captulo 4 - equilbrio dos corpos rgidos

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4.1 Introdução
Ou, decompondo-se forças e momentos em temos das
componentes cartesianas, então,
� Condições de Equilíbrio:
� Para que haja o equilíbrio de um corpo rígido é preciso
que o somatório de forças e momentos seja nulo, ou
seja,
0=∑F , ( ) 0=×=∑∑ FrMO
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
componentes cartesianas, então,
0=∑ xF , 0=∑ yF e 0=∑ zF
0=∑ xM , 0=∑ yM e 0=∑ zM
Estas equações permitem determinar forças desconhecidas
aplicadas ao corpo rígido ou até mesmo reações exercidas
por vínculos.
4.2 Diagrama do Corpo Livre
� A decomposição das forças em componentes mostra
que as forças externas se compensam nas direções x,
y e z;
� A decomposição dos momentos mostra que os
momentos das forças externas em relação aos eixos x,
y e z se anulam.
� Diagrama do Corpo Livre:� Diagrama do Corpo Livre:
� Para a solução de problemas que envolvem o
equilíbrio de corpo-rígido, é necessário identificar
todas as forças atuantes sobre tal corpo a partir da
esquematização dos diagramas de corpo livre.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.2 Diagrama do Corpo Livre
a. Escolha do corpo livre a ser considerado: Uma vez
escolhido, tal corpo é destacado do solo e separado
dos demais para construção do diagrama;
b. Identificação das forças externas: As forças externas
representam a ação exercida sobre o corpo livre pelo
solo e pelos corpos dos quais foi separado. Tais
� Etapas para a construção de diagramas de corpo livre:
solo e pelos corpos dos quais foi separado. Tais
forças são aplicadas nos locais onde o corpo livre
estará vinculado ao solo ou a outros corpos.
O peso deve ser incluído entre as forças externas e aplicado
ao baricentro do corpo.
Quando o corpo livre é constituído por várias partes, as
forças exercidas umas sobre as outras não são incluídas
entre as forças externas.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.2 Diagrama do Corpo Livre
c. Representação do módulo, direção e sentido das
forças externas: Devem ser corretamente descritos
nos diagramas de corpo livre o módulo, a direção e o
sentido das forças externas conhecidas. Em relação
ao sentido das forças, devem ser mostrados os
sentidos das forças exercidas sobre o corpo e não
aqueles associados aos das forças exercidas pelo
corpo livre;corpo livre;
As forças externas conhecidas são:
i. Peso do corpo;
ii. Forças aplicadas ao corpo.
As forças externas desconhecidas são:
i. Reações ou forças de vínculo → Ação do solo e de
outros corpos contrária ao movimento do corpo livre
mantendo-o equilibrado.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.2 Diagrama do Corpo Livre
d. Dimensões: As dimensões devem aparecer num
diagrama de corpo livre para o cálculo dos momentos
das forças;
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
� Reações nos Vínculos de uma Estrutura 2D:
� Dividem-se em três classes associadas a três tipos de
vínculos:
i. Reações Equivalentes a uma força com linha de ação
conhecida: Vínculos que causam reações: roletes,
balancins, superfícies lisas, hastes curtas e cabos,
cursores e pinos deslizantes sem atrito.
Estes vínculos impedem o movimento em apenas uma
direção. Estas reações tem como incógnita o seu módulo e
suas linhas de ação são conhecidas e devem ser indicadas
claramente no diagrama de corpo livre.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
ii. Reações Equivalentes a uma força de direção
desconhecida: Vínculos que causam reações: pinos
polidos, articulações e superfícies ásperas. Estes
vínculos restringem a translação de um corpo livre em
todas as direções mas não a rotação em torno da
conexão.
Estas reações originam duas incógnitas representadas pelas
suas componentes x e y.
iii. Reações Equivalentes a uma força e um binário:
Vínculos que causam reações: apoios fixos. Estes
vínculos imobilizam completamente o corpo livre e
produzem forças sobre toda a superfície de contato
que podem ser reduzidas a uma força a um binário em
razão do sistema de forças que originam.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
Estas reações fornecem três incógnitas, ou seja, duas
componentes da força e o momento do binário.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
� Equilíbrio de um corpo rígido em duas dimensões:
� Aproximando-se ao caso bidimensional, as equações
de equilíbrio podem ser simplificadas quando escolhe-
se os eixos x e y no plano da estrutura por:
ou seja,
0=∑ zF ; Oz MM =0== yx MM ;
Simplificação 
ao caso 2D 
ou seja,
0=∑ xF 0=∑ yF 0=∑ OM; ;
Equações de 
equilíbrio em 2D
Mas, independentemente da escolha da origem O, Mo = 0, as
equações de equilíbrio para uma estrutura 2D podem ser
escritas de forma generalizada, ou seja,
0=∑ xF 0=∑ yF 0=∑ AM; ;
onde A é qualquer ponto no plano da estrutura.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
� Ex.: Considere a treliça abaixo, submetida às forças N, Q e
S, e mantida no lugar por uma articulação em A e um rolete
em B. A articulação em A impede a movimentação deste
ponto e exerce sobre a treliça uma força que tem
componentes Ax e Ay. O rolete impede as rotações da treliça
em relação a A e exerce uma força vertical em B.
N Q S
A B
C D
N Q S
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
O diagrama do corpo livre inclui as reações Ax, Ay e B, as
forças aplicadas N, Q e S e o peso P da treliça.
C D
Ny
Nx
Qy
Qx
Sy
Sx
A BAx
Ay B
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
Já que a soma dos momentos em relação a A e das forças é
nula, tem-se que
0=∑ AM Determinação da intensidade B(não contém Ax e Ay)
0=∑ xF
Determinação de Ax e Ay
0=∑ yF
Determinação de Ax e Ay
Além disso, equações adicionais podem ser obtidas
igualando-se a zero a soma dos momentos das forças
externas em relação a outros pontos da estrutura.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.3 Equilíbrio em Duas Dimensões
Por exemplo, tem-se que,
0=∑ BM
Esta equação de equilíbrio não fornece novas informações
uma vez que o sistema de forças mostrado no diagrama de
corpo livre é nulo. Entretanto, pode-se utilizá-la na
verificação da solução das três equações de equilíbrio
originalmente obtidas.originalmente obtidas.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
� Vinculação Parcial – Treliça:
� No caso anterior, vínculos utilizados impediam os
movimentos de corpo rígido. Neste caso, o corpo
estava completamente vinculado. Além disso, as três
incógnitas relacionadas às equivalentes reações de
cada vínculo são obtidas pela solução das equações
de equilíbrio, ou seja, tais reações são estaticamente
determinadas.determinadas.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Considere a treliça vinculada por articulações em A e B,
‘
A B
C D
N Q S
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
Estes vínculos restringem, além do necessário, os
movimentos da treliça sob cargas dadas. O diagrama do
corpo livre permite identificar quatro incógnitas associadas
às reações. Assim,
C D
Ny
Nx
Qy
Qx
Sy
Sx
Incógnitas:
Ax; Ay
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
A B
C D
Ax
Ay By
Bx
P
Ax; Ay
Bx; By
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
Portanto, existem mais incógnitas do que equações, ou seja,
0=∑ AM Determinação de By e Ay
0=∑ xF Determinação de Ax + Bx
; 0=∑ BM
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Logo as componentes Ax e Bx são denominadas
estaticamente indeterminadas. Alémdisso, a estrutura em
questão está demasiadamente restringida, ou seja, é
hiperestática.
Solução: Para tanto deve-se considerar as deformações
impostas à treliça pelo carregamento adotado, que é objeto
da disciplina Resistência dos Materiais.
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
� Estrutura Parcialmente Vinculada:
� Considere a treliça abaixo vinculada em A e B por
roletes,
C D
N Q S
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Os vínculos não são suficientes para manter a treliça sem
movimento, pois o movimento horizontal é notório. Desta
forma, tal estrutura está parcialmente vinculada ou
hipoestática.
A B
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
C D
Ny
Nx
Qy
Qx
Sy
Sx
P
O diagrama do corpo livre revela a existência de duas
reações (A e B), ou seja, duas incógnitas, logo
Neste caso, existem
mais equações que
incógnitas!!!!
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Entretanto, observam-se três equações,
A B
Ay By
0=∑ xF0=∑ BM0=∑ AM ; ;
O último somatório, Fx , somente será satisfeito se,
0=++ xxx SQN
incógnitas!!!!
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
� Vinculação Ineficaz:
� Considere a treliça abaixo vinculada em A, B e C por
roletes,
C D
N Q S
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
A B
E
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
O diagrama do corpo livre revela a existência das reações
desconhecidas A, B e E, ou seja,
C D
Ny
Nx
Qy
Qx
Sy
Sx
P
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
A B
Ay By
P
E
4.3 Reações Estaticamente Indeterminadas
� A equação, ∑Fx = 0 será satisfeita somente se, Nx+ Qx+ Sx
= 0;
� Apesar de um número suficiente de vínculos, estes não
estão adequadamente dispostos, o que permite movimentos
horizontais da treliça. Neste caso, a estrutura está
ineficazmente vinculada;
� Como existem somente duas equações de equilíbrio e três
incógnitas, as reações são estaticamente indeterminadas.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
incógnitas, as reações são estaticamente indeterminadas.
4.4 Equilíbrio de um Corpo a Duas Forças
� Equilíbrio de um Corpo Submetidos a Duas Forças:
� Um corpo submetido a duas forças estará equilibrado
quando tais forças apresentarem mesmo módulo e
linha de ação e sentidos opostos.
Considere a placa em L submetida às forças F1 em A e F2 em
B. Se esta placa está em equilíbrio a soma dos momentos de
F1 e F2 em relação a qualquer eixo é zero.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
F1 e F2 em relação a qualquer eixo é zero.
F1
F2
B
A
4.4 Equilíbrio de um Corpo a Duas Forças
F1
F2
� Soma dos momentos em relação a A: Já que os momentos
de F1 e F2 são nulos, a linha de ação de F2 deve passar pelo
ponto A.
B
A
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
1
� A soma dos momentos em relação a B: Novamente, os
momentos nulos de F1 e F2 mostram que a linha de ação de
F1 passa pelo ponto B.
A
F1
F2
B
A
4.5 Equilíbrio de um Corpo a Três Forças
� Equilíbrio de um Corpo Submetidos a Três Forças:
� Considere o corpo rígido abaixo submetido às forças F1
em A, F2 em B e F3 em C.
F2
B
F3
C
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
F1
B
A
4.5 Equilíbrio de um Corpo a Três Forças
Já que o corpo está equilibrado, a soma dos momentos
destas forças é nula. Assim, supondo-se que as linhas de
ação de F1 e F2 se interceptem em D, pode-se somar os
momentos em relação a D, logo,
F2 F3
C
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
F1
B
A
C
D
4.5 Equilíbrio de um Corpo a Três Forças
Mas como os momentos de F1 e F2 são nulos em relação a D,
igualmente, o momento de F3 neste ponto D vale zero.
Portanto, a linha de ação de F3 deve passar por D e as três
linhas de ação são concorrentes.
F2
F3
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
F1
B
A
C
D
Quando as linhas de ação
não se cortam, isto é, são
paralelas tem-se a única
exceção!
4.6 Equilíbrio em Três Dimensões
� Reações nos Vínculos de uma Estrutura 3D:
Tipos 
de 
Reação
Um única força (superfície lisa)→ 1 incógnita
até
Um sistema força-binário (engastamento)→ 6 incógnitas
Figura 4.10 Beer & Johnston 5ª Edição!
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Identificação do tipo de reação relacionada a um dado
vínculo: Verificar, dentre os seis movimentos fundamentais
(translação e rotação nos eixos x, y e z) são permitidos e
quais impedidos.
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
� Condição de Equilíbrio Tridimensional:
0=∑ xF , 0=∑ yF e 0=∑ zF
0=∑ xM , 0=∑ yM e 0=∑ zM
Equações
resolvidas
para até 6
incógnitas!!!
� Reações que envolvem mais de seis incógnitas: Há mais
incógnitas do que equações. Neste caso, algumas reações
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
incógnitas do que equações. Neste caso, algumas reações
são estaticamente indeterminadas e o corpo é hiperestático.
� Reações que envolvem menos de seis incógnitas: Há mais
equações do que incógnitas e algumas equações não são
satisfeitas sob condições gerais de carregamento. Assim, o
corpo rígido está parcialmente vinculado e é denominado
hipoestático.
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
� Corpos Impropriamente Vinculados: Ainda com seis ou
mais incógnitas é possível que algumas equações de
equilíbrio não sejam satisfeitas. A estes casos estão
relacionados a vínculos que produzem reações definidas por
forças paralelas ou que interceptam a mesma reta.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
� Ex.: Um cartaz de 1,50 m x 2,40 m de densidade uniforme,
pesa 1350 N e está vinculado por uma junta esférica em A
e por dois cabos. Determine a força de tração em cada
cabo e a reação A.
D
C
1,20 m
y
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
A
C
B
0,90 m
x
1,50 m
E
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
Solução: Esquematiza-se um diagrama do corpo livre, da
seguinte forma,
A
D
C
1,20 m
y
Ayj
A i
TBDT
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
A
B
0,90 m
1,50 m
E
G
Azk
Axi TEC
P= -(1350 N) j 
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
As componentes das forças TBD e TEC podem ser expressas
em termos dos módulos TBD e TEC como se segue,
m 60,3=BD e m 10,2=EC
Logo, os vetores serão,
kjiTBD ˆ40,2ˆ20,1ˆ40,2 −+−=
r
e kjiTEC ˆ60,0ˆ90,0ˆ80,1 ++−=
r
Desta forma, as tensões podem ser escritas como,
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Desta forma, as tensões podem ser escritas como,
kTjTiTTT BDBDBDBDBDBD ˆ3
2
ˆ
3
1
ˆ
3
2
−+−== λ
r
e
kTjTiTTT ECECECECECEC ˆ7
2
ˆ
7
3
ˆ
7
6
++−== λ
r
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
Escrevendo as equações de equilíbrio,
Escrevendo em função das componentes,
01350 =−++++ jTTkAjAiA ECBDzyx0=∑F
0
7
2
3
21350
7
3
3
1
7
6
3
2
=





+−+





−+++





−− kTTAjTTAiTTA ECBDzECBDyECBDx
Calculando os momentos em relação a A,
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
0=×=∑∑ FrAM
Calculando os momentos em relação a A,
Tem-se,
( ) 0ˆ1350ˆ20,1
ˆ
7
2
ˆ
7
3
ˆ
7
6
ˆ80,1ˆ
3
2
ˆ
3
1
ˆ
3
2
ˆ40,2
=−×+






++−×+





−+−×
ji
kTjTiTikTjTiTi ECECECBDBDBD
4.6 Equilíbrio do Corpo Rígido em 3D
Simplificando,
( ) ( ) 0ˆ514,060,1ˆ1620771,0800,0 =−+−+ jTTkTT ECBDECBD
então,
N 506=BDT e N 1580=ECT
Resolvendo a equação para o somatório das forças,
[N] ˆ114ˆ504ˆ1690 kjiA −+=
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
[N] 114ˆ504ˆ1690 kjiA −+=
4.6 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros
� Centro de Gravidade de um corpo bidimensional:
A placahorizontal abaixo pode ser dividida em n pequenos
elementos. As coordenadas do primeiro elemento são x1 e y1,
assim como para o segundo elemento pode se escrever x2 e
y2. As forças exercidas pela Terra sobre os elementos da
placa são ∆P1, ∆P2, ..., ∆Pn que podem ser consideradas como
paralelas, ou seja, sua resultante é uma única força numa
única direção. O módulo P dessa força é dada por:
∆P
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
=
única direção. O módulo P dessa força é dada por:
o
z
x
y
x
y
G
o
z x
y
x
y
∆P
∑∑ ∆= PxPxM y :
∑∑ ∆= PyPyM x :
P
4.6 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros
Coordenadas e do ponto G, onde a resultante P deve ser
aplicada:
nny PxPxPxPxM ∆++∆+∆=∑ K2211:
x y
e,
nnx PyPyPyPyM ∆++∆+∆=∑ K2211:
Aumentando-se o número de elementos, no limite, tem-se
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
∫= dPP
Aumentando-se o número de elementos, no limite, tem-se
que:
; ∫= dPxPx ; ∫= dPyPy
Tais equações definem o peso P e as coordenadas e do
baricentro G da placa.
x y
4.6 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros
O mesmo procedimento pode ser adotado para um arame no
plano y e, neste caso, o baricentro G não está sobre o arame.
Esta fato também ocorrerá em placas com furos:
y
z
x
P
y
z
x
∆P
=
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
x
x
y
x
y
∑∑ ∆== PxPxM y ∑∑ ∆== PyPyM x;
=
4.6 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros
Placa homogênea de espessura uniforme:
� Centróides de Superfícies Curvas:
Módulo do Peso 
de um elemento de placa
γ : peso específico do material;
t : espessura da placa;
∆A: Área do elemento.
AtP ∆=∆ γ
Para a placa inteira, o módulo P do peso é dado por
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
nny PxPxPxPxM ∆++∆+∆=∑ K2211:
AtP γ= A: Área total da placa.
Introduzindo-se ∆P e P na equação de momentos My e Mx
nny AtxAtxAtxAtxM ∆++∆+∆=∑ γγγγ K2211:
Então,
4.6 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros
nnx PyPyPyPyM ∆++∆+∆=∑ K2211:
e,
nnx AtyAtyAtyAtyM ∆++∆+∆=∑ γγγγ K2211:
assim,
Simplificando-se as equações de x e y,
AxAxAxAxM ∆++∆+∆=∑ K:
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
nny AxAxAxAxM ∆++∆+∆=∑ K2211:
e,
nnx AyAyAyAyM ∆++∆+∆=∑ K2211:
Para um número elevado de elementos,
∫= dAxAx ∫= dAyAy;
4.6 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros
Estas equações definem as coordenadas e do baricentro
para uma placa homogênea.
x y
y
x
y
x
C
=
x
y
x
∆A
y
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
o
y
x
=
o
x
∑∑ ∆== PxPxM y ∑∑ ∆== PyPyM x;
No caso de placas não-homogêneas as integrais não podem
ser empregadas para determinar o baricentro, mas definem o
centróide da superfície.
4.6 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros
Arames homogêneos:
� Centróides de Superfícies Curvas:
γ : peso específico do material;
a : área da seção transversal do arame;
∆l : comprimento do elemento.
laP ∆=∆ γ
Assim, o baricentro do arame é coincidente com o centróide
da curva L associada à forma do arame, isto é,y y
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
da curva L associada à forma do arame, isto é,
o
y
x
y
x
C
o
y
x
y
x
∆L
=
∑∑ ∆== LxLxM y∑∑ ∆== LyLyM x
4.6 Momentos de Primeira Ordem de Curvas e Sup.
As integrais ∫xdA e ∫ydA denotam os momentos de primeira
ordem da superfície A em relação aos eixos y e x,
respectivamente. Desta forma,
∫== dAxQAx y ; ∫== dAyQAy x
onde,
Qy : Momento de primeira ordem de A (superfície) em relação
ao eixo y;
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
y
ao eixo y;
Qx : Momento de primeira ordem de A (superfície) em relação
ao eixo x.
Uma vez que,
AxQy = ; AyQx =
4.6 Momentos de Primeira Ordem de Curvas e Sup.
As coordenadas e do centróide podem ser obtidas,
reciprocamente, por
A
Q
x
y
= ; A
Qy x=
Observa-se que se o centróide de uma superfície estiver
situado sobre um eixo, os momentos de primeira ordem
serão nulos.
x y
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
serão nulos.
4.6 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros
� Superfícies com um eixo de simetria:
� Eixos de Simetria:
y
xx−
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
o x
Ad ′ dA
A
C
Cada elemento dA referente a uma abscissa x corresponde a
um elemento dA’ com abscissa –x, desta forma,
0== ∫ dAxQy ou 0=x
4.6 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros
� Superfícies com dois eixos de simetria:
B
D’
Dois Eixos 
de 
simetria 
não 
perperdic
ulares não 
B
D’ D
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
o
xD
C
ulares não 
tem centro 
de 
simetria
B’
D’ D
Dois Eixos de simetria 
perpendiculares. O ponto de 
interesse dos eixos é um centro de 
simetria
4.6 Forças Distribuídas Centróides e Baricentros
� Superfícies com um centro de simetria:
y
dA
x
Figuras com um centro de simetria não tem,
necessariamente, um eixo de simetria como se observa
abaixo,
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
x
Ad ′
o
x−
y
y−
4.6 Placas e Arames Compostos
z
∑ P
y
z
y
∑ P
∑ P3
=
A placa abaixo pode ser dividida em retângulos e triângulos
para a determinação das coordenadas e de seu baricentro.x y
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
o x
Gx
y
o x
G1
∑ P1 ∑ P2
G2
G3
=
4.6 Placas e Arames Compostos
Assim,
( ) nnny PxPxPxPPPxM +++=+++∑ KK 221121:
( ) nnnx PyPyPyPPPyM +++=+++∑ KK 221121:
ou,
∑∑∑ = ∑∑∑ = PyPyM :;
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
∑∑∑ = iiiy PxPxM : ∑∑∑ = iiix PyPyM :;
4.6 Placas e Arames Compostos
Se a placa for homogênea e apresentar espessura constante,
haverá a coincidência entre o baricentro e o centróide. Neste
caso, utilizando-se os momentos de 1ª ordem, será possível
determinar as coordenadas e do centróide.x y
� Coordenada : Duas opções para determinaçãox
i. AxQy =
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
ii.
iiiy
AxAxQ ∑∑ == Subdivisão da placa emtriângulos e retângulos
� Coordenada : Duas opções para determinaçãoy
i. AyQx =
ii.
iiix
AyAyQ ∑∑ == Subdivisão da placa emtriângulos e retângulos
4.6 Placas e Arames Compostos
y y
=
Então, graficamente,
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
o x
C
∑ A
x
y
o x
C1A1
A2
A3
C2
C3
=
4.6 Placas e Arames Compostos
� Ex: Determine, para a superfície plana abaixo, ( a ) os
momentos estáticos com relação aos eixos x e y, e ( b ) a
posição do centróide.
y
120 mm
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
x
80 mm
60 mm
4.6 Placas e Arames Compostos
� Solução: Basta subdividir a placa em várias partes mais
simples,
y
60 mm
y
40 mm
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
x
40 mm
x
-20 mm
+
4.6 Placas e Arames Compostos
y
60 mm
4r/3π = 25 mm
y
60 mm
_
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
x
80 mm
60 mm
x
80 mm
60 mm
4.6 Placas e Arames Compostos
Calculando as figuras individualmente,
� Retângulo:
2mm 960080120 == xA
3mm 576000960060 == xAx
3mm 384000960040 == xAy
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
mm 384000960040 == xAy
� Triângulo:
2mm 360060120
2
1
== xA
3mm 144000360040 == xAx
3mm 72000360020 −=−= xAy
4.6 Placas e Arames Compostos
� Semi-Círculo:
2
22
mm 5655
2
60
2
≅==
pipi rA
3mm 339300565560 == xAx
3mm 5937555655105 == xAy
� Círculo:
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
� Círculo:
( ) 3mm 301620502760 −=−= xAx
( ) 3mm 402160502780 −=−= xAy
222 mm 502740 −≅−=−= pipi rA
4.6 Placas e Arames Compostos
� Posição do Centróide:
Desta forma,
3mm 50359540216059375572000384000≅−+−==∑ iix AyQ
3mm 757680301620339300144000576000 ≅−++==∑ iiy AxQ
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
� Posição do Centróide:
mm79.54
13828
757680
≅==
∑
∑
i
ii
A
Ax
x
mm 42.36
13828
503595
≅==
∑
∑
i
ii
A
Ay
y
4.7 Determinação do Centróide por Integração
Devem ser escolhidos retângulos estreitos, faixas finas ou
triângulos como elementos diferenciais de área dA. Desta
forma, utilizando-se os momentos estáticos em relação às
coordenadas xel e yel do elemento dA, obtém-se,
dAxAxQ ely ∫== ; dAyAyQ elx ∫==
y y
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
x
elx
ely
x
y
( )xP
xxel = ; 2yyel =
dxydA =
x
elx
ely
x
y
( )xP
a
2
xa
xel
+
=
yyel =
( )dyxadA −=
4.7 Determinação do Centróide por Integração
Devem ser escolhidos retângulos estreitos, faixas finas ou
triângulos como elementos diferenciais de área dA. Desta
forma, utilizando-se os momentos estáticos em relação às
coordenadas xel e yel do elemento dA, obtém-se,
dAxAxQ ely ∫== ; dAyAyQ elx ∫==y
2r 1
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
x x
elx
ely
( )r,R θ
32 r
r
θ
θcos
3
2r
xel =
θsen
3
2ryel =
θdrdA 2
2
1
=
Área de um setor circular
Obs.: As coordenadas e são expressas em função das
coordenadas de um ponto localizado sobre a curva limitante
desta superfície.
elx ely
4.7 Determinação do Centróide por Integração
Para uma linha definida por uma equação algébrica, o
centróide pode ser calculado por,
dLxLx ∫= ; dLyLy ∫=
Para o elemento dL,
dx
dx
dydL
2
1
2
1














+=
Estas equações
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
dx  
dy
dy
dxdL
2
1
2
1














+=
θ
θ
d
d
dr
rdL
2
1
2
2














+=
Estas equações
dependem do 
tipo de 
expressão que 
define a linha
4.8 Teorema de Pappus-Guldin
� Ex.: Associado a superfícies e corpos de revolução,
� Conceito de Superfície de Revolução:
É aquela obtida a partir da rotação de uma curva plana em
torno de um eixo fino, conforme apresentado abaixo,
B A superfície de uma esfera é
obtida pela rotação de uma
semi-circunferência ABC em
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
CA
semi-circunferência ABC em
torno de eixo AC.
CA
B A superfície lateral de um cone
é determinada pela rotação da
reta AB em torno do eixo AC.
4.8 Teorema de Pappus-Guldin
É aquela obtida a partir da rotação de uma curva plana em
torno de um eixo fino, conforme apresentado abaixo,
B
A superfície de um toróide é
obtida pela rotação de uma
circunferência B em torno de
eixo AC.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
CA
4.8 Teorema de Pappus-Guldin
� Ex.: Associado a superfícies e corpos de revolução,
� Conceito de um corpo de Revolução:
É aquele gerado pela rotação de uma superfície plana em
torno de um eixo fino. Assim, uma esfera sólida é obtida pela
rotação de um semi-círculo e um cone pela rotação de uma
superfície triangular.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Teorema I : “A área de uma superfície de revolução é igual ao
comprimento da curva geratriz multiplicado pela
distância percorrida pelo centróide da curva
durante a revolução”
4.8 Teorema de Pappus-Guldin
Considere o elemento dL da linha L girando ao redor do eixo
x,
dL
y
x
L
C y
x
A curva geratriz não
intercepta o eixo x!
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
dA
ypi2
Área, , entãodLydA pi2= ∫= dLyA pi2
Todavia, . Logo,∫= dLyLy LyA pi2=
:2 ypi
Distância
percorrida pelo
centróide de L.
:y Ordenada do
centróide C.
4.8 Teorema de Pappus-Guldin
Teorema II : “O volume de um corpo de revolução á igual à
área da superfície geratriz vezes a distância
percorrida pelo centróide durante a revolução”
dA
x
y A
x
y
C
A superfície geratriz não
intercepta o eixo x!
Denota a distância
percorrida pelo centróide
de A.
:2 ypi
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
dV ypi2
Volume gerado:
∫=→= dAyVdAydV pipi 22
Mas,
AyVdAyAy pi2=→= ∫ Ordenada do centróide C.:y
de A.
4.8 Teorema de Pappus-Guldin
� Ex: A partir dos teoremas de Pappus-Guldin, determinar:
(a) o centróide de uma superfície semi-circular, e (b) o
centróide de uma semi-circunferência.
Dados:
3
3
4
rV pi= e 24 rA pi=
Solução:
2
2
rA pi=
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
y
2
A =
x
Lembrando que,
AyV pi2= , então , o que produz,



=
23
2
12
3
4
ryr pipipi
pi3
4 ry =
4.8 Teorema de Pappus-Guldin
y
rL pi=
x
Lembrando que,
LyA pi2= , assim
No caso do item (b), tem-se,
[ ]ryr pipipi 24 2 =
O que fornece,
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
O que fornece,
pi
ry 2=
4.9 Baricentro e Centróide de Sólidos
� Baricentros e Centróides:
A representação esquemática abaixo mostra que o baricentro
G do sólido é obtido dividindo-se o mesmo em pequenos
elementos de forma que o peso P seja associado aos
incrementos ∆P de cada elemento individual.
y y
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
x
z
∆ P = -∆P j
G
r 
P = -P j
x
z
∆Pr 
4.9 Baricentro e Centróide de Sólidos
Assim,
∑ :F ( )∑ ∆−=− jPjP i ˆˆ
∑ :OM ( ) ( )[ ]∑ ∆−×=−× jPjP i ˆˆ rr
Desta forma, reescrevendo a última equação,
( ) ( )[ ]∑ −×∆=−× jPjP i ˆˆ rr
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
∑ i
Portanto,
∑∆= iPP ; ∑ ∆= iPP rr
E, no caso limite,
∫= dPP ; ∫= dPP rr
Estas relações independem do eixo adotado, ou seja, da
orientação do corpo!
4.9 Baricentro e Centróide de Sólidos
Expandindo os dois vetores posição em termos das
componentes cartesianas,
kzjyix ˆˆˆ ++=r
Tem-se que,
;
( ) ( )∫ ++=++ dPkzjyixPkzjyix ˆˆˆˆˆˆ
ou,
kzjyix ˆˆˆ ++=r
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
ou,
Assim, verifica-se a equivalência,
( ) ∫∫∫ ++=++ dPzkdPyjdPxikPzjPyiPx ˆˆˆˆˆˆ
∫= dPP rr equivalente à { }∫∫∫ === dPzPzdPyPydPxPx ;;
4.9 Baricentro e Centróide de Sólidos
Para corpos homogêneos de peso específico γ,
O que resulta, após a relação com os vetores posição,
então,∫= dPP rr
dVdP γ= ; VP γ=
∫= dVV γγ rr , fornecendo,
∫= dVV rr
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
Em termos de componentes escalares,
;∫= dVxVx
Estas últimas equações são momentos estáticos do sólido
em relação aos planos yz, zx, xy, respectivamente.
∫= dVV rr
∫= dVyVy e ∫= dVzVz
4.9 Baricentro e Centróide de Sólidos
O ponto de coordenadas , e denota o centróide de um
sólido de volume V. Caso tal sólido seja homogêneo, há
coincidência entre seus centróides e o baricentro do volume.
x y z
As equações integrais anteriores definem apenas o centróide
de sólidos não-homogêneos.
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.9 Baricentro e Centróide de Sólidos
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
4.9 Baricentro e Centróide de Sólidos
Se um mesmo corpo pode ser divido em formas geométricas
ilustradas na tabela anterior, o baricentro G pode ser
determinado igualando-se o momento em relação à origem O
de seu peso total à soma dos momentos dos pesos de cada
figura também em relação ao ponto O, ou seja,
∑∑∑∑∑∑ === iiiiiiiii PzPZPyPYPxPX ;;
E, para corpos homogêneos, a coincidência entre o
Capítulo 4 – Equilíbrio dos Corpos Rígidos
E, para corpos homogêneos, a coincidência entre o
baricentro e o centróide de volume permite escrever,
∑∑∑∑∑∑ === iiiiiiiii VzVZVyVYVxVX ;;