ESTUDO CALCULO III B

Prévia do material em texto

1a Questão 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial abaixo: 
x4y(4)+xy3=ex 
 
 Ordem 4 e grau 3. 
 
Ordem 1 e grau 4. 
 
Ordem 1 e grau 1. 
 Ordem 4 e grau 1. 
 
Ordem 4 e grau 4. 
 
 
Explicação: 
O aluno deve mostrar conhecimento sobre as definições de ordem e grau de uma EDO 
 
 
 
Ref.: 201403490647 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Determine a ordem da equação diferencial abaixo e diga se ela é linear ou não. 
y(4)+y(3)+y(2)+y´+y=1 
 
 
3ª ordem e não linear. 
 4ª ordem e linear. 
 4ª ordem e não linear. 
 
5ª ordem e linear. 
 
3ª ordem e linear. 
 
 
Explicação: 
4ª ordem - a derivada de mais alta ordem na ED é 4 
linear - todas as derivadas da ED estão em expoente 1 
 
 
 
Ref.: 201402465429 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determine o limite da função (t , cos t, (8-t3)/(4-t2)) quando t tende a 2. 
 
 
(2,sen 1, 3) 
 (2,cos 2, 3) 
 
(2,cos 4, 5) 
 Nenhuma das respostas anteriores 
 
(2,0, 3) 
 
 
 
Ref.: 201402465431 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Dada a função  (t) = (t2 , cos t, t3) então o vetor derivada será? 
 
 (2t , - sen t, 3t2) 
 (2 , - sen t, t2) 
 (t , sen t, 3t2) 
 (2t , cos t, 3t2) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
Ref.: 201403520096 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considere as seguintes equações diferenciais: 
a) 4(y′)5+y″−1 
b) ∂5y∂x5−(∂2y∂x2)3=0 
Em relação a ordem e grau das equações, podemos afirmar que: 
 
 Ambas possuem ordem iguais. 
 
Ambas possuem graus iguais. 
 A primeira tem ordem 2 e a segunda tem grau 1. 
 
A primeira tem grau 2 e a segunda tem ordem 2. 
 
A primeira tem grau 5 e a segunda tem ordem 5. 
 
 
Explicação: 
Opção A é verdadeira. 
Ordem é o valor da derivada de mais alto valor. 
Grau é o expoente ao qual a maior derivada está elevada. 
Assim sendo, letra a) possui ordem 2 e grau 1, e a letra b) possui ordem 5 e grau 1. 
 
 
 
Ref.: 201403465154 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
São grandezas vetoriais, exceto: 
 
 Um corpo em queda livre. 
 
João dirigindo o seu carro indo em direção ao bairro do Riacho Fundo. 
 Maria assistindo um filme do arquivo X. 
 
Maria indo se encontrar com João, na porta do cinema. 
 
O avião da Air France partindo do aeroporto de Brasília com destino a Paris. 
 
 
 
Ref.: 201402439117 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Indique qual é a solução geral correta para a solução da equação 
diferencial: xdx+ydy=0 
 
 x + y=C 
 -x² + y²=C 
 x²- y²=C 
 x-y=C 
 x²+y²=C 
 
 
 
Ref.: 201402465412 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Seja a função F parametrizada por: 
 . 
Calcule F(2) 
 
 (4,5) 
 
(6,8) 
 (2,16) 
 
(5,2) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
 
Ref.: 201403484379 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
 (y,,)2 - 3yy, + xy = 0 
 
 ordem 2 grau 2 
 
ordem 2 grau 1 
 ordem 1 grau 2 
 
ordem 1 grau 1 
 
ordem 1 grau 3 
 
 
 
 
Ref.: 201403520081 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Resolva a seguinte equação diferencial ordinária utilizando a técnica de variáveis separáveis: 
dx+e3xdy=0 
 
 
y=−e−3x+c 
 y=−3e−3x+c 
 y=e−3x/3+c 
 
y=e−x+c 
 
y=e−3x+c 
 
 
Explicação: 
 
e-3xdx = -dy 
-e-3x / 3 = -y + c 
y = e-3x / 3 + c 
 
 
 
 
Ref.: 201403484368 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Qual o valor de w para que a a função y = w seja solução da equação diferencial y' + 7y = 28? 
 
 10 
 4 
 
8 
 
6 
 
2 
 
 
 
 
Ref.: 201402987195 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Diversos são os sistemas cujo comportamento é descrito por equações diferenciais ordinárias. 
Desta forma, é importante que se estude a resolução destas equações. 
Com relação à resolução de equações diferenciais é SOMENTE correto afirmar que 
 
(I) Resolver uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a 
equação, isto é, que a transformem numa identidade. 
(II) Chama-se solução da equação diferencial F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 toda função , definida 
em um intervalo aberto (a,b), juntamente com suas derivadas sucessivas até a ordem n 
inclusive, tal que ao fazermos a substituição de y por na equação diferencial 
F(x,y´,y´´,y´´,...,yn)=0 , esta se converte em uma identidade com respeito a x no intervalo 
(a,b). 
(III) Integrar uma equação diferencial significa determinar todas as funções que verificam a 
equação, isto é, que a transformem numa identidade. 
 
 (I), (II) e (III) 
 
(I) e (II) 
 
(III) 
 
(I) 
 
(II) 
 
 
 
 
Ref.: 201402949538 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Nas ciências e na engenharia, modelo matemáticos são desenvolvidos para 
auxiliar na compreensão de fenômenos físicos. Estes modelos 
frequentemente geram uma equação que contém algumas derivadas de uma 
função desconhecida. Tal equação é chamada de equação diferencial. Para 
iniciar o estudo de tal equação, se faz necessário alguma terminologia 
comum. Assim sendo, antes de estudar métodos para resolver uma equação 
diferencial se faz necessário classificar esta equações. 
Três classificações primordiais são: 
1. Segundo a natureza (Equação diferencial ordinária ou parcial) 
2. Segundo a ordem desta equação. 
3. Segundo a linearidade. 
Classifique as seguintes equações: 
a) dxdt=5(4-x)(1-x) 
b) 5d2ydx2+4dydx+9y=2cos3x 
c) ∂4u∂x4+∂2u∂t2=0 
d) d2ydx2+x2(dydx)3-15y=0 
Admitindo os seguintes índices para a classificação: 
A=1: para E.D.O. 
A=2: para E.D.P. 
n: A ordem da Equação 
B=5: para equação linear 
B=6: para equação não linear 
A soma (A+n+B)para cada equação resultará respectivamente em: 
 
 
 8; 8; 9; 8 
 
8; 9; 12; 9 
 
7; 8; 9; 8 
 8; 8; 11; 9 
 
7; 8; 11; 10 
 
 
 
 
Ref.: 201403520093 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Dada a seguinte EDO, resolva pelo método das variáveis separáveis: 
dydt=et−y 
 
 
y=ln(e)+c 
 y=ety+k 
 y=t+k 
 
y=ln(et+c) 
 
y=et−y 
 
 
Explicação: 
eydy = etdt 
ey = et + c 
y = ln(et + c) 
 
 
 
 
 
Ref.: 201403473829 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de 
bactérias no instante t. após 3 horas, observou-se a existência de 400 bactérias. Após 9 horas, 
2500 bactérias. Podemos afirmar que o número inicial de bactérias é: 
 
 
Aproximadamente 165 bactérias. 
 
Aproximadamente 150 bactérias. 
 
Nenhuma bactéria 
 
Aproximadamente 170 bactérias. 
 Aproximadamente 160 bactérias. 
 
 
Explicação: 
Aproximadamente 160 bactérias. 
 
 
 
 
Ref.: 201402987156 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Sabendo que cos t , sen t, 2) representa o vetor posição de uma partícula que se move em 
cada instante t. Determine o vetor velocidade V(t) e o vetor aceleração A(t). 
 
 
V(t) = ( sen t, cos t, 0) e A(t) 
= ( cos t, sen t , 0 ) 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e 
A(t) = (- cos t, - sen t , 0 ) 
 
V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e 
A(t) = (cos t, - sen t , 0 ) 
 V(t) = (- sen t, cos t, 0) e A(t) 
= ( - cos t, - sen t, 0) 
 V(t) = ( sen t, - cos t, 0) e 
A(t) = (- cos t, sen t , 0 ) 
Ref.: 201403490759 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Uma função f(x,y)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y). 
Verifique se a função f(x,y)=5x4+x2y2é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta. 
 
 
É função homogênea de grau 2. 
 É função homogênea de grau 3. 
 
É função homogênea de grau 5. 
 
Não é função homogênea. 
 É função homogênea de grau 4. 
 
 
Explicação: 
Calculando f(tx, ty), verifica-se, no exemplo pedido f(tx, ty) = t4f(x, y) 
 
 
 
 
Ref.: 201403465100 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem, 
primeira, segunda, terceira ordem, etc; quanto a linearidade: linear ou não linear. Marque a 
classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0: 
 
 equação diferencial parcial, segunda ordem, não linear. 
 
equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear 
 equação diferencial ordinária, terceira ordem, linear 
 
equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear; 
 
equação diferencial ordinária, quarta ordem, linear 
 
 
 
 
Ref.: 201403490811 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Dadas as EDOs abaixo. Determine quais são EDOs homogêneas. 
I - dydx=x2+2y2xy 
II - dydx=x2+y22xy 
III - dydx=2xyx2−2y2 
 
 Apenas a I. 
 
Nenhuma é homogênea. 
 
Apenas a II. 
 
Apenas a III. 
 Todas são homogêneas. 
 
 
Explicação: 
Uma EDO da forma dy/dx = f(x,y) será homogênea quando f(tx, ty) = tnf(x, y) 
 
 
 
 
Ref.: 201402949195 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Dado um conjunto de funções {f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem 
n: 
W(f1,f2,...,fn) = [f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1] 
Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira linha,pelas primeiras 
derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-
ésima derivadas das funções na n-ésima linha. Sejam as funções: f(x)= e2x ; 
 g(x)=senx e 
 h(x)= x2+3⋅x+1 
Determine o Wronskiano W(f,g,h) em x= 0. 
 
 7 
 -2 
 2 
 -1 
 1 
 
 
Explicação: 
O wronskiano nos indica se as respostas de equações diferenciasi são LI ou 
LD. 
 
 
 
 
Ref.: 201403490767 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Uma função f(x,y) é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y). Verifique 
se a função f(x,y)=x2+xy+y2 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta. 
 
 É função homogênea de grau 2. 
 
É função homogênea de grau 4. 
 Não é função homogênea. 
 
É função homogênea de grau 3. 
 
É função homogênea de grau 1. 
 
 
Explicação: 
Fazendo a adequada substituição, verifica-se, no presente exercício que f(tx, ty) = t² f(x, y) 
 
 
 
 
Ref.: 201402987217 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y´=f(x,y), obtemos respectivamente: 
 
 
2 e 1 
 3 e 1 
 
2 e 2 
 1 e 1 
 
1 e 2 
 
 
 
 
Ref.: 201402987093 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Seja F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h 
 
 0 
 
( - sen t, - cos t) 
 
( sen t, - cos t) 
 ( -sent, cos t) 
 
1 
 
 
 
 
Ref.: 201403116219 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial (y''')² + 3y' + 2y = ex. 
 
 Ordem 2 e grau 3. 
 
Ordem 3 e grau 3. 
 
Ordem 3 e grau 5. 
 Ordem 3 e grau 2. 
 
Ordem 3 e não possui grau. 
 
 
 
 
1a Questão 
 
Uma função f(x,y)é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y). 
Verifique se a função f(x,y)=5x4+x2y2 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta. 
 
 
É função homogênea de grau 2. 
 É função homogênea de grau 3. 
 
É função homogênea de grau 5. 
 
Não é função homogênea. 
 É função homogênea de grau 4. 
 
 
Explicação: 
Calculando f(tx, ty), verifica-se, no exemplo pedido f(tx, ty) = t4f(x, y) 
 
 
 
 
Ref.: 201403465100 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Classifica-se uma equação diferencial quanto ao tipo: ordinária ou parcial; quanto à ordem, 
primeira, segunda, terceira ordem, etc; quanto a linearidade: linear ou não linear. Marque a 
classificação para equação x^3 y''' - x^2 y'' + 4xy' - 3y = 0: 
 
 equação diferencial parcial, segunda ordem, não linear. 
 
equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear 
 equação diferencial ordinária, terceira ordem, linear 
 
equação diferencial parcial, terceira ordem, não linear; 
 
equação diferencial ordinária, quarta ordem, linear 
 
 
 
 
Ref.: 201403490811 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Dadas as EDOs abaixo. Determine quais são EDOs homogêneas. 
I - dydx=x2+2y2xy 
II - dydx=x2+y22xy 
III - dydx=2xyx2−2y2 
 
 Apenas a I. 
 
Nenhuma é homogênea. 
 
Apenas a II. 
 
Apenas a III. 
 Todas são homogêneas. 
 
 
Explicação: 
Uma EDO da forma dy/dx = f(x,y) será homogênea quando f(tx, ty) = tnf(x, y) 
 
 
 
 
Ref.: 201402949195 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Dado um conjunto de funções {f1,f2,...,fn} , considere o determinante de ordem 
n: 
W(f1,f2,...,fn) = [f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-1...fnn-1] 
Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira linha,pelas primeiras 
derivadas dessas funções na segunda linha, e assim por diante, até a (n-1)-
ésima derivadas das funções na n-ésima linha. Sejam as funções: f(x)= e2x ; 
 g(x)=senx e 
 h(x)= x2+3⋅x+1 
Determine o Wronskiano W(f,g,h) em x= 0. 
 
 7 
 -2 
 2 
 -1 
 1 
 
 
Explicação: 
O wronskiano nos indica se as respostas de equações diferenciasi são LI ou 
LD. 
 
 
 
 
Ref.: 201403490767 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Uma função f(x,y) é dita homogênea de grau de homogeneidade n quando f(tx,ty)=tnf(x,y). Verifique 
se a função f(x,y)=x2+xy+y2 é homogênea e, se for, qual é o grau e indique a resposta correta. 
 
 É função homogênea de grau 2. 
 
É função homogênea de grau 4. 
 Não é função homogênea. 
 
É função homogênea de grau 3. 
 
É função homogênea de grau 1. 
 
 
Explicação: 
Fazendo a adequada substituição, verifica-se, no presente exercício que f(tx, ty) = t² f(x, y) 
 
 
 
 
Ref.: 201402987217 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Identificando a ordem e o grau da equação diferencial y´=f(x,y), obtemos respectivamente: 
 
 
2 e 1 
 3 e 1 
 
2 e 2 
 1 e 1 
 
1 e 2 
 
 
 
 
Ref.: 201402987093 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Seja F→(t)=(cost,sent). Determine lim(h→0)F→(t+h)-F→(t)h 
 
 0 
 
( - sen t, - cos t) 
 
( sen t, - cos t) 
 ( -sent, cos t) 
 
1 
 
 
 
 
Ref.: 201403116219 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Determine a ordem e o grau da equação diferencial (y''')² + 3y' + 2y = ex. 
 
 Ordem 2 e grau 3. 
 
Ordem 3 e grau 3. 
 
Ordem 3 e grau 5. 
 Ordem 3 e grau 2. 
 
Ordem 3 e não possui grau. 
 
 
Ref.: 201403204576 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
Quais das opções melhor justifica o wronskiano do par de funções cost e sent. 
 
 
1/2 
 1 
 
-1 
 
2 
 
-2 
 
 
 
 
Ref.: 201403484381 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
(y")³+3y'+6y=tan(x) 
 
 
ordem 2 grau 2 
 
ordem 1 grau 1 
 ordem 1 grau 3 
 
ordem 3 grau 3 
 ordem 2 grau 3 
 
 
 
 
Ref.: 2014034908613a Questão 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - ydx+xdy=0 
II - (x−2y)dx+(x+y)dy=0 
III - (2x2−y)dx+(x+y)dy=0 
 
 
I, II e III são exatas. 
 
I, II e III são não exatas. 
 
Apenas a II. 
 
Apenas a III. 
 Apenas a I. 
 
 
Explicação: 
Uma EDO da forma Mdx + Ndy será exata quando dM/ dy = dN / dx 
 
 
 
 
Ref.: 201403316972 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 2y' + y = 0. 
 
 y = C1et + C2e-5t 
 y = C1e-3t + C2e-2t 
 y = C1e-t + C2e-t 
 y = C1e-t + C2et 
 y = C1e-t + C2 
 
 
 
 
Ref.: 201403484380 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau encontramos: 
y"+3y'+6y=sen(x) 
 
 ordem 2 grau 2 
 ordem 2 grau 1 
 
ordem 1 grau 1 
 
ordem 1 grau 3 
 
ordem 1 grau 2 
 
 
 
 
Ref.: 201403490847 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Dadas as EDOs abaixo, determine quais são exatas. 
I - 2xydx+(1+x2)dy 
II - (x+sen(y))dx+(xcos(y)−2y)dy=0 
III - (2xy+x)dx+(x2+y)dy=0 
 
 
Nenhuma é exata. 
 
Apenas a II. 
 I, II e III são exatas 
 Apenas a I. 
 
Apenas a III. 
 
 
Explicação: 
Basta aplicar o Teste da Exatidão e verificar se as derivadas parciais de M em relação a y são 
iguais às derivadas parciais de N em relação a x, nas alternativas apresentadas. 
 
 
 
 
Ref.: 201403124450 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Resolver a equação diferencial 4𝑥 − 𝑦² = 1, com a condição y(2) = 2: 
 
 
𝑦 = 2𝑥² + 𝑥 - 2 
 
𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 10 
 𝑦 = 2𝑥² − 𝑥 + 8 
 𝑦 = 𝑥² − 𝑥 + 2 
 
𝑦 = − 𝑥 + 8 
 
 
 
 
Ref.: 201403316973 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação y" + 4y = 0. 
 
 y = C1cos2t + C2sen2t 
 y = C1cos3t + C2sen3t 
 y = C1cos4t + C2sen4t 
 y = C1cos6t + C2sen2t 
 y = C1cost + C2sent 
 
 
 
Ref.: 201402541925 
 
 
 
 1a Questão 
 
 
O Wronskiano de 3ª ordem é o resultado do determinante de uma matriz 3x3, 
cuja primeira linha é formada por funções, a segunda linha pelas primeiras 
derivadas dessas funções e a terceira linha pelas segundas derivadas daquelas 
funções. 
O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de funções deriváveis são 
linearmente dependentes ou independentes. Caso o Wronskiano vseja igual a 
zero em algum ponto do intervalo, as funções são ditas linearmente dependentes 
nesse ponto. 
Identifique, entre os pontos do intervalo[-π,π] apresentados, onde as 
funções t,sent,cost são linearmente dependentes. 
 
 t=π 
 t=π3 
 t=π4 
 t=0 
 t=π2 
 
 
 
 
Ref.: 201403491066 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear 
y´−2xy=x 
 
 
y=−12+ce−x2 
 y=12+cex2 
 
y=−12+ce−x3 
 
y=12+ce−x3 
 y=−12+cex2 
 
 
Explicação: 
y=−12+cex3 
 
Uma EDO linear da forma dy/dx + p(x)y = q(x) terá como solução y = [1/u(x)] 
. ∫u(x)q(x)dx onde u(x) = e^(∫p(x)dx 
 
 
 
 
Ref.: 201403004951 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determine o Wronskiano W(x,xex) 
 
 x2ex 
 ex 
 x2e2x 
 x2 
 2x2ex 
 
 
 
 
Ref.: 201402552591 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Identifique no intervalo[ - π,π] onde as funções {t,t2, t3} são lineramente 
dependentes. 
 
 t= π3 
 t=0 
 t=-π 
 t= π 
 t=-π2 
 
 
 
 
Ref.: 201403484348 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Classificando a equaçâo diferencial entre : separável, homogênea, exata ou linear de primeira 
ordem. 
ydx + xdy = 0 concluimos que ela é; 
 
 Separável, Exata e Linear de Primeira Ordem. 
 
Separável, Homogênea e Linear de Primeira Ordem. 
 Separável, Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem. 
 
Separável, Homogênea e Exata 
 
Homogênea, Exata e Linear de Primeira Ordem. 
 
 
 
 
Ref.: 201403004948 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Determine o Wronskiano W(x3,x5) 
 
 x7 
 4x7 
 2x7 
 3x7 
 5x7 
 
 
 
 
Ref.: 201403479888 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Dada x.y´ = 4.y, resolver a equação diferencial por separação de variável. 
 
 
y = c.x^7 
 
y = c.x^3 
 
y = c.x^5 
 y = c.x 
 y = c.x^4 
 
 
 
 
Ref.: 201402987270 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
A relação entre o custo de fabricação por objeto (C) e o número de 
tipos 
objetos fabricados (x) é tal que a taxa de aumento do custo quando o 
número de tipos aumenta é expressa pela equação diferencial 
homogênea (dC(x)/dx ) = (C(x) + x)/x. Determinar a relação entre o 
custo de fabricação por objeto e o número de tipos de objetos 
fabricados, sabendo C(1)=1000 unidades monetárias. 
 
 C(x) = x(1000+ln x) 
 
C(x) = 5ln x + 40 
 C(x) = ln x 
 
C(x) = x(ln x) 
 
C(x) = 2x ln x