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SUPLEMENTO DE CÁLCULO PARA ENGENHARIA http://ejweir.deviantart.com/art/Newton-vs-Leibniz-48981971 Suplemento de Cálculo para Engenharia 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL (PET) “MATERIAIS E INOVAÇÃO TECNOLÓGICA” SUPLEMENTO DE CÁLCULO PARA ENGENHARIA Material paradidático de cálculo diferencial e integral I para alunos de engenharia Apesar de todas as revisões, é inevitável que apareçam alguns erros gramaticais ou de outras naturezas. Pedimos que os erros detectados, bem como possíveis omissões de créditos, sugestões e críticas sejam enviados para o e-mail petmecanicaufsj@gmail.com para que assim possamos fazer as devidas correções. SÃO JOÃO DEL REI - MG 1ª EDIÇÃO – 2012 Suplemento de Cálculo para Engenharia 3 ÍNDICE APRESENTAÇÃO ............................................................................................................................. 4 ASPECTOS GERAIS DA MATEMÁTICA........................................................................................... 5 CONJUNTOS .................................................................................................................................... 9 CONJUNTOS NUMÉRICOS .............................................................................................................. 9 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS ............................................................................................11 EXPRESSÕES MATEMÁTICAS .......................................................................................................16 FUNÇÕES ........................................................................................................................................18 LIMITES............................................................................................................................................21 DERIVADAS .....................................................................................................................................25 INTEGRAIS ......................................................................................................................................27 ANEXOS...........................................................................................................................................36 BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................46 Suplemento de Cálculo para Engenharia 4 APRESENTAÇÃO Cálculo I é uma das disciplinas que mais reprovam nas universidades. O Programa de Educação Tutorial (PET) “Materiais e Inovação Tecnológica” da UFSJ já realizava o "aulão" de Cálculo I, e, com base nas dificuldades recorrentes dos alunos, emergiu a ideia de desenvolver um material paradidático com os tópicos principais do cálculo e aplicações, para efeito de motivação e interdisciplinaridade. O material segue uma ementa enxuta, voltada para a compreensão dos principais conceitos, sem a necessidade de falar de todos os teoremas e seus corolários. Foi desenvolvido através de uma compilação tomando como fonte de pesquisa primária a internet, de modo a mostrar que muito conteúdo de qualidade pode ser extraído de fontes não muito formais de pesquisa. Entretanto, como fonte secundária e embasamento para filtragem da fonte primária, foram consultados livros conceituados de cálculo. Salienta-se que, pelo viés paradidático, o material não visa substituir os livros tradicionais, mas complementá-los com explicações mais sucintas. Recomenda-se fortemente que os livros indicados pelos professores sejam lidos, bem como a bibliografia recomendada por este material. Este trabalho não possui fins lucrativos, podendo ser reproduzido total ou parcialmente desde que seja mencionada a fonte, conforme licença Creative Commons. Os autores agradecem à Universidade Federal de São João del-Rei e ao Programa PET a oportunidade de realizar esse importante trabalho de apoio ao ensino universitário, bem como os professores do Departamento de Matemática (DEMAT), que nos ensinaram o que agora estamos multiplicando. Rafael Tadeu de Matos Ribeiro (idealizador) Sobre o PET O Programa de Educação Tutorial (PET) foi criado para apoiar atividades acadêmicas que integram ensino, pesquisa e extensão. Formado por grupos tutoriais de aprendizagem, o PET propicia aos alunos participantes, sob a orientação de um tutor, a realização de atividades extracurriculares que complementem a formação acadêmica do estudante e atendam às necessidades do próprio curso de graduação. O estudante bolsista e o não bolsista do Programa de Educação Tutorial podem receber certificado após o tempo mínimo de dois anos de participação no programa. Estudante e o professor tutor recebem apoio financeiro de acordo com a Política Nacional de Iniciação Científica. O grupo PET “Materiais e Inovação Tecnológica” foi fundado em 2010, tem como Tutor Prof. Dr. Antônio Luis Ribeiro Sabariz e atua no curso de Engenharia Mecânica da UFSJ, em toda a universidade e na sociedade, seguindo os pilares do programa PET: ensino, pesquisa e extensão. Esta obra foi licenciado sob uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial 3.0 Não Adaptada: http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/deed.pt_BR Suplemento de Cálculo para Engenharia 5 ASPECTOS GERAIS DA MATEMÁTICA MATEMÁTICA É o estudo de padrões de quantidade, estrutura, mudanças e espaço. Na visão moderna, é a investigação de estruturas abstratas definidas axiomaticamente, usando a lógica formal como estrutura comum. Matemáticas aplicadas Consideram as grandezas em determinados corpos ou assuntos. Matemáticas mistas Consideram as propriedades da grandeza em certos corpos ou fenômenos particulares, como a Astronomia e a Mecânica. Matemáticas puras Estudam as propriedades da grandeza em abstrato, como a Geometria e a Álgebra. ÁREAS DA MATEMÁTICA Aritmética Estuda os números, suas propriedades e as operações que se podem efetuar com eles. Frequentemente utilizadas na vida cotidiana, são quatro as suas operações: adição, multiplicação, subtração e divisão. Álgebra É a divisão que utiliza símbolos como x e y, que se referem a quantidades desconhecidas. Na Álgebra simples, os símbolos significam números e, através deles, as quantidades podem ser determinadas. A Álgebra é muito usada em Física, Química, Economia e mesmo em Psicologia, pois os símbolos podem representar pessoas e a maneira como atuam, tornando possível prever suas ações. Cálculo (ou Cálculo Infinitesimal) É uma forma de álgebra que se ocupa de quantidades variáveis, usada em Engenharia e nas Ciências Físicas. Quando, por exemplo, uma espaçonave decola, atinge alta velocidade em pouco tempo; essa velocidade pode ser determinada em qualquer instante, graças ao cálculo. Geometria Ocupa-se de linhas, ângulos, figuras e sólidos. Geometria Plana ou Euclidiana: ensinada nas escolas, é importante para os engenheiros e navegadores. A Geometria Plana ocupa-se das figuras com duas dimensões, como as circunferências. Geometria Espacial: refere-se a figuras em três dimensões, como as esferas. Geometria Analítica: é uma combinação de álgebra e geometria. Os símbolos algébricos são usados para representar linhas, figuras ou sólidos. Engenheiros e arquitetos frequentemente utilizam a Geometria no projeto de pontes e edifícios. Trigonometria Trata de ângulos e medidas relacionadas a triângulos.LÓGICA MATEMÁTICA Lógica Matemática é o uso da lógica formal para estudar o raciocínio matemático, tendo como objetivo o estudo dos métodos e princípios que permitem distinguir raciocínios válidos de outros não válidos. PASSOS PARA RESOLVER UMA PROBLEMA MATEMÁTICO COM FACILIDADE 1) Ler o problema com atenção; 2) Verificar quais são os dados e o que é perguntado no problema; 3) Ler novamente o problema, para descobrir que operação deve ser feita; 4) Se há mais de uma pergunta,resolver uma de cada vez; 5) Armar a sentença matemática; 6) Efetuar os cálculos; 7) Escrever a resposta do problema. A IDEOGRAFIA MATEMÁTICA A ideografia (ou simbologia) é definida como um conjunto de símbolos ou ideogramas que exprimem diretamente determinadas idéias. Na matemática, o uso frequente de determinadas operações fez com que fosse necessário a adoção de sinais, de modo a tornar os processos de cálculo mais práticos e rápidos. Grande parte dos sinais matemáticos designam operações, mas há aqueles que representam características númericas e geométricas, além dos que constituem os algarismos. NÚMERO É a idéia de quantidade. O conceito de número na sua forma mais simples é claramente abstrata e intuitiva; entretanto, foi objeto de estudo de diversos pensadores. Suplemento de Cálculo para Engenharia 6 Pitágoras, por exemplo, considerava o número a essência e o princípio de todas as coisas; para Schopenhauer o conceito numérico apresenta-se "como a ciência do tempo puro". Outras definições: “Número é a relação entre a quantidade e a unidade” (Newton) “Número é um composto da unidade” (Euclides) “Número é o resultado da medida de uma grandeza” (Brennes) “Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração” (Boutroux) “Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade” (Benjamin Constant) “Número é o movimento acelerado ou retardado” (Aristóteles) “Número é a representação da pluralidade” (Kambly) “Número é uma coleção de unidades” (Condorcet) “Número é a pluralidade medida pela unidade” (Schuller, Natucci) “Número é a expressão que determina uma quantidade de coisas da mesma espécie” (Baltzer) “Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe” (Bertrand Russell) ASSOCIAÇÕES NUMÉRICAS Quantitativas Contagem: cada número é associado a um ser. A partir do zero, os números naturais (N) seguem em ordem crescemte até o último ser, ao qual estará associado o número que representa o tatal dos seres. Medição: os números são utilizados por meio de instrumentos de medida, para medir as dimensões ou propriedades da natureza. Qualitativas Enumeração: cada número é associado a um ser, de modo a dar-lhe identidade. Ordenação: cada número é associado a um ser, de modo a sesignar uma ordem, posição, nível, hierarquia ou importância. Para isso são utilizados os numerais ordinais. NUMERAL É a representação escrita do número. Podem vir na forma ideográfica (de símbolos) ou por extenso. Ex.: 5, 1456, quarenta e nove. Existem cinco tipos de numeral: Cardinal: são aqueles que utilizam os números naturais para a contagem de seres ou objetos, ou até designam a abstração das quantidades: os números em si mesmos. Ex.: 1, dois, 6. Ordinal: são aqueles que indicam a ordenação ou a sucessão numérica de seres e objetos. Ex.: 1º, quinto . Multiplicativo: são aqueles que indicam uma quantidade equivalente a uma multiplicação. Ex.: dobro, triplo. Fracionário: são aqueles que indicam partes, frações, sendo concordantes com os numerais cardinais. Ex.: metade, ¼. Coletivo: são aqueles que indicam uma quantidade específica de um conjunto de seres ou objetos. Ex.: dúzia, dezena. ALGARISMO É cada dígito que compõe um numeral. Ex.: 123 2 é um algarismo Valor Absoluto: é o valor do algarismo independente de sua posição no numeral. Valor Relativo ou Posicional: é o valor do algarismo que depende de sua posição no numeral. A essa valoriazação dá-se o nome de Sistema de Posição. Ex.: 1324 O valor asoluto é 1. O valor relativo é 1000. Algarismo significativo Algarismos signficativos de um número são todos os dígitos contados da esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo diferente de zero até o último algarismo diferente de zero. Ou, se houver vírgula no número, incluindo-se os zeros finais. Exemplos: Suplemento de Cálculo para Engenharia 7 0,1: há um algarismo significativo; 10: há um algarismo significativo (1); 1,0 x 10: há dois algarismos significativos; 0,0012: há dois algarismos significativos (1 e 2). Nas indicações de medidas, os algarismos significativos indicam o grau de certeza ou incerteza. Exemplo: o velocímetro de um carro aponta que ele está entre os 90 km/h e os 91 km/h. Observa-se que está mais próximo de 90. Escreve-se então a medida com três algarismos significativos: 90,2 km/h. O último algarismo significativo indica uma incerteza em relação à medida. Não se pode escrever 90,20 km/h quando não se sabe se o terceiro algarismo é correto, o que aumenta a dúvida em relação ao quarto algarismo. Métodos analíticos de representação dos números Decomposição de um número: consiste na colocação na forma de soma dos valores relativos dos algarismos que compõem o numeral, da esquerda para a direita. Ex.: 528 → 8 20 500 + 20 + 8 500 Fatoração de um número: consiste na divisão do número pelos menores números inteiros possíveis até reduzi-lo a 1 e na colocação desses divisores na forma de produto. Ex.: 20 2 10 2 2 . 2 . 5 = 2 2 . 5 5 5 1 NUMERAÇÃO É o modo como empregamos um mínimo de símbolos e palavras na representação dos números. Sistema de numeração É o conjunto de um mínimo de regras para indicarmos os números, ou seja, é um sistema de contagem. Base de um sistema de numeração É o conjunto de nomes ou símbolos necessários para representarmos qualquer número. Um número a na base n é representado assim: (a)n. Exemplos: 34 = (34)10 ; 456 = (456)10 ; (10111)2 = (23)10 = 23. Sistema de numeração decimal Sistema de números em que uma unidade de ordem vale 10 vezes a unidade de ordem imediatamente anterior. Utiliza somente os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 para escrever todos os números, ou seja, como base para o sistema de numeração. Obedece a dois princípios: Princípio da Posição Decimal: todo algarismo colocado à esquerda de outro tem um valor 10 vezes maior do que teria se estivesse no lugar desse outro. Princípio da Posição Geral: todo algarismo colocado à esquerda de outro representa unidades de ordem superior à ordem desse outro. QUADRO VALOR-LUGAR 3ª CLASSE 2ª CLASSE 1ª CLASSE MILHÕES MILHARES UNIDADES SIMPLES 9ª ord. 8ª ord. 7ª ord. 6ª ord. 5ª ord. 4ª ord. 3ª ord. 2ª ord. 1ª ord. cent. dez. unid. cent. dez. unid. cent. dez. unid. Sistema binário de numeração Empregam-se somente os algarismos 0 e 1 (base de numeração) e a contagem é feita de 2 em 2. É um sistema mais econômico, no sentido de quantidade de símbolos diferentes a serem empregados. Pode-se escrever o número 178 no sistema binário como 178 = 1x128 + 0x64 +1x32 + 1x16 + 0x8 + 0x4 + 1x2 + 0x0 = 10110010, em que escreve-se apenas os dígitos que multiplicamas potências de 2 (2, 4, 8, 32, 64, 128 ...). Observação: Os computadores empregam o sistema binário, traduzindo o algarismo 1 pela passagem de corrente elétrica (circuito fechado - lâmpada acesa) e o algarismo 0 pela não passagem de corrente elétrica (circuito aberto - lâmpada apagada). A leitura dos números pelo computador é feita de acordo com as "aberturas" e/ou "fechamentos" à passagem de corrente elétrica nos circuitos. A forma como a arquitetura de um processador foi elaborada faz com que ele se comunique apenas através de “chaves” Suplemento de Cálculo para Engenharia 8 positivas e negativas, assumindo valores 0 e 1. Isso significa que para cada execução o computador realiza milhares de operações apenas usando as “chaves” 0 e 1. A menor unidade de informação que um computador pode armazenar é esse binômio (0 ou 1), chamado de Código Binário ou Bit (do inglês Binary Digit), que é a linuagem de máquina usada pelos computadores. A unidade padrão de medida na informática é o Byte (Bynary Term, ou Termo Binário), que é o conjunto de 8 Bits. A um caractere, como uma letra, é associado um Byte. Para os computadores, representar 256 números binários é suficiente. Por isso, os bytes possuem 8 bits. Basta fazer os cálculos. Como um bit representa dois valores (1 ou 0) e um byte representa 8 bits, basta fazer 2 (do bit) elevado a 8 (do byte) que é igual a 256. A uma metade de um byte, dá-se o nome de Nibble ou Semioctecto. Utiliza-se a base 2 (possibilidades 0 ou 1) e o expoente 10 para os próximos padrões métricos de dados no computador. Desse modo, as grandezas variam a cada 2 10 ou 1024 bytes. 1 Byte = 8 bits 1 Kilobyte (KB) = 1024 bytes 1 Megabyte (MB) = 1024 kilobytes 1 Gigabyte (GB) = 1024 megabytes 1 Terabyte (TB) = 1024 gigabytes 1 Petabyte (PB) = 1024 terabytes 1 Exabyte (EB) = 1024 petabytes 1 Zettabyte (ZB) = 1024 exabytes 1 Yottabyte (YB) = 1024 zettabytes Sistema octal de numeração Emprega-se a contagem de 8 em 8, utilizando somente os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. Sistema hexadecimal de numeração Emprega-se a contagem de 16 em 16, utilizando apenas os símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Mudança de base de numeração Abaixo, um exemplo de mudança de base. O número 43 na base 10 foi convertido para 101011 na base 2. A leitura deve ser feita da direita para a esquerda. Utiliza-se, também, a notação exponencial para mudar a base de um número. No exemplo o número 109 na base 10 é transformado no número 414 na base 5 pela divisão. Depois, o número 414 na base 5 é transformado no número 109 na base 10 pela notação exponencial. DESENHO E ESBOÇO MATEMÁTICO Desenho Figura ilustrativa que representa uma cena ou paisagem, sendo fiel à realidade, tanto no âmbito geométrico quanto no âmbito morfocromático. Esboço matemático Esboço ou esquema que põe em evidência as características matemático- geométricas. Todo esquema é, por definição, uma figura acompanhada de observações. No modelo matemático, as cores são desprezadas e a preocupação é reservada a apontar cálculos, medidas e graduações de ângulos, além de simetrias, paralelismos, perpendicularidades e obliquidades. PORQUE ESCOLHER UMA PROFISSÃO RELACIONADA COM A MATEMÁTICA Matemática ensina paciência, disciplina, e a habilidade de resolver problemas passo a passo. Para aqueles com um fundo substancial em matemática, um número ilimitado de oportunidades de carreira estão disponíveis. De acordo com o Jobs Rated Almanac , uma publicação do World Almanac Books of New York, carreiras que exigem um fundo muito forte em matemática Suplemento de Cálculo para Engenharia 9 foram listadas como os cinco "melhores" empregos. Elas foram: Engenheiro; Atuário; Analista de sistemas; Programador de computadores; Matemático. CONJUNTOS Por definição, um conjunto é a reunião de um ou mais elementos semelhantes. ELEMENTOS DE UM CONJUNTO Se um elemento a pertence a um conjunto A, escrevemos a Є A INCLUSÃO Se um conjunto B está contido no conjunto A, isso significa dizer que todos os elementos de B também são elementos de A e denotamos por: B С A SUBCONJUNTOS E CONJUNTO VAZIO Todo conjunto possui um outro conjunto chamado conjunto vazio (denotado por ᴓ) além de outros conjuntos menores, que são chamados de subconjuntos do conjunto original. Esses subconjuntos possuem uma relação de inclusão com o conjunto, ou, na linguagem usual, uma relação de continência. INTERSEÇÃO Um conjunto pode ter elementos em comum com outro, sem precisar estar contido nele. À totalidade de elementos que pertencem concomitantemente a dois ou mais conjuntos damos o nome de interseção e denotamos por A ∩ B UNIÃO Tomando os elementos de dois ou mais conjuntos, ao conjunto maior formado damos o nome de união, denotada por A U B Se considerarmos a união de todos os subconjuntos de um conjunto, podemos dizer que ela é o próprio conjunto. SOMA A soma de dois conjuntos é obtida quando, da união deles, subtrai-se a interseção. Assim: A + B = A U B – (A ∩ B) CONJUNTOS NUMÉRICOS NÚMEROS NATURAIS (N) Usados nas contagens, nos códigos e nas ordenações (números positivos e o zero).Ex.:0,1,2,3. NÚMEROS INTEIROS (Z) Extensão dos números naturais, para que a subtração fosse sempre possível (números positivos e negativos). É todo número resultante da subtração de dois números naturais. Ex: -2,-1,0,1,2. NÚMEROS RACIONAIS (Q) Extensão dos números inteiros,para que a divisão também fosse sempre possível,com exceção da divisão por zero, que não se define na Matemática (números que podem ser escritos na forma de fração,com numerador e denominador inteiros). Ex.: 9/4. NÚMEROS IRRACIONAIS (Ir) São os números que não podem ser representados na forma de fração. São números infinitos e não-periódicos. Ex.: π (pi) = 3,141592... . NÚMEROS REAIS (R) Conjunto numérico que corresponde à união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. Ex.:0,2,,etc. Módulo de um número real É a distância que o número se encontra em relação ao zero. Também é definido como |r| = √r². O módulo ou valor absoluto real r,que é representado por |r|,é considerado igual a r se r ≥ 0 e igual a –r se r < 0.Ex.: |2| = 2,|0| = 0 e |-2| = -(-2) = 2. Propriedades envolvendo módulo Para todo r є R,temos |r| = |-r| Para todo x є R,temos |x2| = |x|2 = x2 ou √x2 =|x|. Para todo x є R e y є R, |x . y| = |x| . |y|. Suplemento de Cálculo para Engenharia 10 Para todo x є R e y є R, |x+y| ≤ |x| + |y|. Para todo x є R e y є R, ||x| - |y|| ≤ |x-y|. |x| = 0 → x = 0 Não existe x є R tal que |x| = a,com a < 0. |x| = a e a >0 → x = a ou x = -a. Números opostos ou simétricos Números inteiros que têm o mesmo módulo (mesma distância em relação ao zero) e sinais diferentes. Ex.: +5 e -5. Intervalos reais São subconjuntos dos números reais ou segmentos da reta real. Intervalo fechado: na reta real,é indicado por um ponto preto (●). Na notação algébrica, é indicada por colchetes ( [ ] ) ou por sinais de ≤,≥ ou =. Intervalo aberto: na reta real,é indicado por um ponto branco (○). Na notação algébrica,é indicada por parênteses, por colchetes virados ( ] [ ) ou por sinais de <, > ou ≠. Os números reais estão inclusos em um conjunto maior, que engloba também números imaginários. Trata-se do conjunto dos Números Complexos, que não serão abordados aqui, pois a ideia é trabalhar apenasno conjunto dos reais. TEORIA DOS CONJUNTOS E DESENVOLVIMENTOS DA ENGENHARIA MODERNA Teoria de conjuntos nebulosos é tema de livro publicado nos EUA Acaba de ser lançado nos Estados Unidos pela editora Wiley, em colaboração com o Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE), o livro Fuzzy Systems Engineering: Toward Human– Centric Computing, de autoria do professor Fernando Gomide, do Departamento de Engenharia de Computação e Automação Industrial (DCA) da Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação (FEEC) da Unicamp. O professor Witold Pedrycz, da Universidade de Alberta, Canadá, é co-autor do livro, que em suas 526 páginas aborda a teoria de conjuntos nebulosos. A noção de conjuntos nebulosos surgiu para ampliar a teoria e metodologia e solucionar problemas em áreas da engenharia elétrica e de computação relacionadas a sistemas inteligentes, inteligência artificial, sistemas de processamento de informação e de decisão. Para explicar do que trata a teoria que surgiu em 1965, criada pelo professor Lotfi Zadeh, da Universidade da Califórnia, Berkeley, e que deu origem ao Fuzzy Systems Engineering, o professor Gomide lança mão de analogias. Segundo ele, a questão nasce do debate entre o ser ou não ser cartesiano. Na opinião do docente, as ciências são essencialmente cartesianas – uma coisa ou é branca ou preta, verdadeira ou falsa, e não se contemplam as nuances. A observação mostra que as ocorrências não se dão somente dessa forma – o mundo admite verdades, falsidades, meias verdades, meias falsidades etc. Por exemplo, pela teoria clássicados conjuntos, um copo estará cheio ou vazio, sem toda a gama de possibilidades intermediárias, incluindo o caso de meio cheio ou meio vazio, como um copo com água pela metade. Estas variações, não-contempladas pela teoria clássica dos conjuntos, passaram a ser abordadas com a utilização da teoria dos conjuntos nebulosos, referência à palavra inglesa fuzzy, que sugere a idéia de transição gradual entre o ser e o não ser (a transição de um copo vazio a um copo cheio de água é gradual), pertencer ou não pertencer a um conjunto (conjuntos dos copos cheios e conjunto dos copos vazios) etc. Isso permite, explica o docente, a representação formal de grandezas e conceitos imprecisos e incertos, de pertinência gradual, e abre mão da dicotomia cartesiana. Até recentemente, não se tinha um aparato formal para tratar dessas questões. Essa representação matemática é usada, diz Gomide, em um sistema de computação para modelar e controlar processos, para analisar informação e tomar decisão, ou fazer um robô navegar de forma autônoma utilizando sensores e visão computacional. O pesquisador acrescenta, com certa ironia: “dá respostas precisas para fenômenos imprecisos, por paradoxal que possa parecer”. A respeito da obra, Gomide diz que o livro trata dos princípios básicos da teoria dos conjuntos nebulosos e se estende por alguns estudos de caso feitos por ele e outros pesquisadores. “Vários capítulos transpiram as pesquisas que realizamos e apresentam em primeira mão trabalhos ainda não divulgados em periódicos. Consideramos a obra consistente com o estado da arte”. Suplemento de Cálculo para Engenharia 11 Embora a publicação tenha alvo a engenharia elétrica, computação e áreas correlatas, atende também os interesses de áreas como logística, gestão, transporte, modelagem, controle e otimização de processos industriais, economia e biologia. Modelos econômicos e biológicos se encaixam no contexto de sua abordagem, pois utilizam noções e conceitos relacionando variáveis cujos valores não são necessariamente precisos. Para o autor, com os sistemas nebulosos podem ser criados os chamados modelos linguísticos. Se um sistema tiver seu funcionamento descrito linguisticamente, a descrição pode ser traduzida em algoritmos utilizando a teoria dos conjuntos nebulosos, o que possibilita seu uso computacional. A teoria de conjuntos nebulosos tem importância considerável na sumarização e compactação de informação. Gomide explica: “Ao avaliar o conforto térmico de um ambiente, geralmente, atribuímos a ele sensações como muito frio, frio, agradável, quente, muito quente. Termos linguísticos como ‘agradável’, por exemplo, encapsulam um número grande de valores de temperatura, compactando e sumarizando a informação”. A teoria de conjuntos nebulosos permite, continua o docente, representar termos linguísticos matematicamente através de funções de pertinência, que na realidade são sinônimos de conjuntos nebulosos, e processar conhecimento linguístico. “Com isso, obtemos mecanismos e algoritmos para computar com palavras, variáveis com valores imprecisos e implementar procedimentos de raciocínio aproximado. Obtém-se, assim, maior tratabilidade e robustez na solução de problemas complexos”. O convite – Fernando Gomide lembra que, a partir de meados da década de 90, as atividades com inteligência artificial se intensificaram na FEEC. Desde então, aumentaram as participações em congressos, surgiram oportunidades de desenvolvimento de trabalhos de cooperação com o exterior e adensaram-se as relações com a comunidade internacional. Esse contexto possibilitou que, ao fazer a sugestão da publicação da obra à editora, a comunidade científica internacional lhe associasse também o nome do professor Fernando Gomide e do seu colega canadense Witold Pedrycz, com quem comunga pontos de vistas comuns. Convidados pela editora, os autores apresentaram projeto aprovado por revisores internacionais, a exemplo do que ocorre com os artigos submetidos a periódicos, e executaram a obra em cerca de dois anos. O professor Gomide entende que o delinear desse caminho envolve muitos atores: os colegas de departamento, da FEEC e da Unicamp como um todo, alunos de graduação e pós-graduação, a Fapesp, o CNPq, além da família e amigos. Em relação à obra, o autor enfatiza: “Hoje, até onde vai meu conhecimento, não existe algo no gênero, porque os livros em circulação estão um pouco defasados. Estamos próximos do estado de arte e talvez nos mantenhamos assim por uns dois anos, pois previsões para além são difíceis”, constata. A abordagem está voltada para a desmistificação, apresenta muitos exemplos que ajudam a compreensão, sempre que possível introduz algoritmos para mostrar a aplicação prática, foi organizada de forma distinta do usual e traz uma bibliografia bastante atualizada. Ele considera que o aspecto didático é fundamental em uma obra produzida por um professor: “É um livro escrito para alunos, profissionais e professores que querem estudar, aprender o assunto e aplicar os conceitos e idéias nas respectivas áreas de interesse. Contém itens com abordagens mais avançadas para estimular a pesquisa e o desenvolvimento, mas na essência trata-se de um livro-texto”, afirma. Projetada para utilização nos últimos anos de cursos de graduação e no inicio da pós graduação em engenharia e áreas correlatas, a obra exige conhecimentos básicos de cálculo e álgebra linear inerentes a esses cursos e áreas afins. Fonte: Jornal da Unicamp, 1º a 7 de outubro de 2007. Disponível em: < http://www.unicamp.br/unicamp/unicamp_ hoje/jornalPDF/ju374pag02.pdf>. OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS ALGORITMO Processo de cálculo, ou de resolução de um grupo de problemas semelhantes, em que se estipulam, com generalidade e sem restrições, regras formais para a obtenção do resultado, ou da solução do problema. Ex.: as operações da matemática. ADIÇÃO Suplemento de Cálculo para Engenharia 12 Consiste no acrescentar, no unir. É representada pelo sinal de mais (+). Parcela É cada termode uma adição. Soma ou total É o resultado da adição. O elemento neutro É o zero (0), pois qualquer número adicionado a zero dá como resultado o próprio número.Ex.: 0 + 2 = 2; 2 + 0 = 2. Propriedades da adição Comutativa: a + b = b + a Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) SUBTRAÇÃO Consiste no separar, no retirar. É representada pelo sinal de menos (-). Minuendo É a quantidade inicial a ser fragmentada. Subtraendo É a quantidade retirada. Resto ou diferença É o resultado da subtração. Em uma operação de adições e subtrações, ao resultado admite-se o nome de total. O resultado de uma subtração em que de um número se subtrai 0 é o próprio número e o resultado de uma operação em que se subtrai um número de 0 é esse número com o sinal trocado. Ex.:2 – 0 = 2, 0 – 2 = -2. Princípios da subtração Subtrativo: consiste em descobrir o que sobrou de um conjunto após a retirada de parte dele. Comparativo: consiste em comparar dois conjuntos com a finalidade de descobrir o que um tem que o outro não tem. Aditivo: consiste em determinar o complemento de um conjunto para alcançar uma certa quantidade. MULTIPLICAÇÃO Consiste na reprodução de determinada quantidade igual a um número de vezes determinado. É representada pelo sinal de vezes (x ou . ). Fator Número participante de uma multiplicação. Pode ser: Multiplicando: número que será multiplicado por algum outro. Multiplicador: número que multiplicará algum outro. Produto É o resultado da multiplicação. Elemento neutro É o número um (1), pois qualquer número multiplicado por 1 dá como resultado ele mesmo. Fator neutralizador, anulador ou absorvente É o número zero (0), pois anula todas as multiplicações de que participa. Ex.: 6 . 0 = 0. Propriedades da multiplicação Comutativa: a . b + b . a Distributiva em relação à adição: a . (b + c) = a . b + a . c Distributiva em relação à subtração: a . (b – c) = a . b – a . c (com b ≥ c) DIVISÃO Consiste no fracionamento, no repartilhamento. É representada pelo sinal de dividido (: ou / ). Dividendo Número que será dividido por algum outro. Divisor Número que dividirá algum outro, ou número pelo qual algum outro pode ser dividido. Divisor próprio Nome dado a qualquer um dos divisores de um número, desde que não seja o próprio número, ou seja, são divisores que não participam de divisões de quociente (resultado) igual a 1. Quociente ou cociente Resultado da divisão. Resto Quantidade restante em divisões inteiras não-exatas. O resto só é definido Suplemento de Cálculo para Engenharia 13 quando se pretende obter um quociente inteiro. dividendo = (divisor . quociente) + resto Obs.: O resto é sempre menor que o divisor. A indefinição e a indeterminação da divisão por zero É impossível escolher (definir) um número que possa ser atribuído como valor de 1/0, por exemplo. Como os quocientes 1/0,1 = 10 , 1/0,01 = 100 , 1/0,001 = 1000, etc. vão crescendo sem limite, poderíamos pensar num novo objeto matemático, o infinito (∞), e que representaria uma quantidade imensamente grande, definido como sendo o resultado de 1/0. Ou seja: 1/0 = infinito. De modo que 1/0, embora 1/0 seja indefinida no conjunto dos números, ficaria definido através do objeto não-numérico infinito. No entanto: O infinito não é um número; Não será possível realizar operações matemáticas com o infinito de acordo com as regras aritméticas. Ex.: b . a/b = a, de modo que teríamos de aceitar a validade de: 0 . 1 / 0 = 1, ou seja, 0 . ∞ = 1. Essa última igualdade produz contradições, pois 1 = 0 . ∞ = 0 . (2 . ∞ ) = 2 . (0 . ∞) = 2 . 1 = 2. Ou seja, acabaríamos chegando ao resultado absurdo: 1 = 2. Portanto, a divisão de qualquer número diferente de 0 por 0 é indefinida e a divisão de 0 por 0 é indeterminada. O resultado da divisão de 0 por qualquer número diferente de zero dá 0. Critérios de divisibilidade (com resultado inteiro) Divisibilidade por dois: um número natural é divisível por 2,quando o algarismo das unidades for 0,2,4,6 ou 8. Ex.: 22. O número natural que é divisível por 2 é chamado de número par, caso contrário é denominado ímpar. Divisibilidade por três: um número natural é divisível por 3 quando a soma de seus algarismos for divisível por 3. Ex.: 15 (1 + 5 = 6). Divisibilidade por quatro: um número natural é divisível por 4 quando o número formado pelos seus dois últimos algarismos à direita for divisível por 4. Ex. 348. Divisibilidade por cinco: um número natural é divisível por 5 quando o algarismo das unidades for 0 ou 5.Ex.:60. Números primos (em Z) São os números naturais que dividem apenas por 1 e por eles mesmos. Ex.:2, 3,5, 7, 11. O número 1 não é primo, pois ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. 2 é o único número primo par. Atualmente o maior número primo encontrado é 2 32.582.657 − 1. Foi descoberto pelo time de colaboradores formado pelos doutores Curtis Cooper e Steven Boone no dia 4 de setembro de 2006, num projeto de computação distribuida pela Internet, que usa o tempo ocioso do processador de computadores pessoais, procurando por números primos específicos, do tipo 2 p − 1, em que p é primo, chamados primos de Mersenne. Este último primo encontrado é o primo de Mersenne de número 44 e tem 9.808.358 dígitos. Para saber se um número é primo deve-se dividi-lo por 2,3,5,7,11 etc. até obter uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Ex.: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11). Portanto 113 é um número primo. Números primos entre si Dois números inteiros são ditos primos entre si quando não existir um divisor maior do que 1 que divida ambos. O máximo divisor comum dos primos entre si é igual a 1. Ex.: 12 e 13 são primos entre si; porém, 12 e 14 não o são porque ambos são divísiveis por 2. Um conjunto de números inteiros é chamado de mutuamente primo se não existir um inteiro que divida todos os elementos. Por exemplo, os inteiros 30, 42, 70 e 105 são mutuamente primos. Entretanto, aos pares, não são primos entre si. Esta definição é transferida para outras áreas. Por exemplo, dois polinômios com coeficientes inteiros são primos entre si se não houver um polinômio não-constante que divida ambos. O número de inteiros positivos menores que n que são primos com n é dado pela função totiente de Euler. Suplemento de Cálculo para Engenharia 14 Os números 4 e 9 são primos entre si porque a diagonal não intercepta nenhum dos pontos reticulados. Números compostos São os números não-primos maiores do que 1. Os números 0 e 1 não são considerados primos nem compostos. Números perfeitos Os gregos diziam que um número é perfeito quando a soma dos seus divisores próprios (divisores exceto ele próprio) é igual a ele mesmo. Ex.: o número 6, porque 1+2+3=6. Números amigáveis ou amigos Números amigos são pares de números onde um deles é a soma dos divisores próprios do outro. Ex.: os divisores próprios de 220 são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 cuja soma é 284. Já, os divisores próprios de 284 são: 1,2,4,71 e 142 e a soma deles é 220. Portanto, os números 220 e 284 são amigáveis ou amigos. Porcentagem É uma forma usada para indicar uma fração de denominador 100 ou qualquer representação equivalente a ela. A porcentagem é um modo de comparar números usandoa proporção direta, onde uma das razões da proporção é uma fração cujo denominador é 100. Toda razão a/b na qual b=100 chama-se porcentagem. Símbolo: %. Ex.: 23/100 = 23% ou 0,23. Cálculo da porcentagem: Ex.: 20% de 60 = 20/100 . 60 = 0,2 . 60 = 12. OUTRAS CONSIDERAÇÕES SOBRE MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO Todo número multiplicado ou dividido por 1 é igual a ele mesmo e todo número multiplicado ou dividido por –1 é igual ao seu oposto. Todo número multiplicado por outro > -1 e <1 dá como resultado um número de módulo menor que o número inicial; Todo número dividido por outro > -1 e <1 dá como resultado um número de módulo maior que o número inicial. FRAÇÕES Números que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais. 1 → numerador (nº de partes consideradas) 2 → denominador (nº de partes divididas) Frações equivalentes São as frações que representam a mesma parte do todo.Ex: ½ e 2/4. Fração inversa A fração inversa de uma fração dada é aquela estabelecida pela troca de posição do numerador e do denominador. Ex.: 2/3 → 3/2. Número misto Número escrito ao mesmo tempo na forma inteira e na forma fracionária. Ex.: 4 1/3. Obs.: 4 1/3 = 4 + 1/3. Inverso multiplicativo O inverso multiplicativo de um número x é 1/x. Esse número é dito inverso multiplicativo de x, pois a multiplicação de ambos resulta em 1. Fração decimal Fração em que a unidade aparece dividida por 10 ou múltiplos de 10. Ex.: 1/10, 4/100. Fração algébrica É a fração que possui um ou mais termos desconhecidos (incógnitas) no denominador. Ex.: 2/xy. Simplificação de frações Consiste em dividir o numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, fim de torná-la uma fração mais simples. Ex.: 5 → 5 : 5 = 1 10 10 : 5 2 Operações com frações Soma/Subtração: se os denominadores são iguais, opera-se os numeradores e conserva-se o denominador.Ex.:1/2 + 1/2 = 2/2 = 1. Se os denominadores são diferentes, acha-se o Menor Múltiplo Comum (MMC) dos Suplemento de Cálculo para Engenharia 15 denominadores e o divide por cada denominador, multiplicando depois cada resultado separadamente pelo seu respectivo numerador e operando os produtos, conservando o denominador comum. Ex.: 1/5 + 3/4 = 19/20. Multiplicação: multiplica-se separadamente numeradores e denominadores. Ex.:2/3 . 1/9 = 2/27. Divisão: multiplica-se a primeira fração pelo inverso da segunda, ou seja, multiplica- se o numerador da primeira pelo denominador da segunda e o denominador da primeira pelo numerador da segunda. Ex.:1/4 :1/2 = 1/4 . 2/1 = 2/4 = 1/2 . Números decimais São números que representam frações, em que a divisão do numerador pelo denominador não resulta em um número exato. Nesses números usa-se 0, (zero vírgula) e depois o número que representa a parte fracionária. Ex.: 0,1 = 1/10; 0,75 = 3/4. A divisão do numerador pelo denominador pode resultar em um número exato (ex.:5) ou em uma: Decimal exata: com número finito de casas decimais. Ex.:0,2. Decimal ou dízima periódica: apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de um certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição e chamados de período. (ex.: 0,3333...). Uma dízima periódica pode ser: Simples: o período aparece imediatamente após a vírgula. Ex.: 0,4444…; 0,125125125…; 0,68686868… Composta: há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entra na composição do período. Ex.: 0,72222222…; 0,58444444…; 0,15262626… Fração geratriz de um decimal É a fração que gera um determinado decimal. Ex.: 0,25 = 25/100 = 1/4 → fração geratriz POTENCIAÇÃO OU EXPONENCIAÇÃO an =a . a . a . ... . a (n vezes).Obs: a = base, n = expoente. a0 = 1, porem 00 é uma indeterminação. am . an =am + n am : an =am - n (am)n = am . n (a . b)m = am . am (a : b)m =am : bm (b ≠ 0) (am)n ≠ am n am n = a^(m n ) (a/b)m = am/bm (a/b)-m = (b/a)m = am/bm n √a m = a m / n Potência de base 10 O expoente positivo do número dez indica o número de vezes que se deve deslocar a vírgula para a direita e o expoente negativo do dez indica o número de vezes que se deve deslocar a vírgula para a esquerda. Ex: 0,3451 . 10 2 = 34,51. Operações com potências de base 10 Soma/Subtração: somente se somam ou subtraem números cujas potências de base 10 têm o mesmo expoente. Nesse caso, somam-se os coeficientes e conserva-se a potência de dez. x . 10 n ± y . 10 n = (x ± y) . 10 n Multiplicação: multiplicam-se os coeficientes, conservando a base 10 e somando seus expoentes. ( x . 10 n )(y . 10 m ) = (x . y) . 10 n+ m Divisão: divide-se o primeiro coeficente pelo segundo, conservando a base 10, com o expoente resultante da subtração dos expontes. (x . 10 n ) / (y . 10 m )= (x :y) . 10 n - m Notação científica Colocar um número em notação científica significa transformá-lo em um produto de um coeficente ≥1 e < 10 por uma potência de base dez.Ex.: 200 + 2 . 10 2 . Ordem de grandeza É a potência de dez da qual o número mais se aproxima. Ex.: 1232 → 10 3 . RADICIAÇÃO n√a = b ↔ bn = a (n є N e n >1). (Obs.: Suplemento de Cálculo para Engenharia 16 a = radicando, √ = radical e n = índice da radiciação) a ≥ 0, e n par : n √a = b ;- n √a = -b ; a ≥ 0,e n ímpar: n √a = b ↔ b n = a a < 0,e n ímpar: n √-a = -b ↔ (-b)n = -a n √a n = a n √ab = n√a . n√b n√a ± m√a = (m ± n)√a n√a/b = n √a / n √b (n √a)m = n √a m n √ m√a = n . m √a a / √x = a . √x /x . √x = a√x / x(√x =fator racionalizante). LOGARITMAÇÃO Logaritmo loga b = c ↔ a c = b (Obs.: a = base do logaritmando, b = logaritmando e c = logaritmo). Propriedades logarítmicas loga 1 = 0. loga a = 1. loga a n = n. a loga b = b. logb a = logb c ↔ a = c. loga (M . N) = loga M + loga N. loga M/N = loga M – loga N. loga 1/N = - loga N. loga M N = N . loga M. loga N √M = 1/N . loga M. logb N = loga N / loga b. logb a = 1 / loga b ou logb a . loga b = 1. Cologaritmo: cologa N = - loga N ou cologa N = loga 1/N. EXPRESSÕES MATEMÁTICAS Expressão numérica É uma relação entre números definidos que pode ser resolvida ou simplificada. Ex.: 3+ 2. Expressão algébrica (Polinômio): É uma relação entre números definidos e indefinidos (incógnitas) que pode ser simplificada. Ex.: 3x + 2x. Expressões numéricas / algébricas – ordem de resolução: 1) Parênteses: ( ); 2) Colchetes: [ ]; 3) Chaves: { }. 1) Potenciação (Exponenciação), Radiciação, Logaritmação; 2) Multiplicação e Divisão; 3) Adição e Subtração. Soma e subtração de sinais Sinais iguais: soma-se os números e conserva-se o sinal.Ex.: 2 + 2 = 4. Sinais diferentes: subtrai-se os módulos dos números (do módulo maior se subtrai o menor) e conserva-se o sinal do número de maior módulo.Ex.: 3 – 4 = -1. Multiplicação e divisão de sinais Sinais iguais: resultado positivo.Ex.: 2 x 56 = 112. Sinais diferentes: resultado negativo.Ex.: 2(-35)= -70. MMC e MDC de expressões numéricas / algébricas MDC (Máximo Divisor Comum) é o produto dos fatores primos comuns,tomadoscom seus menores expoentes. Cálculo do MDC: 1) Decompõe-se os números em fatores primos. 2) O MDC é o produto dos fatores primos comuns. Ex.: MDC de 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 e 90 = 2 x 3 x 3 x 5.MDC(36,90) = 2 x 3 x 3.Portanto m.d.c.(36,90) = 18. Cálculo por meio do processo das divisões sucessivas: 1º) dividimos o número maior pelo número menor. Ex.:48 / 30 = 1 (com resto 18). 2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente: 30 / 18 = 1 (com resto 12),18 / 12 = 1 (com resto 6),12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata). Suplemento de Cálculo para Engenharia 17 3º) O divisor da divisão exata é 6. Então MDC (48,30) = 6. Números primos entre si: Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1.Ex.: 35 e 24. Obs.: Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados.Ex.: MDC (6,18,30) = 6. MMC (Menor Múltiplo Comum): é o produto dos fatores primos comuns e não- comuns,tomados com seus maiores expoentes.Também pode ser definido como o produto de todos os fatores primos obtidos na decomposição simultânea dos números. Polinômios: Monômio: um só termo.Ex.: 3x. Binômio: 2 termos.Ex.: 3x + 2y. Trinômio: 3 termos.Ex.: 3x + 2y + 5. Polinômio: 4 ou mais termos.Ex.: 3x + 2y + 5 + 7a. Obs.: 4t (4 = coeficente, t = parte literal). Termos semelhantes: são aqueles que têm a mesma parte literal.Ex.: 6x e 8x. Polinômio identicamente nulo (PIN): é o polinômio cujos coeficentes de todos os seus termos são nulos.Ex.: 0x + 0q. Grau de um polinômio: é o expoente máximo que ele possui.Ex.: x 2 + 3x + 6 é polinômio do 2º grau. Operações com polinômios Nas operações com polinômios, operam-se coeficentes com coeficentes e partes literais com partes literais. Soma/Subtração: só podem ser somados ou subtraídos polinômios de mesma parte literal. As partes literais permanecem inalteradas. Ex:6x + 4y 2 – 2x – 5y 2 =4x – y 2 . Multiplicação: multiplica-se cada termo de um polinômio por cada termo de outro polinômio. Ex: ( x 2 ) . (-3x 3 ) = -3x 5 . Divisão de monômios/de polinômios por monômios: .divide-se cada termo de um polinômio/monômio por um monômio. Ex.: (8x 4 y 2 ) : (-2xy) = -4x 3 y. Divisão de polinômios: Sejam dois polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. Efetuar a divisão de P por D é determinar dois polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as duas condições abaixo: 1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0 Nessa divisão: P(x) é o dividendo. D(x) é o divisor. Q(x) é o quociente. R(x) é o resto da divisão. Obs: quando se tem R(x)=0 diz-se que a divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por D(x) ou D(x) é divisor de P(x). Ex.:Determinar o quociente de P(x)=x 4 +x 3 - 7x 2 +9x-1 por D(x)=x 2 +3x-2. Resolução: Aplicando o método da chave, tem-se: )( 12 23 15 462 1952 )( 12 23 23 197 2 2 23 23 2234 2234 xRx xx xx xxx xxx xQxxxxx xxxxxx Verifica-se que: Se D(x) é divisor de P(x) R(x) = 0 MDC e MMC de polinômios: Ex.: 4x 3 y 6 e 6x 5 y 2 MDC = 2x 3 y 2 e MMC = 12x 5 y 6 . Produtos Notáveis: Quadrado da soma indicada de dois termos: (a + b) 2 = a 2 + 2ab +b 2 Quadrado da diferença ind. de dois termos: (a – b) 2 = a 2 –2ab + b 2 Produto da soma pela dif.de dois termos: (a + b) . (a – b) = a 2 – b 2 Cubo da soma de dois termos: )( )( )(D )( xQxR xxP Suplemento de Cálculo para Engenharia 18 (x + y) 3 = (x + y)(x + y)(x + y) =(x + y) 2 . (x + y) = (x 2 + 2xy + y 2 ) . (x + y) = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 Cubo da diferença de dois termos: (x – y) 3 = (x – y)(x – y)(x – y) = (x – y) 2 . (x – y) = (x 2 –2xy + y 2 ) . (x – y) = x 3 – 3x 2 y + 3xy 2 – y 3 Quadrado da soma de três termos: (a + b + c) 2 = (a + b + c)(a + b + c) = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac Soma de dois cubos: a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) Diferença de dois cubos: a 3 – b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) Fatoração Algébrica: Colocação do fator comum em evidência: Ex:2ax -bx 2 =2x(a – 2bx) Agrupamento: Ex:4ax –2a + 6xy –3y =2a(2x –1) +3y(2x – 1) = (2x - 1)(2a + 3y) Trinômio Quadrado Perfeito: Ex:9x 2 +12xy +4y 2 =(3x +2y) 2 Diferença de dois quadrados: x 2 – y 2 = (x + y)(x – y ) Fatoração do trinômio do 2º grau: ax 2 + bx + c = a(x –x1) . (x – x2) Fatoração do polinômio de 3º grau: ax 3 +bx 2 + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3) Fatoração trigonométrica: sen x + sen y = 2 . sen x + y . cos x – y 2 2 sen x – sen y = 2 . sen x – y . cos x + y 2 2 cos x + cos y = 2 . cos x + y . cos x – y 2 2 cos x – cos y = - 2 . sen x + y . sen x – y 2 2 FUNÇÕES EQUAÇÕES Igualdades que permitem descobrir valores indefinidos (chamados incógnitas ou variáveis). Uma equação pode ter uma ou mais incógnitas. Usualmente: x: primeira incógnita; y: segunda incógnita; z: terceira incógnita. Os valores das incógnitas que tornam a sentença verdadeira são chamados de raízes da equação e comporão o Conjunto Verdade (V) ou Conjunto Solução (S) da equação. A equação é composta por dois membros separados por um sinal de igual (=). Ao passar um termo de um membro para outro, deve-se trocar o sinal. Igualdade Representada por a = b, sendo a e b numerais (nomes) diferentes para um mesmo número, ou expressões numéricas equivalentes. Propriedades da igualdade Reflexiva: a = a, para qualquer número a. Simétrica: se a = b, então b = a, para quaisquer números a e b. Transitiva: se a = b e b = c, então a = c, para quaisquer números a, b e c. Princípios de equivalência a = b → a + c = b + c a = b → a . c = b . c Orientações para a resolução de problemas envolvendo equações 1) Ler atentamente o problema; 2) Anotar os dados a serem considerados; 3) Estabelecer quais são as incógnitas; 4) Escrever as condições sobre as incógnitas - se devem ser números naturais,inteiros, etc; 5) Montar as equações,traduzindo os dados do problema em linguagem matemática; 6) Resolver as equações; 7) Verificar se as raízes encontradas obedecem às condições sobre as incógnitas; 8) Substituir as raízes encontradas nas equações para verificar se a igualdade está correta – se os dois membros se igualam; 9) Observar se as soluções encontradas têm implicação lógica; 10) Escrever a resposta do problema. Suplemento de Cálculo para Engenharia 19 INEQUAÇÕES Expressões que não admitem raízes definidas, mas dão idéia de onde se localizam,através de princípios de superioridade(>,≥) e inferioridade(<,≤). Ex: 2x + 7 ≤ 12 → x ≤ 5/2. FUNÇÕES Relações entre duas grandezas variáveis (x e y) em que o valor de uma delas (x) depende, sob determinadas condições, do valor da outra (y). Formalmente, é uma relação especial entre dois conjuntos Ae B de modo que todos os elememtos de A (x) estejam associados a um elemento de B (y) e que cada elemento de A (x) está associado a um único elemento de B (y). Domínio, contradomínio e conjunto imagem Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função e o conjunto B, contradomínio da função. Para cada x є A, o elemento y є B chama-se imagem de x pela função f ou o valor assumido pela função f para x є A e o representamos por f(x) (lê-se: f de x). Assim, y = f(x). Observações Ao comparar duas ou mais funções, tem-se, usualmente: f(x): primeira função; g(x): segunda função; h(x): terceira função, seguindo assim a ordem alfabética a partir de f, em minúsculas. Alguns gráficos de funções Função f(x) = x Função f(x) = 1 ⁄ x Função modular f(x) = |x| Função quadrática f(x) = x² Função cúbica f(x) = x³ Função raiz quadrada f(x) = √x Função exponencial de base e: f(x) = e x Suplemento de Cálculo para Engenharia 20 Função logarítmica natural f(x) = ln x Função seno f(x) = sen (x) Função cosseno f(x) = cos (x) Função tangente f(x) = tg (x) (tg = sen ⁄ cos) Função secante f(x) = sec (x) (sec = cos ⁄sen = 1 ⁄ cos(x) ). Função cossecante f(x) = cosec (x) (cosec = 1 ⁄ sen (x) ). Função cotangente f(x) = cotg (x) (cotg (x) = 1 ⁄ tg(x) ). Suplemento de Cálculo para Engenharia 21 LIMITES Noção intuitiva de limite Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que se aproximem de 1, pela sua direita (valores maiores que 1) e pela esquerda (valores menores que 1) e calcular o valor correspondente de y: X y = 2x + 1 1,5 4 1,3 3,6 1,1 3,2 1,05 3,1 1,02 3,04 1,01 3,02 0,5 2 0,7 2,4 0,9 2,8 0,95 2,9 0,98 2,96 0,99 2,98 Notamos que à medida que x se aproxima de 1, y se aproxima de 3, ou seja, quando x tende para 1 (x 1), y tende para 3 (y 3), ou seja: Observamos que quando x tende para 1, y tende para 3 e o limite da função é 3. Esse é o estudo do comportamento de f(x) quando x tende para 1 (x 1). Nem é preciso que xassuma o valor 1. Se f(x) tende para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de f(x) quando x 1 é 3, embora possam ocorrer casos em que para x = 1 o valor de f(x) não seja 3. De forma geral, escrevemos: se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) se aproxima de b (f(x) b). Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos: Podemos notar que quando x se aproxima de 1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é que procuramos o comportamento de y quando x 1. E, no caso, y 3. Logo, o limite de f(x) é 3. Escrevemos: Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 1. No entanto, ambas têm o mesmo limite. Suplemento de Cálculo para Engenharia 22 Propriedades dos Limites 1ª) O limite da soma é a soma dos limites. O limite da diferença é a diferença dos limites. Exemplo: 2ª) O limite do produto é o produto dos limites. Exemplo: 3ª) O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero. Exemplo: 4ª) Exemplo: 5ª) Exemplo: 6ª) Exemplo: 7ª) Exemplo: 8ª) Exemplo: Limites Laterais Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou pela sua direita, escrevemos: Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou pela sua esquerda, escrevemos: Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou sejas: Suplemento de Cálculo para Engenharia 23 Se Se Continuidade Dizemos que uma função f(x) é contínua num ponto a do seu domínio se as seguintes condições são satisfeitas: Propriedade das Funções contínuas Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então: f(x) g(x) é contínua em a; f(x) . g(x) é contínua em a; é contínua em a . Limites envolvendo infinito Conforme sabemos, a expressão x (x tende para infinito) significa que x assume valores superiores a qualquer número real e x (x tende para menos infinitos), da mesma forma, indica quex assume valores menores que qualquer número real. Exemplo: a) , ou seja, à medida que x aumenta, y tende para zero e o limite é zero. b) , ou seja, à medida que x diminui, y tende para zero e o limite é zero. c) , ou seja, quando x se aproxima de zero pela direita de zero ou por valores maiores que zero, y tende para o infinito e o limite é infinito. d) , ou seja, quando x tende para zero pela esquerda ou por valores menores que zero, ytende para menos infinito Limite de uma função polinomial para Seja a função polinomial . Então: Demonstração: Mas: Logo: De forma análoga, para , temos: Suplemento de Cálculo para Engenharia 24 Exemplos: Limites trigonométricos Demonstração: Para , temos sen x < x < tg x. Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, vem: Invertendo, temos: Mas: g(x) < f(x) < h(x) são funções contínuas e se , então, . Logo, . Limites exponenciais Neste caso, e representa a base dos logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se do número irracionale cujo valor aproximado é 2,7182818. Veja a tabela com valores de x e de . x 1 2 3 10 100 1 000 2 2,25 2,3703 2,5937 2,7048 2,7169 Notamos que à medida que . De forma análoga, efetuando a substituição , temos: Ainda de forma mais geral, temos : As duas formas acima dão a solução imediata a exercícios deste tipo e evitam substituições algébricas. Se ,então . Mas: Logo: Como x 0 , então u 0. Portanto: Suplemento de Cálculo para Engenharia 25 Generalizando a propriedade acima, temos . DERIVADAS A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0. A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos: y' , dy/dx ou f ' (x). A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por: ALGUMAS DERIVADAS BÁSICAS Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x. a, b, c e n são constantes. Derivada de uma constante Derivada da potência Portanto: Soma / Subtração Produto por uma constante Derivada do produto Derivada da divisão Potência de uma função Derivada de uma função composta Regra da cadeia A fórmula: é conhecida como regra da cadeia.Ela pode ser escrita como: Outra fórmula similar é a seguinte: Derivada da função inversa A inversa da função y(x) é a função x(y): Derivadas de funções trigonométricas e suas inversas Suplemento de Cálculo para Engenharia 26 Derivadas de funções exponencial e logarítmica Derivada do logaritmo natural Derivada do logaritmo em outras bases Exponencial Lembre-se da definição da função logarítmica com base a > 0: Derivadas das funções hiperbólicas e suas inversas Lembre-se das definições das funções trigonométricas: Derivadas de alta ordem Seja y = f(x). Temos: A segunda derivada é dada por: A terceira derivada é dada por: Suplemento de Cálculo para Engenharia 27 A enésima derivada é dada por: Em alguns livros, a seguinte notação também é usada: INTEGRAIS INTEGRAIS INDEFINIDAS Da mesma forma que a adição e a subtração, a multiplicação e a divisão, a operação inversa da derivação é a antiderivação ou integração indefinida. Dada uma função g(x), qualquer função f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral indefinida ou antiderivada de f(x). Exemplos: 1. Se f(x) = X 5 /5, então é a derivada de f(x). Uma das antiderivadas de f'(x) = g(x) = x 4 é X 5 /5. 2. Se f(x) = x 3 , então f'(x) = 3x 2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x 2 é f(x) = x 3 . 3. Se f(x) = x 3 + 4, então f'(x) = 3x 2 = g(x). Uma das antiderivadas ou integrais indefinidas de g(x) = 3x 2 é f(x) = x 3 + 4. Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que tanto x 3 quando x 3 +4 são integrais indefinidas para 3x 2 . A diferença entre quaisquer destas funções (chamadas funções primitivas) é sempre uma constante, ou seja, a integral indefinida de 3x 2 é x 3 +C, onde C é uma constante real. Propriedades das integrais indefinidas São imediatas as seguintes propriedades: 1ª. , ou seja, a integral da soma ou diferença é a soma ou diferença das integrais. 2ª. , ou seja, a constante multiplicativa pode ser retirada do integrando. 3ª. , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria função. Integração por substituição Seja expressão . Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem: Suplemento de Cálculo para Engenharia 28 , admitindo que se conhece . O método da substituição de variável exige a identificação de u e u' ou u e du na integral dada. INTEGRAIS DEFINIDAS Seja uma função f(x) definida e contínua num intervalo real [a, b]. A integral definida de f(x), de a até b, é um número real, e é indicada pelo símbolo: onde: a é o limite inferior de integração; b é o limite superior de integração; f(x) é o integrando. Se representa a área entre o eixo x e a curva f(x), para Se representa a área entre as curvas, para Se f(x) ≥ o para a ≤ x ≤ c e f(x) ≤ 0 para c ≤ x ≤ b, então a área entre f(x) e o eixo x, para a ≤ x ≤ b, é dada por: Se f(x) ≥ g(x), a ≤ x ≤ c, e f(x) ≤ g(x), c ≤ x ≤ b, então a área entre f e g, a ≤ x ≤ b, é dada por: Suplemento de Cálculo para Engenharia 29 A integral definida, nos exemplos vistos, representa uma área, o que ocorre em muitos casos, e é uma das formas de se apresentar a integral definida. De forma geral, para , a área limitada por f(x) e o eixo x, é dada por ,que pode representar a soma das áreas de infinitos retângulos de largura e cuja altura é o valor da função num ponto do intervalo da base: Subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos através das abscissas x0=a, x1, x2,...,xn=b, obtemos os intervalos (a, x1), (x1, x2), ...., (xn-1, b). Em cada intervalo (xi- 1, xi) tomemos um ponto arbitrário hi. Seja De acordo com a figura, os retângulos formados têm área Então, a soma da áreas de todos os retângulos é: que nos fornece um valor aproximado da área considerada. Aumentando o número n de subintervalos , tal que tenda a zero e o número n de subintervalos tenda a infinito , temos as bases superiores dos retângulos e a curva praticamente se confundindo e, portanto, temos a área considerada. Simbolicamente, escrevemos: Exemplo: Seja a área entre y = x e o eixo x, para : Suplemento de Cálculo para Engenharia 30 Esta área é dada por: Podemos notar que o processo do limite nos leva ao resultado procurado. Dividindo o intervalo [0, b] em n subintervalos, cada um terá largura . Sejam, então, os pontos . Como f(x) = x, então . CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA O método que temos para o cálculo da área ou da integral definida, no caso, é ainda muito complicado, conforme vimos no exemplo anterior, pois encontraremos somas bem piores. Para tal, consideremos a área das figuras quando movemos a extremidade direita: Suplemento de Cálculo para Engenharia 31 Se a área é dada por A(x), então A(a) = 0, pois não há área alguma. Já A(x) dá a área da figura 1, A(b), a área entre ou seja: ou seja, A(x) é uma das antiderivadas de f(x). Mas sabemos que se F(x) é antiderivada qualquer de f(x), então A(x) = F(x) + C. Fazendo x = a, temos: A(a) = F(a) + C = 0 (A(a) = 0) Logo, C = - F(a) e A(x) = F(x) - F(a). Portanto: (Teorema Fundamental do Cálculo) ou ainda, . Exemplos: Note que conseguimos uma forma de calcular integrais definidas e áreas sem calcular somas complicadas e usando apenas as antiderivadas. PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA UMA VISÃO GERAL DOS MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO Métodos de abordagem dos problemas de integração Tecnologia - Os programas CAS, tais como Mathematica, Maple e Derive, são capazes de calcular integrais extremamente complicadas, e cada vez mais instalações modernas de pesquisa estão sendo equipadas com tais programas. Tabelas - Antes do desenvolvimento dos programas CAS, os cientistas dependiam enormemente de tabelas para o cálculo das difíceis integrais que surgem nas aplicações. Tais tabelas foram compiladas por muitos anos, incorporando habilidade e experiência de muita gente. Métodos de transformação - São métodos para converter integrais não- conhecidas em conhecidas. Eles incluem substituição u, manipulação Suplemento de Cálculo para Engenharia 32 algébrica do integrado, entre outros métodos. Nenhum dos três métodos é perfeito; por exemplo, os programa CAS frequentemente encontram integrais que não são capazes de integrar e produzem respostas que são, às vezes, excessivamente complicadas, tabelas não são exaustivas e podem não incluir uma integral de interesse,e os métodos de transformação dependem da engenhosidade humana,que pode não ser adequada a problemas difíceis. Formulário CONSTANTES, POTÊNCIAS E EXPONENCIAIS1. 2. 3. 4. 5. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1. 2. 3. 4. FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 1. 2. 3. 4. FUNÇÕES ALGÉBRICAS (a>0) 1. 2. 3. 4. INTEGRAÇÃO POR PARTES Dedução da Fórmula para a Integração por Partes Se f e g são funções diferenciáveis, então, pela regra de diferenciação do produto, Integrando ambos os lados, obtemos ou ou Uma vez que a integral à direita irá produzir uma outra constante de integração, não há necessidade de manter o C nesta última equação; assim sendo, obtemos (1) a qual é chamada de fórmula de integração por partes. Usando esta fórmula, às vezes podemos tornar um problema de integração mais simples. Na prática, é usual reescrever (1) fazendo u=f(x), du=f '(x)dx , Isso dá lugar à seguinte forma alternativa para (1): (2) Exemplo Calcule Solução. Para aplicar (2), precisamos escrever a integral na forma Uma maneira de fazer isso é colocar Suplemento de Cálculo para Engenharia 33 para que, Deste modo,a partir de(2) Integração por Partes para Integrais Definidas Para integrais definidas, a fórmula correspondente a (2) é: Exemplo Calcule Solução. Seja Assim, Mas logo Fórmulas de Redução A integração por partes pode ser usada para obter as fórmulas de redução para integrais. Estas fórmulas expressam uma integral com potência de função em termos de uma integral que envolve uma potência mais baixa daquela função. Por exemplo, se n for um inteiro positivo e n 2, então a integração por partes pode ser usada para obter as fórmulas de redução. (2) Para ilustrar como essas fórmulas são obtidas,vamos deduzir a fórmula (2). para que Transpondo o último termo para o lado esquerdo obtém-se da qual tem-se(2). Exemplo Calcule Solução. A partir de (2),com n=4 INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS Integração de Potência de Seno e Cosseno Na seção fórmulas de redução,obtivemos as fórmulas No caso onde n=2,estas fórmulas ficam Suplemento de Cálculo para Engenharia 34 Podem-se obter formas alternativas para estas fórmulas de integração usando as identidades trigonométricas. que provêm das fórmulas para o ângulo duplo Essas identidades dão lugar a Integração de produtos de senos e cossenos Se m e n são inteiros positivos, então a integral pode ser calculada de diversas maneiras,dependendo de m e n serem pares ou ímpares. Exemplo Integração de Potências de Tangente e de Secante O procedimento para integração de potências de tangente e de secante segue paralelamente os do seno e co-seno. A idéia é usar as seguintes fórmulas de redução para reduzir o expoente do integrando até que a integral resultante possa ser calculada: (1) e (2) No caso onde n for ímpar,o expoente pode ser reduzido a um,nos deixando com o problema de integrar tgx ou sec x. Estas integrais são dadas por: A fórmula pode ser obtida escrevendo-se A fórmula requer um truque. Escrevemos As seguintes integrais ocorrem frequentemente,e vale a pena destacar: A fórmula(2) já foi vista, uma vez que a derivada de tgx é . A fórmula(1) pode ser obtida aplicando-se a fórmula de redução, com n=2, ou alternativamente,usando-se a identidade para escrever . Estudando Cálculo com o Wolfram Alpha O Wolpham Alpha é um mecanismo de conhecimento computacional desenvolvido Suplemento de Cálculo para Engenharia 35 pela Wolfram Research. É um serviço on-line que responde às perguntas diretamente, mediante o processamento da resposta extraída de base de dados estruturados, em lugar de proporcionar uma lista dos documentos ou páginas web que poderiam conter a resposta, tal como fazem os mecanismos de busca. Foi anunciado em março de 2009 pelo físico britânico Stephen Wolfram, e esta em funcionamento desde 15 de maio de 2009. O endereço de acesso é www.wolframalpha.com. Dicas 1) O WA funciona como um site de busca. Se não se souber escrever em linguagem matemática, é possível digitar as frases completas em inglês. 2) Abreviaturas e notações: - sqrt = abreviatura de "square root" (raiz quadrada); - cbrt = abreviatura de "cubic root" (raiz cúbica); - Para outras raízes, digite o nome da raiz em inglês, na forma ordinal. Ex.: Fourth root of (raiz quarta de...), fifth root of (raiz quinta de...); - int = integral indefinida; - int (l, L) = integral definida, sendo "l" o limite inferior e "L" o limite superior do intervalo (separados por vírgula e entre parênteses); - dy/dt = derivada de y em relação a x; - x^2 = x². Suplemento de Cálculo para Engenharia 36 ANEXOS SÍMBOLOS LÓGICOS E MATEMÁTICOS Símbolo Descrição Mais (adição) - Menos (subtração) : / Dividido (divisão) ∗ ∙ Vezes (multiplicação) = Igual a Diferente de Aproximadamente ~ Semelhante Maior do que Maior do que ou igual a ≫ Muito maior do que Menor do que Menor do que ou igual a ≪ Muito menor do que Mais ou menos Menos ou mais Proporcional Fatorial Infinito Por cento Por mil Grau Portanto Porque ¬ Não ^ E V Ou Qualquer Existe Não existe Suplemento de Cálculo para Engenharia 37 Conjunto ℝ Conjunto dos números reais ℤ Conjunto dos números inteiros ℕ Conjunto dos números naturais ℚ Conjunto dos números racionais ℂ Conjunto dos números complexos Interseção ⋓ Dupla intersecção União ⋒ Dupla união Está contido em Não está contido em Contém Pertence Não pertence Conjunto vazio / Diâmetro Raiz quadrada Congruente Ângulo ∥ Paralelo a Perpendicular a Diferença ou incremento finito Equivalente a Implica que Integral D Diferencial total Diferencial parcial Somatório Lim Limite f(x) Função de x Log Logaritmo decimal Logaritmo natural |x| Valor absoluto de x Suplemento de Cálculo para Engenharia 38 ALFABETO GREGO LETRA MAIÚSCULA MINÚSCULA Alfa Beta Gama Delta Épsilon Zeta Eta Teta Iota Capa Lambda Mu Nu Csi Ômicron Pi Ro Sigma Tau Upsilon Fi Chi Psi Ômega Suplemento de Cálculo para Engenharia 39 CALENDÁRIO PERMANENTE (1901 - 2092) Tabela A - Anos Tabela B - Meses 1901 - 2000 | 2001 - 2092 J F M A M J J A S O N D 25 53 81 09 37 65 4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2 26 54 82 10 38 66 5 1 1 4 6 2 4 0 3 5 1 3 27 55 83 11 39 67 6 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4 28 56 84 12 40 68 0 3 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6 01 29 57 85 13 41 69 2 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0 02 30 58 86 14 42 70 3 6 6 2 4 0 2 5 1 3 6 1 03 31 59 87 15 43 71 4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2 04 32 60 88 16 44 72 5 1 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4 05 33 61 89 17 45 73 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5 06 34 62 90 18 46 74 1 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6 07
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