Apostila de Elementos de Fisico Quimica - Roteiros para Práticas

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FQ-I: TRATAMENTO DE 
DADOS
Prof. Welington Ferreira de 
MAGALHÃES
Depto de Química, UFMG,
Tel.: 3409-5769, s. 239
welmag@ufmg.br 
NORMAS GERAIS
Para as aulas práticas
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Normas Gerais para as Práticas
• 1. O aluno deverá comparecer, no primeiro dia de aula, 
com a apostila "ROTEIROS DE TRABALHOS EM 
LABORATÓRIO" e o "CADERNO DE LABORATÓRIO". 
Este último permanecerá no laboratório, até o final do 
semestre, e a apostila ficará com o aluno. NÃO SERÁ 
PERMITIDO AO ALUNO ASSISTIR A AULA SEM A 
APOSTILA.
• 2. Durante a permanência do aluno no laboratório, será 
OBRIGATÓRIO O USO DO AVENTAL APROPRIADO.
• 3. É PROIBIDO FUMAR E COMER NO LABORATÓRIO.
• 4. O ALUNO SÓ PODERÁ ASSISTIR ÀS AULAS 
PRÁTICAS NA SUA PRÓPRIA TURMA.
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Normas Gerais para as Práticas
• 5. Será considerado AUSENTE o aluno que 
chegar à aula com ATRASO SUPERIOR A 15 
MINUTOS.
• 6. O relatório de cada trabalho experimental será 
elaborado pelo próprio aluno em seu caderno de 
laboratório. Os alunos das turmas diurnas 
deverão elaborar o relatório no decorrer de cada 
aula prática e os alunos das turmas noturnas 
deverão elaborar o relatório na aula de 
tratamento de dados.
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Normas Gerais para as Práticas
• 7. O relatório deverá conter:
• a) Nome do aluno, data da aula prática, nome do professor
• b) Título
• c) Objetivos
• d) Resultados: que incluem dados medidos no trabalho 
experimental, tabelas, gráficos, valores e outras informações fornecidos 
na aula prática, e os valores calculados devidamente organizados.
• e) Discussão e análise dos resultados: que incluem o tratamento 
estatístico dos dados experimentais, com a estimação das incertezas das 
grandezas medidas e calculadas pelos modelos matemáticos 
usados, discussão de possíveis fontes de erros sistemáticos e aleatórios 
do procedimento experimental empregado e comparação das grandezas 
medidas com os valores da de referência obtidos na literatura, quando for 
o caso.
• f) Respostas às questões e exercícios propostos, quando for o caso.
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Normas Gerais para as Práticas
• 7. O relatório deverá conter:
• g) Conclusão: essa somente existirá se o experimento testar a validade de 
alguma hipótese ou modelo previamente levantado. Não constitui 
conclusão o simples fato de o experimento permitir a observação de um 
fenômeno ou a medição de uma grandeza, afinal ele foi planejado para 
isso. Pode constituir a medição a constatação de que as precisões das 
medidas realizadas não permitirem a confirmação ou não das hipóteses 
ou modelos estudados. Exemplos: 1) Os resultados corroboram (ou não 
corroboram) a validade da lei de Boyle para a isoterma estudada do gás 
fulano uma vez que o gráfico do volume versus a pressão do gás é 
adequadamente ajustado por uma reta. 2) O comportamento retilíneo do 
gráfico de da dependência do logaritmo natural da concentração da 
substância tal em função do tempo de reação comprova que essa reação 
segue uma cinética de segunda ordem relativamente a essa substância. 
3) A incerteza suficientemente pequena do valor da grandeza medida nos 
permite dizer que o valor medido é estatisticamente diferente do valor de 
referência, indicando a presença de erro sistemático na medição, que 
pode ser oriundo de .
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Normas Gerais para as Práticas
• 8. Os relatórios das turmas diurnas serão corrigidos e avaliados 
semanalmente pelos professores. Os relatórios das turmas noturnas serão 
corrigidos após as aulas de tratamento de dados.
• 9. Para conferir notas aos trabalhos em laboratório serão considerados os 
critérios:
• a) Presença na aula prática, conforme horário escolhido pelo aluno em sua matrícula.
• b) Eficiência e cuidado no manejo da aparelhagem.
• c) Apresentação correta dos resultados obtidos, confecção de tabelas e gráficos 
conforme normas abaixo apresentadas.
• d) Tratamento matemático e estatístico e interpretação correta dos resultados.
• e) Resposta aos exercícios e questionário existente no roteiro de prática.
• f) Apresentação, organização e clareza adequadas do relatório da prática.
• 10. Nas turmas diurnas, o aluno terá TRÊS HORAS / AULA (150 minutos) 
para executar o trabalho experimental e elaborar seu relatório. Nas turmas 
noturnas o aluno terá DUAS HORAS / AULA (100 minutos) para executar o 
trabalho experimental.
• 11. É dever do aluno, deixar o laboratório organizado após a prática. Lavar 
toda vidraria utilizada, e informar quando quebrar alguma durante a prática. 
Ao final de cada roteiro/procedimento há instruções de lavagem da vidraria 
utilizada.
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NORMAS PARA CONFECÇÃO 
DE TABELAS E GRÁFICOS
Títulos de tabelas e gráficos
Escalas gráficas
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Tabelas
• 1. Todas as tabelas devem apresentar um título 
sucinto, colocado acima das mesmas.
• 2. As tabelas não devem ser fechadas nas posições 
verticais. Deve-se usar o mínimo de bordas para não 
carregar a apresentação da tabela.
• 3. Deve-se indicar as unidades das grandezas 
envolvidas nas legendas de cada coluna ou linha.
• 4. Cada coluna ou linha das tabelas podem 
apresentar uma operação matemática. Por exemplo : 
T–1 / 10–3 K–1 = 2,33 implica que 1/T = 2,33 x 10–3 K–1.
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Tabelas
• Tabela 0.1 : Variação da pressão de vapor com a 
temperatura do equilíbrio líquido-vapor do 
tetracloreto de carbono para a determinação de 
sua entalpia de vaporização.
 / oC T / K T–1 / 10–3 K–1 p / mmHg p/po ln(p/po)
74,0 347,2 2,880 693,0 0,9118 –0,092288
65,5 338,7 2,952 627,0 0,8250 –0,19237
63,0 336,2 2,974 608,5 0,8007 –0,22232
60,5 333,7 2,997 585,0 0,7697 –0,26171
56,5 329,7 3,033 562,0 0,7395 –0,30182
52,0 325,2 3,075 524,0 0,6895 –0,37183
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Tabelas
• Tabela 2 : Temperaturas de equilíbrio líquido-
líquido do sistema fenol-água de líquidos 
parcialmente miscíveis para misturas com 
diferentes concentrações de fenol na pressão 
atmosférica em Belo Horizonte (~686 mmHg).
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cfenol / 
%m/m
8 10 13 17 22 25 30 36 40 46 55 67 72
 / °C 21,1 44,5 57,1 62,8 65,0 66,0 66,4 66,4 66,0 65,0 56,0 33,7 19,3
Tabelas
Nome Unidade J atm L cal
joule 1 J ≡ 1 9,869.232.6710–3 0,239.005.736
atmosfera litro 1 atm L ≡ 101,325‡ ex 1 24,217.256.2
caloria 1 Cal ≡ 4,184‡ex 4,129.286.9510–2 1
elétron-volt 1 eV ≡ 1,602.176.510–19† 1,581.225.310–21 3,82910–20
erg 1 erg ≡ 110–7 ex 9,869.232.6710–10
2,390.057.3610
–8
unidade térmica 
britânica
1 Btu ≡ 1.055,056* 10,406 252,2
Pé libra-força 1 ft lbf ≡ 1,355.817.9* 1,338.110–2 0,324
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Tabela 3 : Fatores de conversão entre 
unidades de energia 
Figuras
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.13
1. Todos os gráficos devem apresentar um título
informativo colocado abaixo dos mesmos. Entre outras 
coisas, o título de um gráfico deve informar sobre qual 
sistema foi feita a medição, que tipo de informação 
pode ser extraída do gráfico (ver exemplos na 
Figura 0.1 e Figura 0.2). 
 Não constitui título de gráfico expressões do tipo: 
lnp vs. 1/T, V × m, as quais apenas indicam as 
grandezas dos dados apresentados, pois essas já são 
indicadas nos eixos coordenados do gráfico. 
 Em um texto técnico, um gráfico é uma figura e deve 
ser tratado como tal quando de sua citação no texto. 
Assim o títulodo gráfico deve iniciar com a expressão 
indicativa do número de ordem da figura, como em: 
―Figura 1:‖
Figuras
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.14
2.  Deve-se indicar as grandezas
representadas nos eixos, assim como 
suas unidades de medição, próximo dos 
respectivos eixos. 
 Os eixos coordenados deve conter 
entre três a oito marcas principais com as 
indicações dos valores da escala. 
 Exceto em escalas não lineares, como 
na escala logarítmica, essas marcas com 
valores devem ser eqüidistantes. 
Figuras
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.15
2.  Não se deve indicar nos eixos os valores das 
coordenadas dos pontos marcados no gráfico e 
muito menos adicionar linhas contínuas ou 
tracejadas ou coloridas que se encontram nos 
pontos marcados a posição dos pontos. 
 Um gráfico deve ser limpo e apenas os 
pontos experimentais e uma curva contínua e 
suave (não segmentos de reta) devem 
aparecer na área do gráfico, qualquer outra 
coisa nessa área constitui apenas sujeira.
Figuras
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.16
3. Cada eixo pode representar uma operação 
matemática, i.e.: uma função da grandeza 
realmente medida, como mostrado na Figura 1.
4. As escalas devem ser escolhidas, levando-se 
em conta:
a) A precisão ou incerteza do valor medido;
b) As dimensões do papel, procurando-se aproveitar a 
maior área possível;
c) A facilidade de leitura dos pontos mostrados no 
gráfico.
Figuras
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.17
4. As escalas devem ser escolhidas, levando-se 
em conta:
d) O intervalo (faixa) dos valores para 
grandeza de cada eixo.
e) A origem (0, 0) das coordenadas 
não devem obrigatoriamente 
constar do gráfico.
Figuras
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.18
4. As escalas devem ser escolhidas, levando-se em conta:
f) Deve-se evitar escalas que necessitem cálculos para se determinar as 
coordenadas de um ponto. As escalas, sempre que possível, devem ser 
escolhidas de tal modo que se determine facilmente um valor de 
interpolação e/ou extrapolação Por exemplo, ―escala numérica‖ do tipo 
1:3 (1 cm ou 10 mm representa 3 unidades [ou fração ou múltiplo da 
unidade] da grandeza medida por), 2:3, 5:3, 1:7, etc, que resultariam 
em uma dízima periódica ou número primo quando se desejasse 
representar algum valor não múltiplo de 3 ou 7, respectivamente; este 
tipo de escala não deve ser usado. São boas escalas aquelas como 
1:2, 1:4, 1:5, 2:5, 1:8 (escalas reduzidas), ou suas inversas 2:1, 4:1, 
5:1, 5:2, 8:1 (escalas ampliadas), etc. Outra forma de representação de 
escalas é a chamada ―escala unidade por unidade‖ que usa o sinal d 
igualdade, é a igualdade expressa de duas unidades: a do gráfico (à 
esquerda do símbolo ―=‖) e da grandeza medida (à direita do símbolo 
―=‖). Exemplo, em um gráfico para testar a lei de Boyle poderíamos ter 
as escalas: 1 cm = 2 mL e 2 cm = 50 mmHg.
Figuras
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.19
4. As escalas devem ser escolhidas, levando-se 
em conta:
g) Para facilitar a leitura do 
gráfico, é conveniente indicar 
suas escalas junto aos eixos. 
Exemplos: 
1 cm = 2oC (Fig.1); 2 mm = 0,01; 
4 mm = 0,01 K–1 (Fig.2).
Figuras
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.20
5. Os valores 
experimentais, representados por 
pontos, devem ser envolvidos por 
um círculo ou outra figura 
geométrica vazias ou cheias para 
facilitar sua visualização. Essa 
figura geométrica deve ter no 
mínimo 3 mm de circunscrição: 
⊙, ⊗, ⊕, ■,▲, ▼, ♦.
Figuras
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.21
6. É recomendável apresentar resultados 
experimentais gráficos usando barras de 
incerteza para indicação visual da incerteza 
de medição. Neste caso traça-se a barra de 
incerteza centrada no ponto (xi, yi) como um 
seguimento de reta paralelo ao eixo próprio 
da grandeza, e de comprimento acima e 
abaixo do ponto igual a uma vez ou duas 
vezes as incertezas padrão ou desvios 
padrão amostrais sxi e syi. Recomenda-se 
que no título do gráfico seja indicado qual o 
múltiplo da incerteza padrão é usado na 
barra de incerteza.
Figuras
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.22
7.  A grandeza representada no eixo 
horizontal, abscissa, chamada de variável controlada ou 
independente ou regressora ou preditora ou 
explicativa, deve ser aquela cujo valor está sob maior 
controle, isto é, aquela que tem menor incerteza de medição 
e teve seus valores escolhidos previamente e determinados 
pelas condições experimentais pré estabelecidas para o 
experimento. 
 A grandeza no eixo vertical, ordenada, é aquela cujo valor 
medido decorre da escolha do valor da variável 
independente; esta grandeza é chamada de variável 
dependente ou variável resposta ou resposta instrumental. 
 Em geral a folha do papel milimetrado ou quadriculado 
para gráficos é retangular. Pode se conveniente girar essa 
folha para colar o eixo de maior comprimento na horizontal 
de modo a se tornar o eixo da abscissa. Essa decisão deve 
ser tomada no sentido de tornar mais adequadas as escalas 
das variáveis controlada e resposta.
Figuras
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.23
8. Se os pontos não se alinham aproximadamente 
sobre uma reta, o ajuste visual de uma reta pode 
ser feito pelos pontos do gráfico, e essa reta 
deverá passar pelo centróide (xi/N , yi/N), que 
é o ponto de coordenadas iguais às médias 
aritméticas da variável controlada e 
resposta, respectivamente. Em assim 
procedendo está se fazendo visualmente um 
ajuste pelo método dos mínimos quadrados 
ordinário – MMQO (não ponderado). A 
inclinação dessa reta pode ser obtida da razão 
entre os comprimentos dos lados vertical e 
horizontal de um triângulo retângulo reto, tal que 
a reta é a hipotenusa, o lado de maior 
comprimento.
Figuras
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.24
9. Se os pontos não se alinham 
aproximadamente sobre uma reta, deve-
se passar uma curva contínua e suave 
por entre todos os pontos. Não se pode 
ligá-los com segmentos de reta entre 
cada par de pontos, o que resultaria em 
quinas (quebra da suavidade) no 
encontro de cada par de segmentos de 
reta.
Figuras
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.25
• Exemplos de gráficos:
• Na Figura 0.1 a escala da abscissa é 4:1 e a 
escala da ordenada é 2:1. Nesse gráfico 
usamos a lateral mais longa do papel na 
horizontal.
• Na Figura 0.2. a escala da abscissa é 2:5 e a 
escala da ordenada é 2:10. Nesse gráfico 
usamos a lateral mais longa do papel na 
vertical.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.26
• Figura 1 : Variação da 
pressão de vapor com a 
temperatura do equilíbrio 
líquido-vapor para o 
tetracloreto de carbono para a 
determinação de sua entalpia 
de vaporização. As 
incertezas em cada medição 
da pressão e temperatura são 
constantes e estimadas como 
0,5 mmHg e 1 K. As 
incertezas de ln(p/po) são 
menores que 1 ×10–3 e as de 
T–1 são menores que 1 ×10–5, 
logo são menores que os 
símbolos dos pontos do 
gráfico, por isso suas barras 
de incertezas não foram 
traçadas. O centróide (2,985 , 
0,2404) foi marcado com um 
pequeno ponto branco. 
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.27
• Figura 2 : Diagrama 
de fases do sistema 
fenol-água na pressão 
ambiente de Belo 
Horizonte. As barras 
de incertezas não 
foram traçadas, pois 
as incertezas em cada 
medição de 
temperatura e 
concentração de fenol 
são constantes e 
estimadas como 0,5°C
e 1%, logo são 
ligeiramente menores 
que os símbolos dos 
pontos do gráfico.
NOÇÕES BÁSICAS DE 
METROLOGIA ETRATAMENTO ESTATÍTICO 
DE DADOS EXPERIMENTAIS
Metrologia e o VIM
Média, desvio padrão, variância
Incerteza de medição
Regressão pelo método dos mínimos quadrados - MMQ
FQ-I Aula 4 Primeiro princípio WelMag p.28
METROLOGIA E O 
RESULTADO DE UMA 
MEDIÇÃO
FQ-I Aula 4 Primeiro princípio WelMag p.29
Metrologia e o resultado de uma 
medição
• metrologia [VIM-2012LB, §2.2] ―ciência da medição e 
suas aplicações‖. 
NOTA A metrologia engloba todos os aspectos teóricos e 
práticos da medição, qualquer que seja a incerteza de 
medição e o campo de aplicação.
• resultado de medição [VIM-2012LB, §2.9] 
• rastreabilidade metrológica [VIM-2012LB, §2.41] 
• sistema internacional de unidades – SI [VIM-2012LB, 
§1.16] 
• comparabilidade metrológica [VIM-2012LB, §2.46] 
• compatibilidade metrológica [VIM-2012LB, §2.47] 
• incerteza de medição [VIM-2012LB, §2.26]
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.30
A ESTIMATIVA DO 
MENSURANDO, O VALOR MAIS 
PROVÁVEL DE UMA SÉRIE DE 
MEDIDAS
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.31
Média
• Para um conjunto de N valores medidos x1, x2, x3,  , xN de 
uma grandeza X, o valor mais provável de representar o 
resultado de medição é a média aritmética ou média 
amostral : 
• (0.1)
• A média amostral estima a média populacional m, sendo 
um estimador não tendencioso da média populacional m :
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.32



N
i
ix
N
x
1
1
lim
N
x m


Variância e desvio-padrão
• Um índice de dispersão ou variabilidade dso valores 
medidos é a variância amostral, , definida como:
•
• (0.2)
• A variância amostral é um estimador não tendencioso da 
variância populacional :
• O "desvio-padrão amostral", sx, definido como a raiz 
quadrada da variância:
• (0.3)
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.33

 
2
2 2
1 12 1
1 1
N NN
i ii
i ii
x
N x xx x
s
N N N
 
 
  
  
 
 
2
xs
2 2lim x x
N
s 


2
x
2
x xs s
Precisão e incerteza de medição
• Na realidade sx é uma avaliação da precisão de 
medição [VIM-2012LB, §2.15] para cada uma 
das replicações xi de medição da grandeza X
feitas de acordo com o procedimento de 
medição [VIM-2012LB, §2.6] (ou instrumento 
de medição [VIM-2012LB, §3.1] ou sistema de 
medição [VIM-2012LB, §1.13.2]) utilizado.
• Existem três níveis de precisão:
• repetibilidade [VIM-2012LB, §2.21],
• precisão intermediária [VIM-2012LB, §2.23] e
• reprodutibilidade [VIM-2012LB, §2.25]
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.34
Precisão e incerteza de medição
• O desvio padrão amostral é a incerteza-padrão [VIM-
2012LB, §2.30] de precisão para cada uma das 
replicações xi de medição da grandeza X nas condições 
de medição utilizada.
• A "incerteza-padrão da média amostral", em uma amostra 
de N observações é o "desvio-padrão da média 
amostral", dado por:
• (0.4)
• o desvio-padrão amostral da média diminui com o 
aumento do número N de replicações de medição usadas 
para calcular a média. Mas o desvio-padrão amostral sx
independe de N.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.35
x xs s N
Incerteza de medição não replicada
• A incerteza de medição não replicada não pode 
ser obtida do desvio-padrão amostral pois só há 
um valor medido [VIM-2012LB, §2.101]. Nesses 
casos usamos os conceitos metrológicos de 
resolução dum dispositivo mostrador [VIM-
2012LB, §4.15] e de comprimentos de uma 
divisão [VIM-2007, §4.21] , para estimar a 
incerteza de resolução como uma fração 2, 4, 5, 
8 ou 10 da menor divisão de escala ou 
incremento digital do instrumento de medição.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.36
ERRO DE MEDIÇÃO
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.37
Erro de medição
• Erro de medição [VIM-2012LB, §2.16] como: 
―Diferença entre o valor medido duma grandeza 
e um valor de referência‖.
• Os erros de medição têm dois componentes o 
erro sistemático [VIM-2012LB, §2.17] e o erro 
aleatório [VIM-2012LB, §2.19]. 
• Erros humanos de anotação errada de 
valores, cálculos errados, não são erros de 
medição e devem ser evitados.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.38
Erro sistemático
• Erro sistemático [VIM-2012LB, §2.17]: ―Componente do erro de 
medição que, em medições repetidas, permanece constante ou 
varia de maneira previsível.‖ 
• NOTA 1 Um valor de referência para um erro sistemático é um valor 
verdadeiro, ou um valor medido dum padrão com incerteza de 
medição desprezável, ou um valor convencional.
• NOTA 2 O erro sistemático e suas causas podem ser conhecidos ou 
desconhecidos. Pode-se aplicar uma correção [VIM-2012LB, §2.53] 
para compensar um erro sistemático conhecido.
• NOTA 3 O erro sistemático é igual à diferença entre o erro de 
medição e o erro aleatório.‖ Alguns importantes conceitos 
metrológicos relacionados ao erro sistemático são: tendência de 
medição [VIM-2012LB, §2.18], veracidade de medição [VIM-
2012LB, §2.14], exatidão de medição [VIM-2012LB, §2.13].
• Erro sistemático : (0.5)
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.39
s medido referênciaE valor valor 
Erro aleatório
• Erro aleatório [VIM-2012LB, §2.19]: ―Componente do erro de 
medição que, em medições repetidas, varia de maneira 
imprevisível.
• NOTA 1 O valor de referência para um erro aleatório é a 
média que resultaria dum número infinito de medições 
repetidas do mesmo mensurando.
• NOTA 2 Os erros aleatórios dum conjunto de medições 
repetidas formam uma distribuição que pode ser resumida por 
sua esperança matemática ou valor esperado, o qual é 
geralmente assumido como sendo zero, e por sua variância.
• NOTA 3 O erro aleatório é igual à diferença entre o erro de 
medição e o erro sistemático.‖ Os erros aleatórios de uma 
medição não podem ser corrigidos e a eles é dado tratamento 
estatístico.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.40
Erro aleatório
• Aos erros aleatórios estão associados os conceitos 
metrológicos: precisão de medição [VIM-2012LB, 
§2.15], incerteza de medição [VIM-2012LB, §2.26], 
incerteza padrão de medição [VIM-2012LB, §2.30], 
incerteza padrão combinada [VIM-2012LB, §2.31], 
incerteza expandida [VIM-2012LB, §2.35], intervalo de 
abrangência [VIM-2012LB, §2.36], probabilidade de 
abrangência [VIM-2012LB, §2.37], exatidão [VIM-
2012LB, §2.13], rastreabilidade metrológica [VIM-
2012LB, §2.41], compatibilidade metrológica [VIM-
2012LB, §2.47], etc.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.41
Erro aleatório
• A adequação ao uso pretendido, ou ao 
propósito de uso (fitness to purpose), de 
um resultado de medição é estabelecida se 
sua incerteza de medição é menor que a 
incerteza alvo [VIM-2012LB, §2.34]:
• Incerteza de medição especificada como 
um limite superior e escolhida de acordo 
com o uso pretendido dos resultados de 
medição.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.42
Erro sistemático relativo e percentual
• Erro sistemático de uma medição em relação à 
um valor convencional [VIM-2012LB, §2.12] ou 
a um valor de referência [VIM-2012LB, §5.18].
• O conceito de erro sistemático relativo Esr de uma 
grandeza é a razão entre o erro sistemático da 
medição dividido por seu valor convencional ou 
de referência. O erro sistemático percentual e 
simplesmente o erro relativo vezes 100%.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.43
s medido referência
s% sr
referência referência
100 100 100
E valor valor
E E
valor valor

     
(0.6)
Desvio padrão relativo – DPR e coeficientede variação – CV
• O desvio padrão amostral da média é também a incerteza 
padrão de precisão da medição.
• incerteza padrão relativa ou desvio padrão relativo – DPR 
(relative standard deviation – RSD)
• O coeficiente de variação é o desvio padrão relativo em 
porcentos.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.44
(0.8)
(0.7)
DPR RSD x
s
x
 
CV DPR% RSD% 100x
s
x
   
ALAGARISMOS
SIGNIFICATIVOS
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.45
Alagarismos significativos
• Os algarismos de 1 a 9 são sempre significativos. 
• O algarismo 0, dependendo de sua posição será 
considerado algarismo significativo ou não. 
1. Todos os algarismo 0 antes do primeiro 
algarismo não nulo não são considerados como 
significativos. Por exemplo: 0,5 possui só um 
algarismo significativo, o algarismo 5; 0,001 
possui também um algarismo significativo; 
0,0012 possui dois algarismos significativos.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.46
Alagarismos significativos
2. Quando os últimos algarismos do valor são 
todos 0 (nulos) existem duas situações:
1. Valores decimais, com vírgula: todos algarismos 
serão considerados significativos. Por exemplo: 2,500 
possui quatro algarismos significativos; 1,20 possui 
três algarismos significativos.
2. Valores inteiros, sem vírgula: todos os zeros após o 
último algarismo não nulo não são significativos. 
Exemplo: 12000 só tem dois algarismos significativos.
Convém usar notação exponencial: os valores 
1,20 × 104 ou 12,0 × 103 ou 0,120 × 105 têm todos 3 
algarismos significativos,
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.47
Alagarismos significativos
• O último algarismo significativo de um valor numérico 
obtido por cálculo matemático nos informa 
aproximadamente a incerteza da medição indireta.
• Somas e subtrações: o resultado deverá ser 
arredondado para no máximo o mesmo número de casas 
decimais da parcela de menor número de algarismos 
significativos. Exemplos: 1,355 + 1,2 + 101,12 = 103,7 (e 
não 103,675); 1,355 + 1,203 + 101 = 103 (e não 103,558).
• Multiplicação e divisão: nesse caso o resultado não 
pode ter mais algarismos significativos que a parcela 
menos precisa. Exemplo: 
[NaCl] = m/(MV) = 4,150 g/(58,4 g/mol × 200,0 10–3 L) = 
0,355 mol L–1. (e não 0,355308219... mol/L).
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.48
INCERTEZA DE 
MEIDÇÃO
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.49
Incerteza de Medição
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.50
• incerteza de medição
• incerteza
• measurement uncertainty ; uncertainty measurement ; 
uncertainty
• incertitude de mesure ; incertitude
• incertidumbre de medida ; incertidumbre
• Parâmetro não negativo que caracteriza a 
dispersão dos valores atribuídos a um 
mensurando, com base nas informações 
utilizadas.
Incerteza de Medição
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.51
• NOTA 1 A incerteza de medição inclui 
componentes provenientes de efeitos 
sistemáticos, tais como componentes 
associadas a correções e a valores 
atribuídos a padrões, assim como a 
incerteza definicional. Algumas vezes, 
não são corrigidos efeitos sistemáticos 
estimados mas, em vez disso, são 
incorporadas componentes de incerteza de 
medição associadas.
Incerteza de Medição
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.52
•NOTA 2 O parâmetro pode ser, 
por exemplo, um desvio-padrão 
denominado incerteza padrão (ou 
um de seus múltiplos) ou a 
metade da amplitude dum 
intervalo tendo uma 
probabilidade de abrangência
determinada.
Incerteza de Medição
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.53
• NOTA 3 A incerteza de medição geralmente engloba 
muitas componentes. Algumas delas podem ser 
estimadas por uma avaliação do Tipo A da 
incerteza de medição, a partir da distribuição 
estatística dos valores provenientes de séries de 
medições e podem ser caracterizadas por desvios-
padrão. As outras componentes, as quais podem ser 
estimadas por uma avaliação do Tipo B da 
incerteza de medição, podem também ser 
caracterizadas por desvios-padrão estimados a partir 
de funções de densidade de probabilidade baseadas 
na experiência ou em outras informações.
Incerteza de Medição
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.54
•NOTA 4 Geralmente para um dado 
conjunto de informações, subentende-
se que a incerteza de medição está 
associada a um determinado valor 
atribuído ao mensurando. Uma 
modificação deste valor resulta numa 
modificação da incerteza associada.
Propagação de Incertezas
• Existem dois tipos de medição:
• Medição direta o resultado da medição é obtido a 
partir da indicação de um único instrumento de 
medição.
• Medição indireta de um mensurando, os resultados 
de várias medições diretas são combinados em 
uma função de mediação [VIM-2012LB, §2.49] ou 
equação do mensurando que relaciona as 
grandezas de entrada [VIM-2012LB, §2.50], 
aquelas obtidas por medição direta, com o 
mensurando, a grandeza de saída [VIM-2012LB, 
§2.51].
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.55
Propagação de Incertezas
• Os resultados de medições diretas têm no 
mínimo três fontes de incerteza :
• incerteza de resolução do dispositivo mostrador 
do instrumento de medição
• incerteza instrumental [VIM-2012LB, §4.24], 
vulgarmente chamada de incerteza de 
calibração
• incerteza de precisão determinada pelo desvio 
padrão da média das replicações da medição 
nas condições de medição utilizadas.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.56
Propagação de Incertezas
• A incerteza-padrão [VIM-2012LB, §2.30] 
de medição ou a incerteza de medição 
expandida [VIM-2012LB, §2.35] para uma 
medição direta ou indireta é declarada com 
no máximo dois algarismos significativos
[GUM-2012, §7.2.6].
• Exemplos: 
(0,10 ± 0,03) g, (2,000 ± 0,003) L, (12,3 ± 0,1) ×103 mg/kg
(0,101 ± 0,033) g, (72 ± 12) mN/m, (12,34 ± 0,12) ×103 mg/kg.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.57
Propagação de Incertezas
• Lei de Propagação de Incertezas – LPI : seja 
uma grandeza Y função de outras grandezas de 
entrada, X1, X2, X3, , estatisticamente 
independentes, portanto não covariadas (ou não 
correlacionadas), cujas incertezas padrão 
conhecidas u(x1), u(x2), u(x3),  ou 
estimadas, para suas estimativas 
x1, x2, x3, , são : sx1, sx2, sx3, . Então, sy é dado 
pela lei de propagação de incertezas para 
grandezas de entrada não covariadas (não 
correlacionadas), a saber:
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.58
Propagação de Incertezas
• Lei de Propagação de Incertezas – LPI para grandezas 
de entrada não correlacionadas:
• Ou
• Ou [GUM-2012 eq.10 §5.1.2] :
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.59
1 2 3
22 2
2 2 2
1 2 3
i i i
y x x x
x x x
y y y
s s s s
x x x
      
       
       

(0.9a)
     
22 2
2 2 2
c 1 2 1
1 2 3
( )
i i ix x x
y y y
u y u x u x u x
x x x
      
       
       

(0.9b)
   
2
2 2
1
N
c i
i i
f
u y u x
x


 
  
 

(0.9c)
Propagação de Incertezas
• Lei de Propagação de Incertezas – LPI para grandezas 
de entrada correlacionadas [GUM-2012 eq.13 §5.2.2]:
• Ou [GUM-2012 eq.16 §5.2.2] :
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.60
(0.9d)
(0.9e)
   
   
2
1 1
2
1
2
1 1 1
,
2 ,
N N
c i j
i j i j
N N N
i i j
i i j ii i j
f f
u yu x x
x x
f f f
u x u x x
x x x
 
 
  
  
 

   
 
  
  
  
    
    

 
   
   
2
1 1
1
2
1 1 1
,
2 ,
N N
c i j i j
i j
N N N
i i i j i j
i i j i
u y c c u x x
c u x c c u x x
 

   
  
 
  
 

 
Propagação de Incertezas
• As derivadas parciais que aparecem na LPI 
são chamadas de coeficientes de 
sensibilidade, pois elas indicam o quanto a 
grandeza de saída varia por unidade de 
variação de cada grandeza de entrada. Os 
coeficientes de sensibilidade são também 
representados por ci :
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.61
i ic f x 
Propagação de Incertezas
• O valor da grandeza de saída, o mensurando, é obtido 
substituindo os valores médios das grandezas de entrada 
na função de medição f :
ou
• A função de medição mais simples é aquela para uma 
medição direta de uma grandeza x :
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.62
( , , ,...)y y f x y z  1 2 3( , , , , , )iy f x x x x  
(0.10)
(0.11a)
Ind calib resol precx x C C C   
Propagação de Incertezas
• Figura 0.3a : Diagrama 
de causa e efeito ou de 
Ishikawa de uma medição 
direta do volume de um 
líquido em vidraria de 
laboratório 
(proveta, pipeta, bureta, et
c.). 
• Vind = volume indicado, 
Ccalib = correção de 
calibração, Cresol = correção de 
resolução da indicação, Crep =
correção da precisão de 
repetibilidade, 
Ctemp = correção de temperatura 
de medição diferente da de 
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.63
 
Vliq Vind 
Ccalib Cresol 
Crep Ctemp 
Propagação de Incertezas
• Figura 0.3b : Diagrama de 
causa e efeito ou de 
Ishikawa de uma medição 
indireta da densidade de 
um sólido por imersão em 
um líquido : r = mind/(Vind,i –
Vind,f).
• r = massa específica do 
sólido, mind = massa indicada do 
sólido, 
Vind,i = volume de água indicado 
inicialmente na proveta, Vind,f =
volume final de água indicado 
na proveta com o sólido imerso 
na água.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.64
 
 
mind 
Vind,i Vind,f 
Ccalib 
Cresol 
Crep 
Ccalib Cresol 
Crep Ctemp 
Propagação de Incertezas
• Exemplo 1 : Determinação da massa de dez moedas de 
R$ 0,50 (cinqüenta reais de centavo de Real).
• A massa de dez moedas de R$ 0,50 foram pesadas nove 
vezes em uma balança eletrônica digital de cozinha com 
valor de uma divisão de escala ou incremento digital de 
5 g. Foram obtidas cinco indicações no valor de 75 g e 
quatro indicações no valor de 70 g.
• Logo a massa média indicada mind (Eq.0.1), a variância 
amostral s2(mi) (Eq.0.2), o desvio padrão amostral s(mi) 
(Eq.0.3) e o desvio padrão da média indicada amostral 
s2(mind) (Eq.0.4) são respectivamente : 
mind = 72,7778 g, s
2(mi) = 6,9444 g
2, s(mi) = 2,6352 g e 
s(mind) = 0,2928 g.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.65
Propagação de Incertezas
• Exemplo 1 cont.: Determinação da massa de dez 
moedas de R$ 0,50 (cinqüenta reais de centavo de 
Real).
• a massa média indicada mind (Eq.0.1), a variância 
amostral s2(mi) (Eq.0.2), o desvio padrão amostral 
s(mi) (Eq.0.3) e o desvio padrão da média indicada 
amostral s(mind) (Eq.0.4) são respectivamente : 
mind = 72,7778 g, s
2(mi) = 6,9444 g
2, s(mi) = 2,6352 g e 
s(mind) = 0,2928 g.
• Função de Medição a partir da Eq.0.11a :
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.66
(0.11b)
ind calib resol precm m C C C   
Propagação de Incertezas
• Exemplo 1 cont.: Determinação da massa de dez 
moedas de R$ 0,50 (cinqüenta reais de centavo de 
Real).
• Certificado de calibração da balança em 
100 g, ponto calibrado mais próximo da 
massa medida:
• Tendência (0,1 ± 3,2) g  Ccalib = (−0,1 ± 3,2) g
• A Eq.0.11b
m = 72,7778 g + (–0,1 g) + 0 + 0 = 72,6778 g.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.67
     
     
       
22 2
2 2 2
c calib resol prec
calib resol prec
2 2 2 2 2 2
calib resol prec
2 2 2 2
( )
1 1 1
3,2 g 5 2 g 0,2928 g 16,5757 g 4,0713 g
m m m
u m u C u C u C
C C C
u C u C u C
      
                
      
    
Propagação de Incertezas
• Exemplo 1 cont.: Determinação da massa de dez 
moedas de R$ 0,50 (cinqüenta reais de centavo de Real).
• Aplicando qualquer uma das Eq.0.9a ou 
Eq.0.9b ou Eq.0.9c sobre a Eq.0.11b
obtemos:
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.68
(0.9f)

Propagação de Incertezas
• Exemplo 1 cont.: 
Determinação da massa 
de dez moedas de R$ 0,50 
(cinqüenta reais de 
centavo de Real).
• Contribuições de incerteza 
(produto dos coeficientes 
de sensibilidade pelas 
incertezas padrão de cada 
fonte de incerteza) para a 
incerteza combinada do 
mensurando.
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.69
Propagação de Incertezas
• Exemplo 1 cont.: Determinação da massa de dez 
moedas de R$ 0,50 (cinqüenta reais de centavo de Real).
• O resultado de medição da massa das dez 
moedas de R$ 0,50 é :
m = (72,7 ± 4,1) g
• Se no cálculo na Eq,0.9f desprezássemos a 
menor contribuição m = (72,7 ± 4,1) g, se 
tivéssemos dividido a resolução por raiz de 3 
(1,7321) ao invés de 2, como em geral fazem os 
metrologistas, devido distribuição retangular da 
estatística o resultado seria m = (72,7 ± 4,3) g.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.70

Propagação de Incertezas
• Exemplo 2 : Análise de metais lixiviáveis em resíduos 
sólidos [Matos-2015] conforme a Norma ABNT/NBR 
10.005:2004b [ABNT-10.005-2004b]
• O metal contido em 100 g (mamost) de amostra 
devidamente pulverizada é lixiviado (extraído) a 25°C por 
18 h ± 2 h por um volume de 2 L (Vlix) de uma solução de 
lixiviação (extração) de ácido acético em água com pH 
entre 4,88 e 4,98 ou 2,83 e 2,93, dependendo do pH de 
uma suspensão da amostra de ensaio. Em seguida a 
concentração do metal na solução de lixiviação é 
quantificada por espectroscopia absorção atômica – EAA 
ou outro instrumento de medição analítica, que fornecerá 
uma resposta instrumental RIamost funcionalmente 
dependente da concentração do analito.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.71
Propagação de Incertezas
• Exemplo 2 cont.: Análise de metais lixiviáveis em 
resíduos sólidos
• Função de medição:
• Onde:
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.72
   
 
Mpcc,amost slix amost slix amost slix
amost amost bruta tara amost
1000 1000 1000
M
c V RI a V RI a V
c
m bm b m m
 
  

cM :
Concentração do metal lixiviável do resíduo sólido, o 
mensurando. Unidades : mg/kg; ou seja é a massa em 
gramas do metal lixiviado por kilograma do resíduo sólido
RIamost :
Resposta instrumental para a amostra do instrumento de 
medição analítica. Unidades : adimensional
(0.11b)
Propagação de Incertezas
• Exemplo 2 cont.: Análise de metais lixiviáveis em 
resíduos sólidos
• Função de medição: Eq.0.11b.
• Onde:
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.73
a :
Intercepto da curva de calibração do instrumento de 
medição analítica. Unidades : adimensional
b :
Inclinação da curva de calibração do instrumento de medição 
analítica. Unidades : L/mg
cMpcc,amost :
Concentração do metal na solução de lixiviação (extração) da 
amostra prevista na curva de calibração. Unidades : mg/L
Vslix :
Volume da solução de lixiviação (estração)da amostra. 
Unidades : L
Propagação de Incertezas
• Exemplo 2 cont.: Análise de metais lixiviáveis em 
resíduos sólidos
• Função de medição: Eq.0.11b.
• Onde:
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.74
mamost :
Massa da amostra de ensaio do resíduo sólido a analisar. 
Unidades : g
mbruta :
Massa bruta do recipiente de pesagem contendo a amostra. 
Unidades : g
mtara :
Massa de tara do recipiente de pesagem vazio. Unidades : g
1000 : Fator de conversão de unidades de massa. Unidades : g/kg
Propagação de Incertezas
• Exemplo 2 cont.: Análise de metais lixiviáveis em 
resíduos sólidos
• Figura 0.4 : Diagrama de causa e efeito ou de Ishikawa
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.75
Previsão na curva de calibração
cM
cpcc
Vlix
Cresol Crep
Ctemp
mamost
Ccalib
Cresol
Crep
RIamost
a
b
mbrutamtara
Cresol
Ccalib Crep
Cresol
Ccalib Crep
Cov(a,b)
RIpad,icMpad,i
Propagação de Incertezas
• Exemplo 2 cont.: Análise de metais lixiviáveis em resíduos 
sólidos
• Aplicando a lei de propagação de incertezas – LPI à Eq.0.11b
• Inserindo as derivada da Eq.0.11b na Eq.0.12a :
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.76
 
     
       
2 22
M M M
lix bruta tara
lix bruta tara
M 2 2 2
M M M M M
amost
amost
2 cov ,
c c c
u V u m u m
V m m
u c
c c c c c
u RI u a u b a b
RI a b a b
      
      
       

            
           
            
(0.12a)
 
     
       
2 2 2
M M M
slix bruta tara
slix bruta tara bruta tara
M 2 2 2
M M M M M
amost
amost amost
2 cov ,
c c c
u V u m u m
V m m m m
u c
c c c c c
u RI u a u b a b
RI a RI a b RI a b
     
        
      

         
               
          
(0.12b)
Propagação de Incertezas
• Exemplo 2 cont.: Análise de metais lixiviáveis em 
resíduos sólidos
• Exemplificando obtido o coeficiente de sensibilidade da 
massa de tara :
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.77
 
 
 
 
 
 
 
 
amost slix amost slixM
tara tara bruta tara tara bruta taraamost amost
amost slix amost slix
2
brutabruta tara amost
1000 1000 1
1000 10001
1
taram
RI a V RI a Vc
c
m m b m m b m m m
RI a V RI a V
b b m mm m
      
      
          
  
    
      tara bruta taraamost amost
M
bruta tara amost
1
m m
c
m m


 
  
 (0.13)
Propagação de Incertezas
• Exemplo 2 cont.: Análise de 
metais lixiviáveis em resíduos 
sólidos
• Histograma da incerteza-padrão 
(combinada) da concentração de 
metal lixiviável (Exemplo 0.2) e de 
suas quatro maiores contribuições 
de incertezas-padrão e 
covariância para a amostra de 
ensaio hipotética do Exercício 0.1. 
Como o operador raiz quadrada 
não é linear, a soma algébrica dos 
valores das quatro últimas barras 
não resulta no valor da primeira 
barra, a incerteza-padrão 
combinada de cM: uc(cM).
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.78
Propagação de Incertezas
• Exemplo 2 cont.: Análise de 
metais lixiviáveis em resíduos 
sólidos
• Figura 0.5b : Gráfico de 
barras da variância 
(combinada) da concentração 
de metal lixiviável (Exemplo 
0.2) e de suas quatro maiores 
contribuições de variância e 
covariância para a amostra de 
ensaio hipotética do 
Exercício 0.1. Notar que a 
soma algébrica do valor das 
quatro primeiras barras resulta 
no valor da quinta barra, a 
variância combinada de cM: 
u2c(cM).
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.79
REGRESSÃO LINEAR PELO 
MÉTODO DOS MÍNIMOS 
QUADRADOS – MMQ
Método dos Mínimos Quadrados Ordinário –
MMQO (Ordinary least Square – OLS)
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.80
Modelo linear nos parâmetros ajustados
• Modelos lineares nos parâmetros (coeficientes) a ajustar 
são usados para descrever empiricamente a relação 
funcional entre a variável dependente (y) ou variável 
resposta ou resposta instrumental e a variável 
independente (x), controlada, regressora, preditora ou 
explicativa.
• Nesses modelos lineares os parâmetros a ajustar 
somente aparecem multiplicando funções de x.
• Polinômios de grau g na variável dependente são 
exemplos modelos lineares no parâmetros a ajustar:
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.81
1
1
0 1
g g
i i
i i
i i
y p x p x


 
  
Modelo linear nos parâmetros ajustados
• um caso particular é a função afim ou polinômio de 
primeiro grau, linear nos parâmetros e em x:
y = a + bx
• a = é o intercepto, primeiro parâmetro a ajustar
• b = inclinação, segundo parâmetro a ajustar.
• Para o caso de homocedasticidade, em que todos os 
valores yi; apresentam a mesma incerteza syi = sy, ―A 
melhor reta que passa por um conjunto de pontos experimentais 
xi, yi é obtida minimizando-se a soma dos quadrados dos 
desvios dos valores de yi, em relação à reta calculada ou 
ajustada‖. Essa é a condição do método de mínimos 
quadrados ordinário (não ponderado) – MMQO.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.82
(0.15)
MMQO
• Desvios di: diferença entre e yi,exp :
• Onde, o circunflexo significa valor estimado 
estatisticamente a partir de uma amostra de dados 
experimentais.
• Condição de minimização do MMQO:
• N = número de dados independentes, incluindo 
replicações. 
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.83
,calc
ˆ
i i iy y a bx  
     ,exp ,calc ˆˆ ˆi i i i i i id y y y y y a bx      
(0.16)
   
2 22
,exp ,calc
1 1 1
min mim min
N N N
i i i i i
i i i
d y y y a bx
  
     
         
     
  
(0.17)
MMQO
• A condição de minimização da Eq.0.17 é observada 
quando :
• Onde, são os valores estimados e mais prováveis 
dos parâmetros ajustados de acordo com a condição de 
minimização da Eq.0.17
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.84
 
2
1
ˆˆ 0
ˆ
N
i i
i
y a bx
a 

  


 
2
1
ˆˆ 0
ˆ
N
i i
i
y a bx
b 

  


(0.18a)
(0.18b)
ˆˆ e a b
MMQO
• Resolvendo o sistema de equações formado pela 
Eq.0.18a e a Eq.0.18b obtemos :
• Onde
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.85
2
1 1 1 1ˆ
N N N N
i i i i i
i i i i
x y x x y
a    



   
1 1 1ˆ
N N N
i i i i
i i i
N x y x y
b   



  
2
1 2
1 12
1 1
det
N
i N N
i
i iN N
i i
i i
i i
N x
N x x
x x

 
 
 
 
      
   
 
 

 
 
(0.19a)
(0.19b)
(0.19c)
MMQO
• A partir da LPI demonstra-se que as incertezas-padrão ou 
desvios-padrão dos parâmetros ajustados são :
• Onde, o desvio padrão amostral residual do ajuste, ou 
simplesmente, desvio padrão do ajuste sres é :
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.86
2
2 2res
aˆ i
s
s x


2
2 res
bˆ
Ns
s 

(0.20a)
(0.20b)
   22 2 2 2 2res
1 1 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2
2 2
i i i i i i i is y y Na y b x ab x a y b x y
N N
       
 
     
(0.21)
MMQO
• Como os valores estimados de a e b são obtidos do 
mesmo conjunto de dados eles não são estatisticamente 
independentes. Suas covariância é :
• Essa covariância entre o intercepto e a inclinação 
ajustados será negativa sea soma no numerador da 
Eq.0.22 for positiva. Isso ocorre em muitas calibrações de 
instrumentos.
• Essa covariância pode ser nula se a soma no numerador 
da Eq.0.22 for nula.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.87
 ˆˆcov , i
x
a b  


(0.22)
MMQO
i xi yi
1 x1 y1 x1y1
2 x2 y2 x2y2
N xN yN xNyN
Somas:
i xi yi
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.88
xi
2
y
i
2
yx ii
x
2
1 y
2
1
x
2
2
y
2
2
xN
2
y
N
2
xi  y
i xi
2  y
i
2
 yx ii
xi
2
y
i
2
yx ii
Tabela 0.3 : Dados experimentais e cálculos necessários 
para o ajuste de uma reta a uma série de pontos (xi, yi) pelo 
método dos mínimos quadrados.
MMQO
• Para verificar a qualidade do ajuste da reta utilizamos o 
coeficiente de correlação linear, r, cujo valor varia de 0 a 
±1. Ele é zero quando não há correlação linear entre x e 
y, e ±1 quando a correlação é completa sendo o sinal de r
o mesmo da inclinação b.
• Testa-se a significância de r com o teste t ao nível de 
significância a com grau de liberdade igual ao grau de 
liberdade do ajuste, n = N – 2 :
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.89
 
1
2 21/ 2 2
i i i i
i i
N x y x y
r
N y y


  
  
  
 
(0.23)
disc
2
2
1
r N
t
r



(0.24)
MMQO
i,j cMpad,i Apad,i (cMpad,i)
2 (Apad,i)
2 cMpad,i ×
Apad,i
1,1 0,1 0.028 0.01 0.000784 0.0028
1,2 0,1 0.029 0.01 0.000841 0.0029
1,3 0,1 0.029 0.01 0.000841 0.0029
1,4 0,1 0.033 0.01 0.001089 0.0033
2,1 0,3 0.084 0.09 0.007056 0.0252
2,2 0,3 0.083 0.09 0.006889 0.0249
2,3 0,3 0.081 0.09 0.006561 0.0243
2,4 0,3 0.085 0.09 0.007225 0.0255
3,1 0,5 0.135 0.25 0.018225 0.0675
3,2 0,5 0.131 0.25 0.017161 0.0655
3,3 0,5 0.133 0.25 0.017689 0.0665
3,4 0,5 0.133 0.25 0.017689 0.0665
4,1 0,7 0.18 0.49 0.0324 0.126
4,2 0,7 0.181 0.49 0.032761 0.1267
4,3 0,7 0.183 0.49 0.033489 0.1281
4,4 0,7 0.184 0.49 0.033856 0.1288
5,1 0,9 0.215 0.81 0.046225 0.1935
5,2 0,9 0.22 0.81 0.0484 0.198
5,3 0,9 0.216 0.81 0.046656 0.1944
5,4 0,9 0.216 0.81 0.046656 0.1944
Somas: 10 2.579 6.6 0.422493 1.6677
i,j cMpad,i Apad,i (cMpad,i)
2 (Apad,i)
2 cMpad,i
Apad,i
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.90
Tabela 0.4 : 
Tabela auxiliar 
para os cálculos 
do ajuste de uma 
reta pelo 
MMQO para a 
curva de 
calibração da 
determinação de 
Cd por absorção 
atômica.
88
MMQO
Figura 0.6 : Curva de calibração do espectrômetro de absorção 
atômica para a determinação de Cd em resíduos sólidos.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.91
MMQO
• Calculando os parâmetros ajustados :
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.92
2
1 2 2
1 12
1 1
det 20 6,6 10 32
N
i N N
i
i iN N
i i
i i
i i
N x
N x x
x x

 
 
 
 
          
   
 
 

 
 
2
1 1 1 1 6,6 2,579 10 1,6677 0,3444ˆ 0,0107625
32 32
N N N N
i i i i i
i i i i
x y x x y
a    

  
   

   
1 1 1 20 1,6677 10 2,579 7,564ˆ 0,236375
32 32
N N N
i i i i
i i i
N x y x y
b   

  
   

  
(0.19c)
(0.19b)
(0.19c)
MMQO
• Calculando o desvio padrão residual sres :
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.93
 2 2 2 2 2res
2 2
5
res
1 ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2 2
2
20 0,0107625 0,422493 0,236375 6,6 2 0,0107625 0,236375 101
20 2 2 0,0107625 2,579 2 0,236375 1,6677
0,000533925
2,96625 10
18
2,966
i i i i i is Na y b x ab x a y b x y
N
s

      

         
  
      
  
 
    
5 325 10 5,446329 10   
(0.21)
MMQO
• Calculando as incertezas-padrão e a covariância dos 
parâmetros ajustados :
• Logo: a = (0,011 ± 0,025) e b = (0,2364 ± 0,0043), sendo o 
intercepto estatisticamente nulo.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.94
2 5
2 2 6res
ˆ ˆ
2,96625 10
6,6 6,11789 10 0,02473437
32
a i a
s
s x s

      


(0.20a)
2 5
2 5res
ˆ ˆ
20 2,96625 10
1,853906 10 0,004305701
32b b
Ns
s s

      

(0.20b)
  10ˆˆcov , 0,3125
32
ix
a b      

 (0.22)
Média das médias, média ponderada
• Seja x1, x2, xi, valores médios obtidos de medições com 
iguais ou diferentes números de replicações n1, n2, ni, e 
por iguais ou diferentes métodos ou procedimentos de 
medições. Seja s(x1) = u(x1), s(x2) = u(x2), s(xi) = u(xi), os 
desvios padrão amostrais das médias ou as suas 
incertezas-padrão.
• Então o melhor valor para o resultado dessas medições é 
a média ponderada xw :
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.95
 
 
 
 
2 2
w 2 2
i i i i
i i
x s x x u x
x
s x u x
 
 
 
 
 
(0.25)
Média das médias, média ponderada
• O desvio padrão da média ponderada definida na 
Eq.0.25 é dado por :
• Essa equação implica que o desvio padrão da 
média ponderada s(xw) é menor que o menor 
desvio padrão s(xi) das médias xi.
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.96
 
   w 2 2
1 1
i i
s x
s x u x 
 
 
(0.26)
BIBLIOGRAFIA
• [ALBERTY 1980] ALBERTY, R.A. & 
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L., AIP 50th ―Anniversary Physics Vade
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BIBLIOGRAFIA
• [ATKINS 2008] Peter W. ATKINS, Julio de 
PAULA, (2008). ―Físico-Química‖, Vol. 1, Livros 
Técnicos e Científicos, 8ed., Rio de Janeiro. 
609 pag., ISBN: 85-216-1600-7, ISBN-13: 
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SHAW, R. WALSH, Chemical Review vol. 69, p. 
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CASTELLAN, G., ―Fundamentos de Físico-
Química‖, 1a ed., Livros Técnicos e 
Científicos, 1986, 5ª reimpressão 1995. ISBN: 
8521604890, ISBN-13: 9788521604891.
• [CODATA 2006] CODATA, The Committee on Data 
for Science and Technology, 5 rue Auguste 
Vacquerie, 75016 Paris, France, Tel.: +33 1 
45250496, Fax: +33 1 42881466, sítio na internet: 
http://www.codata.org/
Os dados de constantes físicas do CODATA 
encontram-se no sítio do NIST a seguir: 
http://physics.nist.gov/cuu/Constants/index.html.
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http://jcgm.bipm.org/vim/en/index.html
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.109
Prof. Welington Ferreira de MAGALHÃES
• Universidade Federal 
de Minas Gerais –
UFMG.
• Inst. de Ciências Exatas 
– ICEx,
• Departamento de 
Química, gabinete 239,
Tel.: 31 3409 5769
• welmag@ufmg.br
FQ-I Aula Prática Tratamento de Dados WelMag p.110