Matemática Financeira: Juros, Capitalização e Taxas

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GL 200 – Matemática Financeira 
Prof. Dr. Marco Milani 
Prof. MSc. Pedro Gerber 
Universidade Estadual de Campinas 
Faculdade de Ciências Aplicadas 
• Conteúdo da aula 
 
– Juro; 
– Capitalização; 
– Montante e capital; 
– Taxa equivalente. 
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• Matemática financeira: Compara os fluxos de entrada 
e saída, em diversos momentos. 
 
 
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$ 
R$ 1.000 
2000 
$ 
R$ 2.000 
2005 
$ 
R$ 3.000 
2008 
$ 
2010 
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• O sacrifício de receber mais tarde deve ser 
recompensado. 
• Como se remunera o fator capital ($$)? 
JURO 
Os Juros devem remunerar: 
– O risco; 
– A perda do poder de compra; 
– O capital emprestado. 
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• Taxa de juros: A taxa de juros é o que 
determina o valor do juro. Pode ser expressa 
de duas formas: 
– Taxa percentual: Valor expresso em porcentagem; 
– Taxa unitária: Valor expresso em decimais. 
 
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Taxa percentual Taxa unitária 
20% 0,20 
8,65% 0,0866 
Diagrama de fluxo de caixa: Visualização das 
relações dos movimentos monetários nos 
diversos momentos no tempo. 
 
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Regra fundamental para a matemática 
financeira: 
Tanto o prazo da operação quanto a taxa de 
juros devem estar na mesma unidade de 
tempo: 
2% a.m, em 18 meses 
25% a.a, em 2 anos 
 
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Regimes de capitalização 
Regime de capitalização simples: 
– Como um Progressão aritmética, os juros crescem 
de forma linear ao longo do tempo. Juros só 
incidem sobre o capital inicial. 
Exemplo: Empréstimo de R$ 1.000, taxa de 10% a.a; 
5 anos (capitalização simples). 
 
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Regime de capitalização composta: 
Incorpora também os juros sobre os juros 
acumulados até o período anterior. Igual a projeção 
geométrica (PG)! 
 
Exemplo igual: Empréstimo de R$ 1.000, taxa de 
10% a.a; 5 anos (capitalização composta). 
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Tipos de 
capitalização 
 
Regime de capitalização nada mais é que o 
processo em que os juros são formados e 
incorporados ao principal. 
Capitalização contínua: Se processa em intervalos 
reduzidos de tempo, continuamente, e não apenas 
no final de um período. (faturamentos de uma loja, 
depreciação de um automóvel, etc) 
Capitalização descontínua: Ocorre apenas ao final 
de um período. 
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Fórmula de juros simples!! 
 
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J=C.i.n 
J = Juros 
C = Capital inicial 
i = Taxa de juros 
n = períodos. 
Exemplo 1: depois de tomar um empréstimo 
com taxa de juros de 6% a.m, durante 8 
meses, um lojista ficou devendo R$2.400 EM 
JUROS. Qual o valor do empréstimo? 
Exemplo 2: 40.000 reais foram aplicados na 
poupança por 7 meses, a juros simples. O 
rendimento foi de 19.600. Qual a taxa de 
juros aplicada? 
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Montante e Capital 
O valor final de juros mais o capital inicial 
acumulados é chamado de MONTANTE: 
M= C+ J 
 
M=C*(1+i*n) 
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A expressão (1+i*n) é chamada de fator de 
capitalização dos juros simples. 
O inverso, 1/(1+i*n) é denominado fator de 
atualização. 
 
 
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C0 Cn 
Cn=C0*(1+i*n) 
C0=Cn/(1+i*n) 
Taxas proporcional e equivalente 
Como devemos ter sempre o mesmo período de 
capitalização e da taxa de juros; é necessário 
transformar para a mesma base, bases diferentes. 
Taxa proporcional: 18% ao ano, mensalmente: 
18/12 = 1,5% a.m 
As taxas de juros simples são equivalentes quando 
produzem o mesmo juro, aplicadas ao mesmo 
capital inicial. 
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Exemplos: 
– Taxa anual proporcional a : 6% a.m; e 10% ao 
bimestre; 
– Taxa semestral proporcional a: 60% a.a; 9% a.t; 
– Uma taxa de 36% a.a é proporcional a 12% a.t? 
– Qual o montante de um capital de R$ 600.000, 
aplicado a 2,3% a.m pelo prazo de 1 ano e 5 
meses? 
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Juro exato e juro comercial 
Juro exato: Utiliza-se o calendário do ano civil: 365 
dias. 
Juro comercial: Adimite-se o ano com 360 dias. 
 
O juro exato é mais baixo que o juro comercial pelo 
menor número de dias. 
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Equivalência financeira 
Dois capitais representativos de uma certa data 
dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de 
juros, produzem resultados iguais numa data 
comum. 
 
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Exemplo 
Determine se R$ 438.080 vencíveis daqui a 8 meses 
é equivalente a se receber hoje R$ 296.000 
admitindo uma taxa de juros simples de 6% a.m. 
 
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ATIVIDADE 
 
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