto de
equilíbrio.
2. O custo unitário de certo produto é 4 e o custo fixo de produção é 30; colocado no
mercado, verificou-se que a demanda para esse produto era dada pela relação 𝑝 = 10 −
𝑞
6
:
a) Determine as funções Custo (C) e Receita (R) para esse produto e faça seus
gráficos no mesmo sistema de eixos.
b) Determine a função Lucro e faça o seu gráfico. Observe que o Lucro é zero
quando C=R.
c) Para que valores de q se tem L ≥ O?
d) Determine as funções Receita Média e Custo Médio e faça seus gráficos.
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Alguns modelos econômicos representados por funções. Exercícios.
3. A demanda mensal de manteiga por um consumidor é função de sua renda de
acordo com a seguinte expressão:
𝑞 =
−40.000
𝑦 + 40
+ 500
onde y é a renda em milhares de reais e q é a quantidade de manteiga em gramas.
a) Faça o gráfico da função.
b) Essa função é crescente ou decrescente? Por quê? A taxas crescentes ou de-
crescentes? Por quê?
c) Em que ponto corta o eixo horizontal dos y? Qual o significado desse fato?
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 48/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções. Exercícios.
4. Suponha que um assalariado tenha a seguinte função Consumo:
𝑞 = 0,3𝑦 + 50
onde y representa seu salário mensal em milhares de reais. As constantes 0,3 e 50 chamam-
se respectivamente propensão marginal a consumir e consumo autônomo.
a) O que representam a propensão marginal a consumir e o consumo autônomo?
b) Quem tem uma propensão marginal a consumir maior: uma pessoa de classe
socioeconômica baixa que ganha um salário mínimo ou uma pessoa de classe
socioeconômica elevada, que ganha 20 salários mínimos?
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 49/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções. Gabaritos.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 50/2006/06/2016
Alguns modelos econômicos representados por funções. Gabaritos.
Fundamentos de economia Pedro Nakashima 51/2006/06/2016
Veras, Lilia Ladeira. Matemática aplicada à Economia.
Bibliografia