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Mecaˆnica e Ondas Ano lectivo 2017/2018 TL 4 – Peˆndulo simples Introduc¸a˜o Esta experieˆncia tem por objectivo estudar as pequenas oscilac¸o˜es de um peˆndulo. A primeira parte do trabalho consiste na determinac¸a˜o do per´ıodo de oscilac¸a˜o de um peˆndulo de comprimento fixo atrave´s da medic¸a˜o de tempos por treˆs processos distintos. A discussa˜o destes processos e a comparac¸a˜o das incertezas associadas a cada um deles e´ um dos objectivos deste trabalho laboratorial. Na segunda parte do trabalho pretende- se observar experimentalmente, e quantificar, a influeˆncia do comprimento do peˆndulo sobre o per´ıodo das oscilac¸o˜es. Finalmente, por comparac¸a˜o dos resultados experimentais com a lei teo´rica, pretende-se realizar uma estimativa do valor da acelerac¸a˜o da gravidade, g. Funcionamento O peˆndulo simples e´ um sistema constitu´ıdo por uma massa m suspensa de um ponto fixo O por um fio inextens´ıvel de massa despreza´vel face a m. Descric¸a˜o dinaˆmica Quando o peˆndulo se encontra imo´vel na posic¸a˜o de equil´ıbrio, as duas forc¸as que actuam sobre a massa m sa˜o a forc¸a grav´ıtica ~Fg e a forc¸a de tensa˜o do fio ~FT . Sendo ambas verticais e de sentidos opostos, anulam-se exactamente, como se representa na Fig. 1(a). Quando o peˆndulo e´ deslocado da sua posic¸a˜o de equil´ıbrio, estas duas forc¸as deixam de se compensar, e a forc¸a resultante ~FR = ~Fg + ~FT actua no sentido de restaurar a posic¸a˜o de equil´ıbrio, como se representa na Fig. 1(b). Esta forc¸a resultante produz uma acelerac¸a˜o da massa m de tal modo que ao passar pela posic¸a˜o de equil´ıbrio ela se encontra animada de uma certa velocidade, continuando, assim, o seu movimento para o lado oposto, onde vai, enta˜o, ficar sujeita a uma forc¸a resultante de sentido contra´rio que a ira´ fazer parar, e novamente acelerar em direcc¸a˜o a` posic¸a˜o de equil´ıbrio. Observa-se, assim, que o peˆndulo oscila em torno da posic¸a˜o vertical por acc¸a˜o da forc¸a grav´ıtica e da tensa˜o do fio. Balanc¸o energe´tico Quando o peˆndulo, no seu movimento, atinge a ma´xima elongac¸a˜o, fica momentaneamente parado. Nesse instante possui energia cine´tica zero e uma energia potencial grav´ıtica ma´xima. Em seguida, a` medida que o peˆndulo vai descendo, a energia potencial vai sendo transformada em energia cine´tica. A velocidade vai aumentando durante a descida e atinge um ma´ximo no ponto mais baixo da trajecto´ria. Aqui a energia cine´tica e´ ma´xima e a energia potencial e´ mı´nima. A` medida que o peˆndulo se eleva novamente, na continuac¸a˜o do seu movimento, a energia cine´tica volta a transformar-se em energia potencial. A velocidade diminui e chega a zero quando atinge o extremo da elongac¸a˜o, com a energia potencial de novo no seu valor ma´ximo. Uma pequena quantidade de energia e´ dissipada por acc¸a˜o, entre outros factores, do atrito provocado pela resisteˆncia do ar enquanto o peˆndulo se move. Isto significa que a amplitude de cada oscilac¸a˜o e´ um pouco menor do que a anterior. TL4 - Pag. 2/8 FCUL – DEPARTAMENTO DE FI´SICA m ? 6 (a) ~Fg ~FT O m A A A A A A A AAm ? A A A AAK ���� (b) ~Fg ~FT ~FR θ O m Figura 1: Peˆndulo simples: (a) na posic¸a˜o de equil´ıbrio, a forc¸a grav´ıtica ~Fg e a tensa˜o do fio ~FT sa˜o verticais e de sentidos opostos; (b) quando o peˆndulo faz um aˆngulo θ com a vertical, a forc¸a resultante e´ ~FR = ~Fg+ ~FT . Varia´veis relevantes De entre as varia´veis relevantes para um estudo completo das oscilac¸o˜es do peˆndulo podemos distinguir as caracter´ısticas do pro´prio peˆndulo e as associadas ao seu movimento: comprimento – afecta de forma determinante o per´ıodo de oscilac¸a˜o. Quanto maior for o comprimento, maior sera´ o per´ıodo. massa – praticamente na˜o afecta o per´ıodo de oscilac¸a˜o. amplitude – desde que a amplitude seja pequena, isto e´, dentro da aproximac¸a˜o sen θ ≈ θ, o per´ıodo e´ praticamente independente da amplitude da oscilac¸a˜o. acelerac¸a˜o da gravidade – responsa´vel pelo movimento do peˆndulo. Num local onde a atracc¸a˜o grav´ıtica for menor, como na Lua, por exemplo, e´ de esperar que o per´ıodo de oscilac¸a˜o seja maior. atrito – se o objecto suspenso no fio tiver pequenas dimenso˜es e´ de esperar que o atrito, devido a` resisteˆncia do ar, seja pouco significativo. Observa-se, neste caso, que o peˆndulo continua a oscilar durante muito tempo antes de parar, o que significa que somente uma muito pequena quantidade de energia e´ dissipada em cada oscilac¸a˜o. Um objecto maior e mais leve tera´ o seu movimento consideravelmente mais afectado pela resisteˆncia do ar. Na segunda parte deste trabalho centramos a nossa atenc¸a˜o essencialmente na primeira destas varia´veis. Pretendemos estudar de que modo o comprimento do peˆndulo influencia o per´ıodo de oscilac¸a˜o. Observe os arcos de circunfereˆncia descritos por dois peˆndulos de comprimentos diferentes, representados na Fig. 2. Para a mesma amplitude de oscilac¸a˜o, e no ponto mais alto das respectivas trajecto´rias, o peˆndulo mais comprido tem maior energia potencial, o que significa que a energia cine´tica, e portanto, a velocidade no ponto central, sera´ maior. No entanto, repare que o arco descrito pelo peˆndulo mais curto tem sempre uma inclinac¸a˜o maior do que a do arco do peˆndulo mais longo, e esta´ sempre acima deste. Sabemos que um objecto que se move ao longo de um plano inclinado esta´ sujeito a uma acelerac¸a˜o que e´ tanto maior quanto maior for a inclinac¸a˜o desse plano (a = g senα). O mesmo argumento pode ser aplicado ao movimento do peˆndulo.1 Quanto maior for a inclinac¸a˜o do arco descrito, maior sera´ a acelerac¸a˜o. Uma maior acelerac¸a˜o, no caso do peˆndulo mais curto, aliada a um comprimento menor do arco descrito, significa um tempo menor por cada oscilac¸a˜o. E´ de prever, enta˜o, que o per´ıodo de oscilac¸a˜o aumente com o comprimento do peˆndulo. 1Note, contudo, que ao contra´rio do plano inclinado, o arco descrito pelo peˆndulo na˜o e´ uma linha recta. O arco tem uma inclinac¸a˜o ma´xima nos extremos da trajecto´ria e torna-se horizontal ao atingir o centro. A acelerac¸a˜o do peˆndulo vai por isso diminuir desde um valor ma´ximo nos extremos ate´ zero, no centro. MECAˆNICA E ONDAS – 2017/2018 TL4 - Pag. 3/8 @ @ @ @ @ @ @ @ @@ m@@@ @@ m Figura 2: Trajecto´rias de dois peˆndulos de comprimentos diferentes. As amplitudes foram propositadamente exageradas (relativamente a`quelas que devem ser usadas na experieˆncia) para tornar mais evidente a diferenc¸a entre os arcos de circunfereˆncia descritos pelos dois peˆndulos. Equac¸o˜es do movimento A equac¸a˜o do movimento do peˆndulo, na sua forma vectorial, e´ dada pela lei de Newton: ~FR = ~Fg + ~FT = m~a = m(~at + ~ac) , (1) onde ~a e´ a acelerac¸a˜o do movimento. A acelerac¸a˜o decompo˜e-se em duas componentes perpendiculares: a acelerac¸a˜o centr´ıpeta ~ac, que aponta para o centro do arco descrito pelo peˆndulo (o ponto fixo); e a acelerac¸a˜o tangencial ~at, tangente a` trajecto´ria em cada ponto e sempre dirigida no sentido do ponto de equil´ıbrio do peˆndulo. Decompondo a Eq. (1) nestas duas direcc¸o˜es perpendiculares obtemos duas equac¸o˜es escalares para as com- ponentes da acelerac¸a˜o: −mg cos θ + FT = mac (2) −mg sen θ = mat (3) onde usa´mos |~Fg | = mg, com g a acelerac¸a˜o da gravidade. A acelerac¸a˜o centr´ıpeta e´ responsa´vel pela mudanc¸a cont´ınua de direcc¸a˜o associada a` trajecto´ria curvil´ınea (circular) descrita pelo peˆndulo, e na˜o sera´ objecto de ana´lise neste trabalho. A acelerac¸a˜o tangencial e´ responsa´vel pela variac¸a˜o do mo´dulo da velocidade do peˆndulo ao longo do tempo. Uma vez que s = `θ e´ o comprimento do arco descrito pelo peˆndulo num dado instante, medido a partir da posic¸a˜o de equil´ıbrio, e v = dsdt e´ a velocidade nesse instante, temos at = dvdt = d ( ds dt ) dt = d ( `dθdt ) dt = ` d2θ dt2 . (4) Substituindo esta relac¸a˜o na equac¸a˜o do movimento tangencial, Eq. (3), e apo´s eliminac¸a˜o da massa m, resulta uma equac¸a˜o diferencial no aˆngulo θ: d2θ dt2 + g ` sen θ = 0 . (5) Para aˆngulos pequenos tem-se sen θ ≈ θ (com θ em radiano), o que significa que o movimento de um peˆndulo que efectue pequenas oscilac¸o˜es pode ser descrito aproximadamente pela equac¸a˜o diferencial: d2θ dt2 + g ` θ = 0 . (6) Trata-se da equac¸a˜o de um oscilador harmo´nico, cuja soluc¸a˜o tem a forma simples, θ(t) = θ0 sen(ωt+ δ) , (7) TL4 - Pag. 4/8 FCUL – DEPARTAMENTO DE FI´SICA em que θ0 e δ sa˜o constantes que representam, respectivamente, a amplitude angular das oscilac¸o˜es, e a fase no instante inicial (t = 0). A frequeˆncia angular das oscilac¸o˜es, ω, depende das caracter´ısticas do sistema, como podemos observar derivando a soluc¸a˜o e substituindo na pro´pria equac¸a˜o diferencial: d2θ dt2 = −ω2θ0 sen(ωt+ δ) = −ω2θ =⇒ −ω2θ + g ` θ = 0 , (8) de onde conclu´ımos que ω = √ g ` . (9) Assim, para o per´ıodo de oscilac¸a˜o, T = 2pi/ω, resulta, nesta aproximac¸a˜o: T = 2pi √ ` g (10) Conclu´ımos assim que, para pequenas oscilac¸o˜es do peˆndulo, o per´ıodo de oscilac¸a˜o na˜o depende da amplitude das oscilac¸o˜es, e aumenta com o comprimento do peˆndulo, mas de uma forma na˜o linear. Para amplitudes mais elevadas, a aproximac¸a˜o dos aˆngulos pequenos na˜o e´ uma boa aproximac¸a˜o. Neste caso, a soluc¸a˜o exacta da Eq. (5) conduz a uma expressa˜o bastante mais complicada para o per´ıodo de oscilac¸a˜o, que pode ser escrita sob a forma de uma se´rie de poteˆncias, T = 2pi √ ` g ∞∑ n=0 [ (2n)! (2n · n!)2 sen n ( θ0 2 )]2 = 2pi √ ` g ( 1 + θ20 16 + . . . ) , (11) em que θ0 e´ a amplitude da oscilac¸a˜o. Problemas propostos Cada estudante deve resolver os problemas propostos no Moodle, antes da aula de realizac¸a˜o do trabalho. Trabalho laboratorial Material utilizado Peˆndulo simples de comprimento varia´vel e seu suporte, fita me´trica, craveira, crono´metro manual, crono´metro automa´tico constitu´ıdo por um sensor o´ptico de passagem (fotoporta) e respectiva interface de aquisic¸a˜o de dados, computador com programa de aquisic¸a˜o de dados DataStudio. Realizac¸a˜o experimental Registem todas as vossas observac¸o˜es no computador, usando a folha de ca´lculo Excel fornecida. Comecem por preencher a identificac¸a˜o dos elementos do grupo e guardem imediatamente o ficheiro Excel com o nome indicado. Ao longo do trabalho va˜o guardando frequentemente as sucessivas alterac¸o˜es no mesmo ficheiro. A. Medic¸a˜o do per´ıodo de um peˆndulo de comprimento fixo por diferentes me´todos Montem o peˆndulo com, aproximadamente, 45 cm de comprimento. Registem com rigor o comprimento do peˆndulo, medido desde o ponto de suspensa˜o ate´ ao centro de massa do objecto na sua extremidade, pois e´ a´ı que se considera aplicada a forc¸a grav´ıtica. Sugere-se que usem uma fita me´trica para medir o comprimento do fio, `fio, e uma craveira para efectuar, com maior precisa˜o, as medic¸o˜es necessa´rias para obter a distaˆncia MECAˆNICA E ONDAS – 2017/2018 TL4 - Pag. 5/8 entre a extremidade do fio e o centro de massa do objecto, dcm. O comprimento do peˆndulo sera´, enta˜o, dado por ` = `fio + dcm. Coloquem o peˆndulo a oscilar, largando-o de uma posic¸a˜o que fac¸a um certo aˆngulo (pequeno) com a posic¸a˜o de equil´ıbrio. A amplitude de oscilac¸a˜o deve ser sempre pequena. Atenc¸a˜o: Deixem o peˆndulo oscilar va´rias vezes antes de iniciar quaisquer medic¸o˜es de tempo, e verifiquem se a oscilac¸a˜o ocorre num u´nico plano vertical. Se o peˆndulo descrever uma elipse significa que o largaram com uma velocidade inicial indevida. Repitam a largada, procurando na˜o imprimir velocidade inicial. a) Medic¸a˜o de um per´ıodo com um crono´metro manual. Utilizem um crono´metro para medir o tempo t1 correspondente a uma oscilac¸a˜o completa do peˆndulo (per´ıodo). Repitam esta medic¸a˜o 12 vezes (4 por cada elemento do grupo, por exemplo). Registem os valores na tabela da folha “Me´todos”. Calculem a me´dia e o desvio padra˜o (DP) dos valores observados. Tendo em conta o nu´mero de observac¸o˜es efectuadas (n = 12, neste caso), calcule o DP da me´dia. Recordem que o DP da me´dia2 traduz a dispersa˜o das diferentes me´dias que e´ esperado encontrar em repetic¸o˜es sucessivas da mesma experieˆncia (composta por 12 observac¸o˜es). E´ tambe´m uma estimativa da incerteza associada ao valor me´dio, ou seja, ao resultado da experieˆncia. Registem enta˜o o valor experimental do per´ıodo de oscilac¸a˜o, T , e a respectiva incerteza, obtidos por este me´todo. b) Medic¸a˜o de 20 per´ıodos com um crono´metro manual. Realizem e registem 12 medic¸o˜es do tempo, t20, correspondente a 20 oscilac¸o˜es completas. Calculem a me´dia e o desvio padra˜o da me´dia deste conjunto de 12 medic¸o˜es. O per´ıodo de oscilac¸a˜o do peˆndulo e´, naturalmente, T = t20/20. Calculem o valor experimental do per´ıodo de oscilac¸a˜o, T , e a respectiva incerteza, que se obteˆm por este segundo me´todo. Comparem e discutam os resultados obtidos pelos dois me´todos. Quais sa˜o as principais fontes de incerteza de cada um deles? Comparem a incerteza dos resultados com o limite superior do erro (LSE) de leitura do crono´metro. Qual e´ a melhor estimativa do per´ıodo do peˆndulo que conseguiram obter com estes me´todos manuais? c) Medic¸o˜es do per´ıodo com um crono´metro automa´tico. Fixem o sensor o´ptico de passagem e desloquem o pequeno alvo opaco preso ao fio do peˆndulo de modo que o feixe luminoso seja interrompido quando o peˆndulo se encontra na posic¸a˜o de equil´ıbrio. Uma vez posto em movimento, o per´ıodo de oscilac¸a˜o do peˆndulo sera´ registado pelo sensor de passagem e visualizado no computador usando a interface e o programa de explorac¸a˜o DataStudio. Ao iniciar o programa devem seleccionar o sensor: Photogate and pendulum. Numa u´nica aquisic¸a˜o de dados, com o programa DataStudio, obtenham os tempos correspondentes a cerca de 10 a 15 oscilac¸o˜es do peˆndulo. Utilizem as ferramentas do programa para determinar o nu´mero de oscilac¸o˜es n, a me´dia e o DP dos per´ıodos medidos. Registem estes dados. Tendo em conta o nu´mero de observac¸o˜es efectuadas nesta experieˆncia, calculem o DP da me´dia. Registem enta˜o o valor experimental do per´ıodo de oscilac¸a˜o, T , e a respectiva incerteza, obtidos por este me´todo. Comparem os resultados e as incertezas experimentais obtidos pelo me´todo automa´tico e pelos me´todos ma- nuais. Qual dos me´todos e´ mais preciso? E qual o menos preciso? Existem razo˜es para suspeitar da presenc¸a de erros sistema´ticos nalgum dos me´todos? 2Revejam o documento “Medic¸o˜es em F´ısica – Complemento ao Cap´ıtulo 1” dispon´ıvel no Moodle. TL4 - Pag. 6/8 FCUL – DEPARTAMENTO DE FI´SICA B. Variac¸a˜o do per´ıodo de um peˆndulo com o seu comprimento Nas va´rias experieˆncias que realizaram ate´ aqui usaram um peˆndulo com comprimento fixo. Va˜o agora estudar de que forma o per´ıodo de oscilac¸a˜o depende do comprimento do peˆndulo. Devera˜o, pois, realizar va´rias experieˆncias com comprimentos diferentes abrangendo uma gama ta˜o alargada quanto poss´ıvel. Comecem com um comprimento pequeno (15 a 20 cm, por exemplo) e va˜o aumentando ate´ ao ma´ximo que as condic¸o˜es experimentais permitirem (≈ 1.5 m). Efectuem as medic¸o˜es que lhes parecerem adequadas (10 no ma´ximo) para determinar com o maior rigor poss´ıvel a func¸a˜o T = f(`) , (12) em que T e´ o per´ıodo de oscilac¸a˜o e ` e´ o comprimento do peˆndulo. Registem os valores obtidos na tabela da folha “Comprimento”. Representem num gra´fico os pontos experimentais que traduzem esta func¸a˜o. Observem cuidadosamenteo seu comportamento, e verifiquem que a relac¸a˜o entre T e ` na˜o e´ linear. Se na˜o conseguirem observar no gra´fico um desvio sistema´tico a` linearidade, isso deve-se provavelmente a terem um nu´mero insuficiente de pontos experimentais. Se for este o caso efectuem outras medic¸o˜es que abranjam uma gama mais alargada de valores de `. Exclu´ıda a hipo´tese de a relac¸a˜o entre T e ` ser linear, a hipo´tese seguinte mais simples a considerar e´ a de que T seja uma poteˆncia de `, isto e´, uma relac¸a˜o do tipo T = f(`) = c `µ , (13) em que c e µ sa˜o constantes. Uma func¸a˜o do tipo poteˆncia, como esta, representa-se habitualmente num gra´fico em que as escalas de ambos os eixos sa˜o logar´ıtmicas. Este gra´fico, designado gra´fico log-log, e´ extremamente conveniente pois permite representar qualquer func¸a˜o do tipo poteˆncia como uma recta. De facto, se aplicarmos logaritmos a ambos o membros da Eq. (13) obtemos log T︸ ︷︷ ︸ y = µ︸︷︷︸ a log `︸︷︷︸ x + log c︸︷︷︸ b , (14) que e´ uma relac¸a˜o linear entre o logaritmo de T e o logaritmo de `. Com efeito, representando graficamente log ` em abcissas e log T em ordenadas, ficamos um gra´fico do tipo y = ax+ b, ou seja, uma recta. A comparac¸a˜o da equac¸a˜o da recta com a Eq. (14) permite concluir que, neste gra´fico log-log, o declive da recta, a, representa o valor do expoente µ, e a ordenada na origem, b, representa log c (ver Eq. (13)). Para representar os dados experimentais de T = f(`) num gra´fico log-log, comecem por calcular o logaritmo natural3 (func¸a˜o ln do Excel) dos valores de ` e T . Calculem tambe´m a incerteza que afecta os logaritmos, para assim determinarem o nu´mero de algarismos significativos que devem apresentar na tabela. Construam o gra´fico log-log dos dados experimentais. Verifiquem que eles se dispo˜em segundo uma recta. Representem no gra´fico a recta que melhor se ajusta aos pontos experimentais. Os valores do declive e da ordenada na origem desta recta podem ser obtidos a partir do pro´prio gra´fico, usando a opc¸a˜o de exibir a equac¸a˜o da recta. No entanto, esta opc¸a˜o simples na˜o permite conhecer a incerteza que afecta os valores destes paraˆmetros. Para calcular tambe´m a incerteza e´ necessa´rio usar a func¸a˜o matricial linest, que fornece simultaneamente va´rias informac¸o˜es estat´ısticas acerca do ajuste de um conjunto de valores de x e y a uma func¸a˜o da forma y = ax + b, pelo me´todo dos mı´nimos quadrados. Usem a func¸a˜o index para isolar os elementos de matriz (1, 1) e (2, 1) da func¸a˜o linest correspondentes ao declive e sua incerteza.4 Observem o valor obtido para o declive a. Recordem o seu significado em termos da Eq. (13). Discutam se o valor do expoente µ esta´ pro´ximo do esperado, de acordo com o modelo teo´rico do peˆndulo, traduzido pela Eq. (10). Os resultados que obtiveram sa˜o compat´ıveis com uma proporcionalidade entre o per´ıodo de oscilac¸a˜o e a raiz quadrada do comprimento do peˆndulo? Na folha “Gravidade”, tracem um gra´fico do per´ıodo T em func¸a˜o de √ ` e calculem uma estimativa do valor da acelerac¸a˜o da gravidade, g, com base no valor experimental do declive da recta resultante e na sua incerteza. 3Poderiam igualmente usar o logaritmo decimal log10 para construir um gra´fico log-log. 4Revejam a lic¸a˜o 11 do Tutorial Excel dispon´ıvel no Moodle. MECAˆNICA E ONDAS – 2017/2018 TL4 - Pag. 7/8 Comparem o valor experimental assim obtido com o valor adoptado para a acelerac¸a˜o da gravidade padra˜o (NIST, www.nist.gov): gn = 9.80665 m/s 2. Identifiquem as principais fontes de erro experimental que podem afectar a vossa estimativa. Professor responsa´vel: Edgar Cravo Fev.2018 N.A.: O autor deste documento na˜o aceita as normas do Acordo Ortogra´fico de 1990. EC. TL4 - Pag. 8/8 FCUL – DEPARTAMENTO DE FI´SICA Anexo ID Mecânica e Ondas TL4 2017/2018 Comecem por seleccionar a vossa turma e grupo e escrever os vossos nomes Em seguida gravem este ficheiro no computador com o nome indicado: Turma Grupo Nomes 2 1 Me´todos Tempo de 1 oscilação Tempo de 20 oscilações Man1 Man2 Auto # t1 (s) # t20 (s) 0 0 0 ± 1 ± 1 ± ± 0 0 0 2 2 0 0 0 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 n: n: t̅2 ̅0 ̅ (s): t̅1 ̅ (s): s(t20 ) (s): s(t1 ) (s): s( t̅2 ̅0 ̅) (s): s( t̅1 ̅) (s): Comentários ou observações Cronómetro automático Visualização gráficaMedição do período com um cronómetro manual Comprimento do pêndulo ℓ (cm) Período do pêndulo T (s) Período do pêndulo T (s) Nº de medições, n: Média, t̅1 ̅ (s): DP da amostra, s( t1 ) (s): DP da média, s( t̅1 ̅) (s): Período do pêndulo T (s) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Man1 Man2 Auto T (s ) Comprimento # 1 ± ± 2 ± ± 3 ± ± 4 ± ± 5 ± ± 6 ± ± 7 ± ± 8 ± ± 9 ± ± 10 ± ± # 1 ± ± ± 2 ± ± 3 ± ± 4 ± ± 5 ± ± 6 ± ± 7 ± ± 8 ± ± 9 ± ± 10 ± ± Comentários ou observações Declive Período de oscilação em função do comprimento do pêndulo Gráficos: T(ℓ) e log-log Comprimento do pêndulo ℓ (cm) Período do pêndulo T (s) Logaritmo do comprimento log(ℓ) Logaritmo do período log(T) Gravidade # 1 ± 0.0000 ± 0.0000 ± 2 ± 0.0000 ± 0.0000 3 ± 0.0000 ± 0.0000 4 ± 0.0000 ± 0.0000 5 ± 0.0000 ± 0.0000 6 ± 0.0000 ± 0.0000 7 ± 0.0000 ± 0.0000 8 ± 0.0000 ± 0.0000 9 ± 0.0000 ± 0.0000 10 ± 0.0000 ± 0.0000 Incerteza relativa Desvio relativo (%) (%) ± Valor padrão gn [Unidade]? Comentários ou observações Valor experimental de g [Unidade]? Período de oscilação em função da raiz quadrada do comprimento Raiz quadrada do comprimento Período do pêndulo ℓ½ (cm½ ) T (s) Gráfico T(ℓ½ ) Declive [Unidade]?
