suplemento de cálculo livro

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SUPLEMENTO DE CÁLCULO PARA ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
http://ejweir.deviantart.com/art/Newton-vs-Leibniz-48981971 
 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
2 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI 
PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL (PET) 
“MATERIAIS E INOVAÇÃO TECNOLÓGICA” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUPLEMENTO DE CÁLCULO PARA ENGENHARIA 
 
Material paradidático de cálculo diferencial e integral I para alunos de engenharia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apesar de todas as revisões, é inevitável que apareçam alguns erros gramaticais ou 
de outras naturezas. Pedimos que os erros detectados, bem como possíveis 
omissões de créditos, sugestões e críticas sejam enviados para o e-mail 
petmecanicaufsj@gmail.com para que assim possamos fazer as devidas correções. 
 
 
SÃO JOÃO DEL REI - MG 
1ª EDIÇÃO – 2012
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
3 
ÍNDICE 
 
APRESENTAÇÃO ............................................................................................................................. 4 
ASPECTOS GERAIS DA MATEMÁTICA........................................................................................... 5 
CONJUNTOS .................................................................................................................................... 9 
CONJUNTOS NUMÉRICOS .............................................................................................................. 9 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS ............................................................................................11 
EXPRESSÕES MATEMÁTICAS .......................................................................................................16 
FUNÇÕES ........................................................................................................................................18 
LIMITES............................................................................................................................................21 
DERIVADAS .....................................................................................................................................25 
INTEGRAIS ......................................................................................................................................27 
ANEXOS...........................................................................................................................................36 
BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................46 
 
 
 
 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
4 
 
APRESENTAÇÃO 
 
Cálculo I é uma das disciplinas que mais reprovam nas universidades. O Programa de 
Educação Tutorial (PET) “Materiais e Inovação Tecnológica” da UFSJ já realizava o "aulão" de 
Cálculo I, e, com base nas dificuldades recorrentes dos alunos, emergiu a ideia de desenvolver um 
material paradidático com os tópicos principais do cálculo e aplicações, para efeito de motivação e 
interdisciplinaridade. 
O material segue uma ementa enxuta, voltada para a compreensão dos principais conceitos, 
sem a necessidade de falar de todos os teoremas e seus corolários. Foi desenvolvido através de uma 
compilação tomando como fonte de pesquisa primária a internet, de modo a mostrar que muito 
conteúdo de qualidade pode ser extraído de fontes não muito formais de pesquisa. Entretanto, como 
fonte secundária e embasamento para filtragem da fonte primária, foram consultados livros 
conceituados de cálculo. 
Salienta-se que, pelo viés paradidático, o material não visa substituir os livros tradicionais, 
mas complementá-los com explicações mais sucintas. Recomenda-se fortemente que os livros 
indicados pelos professores sejam lidos, bem como a bibliografia recomendada por este material. 
Este trabalho não possui fins lucrativos, podendo ser reproduzido total ou parcialmente desde 
que seja mencionada a fonte, conforme licença Creative Commons. 
Os autores agradecem à Universidade Federal de São João del-Rei e ao Programa PET a 
oportunidade de realizar esse importante trabalho de apoio ao ensino universitário, bem como os 
professores do Departamento de Matemática (DEMAT), que nos ensinaram o que agora estamos 
multiplicando. 
 
Rafael Tadeu de Matos Ribeiro (idealizador) 
 
Sobre o PET 
O Programa de Educação Tutorial (PET) foi criado para apoiar atividades acadêmicas que 
integram ensino, pesquisa e extensão. Formado por grupos tutoriais de aprendizagem, o PET 
propicia aos alunos participantes, sob a orientação de um tutor, a realização de atividades 
extracurriculares que complementem a formação acadêmica do estudante e atendam às 
necessidades do próprio curso de graduação. O estudante bolsista e o não bolsista do Programa de 
Educação Tutorial podem receber certificado após o tempo mínimo de dois anos de participação no 
programa. Estudante e o professor tutor recebem apoio financeiro de acordo com a Política Nacional 
de Iniciação Científica. 
O grupo PET “Materiais e Inovação Tecnológica” foi fundado em 2010, tem como Tutor Prof. 
Dr. Antônio Luis Ribeiro Sabariz e atua no curso de Engenharia Mecânica da UFSJ, em toda a 
universidade e na sociedade, seguindo os pilares do programa PET: ensino, pesquisa e extensão. 
 
 
Esta obra foi licenciado sob uma Licença Creative Commons Atribuição-NãoComercial 3.0 
Não Adaptada: http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/deed.pt_BR 
 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
5 
ASPECTOS GERAIS DA 
MATEMÁTICA 
MATEMÁTICA 
É o estudo de padrões de quantidade, 
estrutura, mudanças e espaço. Na visão 
moderna, é a investigação de estruturas 
abstratas definidas axiomaticamente, usando 
a lógica formal como estrutura comum. 
Matemáticas aplicadas 
Consideram as grandezas em 
determinados corpos ou assuntos. 
Matemáticas mistas 
Consideram as propriedades da 
grandeza em certos corpos ou fenômenos 
particulares, como a Astronomia e a 
Mecânica. 
Matemáticas puras 
Estudam as propriedades da grandeza 
em abstrato, como a Geometria e a Álgebra. 
ÁREAS DA MATEMÁTICA 
Aritmética 
Estuda os números, suas propriedades 
e as operações que se podem efetuar com 
eles. Frequentemente utilizadas na vida 
cotidiana, são quatro as suas operações: 
adição, multiplicação, subtração e divisão. 
Álgebra 
É a divisão que utiliza símbolos como x 
e y, que se referem a quantidades 
desconhecidas. Na Álgebra simples, os 
símbolos significam números e, através deles, 
as quantidades podem ser determinadas. 
A Álgebra é muito usada em Física, 
Química, Economia e mesmo em Psicologia, 
pois os símbolos podem representar pessoas 
e a maneira como atuam, tornando possível 
prever suas ações. 
Cálculo (ou Cálculo Infinitesimal) 
É uma forma de álgebra que se ocupa 
de quantidades variáveis, usada em 
Engenharia e nas Ciências Físicas. Quando, 
por exemplo, uma espaçonave decola, atinge 
alta velocidade em pouco tempo; essa 
velocidade pode ser determinada em 
qualquer instante, graças ao cálculo. 
Geometria 
Ocupa-se de linhas, ângulos, figuras e 
sólidos. 
 Geometria Plana ou Euclidiana: ensinada 
nas escolas, é importante para os 
engenheiros e navegadores. A Geometria 
Plana ocupa-se das figuras com duas 
dimensões, como as circunferências. 
 Geometria Espacial: refere-se a figuras em 
três dimensões, como as esferas. 
 Geometria Analítica: é uma combinação 
de álgebra e geometria. Os símbolos 
algébricos são usados para representar 
linhas, figuras ou sólidos. Engenheiros e 
arquitetos frequentemente utilizam a 
Geometria no projeto de pontes e edifícios. 
Trigonometria 
Trata de ângulos e medidas 
relacionadas a triângulos.LÓGICA MATEMÁTICA 
Lógica Matemática é o uso da lógica 
formal para estudar o raciocínio matemático, 
tendo como objetivo o estudo dos métodos e 
princípios que permitem distinguir raciocínios 
válidos de outros não válidos. 
PASSOS PARA RESOLVER UMA 
PROBLEMA MATEMÁTICO COM 
FACILIDADE 
1) Ler o problema com atenção; 
2) Verificar quais são os dados e o que é 
perguntado no problema; 
3) Ler novamente o problema, para 
descobrir que operação deve ser feita; 
4) Se há mais de uma pergunta,resolver 
uma de cada vez; 
5) Armar a sentença matemática; 
6) Efetuar os cálculos; 
7) Escrever a resposta do problema. 
A IDEOGRAFIA MATEMÁTICA 
A ideografia (ou simbologia) é definida 
como um conjunto de símbolos ou 
ideogramas que exprimem diretamente 
determinadas idéias. 
Na matemática, o uso frequente de 
determinadas operações fez com que fosse 
necessário a adoção de sinais, de modo a 
tornar os processos de cálculo mais práticos 
e rápidos. 
Grande parte dos sinais matemáticos 
designam operações, mas há aqueles que 
representam características númericas e 
geométricas, além dos que constituem os 
algarismos. 
NÚMERO 
É a idéia de quantidade. O conceito de 
número na sua forma mais simples é 
claramente abstrata e intuitiva; entretanto, foi 
objeto de estudo de diversos pensadores. 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
6 
Pitágoras, por exemplo, considerava o 
número a essência e o princípio de todas as 
coisas; para Schopenhauer o conceito 
numérico apresenta-se "como a ciência do 
tempo puro". Outras definições: 
“Número é a relação entre a quantidade 
e a unidade” 
(Newton) 
“Número é um composto da unidade” 
(Euclides) 
“Número é o resultado da medida de 
uma grandeza” 
(Brennes) 
“Número é uma coleção de objetos de 
cuja natureza fazemos abstração” 
(Boutroux) 
“Número é o resultado da comparação 
de qualquer grandeza com a unidade” 
(Benjamin Constant) 
“Número é o movimento acelerado ou 
retardado” 
(Aristóteles) 
“Número é a representação da 
pluralidade” 
(Kambly) 
“Número é uma coleção de unidades” 
(Condorcet) 
“Número é a pluralidade medida pela 
unidade” 
(Schuller, Natucci) 
“Número é a expressão que determina 
uma quantidade de coisas da mesma 
espécie” 
(Baltzer) 
“Número é a classe de todas as classes 
equivalente a uma dada classe” 
(Bertrand Russell) 
ASSOCIAÇÕES NUMÉRICAS 
Quantitativas 
 Contagem: cada número é associado a um 
ser. A partir do zero, os números naturais (N) 
seguem em ordem crescemte até o último 
ser, ao qual estará associado o número que 
representa o tatal dos seres. 
 Medição: os números são utilizados por 
meio de instrumentos de medida, para medir 
as dimensões ou propriedades da natureza. 
Qualitativas 
 Enumeração: cada número é associado a 
um ser, de modo a dar-lhe identidade. 
 Ordenação: cada número é associado a 
um ser, de modo a sesignar uma ordem, 
posição, nível, hierarquia ou importância. 
Para isso são utilizados os numerais ordinais. 
NUMERAL 
É a representação escrita do número. 
Podem vir na forma ideográfica (de símbolos) 
ou por extenso. Ex.: 5, 1456, quarenta e 
nove. Existem cinco tipos de numeral: 
 Cardinal: são aqueles que utilizam os 
números naturais para a contagem de seres 
ou objetos, ou até designam a abstração das 
quantidades: os números em si mesmos. Ex.: 
1, dois, 6. 
 Ordinal: são aqueles que indicam a 
ordenação ou a sucessão numérica de seres 
e objetos. Ex.: 1º, quinto . 
 Multiplicativo: são aqueles que indicam 
uma quantidade equivalente a uma 
multiplicação. Ex.: dobro, triplo. 
 Fracionário: são aqueles que indicam 
partes, frações, sendo concordantes com os 
numerais cardinais. Ex.: metade, ¼. 
 Coletivo: são aqueles que indicam uma 
quantidade específica de um conjunto de 
seres ou objetos. Ex.: dúzia, dezena. 
ALGARISMO 
É cada dígito que compõe um numeral. 
Ex.: 123 
 2 é um algarismo 
 Valor Absoluto: é o valor do algarismo 
independente de sua posição no numeral. 
 Valor Relativo ou Posicional: é o valor do 
algarismo que depende de sua posição no 
numeral. A essa valoriazação dá-se o nome 
de Sistema de Posição. 
Ex.: 1324 
 O valor asoluto é 1. 
 O valor relativo é 1000. 
Algarismo significativo 
Algarismos signficativos de um número 
são todos os dígitos contados da esquerda 
para a direita, a partir do primeiro algarismo 
diferente de zero até o último algarismo 
diferente de zero. Ou, se houver vírgula no 
número, incluindo-se os zeros finais. 
Exemplos: 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
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0,1: há um algarismo significativo; 
10: há um algarismo significativo (1); 
1,0 x 10: há dois algarismos significativos; 
0,0012: há dois algarismos significativos (1 e 
2). 
Nas indicações de medidas, os 
algarismos significativos indicam o grau de 
certeza ou incerteza. Exemplo: o velocímetro 
de um carro aponta que ele está entre os 90 
km/h e os 91 km/h. Observa-se que está mais 
próximo de 90. Escreve-se então a medida 
com três algarismos significativos: 90,2 km/h. 
O último algarismo significativo indica 
uma incerteza em relação à medida. Não se 
pode escrever 90,20 km/h quando não se 
sabe se o terceiro algarismo é correto, o que 
aumenta a dúvida em relação ao quarto 
algarismo. 
Métodos analíticos de representação dos 
números 
 Decomposição de um número: consiste 
na colocação na forma de soma dos valores 
relativos dos algarismos que compõem o 
numeral, da esquerda para a direita. 
 Ex.: 528 → 8 
 20 500 + 20 + 8 
 500 
 Fatoração de um número: consiste na 
divisão do número pelos menores números 
inteiros possíveis até reduzi-lo a 1 e na 
colocação desses divisores na forma de 
produto. 
Ex.: 20 2 
 10 2 2 
.
 2 
.
 5 = 2
2 . 
5 
 5 5 
 1 
NUMERAÇÃO 
É o modo como empregamos um 
mínimo de símbolos e palavras na 
representação dos números. 
Sistema de numeração 
É o conjunto de um mínimo de regras 
para indicarmos os números, ou seja, é um 
sistema de contagem. 
Base de um sistema de numeração 
É o conjunto de nomes ou símbolos 
necessários para representarmos qualquer 
número. Um número a na base n é 
representado assim: (a)n. 
Exemplos: 
34 = (34)10 ; 
456 = (456)10 ; 
(10111)2 = (23)10 = 23. 
Sistema de numeração decimal 
Sistema de números em que uma 
unidade de ordem vale 10 vezes a unidade de 
ordem imediatamente anterior. Utiliza 
somente os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9, 0 para escrever todos os números, ou seja, 
como base para o sistema de numeração. 
Obedece a dois princípios: 
 Princípio da Posição Decimal: todo 
algarismo colocado à esquerda de outro tem 
um valor 10 vezes maior do que teria se 
estivesse no lugar desse outro. 
 Princípio da Posição Geral: todo 
algarismo colocado à esquerda de outro 
representa unidades de ordem superior à 
ordem desse outro. 
QUADRO VALOR-LUGAR 
3ª CLASSE 2ª CLASSE 1ª CLASSE 
MILHÕES MILHARES 
UNIDADES 
SIMPLES 
9ª 
ord. 
8ª 
ord. 
7ª 
ord. 
6ª 
ord. 
5ª 
ord. 
4ª 
ord. 
3ª 
ord. 
2ª 
ord. 
1ª 
ord. 
cent. dez. unid. cent. dez. unid. cent. dez. unid. 
Sistema binário de numeração 
Empregam-se somente os algarismos 0 
e 1 (base de numeração) e a contagem é feita 
de 2 em 2. 
É um sistema mais econômico, no 
sentido de quantidade de símbolos diferentes 
a serem empregados. 
Pode-se escrever o número 178 no 
sistema binário como 178 = 1x128 + 0x64 
+1x32 + 1x16 + 0x8 + 0x4 + 1x2 + 0x0 = 
10110010, em que escreve-se apenas os 
dígitos que multiplicamas potências de 2 (2, 
4, 8, 32, 64, 128 ...). 
Observação: Os computadores empregam o 
sistema binário, traduzindo o algarismo 1 pela 
passagem de corrente elétrica (circuito 
fechado - lâmpada acesa) e o algarismo 0 
pela não passagem de corrente elétrica 
(circuito aberto - lâmpada apagada). A leitura 
dos números pelo computador é feita de 
acordo com as "aberturas" e/ou 
"fechamentos" à passagem de corrente 
elétrica nos circuitos. 
A forma como a arquitetura de um 
processador foi elaborada faz com que ele se 
comunique apenas através de “chaves” 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
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positivas e negativas, assumindo valores 0 e 
1. Isso significa que para cada execução o 
computador realiza milhares de operações 
apenas usando as “chaves” 0 e 1. 
A menor unidade de informação que 
um computador pode armazenar é esse 
binômio (0 ou 1), chamado de Código Binário 
ou Bit (do inglês Binary Digit), que é a 
linuagem de máquina usada pelos 
computadores. 
A unidade padrão de medida na 
informática é o Byte (Bynary Term, ou Termo 
Binário), que é o conjunto de 8 Bits. A um 
caractere, como uma letra, é associado um 
Byte. 
Para os computadores, representar 256 
números binários é suficiente. Por isso, os 
bytes possuem 8 bits. Basta fazer os cálculos. 
Como um bit representa dois valores (1 ou 0) 
e um byte representa 8 bits, basta fazer 2 (do 
bit) elevado a 8 (do byte) que é igual a 256. A 
uma metade de um byte, dá-se o nome de 
Nibble ou Semioctecto. 
Utiliza-se a base 2 (possibilidades 0 ou 
1) e o expoente 10 para os próximos padrões 
métricos de dados no computador. Desse 
modo, as grandezas variam a cada 2
10
 ou 
1024 bytes. 
1 Byte = 8 bits 
1 Kilobyte (KB) = 1024 bytes 
1 Megabyte (MB) = 1024 kilobytes 
1 Gigabyte (GB) = 1024 megabytes 
1 Terabyte (TB) = 1024 gigabytes 
1 Petabyte (PB) = 1024 terabytes 
1 Exabyte (EB) = 1024 petabytes 
1 Zettabyte (ZB) = 1024 exabytes 
1 Yottabyte (YB) = 1024 zettabytes 
Sistema octal de numeração 
Emprega-se a contagem de 8 em 8, 
utilizando somente os algarismos: 0, 1, 2, 3, 
4, 5, 6 e 7. 
Sistema hexadecimal de numeração 
Emprega-se a contagem de 16 em 16, 
utilizando apenas os símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 
6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 
Mudança de base de numeração 
Abaixo, um exemplo de mudança de 
base. O número 43 na base 10 foi convertido 
para 101011 na base 2. A leitura deve ser 
feita da direita para a esquerda. 
 
Utiliza-se, também, a notação 
exponencial para mudar a base de um 
número. No exemplo o número 109 na base 
10 é transformado no número 414 na base 5 
pela divisão. Depois, o número 414 na base 5 
é transformado no número 109 na base 10 
pela notação exponencial. 
 
 
 
DESENHO E ESBOÇO MATEMÁTICO 
Desenho 
Figura ilustrativa que representa uma 
cena ou paisagem, sendo fiel à realidade, 
tanto no âmbito geométrico quanto no âmbito 
morfocromático. 
Esboço matemático 
Esboço ou esquema que põe em 
evidência as características matemático-
geométricas. Todo esquema é, por definição, 
uma figura acompanhada de observações. No 
modelo matemático, as cores são 
desprezadas e a preocupação é reservada a 
apontar cálculos, medidas e graduações de 
ângulos, além de simetrias, paralelismos, 
perpendicularidades e obliquidades. 
PORQUE ESCOLHER UMA PROFISSÃO 
RELACIONADA COM A MATEMÁTICA 
Matemática ensina paciência, 
disciplina, e a habilidade de resolver 
problemas passo a passo. Para aqueles com 
um fundo substancial em matemática, um 
número ilimitado de oportunidades de carreira 
estão disponíveis. De acordo com o Jobs 
Rated Almanac , uma publicação do World 
Almanac Books of New York, carreiras que 
exigem um fundo muito forte em matemática 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
9 
foram listadas como os cinco "melhores" 
empregos. Elas foram: 
 Engenheiro; 
 Atuário; 
 Analista de sistemas; 
 Programador de computadores; 
 Matemático. 
 
 CONJUNTOS 
Por definição, um conjunto é a reunião de um 
ou mais elementos semelhantes. 
ELEMENTOS DE UM CONJUNTO 
Se um elemento a pertence a um conjunto A, 
escrevemos 
a Є A 
INCLUSÃO 
Se um conjunto B está contido no conjunto A, 
isso significa dizer que todos os elementos de 
B também são elementos de A e denotamos 
por: 
B С A 
SUBCONJUNTOS E CONJUNTO VAZIO 
Todo conjunto possui um outro conjunto 
chamado conjunto vazio (denotado por ᴓ) 
além de outros conjuntos menores, que são 
chamados de subconjuntos do conjunto 
original. Esses subconjuntos possuem uma 
relação de inclusão com o conjunto, ou, na 
linguagem usual, uma relação de continência. 
INTERSEÇÃO 
Um conjunto pode ter elementos em comum 
com outro, sem precisar estar contido nele. À 
totalidade de elementos que pertencem 
concomitantemente a dois ou mais conjuntos 
damos o nome de interseção e denotamos 
por 
A ∩ B 
UNIÃO 
Tomando os elementos de dois ou mais 
conjuntos, ao conjunto maior formado damos 
o nome de união, denotada por 
A U B 
Se considerarmos a união de todos os 
subconjuntos de um conjunto, podemos dizer 
que ela é o próprio conjunto. 
SOMA 
A soma de dois conjuntos é obtida quando, 
da união deles, subtrai-se a interseção. 
Assim: 
A + B = A U B – (A ∩ B) 
 
 
CONJUNTOS NUMÉRICOS 
NÚMEROS NATURAIS (N) 
Usados nas contagens, nos códigos e 
nas ordenações (números positivos e o 
zero).Ex.:0,1,2,3. 
NÚMEROS INTEIROS (Z) 
Extensão dos números naturais, para 
que a subtração fosse sempre possível 
(números positivos e negativos). É todo 
número resultante da subtração de dois 
números naturais. Ex: -2,-1,0,1,2. 
NÚMEROS RACIONAIS (Q) 
Extensão dos números inteiros,para 
que a divisão também fosse sempre 
possível,com exceção da divisão por zero, 
que não se define na Matemática (números 
que podem ser escritos na forma de 
fração,com numerador e denominador 
inteiros). Ex.: 9/4. 
NÚMEROS IRRACIONAIS (Ir) 
São os números que não podem ser 
representados na forma de fração. São 
números infinitos e não-periódicos. Ex.: π (pi) 
= 3,141592... . 
NÚMEROS REAIS (R) 
Conjunto numérico que corresponde à 
união do conjunto dos números racionais com 
o conjunto dos números irracionais. 
Ex.:0,2,,etc. 
Módulo de um número real 
É a distância que o número se encontra 
em relação ao zero. Também é definido como 
|r| = √r². 
O módulo ou valor absoluto real r,que é 
representado por |r|,é considerado igual a r se 
r ≥ 0 e igual a –r se r < 0.Ex.: |2| = 2,|0| = 0 e 
|-2| = -(-2) = 2. 
Propriedades envolvendo módulo 
 Para todo r є R,temos |r| = |-r| 
 Para todo x є R,temos |x2| = |x|2 = x2 ou √x2 
=|x|. 
 Para todo x є R e y є R, |x . y| = |x| . |y|. 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
10 
 Para todo x є R e y є R, |x+y| ≤ |x| + |y|. 
 Para todo x є R e y є R, ||x| - |y|| ≤ |x-y|. 
 |x| = 0 → x = 0 
 Não existe x є R tal que |x| = a,com a < 0. 
 |x| = a e a >0 → x = a ou x = -a. 
Números opostos ou simétricos 
Números inteiros que têm o mesmo 
módulo (mesma distância em relação ao 
zero) e sinais diferentes. Ex.: +5 e -5. 
Intervalos reais 
São subconjuntos dos números reais 
ou segmentos da reta real. 
 Intervalo fechado: na reta real,é indicado 
por um ponto preto (●). Na notação algébrica, 
é indicada por colchetes ( [ ] ) ou por sinais de 
≤,≥ ou =. 
 Intervalo aberto: na reta real,é indicado 
por um ponto branco (○). Na notação 
algébrica,é indicada por parênteses, por 
colchetes virados ( ] [ ) ou por sinais de <, > 
ou ≠. 
 
Os números reais estão inclusos em um 
conjunto maior, que engloba também 
números imaginários. Trata-se do conjunto 
dos Números Complexos, que não serão 
abordados aqui, pois a ideia é trabalhar 
apenasno conjunto dos reais. 
TEORIA DOS CONJUNTOS E 
DESENVOLVIMENTOS DA ENGENHARIA 
MODERNA 
Teoria de conjuntos nebulosos é tema de 
livro publicado nos EUA 
Acaba de ser lançado nos Estados Unidos 
pela editora Wiley, em colaboração com o 
Institute of Electrical and Electronics 
Engineers (IEEE), o livro Fuzzy Systems 
Engineering: Toward Human– Centric 
Computing, de autoria do professor Fernando 
Gomide, do Departamento de Engenharia de 
Computação 
e Automação Industrial (DCA) da Faculdade 
de Engenharia Elétrica e de Computação 
(FEEC) da Unicamp. 
O professor Witold Pedrycz, da Universidade 
de Alberta, Canadá, é co-autor do livro, que 
em suas 526 páginas aborda a teoria de 
conjuntos nebulosos. 
A noção de conjuntos nebulosos surgiu para 
ampliar a teoria e metodologia e solucionar 
problemas em áreas da engenharia elétrica e 
de computação relacionadas a sistemas 
inteligentes, inteligência artificial, sistemas de 
processamento de informação e de decisão. 
Para explicar do que trata a teoria que surgiu 
em 1965, criada pelo professor Lotfi Zadeh, 
da Universidade da Califórnia, Berkeley, e 
que deu origem ao Fuzzy Systems 
Engineering, o professor Gomide lança mão 
de analogias. Segundo ele, a questão nasce 
do debate entre o ser ou não ser cartesiano. 
Na opinião do docente, as ciências são 
essencialmente cartesianas – uma coisa ou é 
branca ou preta, verdadeira ou falsa, e não se 
contemplam as nuances. A observação 
mostra que as ocorrências não se dão 
somente dessa forma – o mundo admite 
verdades, falsidades, meias verdades, meias 
falsidades etc. 
Por exemplo, pela teoria clássicados 
conjuntos, um copo estará cheio ou vazio, 
sem toda a gama de possibilidades 
intermediárias, incluindo o caso de meio cheio 
ou meio vazio, como um copo com água pela 
metade. Estas variações, não-contempladas 
pela teoria clássica dos conjuntos, passaram 
a ser abordadas com a utilização da teoria 
dos conjuntos nebulosos, referência à palavra 
inglesa fuzzy, que sugere a idéia de transição 
gradual entre o ser e o não ser (a transição 
de um copo vazio a um copo cheio de água é 
gradual), pertencer ou não pertencer a um 
conjunto (conjuntos dos copos cheios e 
conjunto dos copos vazios) etc. 
Isso permite, explica o docente, a 
representação formal de grandezas e 
conceitos imprecisos e incertos, de 
pertinência gradual, e abre mão da dicotomia 
cartesiana. Até recentemente, não se tinha 
um aparato formal para tratar dessas 
questões. 
Essa representação matemática é usada, diz 
Gomide, em um sistema de computação para 
modelar e controlar processos, para analisar 
informação e tomar decisão, ou fazer um robô 
navegar de forma autônoma utilizando 
sensores e visão computacional. O 
pesquisador acrescenta, com certa ironia: “dá 
respostas precisas para fenômenos 
imprecisos, por paradoxal que possa 
parecer”. 
A respeito da obra, Gomide diz que o livro 
trata dos princípios básicos da teoria dos 
conjuntos nebulosos e se estende por alguns 
estudos de caso feitos por ele e outros 
pesquisadores. 
“Vários capítulos transpiram as pesquisas que 
realizamos e apresentam em primeira mão 
trabalhos ainda não divulgados em 
periódicos. Consideramos a obra consistente 
com o estado da arte”. 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
11 
Embora a publicação tenha alvo a engenharia 
elétrica, computação e áreas correlatas, 
atende também os interesses de áreas como 
logística, gestão, transporte, modelagem, 
controle e otimização de processos 
industriais, economia e biologia. 
Modelos econômicos e biológicos se 
encaixam no contexto de sua abordagem, 
pois utilizam noções e conceitos relacionando 
variáveis cujos valores não são 
necessariamente precisos. Para o autor, com 
os sistemas nebulosos podem ser criados os 
chamados modelos linguísticos. 
Se um sistema tiver seu funcionamento 
descrito linguisticamente, a descrição pode 
ser traduzida em algoritmos utilizando a teoria 
dos conjuntos nebulosos, o que possibilita 
seu uso computacional. 
A teoria de conjuntos nebulosos tem 
importância considerável na sumarização e 
compactação de informação. Gomide explica: 
“Ao avaliar o conforto térmico de um 
ambiente, geralmente, atribuímos a ele 
sensações como muito frio, frio, agradável, 
quente, muito quente. Termos linguísticos 
como ‘agradável’, por exemplo, encapsulam 
um número grande de valores de 
temperatura, compactando e sumarizando a 
informação”. 
A teoria de conjuntos nebulosos permite, 
continua o docente, representar termos 
linguísticos matematicamente através de 
funções de pertinência, que na realidade são 
sinônimos de conjuntos nebulosos, e 
processar conhecimento linguístico. 
“Com isso, obtemos mecanismos e algoritmos 
para computar com palavras, variáveis com 
valores imprecisos e implementar 
procedimentos de raciocínio aproximado. 
Obtém-se, assim, maior tratabilidade e 
robustez na solução de problemas 
complexos”. 
O convite – Fernando Gomide lembra que, a 
partir de meados da década de 90, as 
atividades com inteligência artificial se 
intensificaram na FEEC. Desde então, 
aumentaram as participações em congressos, 
surgiram oportunidades de desenvolvimento 
de trabalhos de cooperação com o exterior e 
adensaram-se as relações com a comunidade 
internacional. 
Esse contexto possibilitou que, ao fazer a 
sugestão da publicação da obra à editora, a 
comunidade científica internacional lhe 
associasse também o nome do professor 
Fernando Gomide e do seu colega 
canadense Witold Pedrycz, com quem 
comunga pontos de vistas comuns. 
Convidados pela editora, os autores 
apresentaram projeto aprovado por revisores 
internacionais, a exemplo do que ocorre com 
os artigos submetidos a periódicos, e 
executaram a obra em cerca de dois anos. O 
professor Gomide entende que o delinear 
desse caminho envolve muitos atores: os 
colegas de departamento, da FEEC e da 
Unicamp como um todo, alunos de graduação 
e pós-graduação, a Fapesp, o CNPq, além da 
família e amigos. 
Em relação à obra, o autor enfatiza: “Hoje, até 
onde vai meu conhecimento, não existe algo 
no gênero, porque os livros em circulação 
estão um pouco defasados. Estamos 
próximos do estado de arte e talvez nos 
mantenhamos assim por uns dois anos, pois 
previsões 
para além são difíceis”, constata. 
A abordagem está voltada para a 
desmistificação, apresenta muitos exemplos 
que ajudam a compreensão, sempre que 
possível introduz algoritmos para mostrar a 
aplicação prática, foi organizada de forma 
distinta do usual e traz uma bibliografia 
bastante atualizada. 
Ele considera que o aspecto didático é 
fundamental em uma obra produzida por um 
professor: “É um livro escrito para alunos, 
profissionais e professores que querem 
estudar, aprender o assunto e aplicar os 
conceitos e idéias nas respectivas áreas de 
interesse. Contém itens com abordagens 
mais avançadas para estimular a pesquisa e 
o desenvolvimento, mas na essência trata-se 
de um livro-texto”, afirma. 
Projetada para utilização nos últimos anos de 
cursos de graduação e no inicio da pós 
graduação em engenharia e áreas correlatas, 
a obra exige conhecimentos básicos de 
cálculo e álgebra linear inerentes a esses 
cursos e áreas afins. 
Fonte: Jornal da Unicamp, 1º a 7 de outubro 
de 2007. Disponível em: < 
http://www.unicamp.br/unicamp/unicamp_
hoje/jornalPDF/ju374pag02.pdf>. 
 
OPERAÇÕES COM NÚMEROS 
REAIS 
ALGORITMO 
Processo de cálculo, ou de resolução 
de um grupo de problemas semelhantes, em 
que se estipulam, com generalidade e sem 
restrições, regras formais para a obtenção do 
resultado, ou da solução do problema. Ex.: as 
operações da matemática. 
ADIÇÃO 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
12 
Consiste no acrescentar, no unir. É 
representada pelo sinal de mais (+). 
Parcela 
É cada termode uma adição. 
Soma ou total 
É o resultado da adição. 
O elemento neutro 
É o zero (0), pois qualquer número 
adicionado a zero dá como resultado o 
próprio número.Ex.: 0 + 2 = 2; 2 + 0 = 2. 
Propriedades da adição 
 Comutativa: a + b = b + a 
 Associativa: (a + b) + c = a + (b + c) 
SUBTRAÇÃO 
Consiste no separar, no retirar. É 
representada pelo sinal de menos (-). 
Minuendo 
É a quantidade inicial a ser 
fragmentada. 
Subtraendo 
É a quantidade retirada. 
Resto ou diferença 
É o resultado da subtração. Em uma 
operação de adições e subtrações, ao 
resultado admite-se o nome de total. 
O resultado de uma subtração em que 
de um número se subtrai 0 é o próprio 
número e o resultado de uma operação em 
que se subtrai um número de 0 é esse 
número com o sinal trocado. Ex.:2 – 0 = 2, 0 – 
2 = -2. 
Princípios da subtração 
 Subtrativo: consiste em descobrir o que 
sobrou de um conjunto após a retirada de 
parte dele. 
 Comparativo: consiste em comparar dois 
conjuntos com a finalidade de descobrir o que 
um tem que o outro não tem. 
 Aditivo: consiste em determinar o 
complemento de um conjunto para alcançar 
uma certa quantidade. 
MULTIPLICAÇÃO 
Consiste na reprodução de 
determinada quantidade igual a um número 
de vezes determinado. É representada pelo 
sinal de vezes (x ou 
.
). 
Fator 
Número participante de uma 
multiplicação. Pode ser: 
 Multiplicando: número que será 
multiplicado por algum outro. 
 Multiplicador: número que multiplicará 
algum outro. 
Produto 
É o resultado da multiplicação. 
Elemento neutro 
É o número um (1), pois qualquer 
número multiplicado por 1 dá como resultado 
ele mesmo. 
Fator neutralizador, anulador ou 
absorvente 
É o número zero (0), pois anula todas 
as multiplicações de que participa. 
Ex.: 6 
.
 0 = 0. 
Propriedades da multiplicação 
 Comutativa: a . b + b . a 
 Distributiva em relação à adição: 
a 
.
 (b + c) = a 
.
 b + a 
.
 c 
 Distributiva em relação à subtração: 
a 
.
 (b – c) = a 
.
 b – a 
.
 c (com b ≥ c) 
DIVISÃO 
Consiste no fracionamento, no 
repartilhamento. É representada pelo sinal de 
dividido (: ou / ). 
Dividendo 
Número que será dividido por algum 
outro. 
Divisor 
Número que dividirá algum outro, ou 
número pelo qual algum outro pode ser 
dividido. 
Divisor próprio 
Nome dado a qualquer um dos 
divisores de um número, desde que não seja 
o próprio número, ou seja, são divisores que 
não participam de divisões de quociente 
(resultado) igual a 1. 
Quociente ou cociente 
Resultado da divisão. 
Resto 
Quantidade restante em divisões 
inteiras não-exatas. O resto só é definido 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
13 
quando se pretende obter um quociente 
inteiro. 
dividendo = (divisor 
.
 quociente) + resto 
Obs.: O resto é sempre menor que o divisor. 
A indefinição e a indeterminação da 
divisão por zero 
É impossível escolher (definir) um 
número que possa ser atribuído como valor 
de 1/0, por exemplo. 
Como os quocientes 1/0,1 = 10 , 1/0,01 
= 100 , 1/0,001 = 1000, etc. vão crescendo 
sem limite, poderíamos pensar num novo 
objeto matemático, o infinito (∞), e que 
representaria uma quantidade imensamente 
grande, definido como sendo o resultado de 
1/0. Ou seja: 1/0 = infinito. De modo que 1/0, 
embora 1/0 seja indefinida no conjunto dos 
números, ficaria definido através do objeto 
não-numérico infinito. 
No entanto: 
 O infinito não é um número; 
 Não será possível realizar operações 
matemáticas com o infinito de acordo com as 
regras aritméticas. 
Ex.: b 
.
 a/b = a, de modo que teríamos 
de aceitar a validade de: 0 
.
 1 / 0 = 1, ou seja, 
0 
.
 ∞ = 1. 
Essa última igualdade produz 
contradições, pois 1 = 0 
. 
∞ = 0 
.
 (2 
.
 ∞ ) = 2 
.
(0 
.
 ∞) = 2 
.
 1 = 2. 
Ou seja, acabaríamos chegando ao 
resultado absurdo: 1 = 2. 
Portanto, a divisão de qualquer 
número diferente de 0 por 0 é indefinida e a 
divisão de 0 por 0 é indeterminada. O 
resultado da divisão de 0 por qualquer 
número diferente de zero dá 0. 
Critérios de divisibilidade (com resultado 
inteiro) 
 Divisibilidade por dois: um número natural 
é divisível por 2,quando o algarismo das 
unidades for 0,2,4,6 ou 8. Ex.: 22. O número 
natural que é divisível por 2 é chamado de 
número par, caso contrário é denominado 
ímpar. 
 Divisibilidade por três: um número natural 
é divisível por 3 quando a soma de seus 
algarismos for divisível por 3. Ex.: 15 (1 + 5 = 
6). 
 Divisibilidade por quatro: um número 
natural é divisível por 4 quando o número 
formado pelos seus dois últimos algarismos à 
direita for divisível por 4. Ex. 348. 
 Divisibilidade por cinco: um número 
natural é divisível por 5 quando o algarismo 
das unidades for 0 ou 5.Ex.:60. 
Números primos (em Z) 
São os números naturais que dividem 
apenas por 1 e por eles mesmos. Ex.:2, 3,5, 
7, 11. O número 1 não é primo, pois ele tem 
apenas um divisor que é ele mesmo. 2 é o 
único número primo par. 
Atualmente o maior número primo 
encontrado é 2
32.582.657
 − 1. Foi descoberto 
pelo time de colaboradores formado pelos 
doutores Curtis Cooper e Steven Boone no 
dia 4 de setembro de 2006, num projeto de 
computação distribuida pela Internet, que usa 
o tempo ocioso do processador de 
computadores pessoais, procurando por 
números primos específicos, do tipo 2
p
 − 1, 
em que p é primo, chamados primos de 
Mersenne. Este último primo encontrado é o 
primo de Mersenne de número 44 e tem 
9.808.358 dígitos. 
Para saber se um número é primo 
deve-se dividi-lo por 2,3,5,7,11 etc. até obter 
uma divisão com quociente menor que o 
divisor e o resto diferente de zero. Ex.: 113 / 
11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é 
menor que o divisor (11). Portanto 113 é um 
número primo. 
Números primos entre si 
Dois números inteiros são ditos primos 
entre si quando não existir um divisor maior 
do que 1 que divida ambos. O máximo divisor 
comum dos primos entre si é igual a 1. Ex.: 
12 e 13 são primos entre si; porém, 12 e 14 
não o são porque ambos são divísiveis por 2. 
Um conjunto de números inteiros é 
chamado de mutuamente primo se não existir 
um inteiro que divida todos os elementos. Por 
exemplo, os inteiros 30, 42, 70 e 105 são 
mutuamente primos. Entretanto, aos pares, 
não são primos entre si. 
Esta definição é transferida para outras 
áreas. Por exemplo, dois polinômios com 
coeficientes inteiros são primos entre si se 
não houver um polinômio não-constante que 
divida ambos. 
O número de inteiros positivos menores 
que n que são primos com n é dado pela 
função totiente de Euler. 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
14 
 
Os números 4 e 9 são primos entre si 
porque a diagonal não intercepta nenhum dos 
pontos reticulados. 
Números compostos 
São os números não-primos maiores 
do que 1. Os números 0 e 1 não são 
considerados primos nem compostos. 
Números perfeitos 
Os gregos diziam que um número é 
perfeito quando a soma dos seus divisores 
próprios (divisores exceto ele próprio) é igual 
a ele mesmo. Ex.: o número 6, porque 
1+2+3=6. 
Números amigáveis ou amigos 
Números amigos são pares de 
números onde um deles é a soma dos 
divisores próprios do outro. Ex.: os divisores 
próprios de 220 são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 
44, 55 e 110 cuja soma é 284. Já, os 
divisores próprios de 284 são: 1,2,4,71 e 142 
e a soma deles é 220. Portanto, os números 
220 e 284 são amigáveis ou amigos. 
Porcentagem 
É uma forma usada para indicar uma 
fração de denominador 100 ou qualquer 
representação equivalente a ela. A 
porcentagem é um modo de comparar 
números usandoa proporção direta, onde 
uma das razões da proporção é uma fração 
cujo denominador é 100. Toda razão a/b na 
qual b=100 chama-se porcentagem. Símbolo: 
%. Ex.: 23/100 = 23% ou 0,23. 
 Cálculo da porcentagem: Ex.: 20% de 60 
= 20/100 
. 
60 = 0,2 . 60 = 12. 
OUTRAS CONSIDERAÇÕES SOBRE 
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO 
 Todo número multiplicado ou dividido por 1 
é igual a ele mesmo e todo número 
multiplicado ou dividido por –1 é igual ao seu 
oposto. 
 Todo número multiplicado por outro > -1 e 
<1 dá como resultado um número de módulo 
menor que o número inicial; 
 Todo número dividido por outro > -1 e <1 dá 
como resultado um número de módulo maior 
que o número inicial. 
FRAÇÕES 
Números que representa uma ou mais 
partes da unidade que foi dividida em partes 
iguais. 
 1 → numerador (nº de partes consideradas) 
 2 → denominador (nº de partes divididas) 
Frações equivalentes 
São as frações que representam a 
mesma parte do todo.Ex: ½ e 2/4. 
Fração inversa 
A fração inversa de uma fração dada é 
aquela estabelecida pela troca de posição do 
numerador e do denominador. Ex.: 2/3 → 3/2. 
Número misto 
Número escrito ao mesmo tempo na 
forma inteira e na forma fracionária. 
Ex.: 4 1/3. Obs.: 4 1/3 = 4 + 1/3. 
Inverso multiplicativo 
O inverso multiplicativo de um número 
x é 1/x. Esse número é dito inverso 
multiplicativo de x, pois a multiplicação de 
ambos resulta em 1. 
Fração decimal 
Fração em que a unidade aparece 
dividida por 10 ou múltiplos de 10. Ex.: 1/10, 
4/100. 
Fração algébrica 
É a fração que possui um ou mais 
termos desconhecidos (incógnitas) no 
denominador. Ex.: 2/xy. 
Simplificação de frações 
Consiste em dividir o numerador e o 
denominador de uma fração por um mesmo 
número, fim de torná-la uma fração mais 
simples. 
Ex.: 
 5 → 5
: 5 
 = 1 
 10 10
: 5 
 2 
Operações com frações 
 Soma/Subtração: se os denominadores 
são iguais, opera-se os numeradores e 
conserva-se o denominador.Ex.:1/2 + 1/2 = 
2/2 = 1. 
Se os denominadores são diferentes, 
acha-se o Menor Múltiplo Comum (MMC) dos 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
15 
denominadores e o divide por cada 
denominador, multiplicando depois cada 
resultado separadamente pelo seu respectivo 
numerador e operando os produtos, 
conservando o denominador comum. 
Ex.: 1/5 + 3/4 = 19/20. 
 Multiplicação: multiplica-se 
separadamente numeradores e 
denominadores. Ex.:2/3 
. 
1/9 = 2/27. 
 Divisão: multiplica-se a primeira fração 
pelo inverso da segunda, ou seja, multiplica-
se o numerador da primeira pelo 
denominador da segunda e o denominador da 
primeira pelo numerador da segunda. Ex.:1/4 
:1/2 = 1/4 
.
 2/1 = 2/4 = 1/2 . 
Números decimais 
São números que representam frações, 
em que a divisão do numerador pelo 
denominador não resulta em um número 
exato. Nesses números usa-se 0, (zero 
vírgula) e depois o número que representa a 
parte fracionária. Ex.: 0,1 = 1/10; 0,75 = 3/4. 
 A divisão do numerador pelo 
denominador pode resultar em um número 
exato (ex.:5) ou em uma: 
 Decimal exata: com número finito de casas 
decimais. Ex.:0,2. 
 Decimal ou dízima periódica: apresenta 
uma série infinita de algarismos decimais que, 
a partir de um certo algarismo, se repetem em 
grupos de um ou mais algarismos, ordenados 
sempre na mesma disposição e chamados de 
período. (ex.: 0,3333...). Uma dízima 
periódica pode ser: 
 Simples: o período aparece 
imediatamente após a vírgula. Ex.: 0,4444…; 
0,125125125…; 0,68686868… 
 Composta: há um ou mais algarismos 
entre a vírgula e o período, que não entra na 
composição do período. 
Ex.: 0,72222222…; 0,58444444…; 
0,15262626… 
Fração geratriz de um decimal 
É a fração que gera um determinado 
decimal. Ex.: 
 0,25 = 25/100 = 1/4 → fração geratriz 
 
 
POTENCIAÇÃO OU EXPONENCIAÇÃO 
 an =a . a . a . ... . a (n vezes).Obs: a = base, n 
= expoente. 
 a0 = 1, porem 00 é uma indeterminação. 
 am . an =am + n 
 am : an =am - n 
 (am)n = am . n 
 (a . b)m = am . am 
 (a : b)m =am : bm (b ≠ 0) 
 (am)n ≠ am
n
 
 am
n
 
= a^(m
n
)
 
 (a/b)m = am/bm 
 (a/b)-m = (b/a)m = am/bm 
 n √a m = a m / n 
Potência de base 10 
O expoente positivo do número dez 
indica o número de vezes que se deve 
deslocar a vírgula para a direita e o expoente 
negativo do dez indica o número de vezes 
que se deve deslocar a vírgula para a 
esquerda. 
Ex: 0,3451 
. 
10
2
 = 34,51. 
Operações com potências de base 10 
 Soma/Subtração: somente se somam ou 
subtraem números cujas potências de base 
10 têm o mesmo expoente. Nesse caso, 
somam-se os coeficientes e conserva-se a 
potência de dez.
 
x 
.
 10
n
 ± y 
.
 10
n
 = (x ± y) . 10
n 
 Multiplicação: multiplicam-se os 
coeficientes, conservando a base 10 e 
somando seus expoentes.
 
( x 
.
 10
n
)(y 
.
 10
m
) = (x 
. 
y) 
. 
10 
n+ m 
 Divisão: divide-se o primeiro coeficente 
pelo segundo, conservando a base 10, com o 
expoente resultante da subtração dos 
expontes.
 
(x 
.
 10
n
) / (y 
.
 10
m
)= (x :y) 
.
 10 
n - m 
Notação científica 
Colocar um número em notação 
científica significa transformá-lo em um 
produto de um coeficente ≥1 e < 10 por uma 
potência de base dez.Ex.: 200 + 2 
.
 10
2
. 
Ordem de grandeza 
É a potência de dez da qual o número 
mais se aproxima. Ex.: 1232 → 10
3
. 
RADICIAÇÃO 
 n√a = b ↔ bn = a (n є N e n >1). 
(Obs.: 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
16 
a = radicando, 
√ = radical e 
n = índice da radiciação) 
 a ≥ 0, e n par : n √a = b ;- n √a = -b ; a ≥ 0,e 
n ímpar: 
n 
√a = b ↔ b
n 
= a 
 a < 0,e n ímpar: n √-a = -b ↔ (-b)n = -a 
 n √a n = a 
 n √ab = n√a . n√b 
 n√a ± m√a = (m ± n)√a 
 n√a/b = n √a / n √b 
 (n √a)m = n √a m 
 n √ m√a = n . m √a 
 a / √x = a . √x /x . √x = a√x / x(√x =fator 
racionalizante). 
LOGARITMAÇÃO 
Logaritmo 
loga b = c ↔ a
c
 = b 
(Obs.: a = base do logaritmando, b = 
logaritmando e c = logaritmo). 
Propriedades logarítmicas 
 loga 1 = 0. 
 loga a = 1. 
 loga a
n
 = n. 
 a loga b = b. 
 logb a = logb c ↔ a = c. 
 loga (M 
.
 N) = loga M + loga N. 
 loga M/N = loga M – loga N. 
 loga 1/N = - loga N. 
 loga M
N
 = N 
.
 loga M. 
 loga 
N
√M = 1/N 
.
 loga M. 
 logb N = loga N / loga b. 
 logb a = 1 / loga b ou logb a 
.
 loga b = 1. 
 Cologaritmo: cologa N = - loga N ou cologa 
N = loga 1/N. 
 
EXPRESSÕES MATEMÁTICAS 
Expressão numérica 
É uma relação entre números definidos 
que pode ser resolvida ou simplificada. Ex.: 
3+ 2. 
Expressão algébrica (Polinômio): 
É uma relação entre números definidos 
e indefinidos (incógnitas) que pode ser 
simplificada. Ex.: 3x + 2x. 
Expressões numéricas / algébricas – 
ordem de resolução: 
1) Parênteses: ( ); 
2) Colchetes: [ ]; 
3) Chaves: { }. 
 
1) Potenciação (Exponenciação), Radiciação, 
Logaritmação; 
2) Multiplicação e Divisão; 
3) Adição e Subtração. 
Soma e subtração de sinais 
 Sinais iguais: soma-se os números e 
conserva-se o sinal.Ex.: 2 + 2 = 4. 
 Sinais diferentes: subtrai-se os módulos 
dos números (do módulo maior se subtrai o 
menor) e conserva-se o sinal do número de 
maior módulo.Ex.: 3 – 4 = -1. 
Multiplicação e divisão de sinais 
 Sinais iguais: resultado positivo.Ex.: 2 x 56 
= 112. 
 Sinais diferentes: resultado negativo.Ex.: 
2(-35)= -70. 
MMC e MDC de expressões numéricas / 
algébricas 
MDC (Máximo Divisor Comum) é o produto 
dos fatores primos comuns,tomadoscom 
seus menores expoentes. 
 Cálculo do MDC: 
1) Decompõe-se os números em fatores 
primos. 
2) O MDC é o produto dos fatores primos 
comuns. 
Ex.: MDC de 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 e 90 
= 2 x 3 x 3 x 5.MDC(36,90) = 2 x 3 x 
3.Portanto m.d.c.(36,90) = 18. 
 Cálculo por meio do processo das 
divisões sucessivas: 
1º) dividimos o número maior pelo número 
menor. Ex.:48 / 30 = 1 (com resto 18). 
2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da 
divisão anterior, por 18, que é o resto da 
divisão anterior, e assim sucessivamente: 30 / 
18 = 1 (com resto 12),18 / 12 = 1 (com resto 
6),12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata). 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
17 
3º) O divisor da divisão exata é 6. Então MDC 
(48,30) = 6. 
 Números primos entre si: Dois ou mais 
números são primos entre si quando o 
máximo divisor comum desses números é 
1.Ex.: 35 e 24. 
Obs.: Dados dois ou mais números, se um 
deles é divisor de todos os outros, então ele é 
o m.d.c. dos números dados.Ex.: MDC 
(6,18,30) = 6. 
 MMC (Menor Múltiplo Comum): é o 
produto dos fatores primos comuns e não-
comuns,tomados com seus maiores 
expoentes.Também pode ser definido como o 
produto de todos os fatores primos obtidos na 
decomposição simultânea dos números. 
Polinômios: 
 Monômio: um só termo.Ex.: 3x. 
 Binômio: 2 termos.Ex.: 3x + 2y. 
 Trinômio: 3 termos.Ex.: 3x + 2y + 5. 
 Polinômio: 4 ou mais termos.Ex.: 3x + 2y + 
5 + 7a. 
Obs.: 4t (4 = coeficente, t = parte literal). 
 Termos semelhantes: são aqueles que 
têm a mesma parte literal.Ex.: 6x e 8x. 
 Polinômio identicamente nulo (PIN): é o 
polinômio cujos coeficentes de todos os seus 
termos são nulos.Ex.: 0x + 0q. 
 Grau de um polinômio: é o expoente 
máximo que ele possui.Ex.: x
2
 + 3x + 6 é 
polinômio do 2º grau. 
Operações com polinômios 
Nas operações com polinômios, 
operam-se coeficentes com coeficentes e 
partes literais com partes literais. 
 Soma/Subtração: só podem ser somados 
ou subtraídos polinômios de mesma parte 
literal. As partes literais permanecem 
inalteradas. Ex:6x + 4y
2
 – 2x – 5y
2
 =4x – y
2
. 
 Multiplicação: multiplica-se cada termo de 
um polinômio por cada termo de outro 
polinômio. Ex: ( x
2
) 
.
 (-3x
3
) = -3x
5
. 
 Divisão de monômios/de polinômios por 
monômios: .divide-se cada termo de um 
polinômio/monômio por um monômio. Ex.: 
(8x
4
y
2
) : (-2xy) = -4x
3
y. 
 Divisão de polinômios: Sejam dois 
polinômios P(x) e D(x), com D(x) não nulo. 
Efetuar a divisão de P por D é determinar dois 
polinômios Q(x) e R(x), que satisfaçam as 
duas condições abaixo: 
 
1ª) Q(x).D(x) + R(x) = P(x) 
2ª) gr(R) < gr(D) ou R(x)=0 
 
Nessa divisão: 
P(x) é o dividendo. 
D(x) é o divisor. 
Q(x) é o quociente. 
R(x) é o resto da divisão. 
Obs: quando se tem R(x)=0 diz-se que a 
divisão é exata, ou seja, P(x) é divisível por 
D(x) ou D(x) é divisor de P(x). 
 
 
 
Ex.:Determinar o quociente de P(x)=x
4
+x
3
-
7x
2
+9x-1 por D(x)=x
2
+3x-2. 
Resolução: Aplicando o método da chave, 
tem-se: 
)( 12 
 23 
15 
 462 
1952 
)( 12 23
 23 197 
2
2
23
23
2234
2234
xRx
xx
xx
xxx
xxx
xQxxxxx
xxxxxx







 
 
Verifica-se que: 
 
Se D(x) é divisor de P(x) R(x) = 0 
MDC e MMC de polinômios: 
Ex.: 4x
3
y
6
 e 6x
5
y
2 
MDC = 2x
3
y
2
 e MMC = 12x
5
y
6
. 
Produtos Notáveis: 
 Quadrado da soma indicada de dois 
termos: 
(a + b)
2
 = a
2
 + 2ab +b
2 
 Quadrado da diferença ind. de dois 
termos: 
(a – b)
2
 = a
2 
–2ab + b
2 
 Produto da soma pela dif.de dois 
termos: 
(a + b) 
.
 (a – b) = a
2
 – b
2 
 Cubo da soma de dois termos: 
)( )(
)(D )(
xQxR
xxP
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
18 
(x + y)
3
 = (x + y)(x + y)(x + y) =(x + y)
2 .
 (x + y) 
= (x
2 
+ 2xy + y
2
) 
.
 (x + y) = x
3
 + 3x
2
y + 3xy
2
 + 
y
3 
 Cubo da diferença de dois termos: 
(x – y)
3
 = (x – y)(x – y)(x – y) = (x – y)
2
 
.
 (x – y) 
= (x
2
 –2xy + y
2
) 
.
 (x – y) = x
3
 – 3x
2
y + 3xy
2
 – y
3 
 Quadrado da soma de três termos: 
(a + b + c)
2
 = (a + b + c)(a + b + c) = a
2
 + b
2
 + 
c
2
 + 2ab + 2bc + 2ac 
 Soma de dois cubos: 
a
3
 + b
3
 = (a + b)(a
2
 – ab + b
2
) 
 Diferença de dois cubos: 
a
3
 – b
3
 = (a - b)(a
2
 + ab + b
2
) 
Fatoração Algébrica: 
 Colocação do fator comum em 
evidência: 
Ex:2ax -bx
2
 =2x(a – 2bx) 
 Agrupamento: 
Ex:4ax –2a + 6xy –3y =2a(2x –1) +3y(2x – 1) 
= (2x - 1)(2a + 3y) 
 Trinômio Quadrado Perfeito: 
Ex:9x
2
 +12xy +4y
2
 =(3x +2y)
2 
 Diferença de dois quadrados: 
x
2
 – y
2
 = (x + y)(x – y ) 
 Fatoração do trinômio do 2º grau: 
ax
2
 + bx + c = a(x –x1) . (x – x2) 
 Fatoração do polinômio de 3º grau: 
ax
3
 +bx
2
 + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3) 
 Fatoração trigonométrica: 
sen x + sen y = 2 
.
 sen x + y 
.
 cos x – y 
 2 2 
 
sen x – sen y = 2 
.
 sen x – y 
.
 cos x + y 
2 2 
 
cos x + cos y = 2 
.
 cos x + y 
.
 cos x – y 
2 2 
 
cos x – cos y = - 2 
.
 sen x + y 
.
 sen x – y 
2 2 
 
FUNÇÕES 
EQUAÇÕES 
Igualdades que permitem descobrir 
valores indefinidos (chamados incógnitas ou 
variáveis). Uma equação pode ter uma ou 
mais incógnitas. 
Usualmente: 
x: primeira incógnita; 
y: segunda incógnita; 
z: terceira incógnita. 
Os valores das incógnitas que tornam a 
sentença verdadeira são chamados de raízes 
da equação e comporão o Conjunto Verdade 
(V) ou Conjunto Solução (S) da equação. 
A equação é composta por dois 
membros separados por um sinal de igual (=). 
Ao passar um termo de um membro para 
outro, deve-se trocar o sinal. 
Igualdade 
Representada por a = b, sendo a e b 
numerais (nomes) diferentes para um mesmo 
número, ou expressões numéricas 
equivalentes. 
Propriedades da igualdade 
 Reflexiva: a = a, para qualquer número a. 
 Simétrica: se a = b, então b = a, para 
quaisquer números a e b. 
 Transitiva: se a = b e b = c, então a = c, 
para quaisquer números a, b e c. 
Princípios de equivalência 
 a = b → a + c = b + c 
 a = b → a . c = b . c 
Orientações para a resolução de 
problemas envolvendo equações 
1) Ler atentamente o problema; 
2) Anotar os dados a serem considerados; 
3) Estabelecer quais são as incógnitas; 
4) Escrever as condições sobre as 
incógnitas - se devem ser números 
naturais,inteiros, etc; 
5) Montar as equações,traduzindo os dados 
do problema em linguagem matemática; 
6) Resolver as equações; 
7) Verificar se as raízes encontradas 
obedecem às condições sobre as 
incógnitas; 
8) Substituir as raízes encontradas nas 
equações para verificar se a igualdade 
está correta – se os dois membros se 
igualam; 
9) Observar se as soluções encontradas têm 
implicação lógica; 
10) Escrever a resposta do problema. 
 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
19 
INEQUAÇÕES 
Expressões que não admitem raízes 
definidas, mas dão idéia de onde se 
localizam,através de princípios de 
superioridade(>,≥) e inferioridade(<,≤). 
Ex: 2x + 7 ≤ 12 → x ≤ 5/2. 
FUNÇÕES 
Relações entre duas grandezas 
variáveis (x e y) em que o valor de uma delas 
(x) depende, sob determinadas condições, do 
valor da outra (y). 
Formalmente, é uma relação especial 
entre dois conjuntos Ae B de modo que todos 
os elememtos de A (x) estejam associados a 
um elemento de B (y) e que cada elemento 
de A (x) está associado a um único elemento 
de B (y). 
Domínio, contradomínio e conjunto 
imagem 
Dada uma função f de A em B, o 
conjunto A chama-se domínio da função e o 
conjunto B, contradomínio da função. Para 
cada x є A, o elemento y є B chama-se 
imagem de x pela função f ou o valor 
assumido pela função f para x є A e o 
representamos por f(x) (lê-se: f de x). Assim, 
y = f(x). 
 
Observações 
Ao comparar duas ou mais funções, 
tem-se, usualmente: 
f(x): primeira função; 
g(x): segunda função; 
h(x): terceira função, seguindo assim a ordem 
alfabética a partir de f, em minúsculas. 
 
Alguns gráficos de funções 
Função f(x) = x 
 
 
Função f(x) = 1 ⁄ x 
 
Função modular f(x) = |x| 
 
Função quadrática f(x) = x² 
 
Função cúbica f(x) = x³ 
 
 
Função raiz quadrada f(x) = √x 
 
 
Função exponencial de base e: f(x) = e
x
 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
20 
 
Função logarítmica natural f(x) = ln x 
 
 
Função seno f(x) = sen (x) 
 
Função cosseno f(x) = cos (x) 
 
Função tangente f(x) = tg (x) (tg = sen ⁄ cos) 
 
Função secante f(x) = sec (x) (sec = cos ⁄sen 
= 1 ⁄ cos(x) ). 
 
Função cossecante f(x) = cosec (x) (cosec = 1 
⁄ sen (x) ). 
 
Função cotangente f(x) = cotg (x) 
(cotg (x) = 1 ⁄ tg(x) ). 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
21 
 
 
LIMITES 
 
Noção intuitiva de limite 
 
Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores 
a x que se aproximem de 1, pela sua direita 
(valores maiores que 1) e pela esquerda 
(valores menores que 1) e calcular o valor 
correspondente de y: 
 
X y = 2x + 1 
1,5 4 
1,3 3,6 
1,1 3,2 
1,05 3,1 
1,02 3,04 
1,01 3,02 
0,5 2 
0,7 2,4 
0,9 2,8 
0,95 2,9 
0,98 2,96 
0,99 2,98 
 
 
 Notamos que à medida que x se aproxima de 
1, y se aproxima de 3, ou seja, 
quando x tende para 1 (x 1), y tende para 
3 (y 3), ou seja: 
 
 
 
Observamos que quando x tende para 
1, y tende para 3 e o limite da função é 3. 
 
 Esse é o estudo do comportamento de f(x) 
quando x tende para 1 (x 1). Nem é 
preciso que xassuma o valor 1. Se f(x) tende 
para 3 (f(x) 3), dizemos que o limite de 
f(x) quando x 1 é 3, embora possam 
ocorrer casos em que para x = 1 o valor de 
f(x) não seja 3. 
 De forma geral, escrevemos: 
 
 
 
se, quando x se aproxima de a (x a), f(x) 
se aproxima de b (f(x) b). 
 
 
 
 
 
Como x² + x - 2 = (x - 1)(x + 2), temos: 
 
 
 
Podemos notar que quando x se aproxima de 
1 (x 1), f(x) se aproxima de 3, embora 
para x=1 tenhamos f(x) = 2. o que ocorre é 
que procuramos o comportamento de y 
quando x 1. E, no caso, y 3. Logo, o 
limite de f(x) é 3. 
Escrevemos: 
 
 
 
 Se g: IR IR e g(x) = x + 2, g(x) = 
 (x + 2) = 1 + 2 = 3, embora g(x) f(x) em x = 
1. No entanto, ambas têm o mesmo limite. 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
22 
 
Propriedades dos Limites 
 
1ª) O limite da soma é a soma dos limites. O 
limite da diferença é a diferença dos limites. 
 
 
 
 Exemplo: 
 
 
 
2ª) O limite do produto é o produto dos 
limites. 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
3ª) O limite do quociente é o quociente dos 
limites desde que o denominador não seja 
zero. 
 
 Exemplo: 
 
 
4ª) 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
5ª) 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
6ª) 
 
 Exemplo: 
 
 
 
7ª) 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
8ª) 
 
 
Exemplo: 
 
 
Limites Laterais 
 
 Se x se aproxima de a através de valores 
maiores que a ou pela sua direita, 
escrevemos: 
 
 
 
 Esse limite é chamado de limite lateral à 
direita de a. 
 Se x se aproxima de a através de valores 
menores que a ou pela sua esquerda, 
escrevemos: 
 
 
 
 Esse limite é chamado de limite lateral à 
esquerda de a. 
 O limite de f(x) para x a existe se, e 
somente se, os limites laterais à direita a 
esquerda são iguais, ou sejas: 
 
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23 
 Se 
 
 Se 
 
 
Continuidade 
 
 Dizemos que uma função f(x) é contínua 
num ponto a do seu domínio se as seguintes 
condições são satisfeitas: 
 
 
 
 
Propriedade das Funções contínuas 
 
 Se f(x) e g(x)são contínuas em x = a, então: 
 f(x) g(x) é contínua em a; 
 f(x) . g(x) é contínua em a; 
 é contínua em a . 
 
Limites envolvendo infinito 
 
 Conforme sabemos, a expressão x 
(x tende para infinito) significa que x assume 
valores superiores a qualquer número real 
e x (x tende para menos infinitos), da 
mesma forma, indica quex assume valores 
menores que qualquer número real. 
 Exemplo: 
 
a) , ou seja, à medida 
que x aumenta, y tende para zero e o limite é 
zero. 
b) , ou seja, à medida 
que x diminui, y tende para zero e o limite é 
zero. 
c) , ou seja, quando x se 
aproxima de zero pela direita de 
zero ou por valores maiores que 
zero, y tende para o infinito e o limite é 
infinito. 
d) , ou seja, quando x tende 
para zero pela esquerda ou por valores 
menores que zero, ytende para menos infinito 
 
Limite de uma função polinomial 
para 
 
 
Seja a função 
polinomial 
. 
Então: 
 
 
 
Demonstração: 
 
 
 Mas: 
 
 Logo: 
 
 
 
De forma análoga, 
 
para , temos: 
 
 
 
 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
24 
 Exemplos: 
 
 
 
Limites trigonométricos 
 
 
 
Demonstração: 
 Para , temos sen x < x < tg x. 
Dividindo a dupla desigualdade por sen x > 0, 
vem: 
 
 Invertendo, temos: 
 
 Mas: 
 
 g(x) < f(x) < h(x) são funções 
contínuas e 
se , 
então, . 
Logo, . 
 
Limites exponenciais 
 
 
 
 Neste caso, e representa a base dos 
logaritmos naturais ou neperianos. Trata-se 
do número irracionale cujo valor aproximado 
é 2,7182818. 
 Veja a tabela com valores de x e 
de . 
x 1 2 3 10 100 1 000 
 
2 2,25 2,3703 2,5937 2,7048 2,7169 
 Notamos que à medida 
que . 
 De forma análoga, efetuando a 
substituição , temos: 
 
 
 
 Ainda de forma mais geral, temos : 
 
 
 
 
As duas formas acima dão a solução imediata 
a exercícios deste tipo e evitam substituições 
algébricas. 
 
 
 
 Se ,então . 
 Mas: 
 
 
 Logo: 
 
 
 Como x 0 , então u 0. Portanto: 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
25 
 
 
 Generalizando a propriedade acima, 
temos . 
 
 
 
 
DERIVADAS 
A derivada de uma função y = f(x) num 
ponto x = x0 , é igual ao valor da tangente 
trigonométrica do ângulo formado pela 
tangente geométrica à curva representativa 
de y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada 
é o coeficiente angular da reta tangente ao 
gráfico da função no ponto x0. 
 
A derivada de uma função y = f(x), pode ser 
representada também pelos símbolos: 
 y' , dy/dx ou f ' (x). 
 A derivada de uma função f(x) no ponto 
x0 é dada por: 
 
 
 
ALGUMAS DERIVADAS BÁSICAS 
 
Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da 
variável x. 
a, b, c e n são constantes. 
 
Derivada de uma constante 
 
Derivada da potência 
 
Portanto: 
 
Soma / Subtração 
 
 
Produto por uma constante 
 
 
Derivada do produto 
 
 
Derivada da divisão 
 
 
Potência de uma função 
 
 
Derivada de uma função composta 
 
 
Regra da cadeia 
A fórmula: 
 
 é conhecida como regra da cadeia.Ela pode 
ser escrita como: 
 
Outra fórmula similar é a seguinte: 
 
 
Derivada da função inversa 
A inversa da função y(x) é a função x(y): 
 
Derivadas de funções trigonométricas e 
suas inversas 
 
 
 
 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Derivadas de funções exponencial e 
logarítmica 
 
Derivada do logaritmo natural 
 
Derivada do logaritmo 
em outras bases 
 
Exponencial 
 
 
 
 
Lembre-se da definição da função logarítmica 
com base a > 0: 
 
Derivadas das funções hiperbólicas e suas 
inversas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembre-se das definições das funções 
trigonométricas: 
 
 
 
Derivadas de alta ordem 
 
Seja y = f(x). Temos: 
 
A segunda derivada é dada por: 
 
 
 
A terceira derivada é dada por: 
 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
27 
 
 
A enésima derivada é dada por: 
 
 
 
Em alguns livros, a seguinte notação também 
é usada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTEGRAIS 
 
INTEGRAIS INDEFINIDAS 
 
Da mesma forma que a adição e a 
subtração, a multiplicação e a divisão, a 
operação inversa da derivação é 
a antiderivação ou integração indefinida. 
Dada uma função g(x), qualquer função 
f'(x) tal que f'(x) = g(x) é chamada integral 
indefinida ou antiderivada de f(x). 
Exemplos: 
1. Se f(x) = X
5
/5, então 
 
é a derivada de f(x). Uma das 
antiderivadas de f'(x) = g(x) = 
x
4
 é X
5
/5. 
 
2. Se f(x) = x
3
, então f'(x) = 3x
2
 = g(x). 
Uma das antiderivadas ou integrais 
indefinidas de g(x) = 3x
2
 é f(x) = x
3
. 
 
3. Se f(x) = x
3
 + 4, então f'(x) = 3x
2
 = 
g(x). Uma das antiderivadas ou 
integrais indefinidas de g(x) = 3x
2
 é 
f(x) = x
3
 + 4. 
 
 Nos exemplos 2 e 3 podemos observar que 
tanto x
3
 quando x
3
+4 são integrais indefinidas 
para 3x
2
. A diferença entre quaisquer destas 
funções (chamadas funções primitivas) é 
sempre uma constante, ou seja, a integral 
indefinida de 3x
2
 é x
3
+C, onde C é uma 
constante real. 
 
 Propriedades das integrais indefinidas 
 
 São imediatas as seguintes propriedades: 
1ª. 
, ou 
seja, a integral da soma ou diferença é a 
soma ou diferença das integrais. 
2ª. , ou seja, a 
constante multiplicativa pode ser retirada do 
integrando. 
3ª. , ou seja, a 
derivada da integral de uma função é a 
própria função. 
 
 
 
 Integração por substituição 
Seja expressão . 
Através da substituição u=f(x) por u' = f'(x) 
ou , ou ainda, du = f'(x) dx, vem: 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
28 
, 
admitindo que se conhece . 
O método da substituição de variável exige a 
identificação de u e u' ou u e du na integral 
dada. 
 
INTEGRAIS DEFINIDAS 
 
Seja uma função f(x) definida e contínua 
num intervalo real [a, b]. A integral definida de 
f(x), de a até b, é um número real, e é 
indicada pelo símbolo: 
 
 
onde: 
 a é o limite inferior de integração; 
 b é o limite superior de integração; 
 f(x) é o integrando. 
 
 Se 
 representa a área entre o eixo x e a curva 
f(x), para 
 
 
 
 
 
 Se 
 representa a área entre as curvas, 
para 
 
 
 
Se f(x) ≥ o para a ≤ x ≤ c e f(x) ≤ 0 para c ≤ x 
≤ b, então a área entre f(x) e o eixo x, para a 
≤ x ≤ b, é dada por: 
 
 
 
 
 
 
Se f(x) ≥ g(x), a ≤ x ≤ c, e f(x) ≤ g(x), c ≤ x ≤ 
b, então a área entre f e g, a ≤ x ≤ b, é dada 
por: 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
29 
 
 
 
 
A integral definida, nos exemplos vistos, 
representa uma área, o que ocorre em muitos 
casos, e é uma das formas de se apresentar 
a integral definida. 
De forma geral, para , a área 
limitada por f(x) e o eixo x, é dada 
por ,que pode representar a 
soma das áreas de infinitos retângulos de 
largura e cuja altura é o valor da 
função num ponto do intervalo da base: 
 
 
 Subdividindo o intervalo [a, b] 
em n subintervalos através das abscissas 
x0=a, x1, x2,...,xn=b, obtemos os intervalos (a, 
x1), (x1, x2), ...., (xn-1, b). Em cada intervalo (xi-
1, xi) tomemos um ponto arbitrário hi. 
Seja De acordo 
com a figura, os retângulos formados têm 
área 
 
 Então, a soma da áreas de todos 
os retângulos é: 
 
que nos fornece um valor aproximado da área 
considerada. 
 
Aumentando o número n de 
subintervalos , tal que tenda a 
zero e o número n de 
subintervalos tenda a infinito , temos 
as bases superiores dos retângulos e a curva 
praticamente se confundindo e, portanto, 
temos a área considerada. 
 Simbolicamente, escrevemos: 
 
 
 
Exemplo: 
 Seja a área entre y = x e o eixo x, 
para : 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
30 
 
 
Esta área é dada por: 
 
 
Podemos notar que o processo do limite nos 
leva ao resultado procurado. Dividindo o 
intervalo [0, b] em n subintervalos, cada um 
terá largura . 
 
Sejam, então, os 
pontos 
. 
 Como f(x) = x, então 
 . 
 
 
 
CÁLCULO DA INTEGRAL DEFINIDA 
 
O método que temos para o cálculo da 
área ou da integral definida, no caso, é ainda 
muito complicado, conforme vimos no 
exemplo anterior, pois encontraremos somas 
bem piores. 
Para tal, consideremos a área das figuras 
quando movemos a extremidade direita: 
 
 
 
 
 
 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
31 
 
Se a área é dada por A(x), então A(a) = 0, 
pois não há área alguma. Já A(x) dá a área 
da figura 1, A(b), a área entre 
 
 
ou seja: 
 
 
ou seja, A(x) é uma das antiderivadas de f(x). 
Mas sabemos que se F(x) é antiderivada 
qualquer de f(x), então A(x) = F(x) + C. 
Fazendo x = a, temos: A(a) = F(a) + C = 0 
(A(a) = 0) 
 
Logo, C = - F(a) e A(x) = F(x) - F(a). 
 
Portanto: 
 
 (Teorema 
Fundamental do Cálculo) 
 
 
ou ainda, 
 
. 
 
Exemplos: 
 
 
Note que conseguimos uma forma de calcular 
integrais definidas e áreas sem calcular 
somas complicadas e usando apenas as 
antiderivadas. 
 
PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 
 
UMA VISÃO GERAL DOS MÉTODOS DE 
INTEGRAÇÃO 
 
Métodos de abordagem dos problemas de 
integração 
 Tecnologia - Os programas CAS, 
tais como Mathematica, Maple e 
Derive, são capazes de calcular 
integrais extremamente complicadas, 
e cada vez mais instalações 
modernas de pesquisa estão sendo 
equipadas com tais programas. 
 
 Tabelas - Antes do desenvolvimento 
dos programas CAS, os cientistas 
dependiam enormemente de tabelas 
para o cálculo das difíceis integrais 
que surgem nas aplicações. Tais 
tabelas foram compiladas por muitos 
anos, incorporando habilidade e 
experiência de muita gente. 
 
 Métodos de transformação - São 
métodos para converter integrais não-
conhecidas em conhecidas. Eles 
incluem substituição u, manipulação 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
32 
algébrica do integrado, entre outros 
métodos. 
Nenhum dos três métodos é perfeito; por 
exemplo, os programa CAS frequentemente 
encontram integrais que não são capazes de 
integrar e produzem respostas que são, às 
vezes, excessivamente complicadas, tabelas 
não são exaustivas e podem não incluir uma 
integral de interesse,e os métodos de 
transformação dependem da engenhosidade 
humana,que pode não ser adequada a 
problemas difíceis. 
 
Formulário 
 
CONSTANTES, POTÊNCIAS E 
EXPONENCIAIS1. 
2. 
3. 
4.
 
5. 
 
 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
1.
 
2.
 
3. 
4. 
 
FUNÇÕES HIPERBÓLICAS 
1. 
2. 
3. 
4. 
 FUNÇÕES ALGÉBRICAS (a>0) 
1. 
2. 
3. 
 
4. 
 
INTEGRAÇÃO POR PARTES 
 
Dedução da Fórmula para a Integração por 
Partes 
 
 
 
Se f e g são funções diferenciáveis, então, 
pela regra de diferenciação do produto, 
 
Integrando ambos os lados, obtemos 
 
ou 
 
ou 
 
 
Uma vez que a integral à direita irá produzir 
uma outra constante de integração, não há 
necessidade de manter o C nesta última 
equação; assim sendo, obtemos 
 
(1) 
 
a qual é chamada de fórmula de integração 
por partes. Usando esta fórmula, às vezes 
podemos tornar um problema de integração 
mais simples. 
Na prática, é usual reescrever (1) fazendo 
u=f(x), du=f '(x)dx 
, 
Isso dá lugar à seguinte forma alternativa 
para (1): 
 
(2) 
 
Exemplo 
 Calcule 
Solução. Para aplicar (2), precisamos 
escrever a integral na forma 
 
Uma maneira de fazer isso é colocar 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
33 
 
para que, 
 
 
Deste modo,a partir de(2) 
 
 
Integração por Partes para Integrais 
Definidas 
 
 
Para integrais definidas, a fórmula 
correspondente a (2) é: 
 
 
 
Exemplo 
Calcule 
Solução. Seja 
 
Assim, 
 
 
Mas 
 
 logo 
 
 
Fórmulas de Redução 
 
A integração por partes pode ser usada para 
obter as fórmulas de redução para integrais. 
Estas fórmulas expressam uma integral com 
potência de função em termos de uma 
integral que envolve uma potência mais baixa 
daquela função. Por exemplo, se n for um 
inteiro positivo e n 2, então a integração por 
partes pode ser usada para obter as fórmulas 
de redução. 
 
(2) 
 
 
Para ilustrar como essas fórmulas são 
obtidas,vamos deduzir a fórmula (2). 
 
para que 
 
Transpondo o último termo para o lado 
esquerdo obtém-se 
 
da qual tem-se(2). 
 
Exemplo 
Calcule 
Solução. A partir de (2),com n=4 
 
 
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS 
 
Integração de Potência de Seno e Cosseno 
 
Na seção fórmulas de redução,obtivemos as 
fórmulas 
 
 
 
No caso onde n=2,estas fórmulas ficam 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
34 
 
 
 
Podem-se obter formas alternativas para 
estas fórmulas de integração usando as 
identidades trigonométricas. 
 
 
que provêm das fórmulas para o ângulo duplo 
 
Essas identidades dão lugar a 
 
 
Integração de produtos de senos e 
cossenos 
 
Se m e n são inteiros positivos, então a 
integral 
 
pode ser calculada de diversas 
maneiras,dependendo de m e n serem pares 
ou ímpares. 
 
Exemplo 
 
 
 
Integração de Potências de Tangente e de 
Secante 
 
O procedimento para integração de potências 
de tangente e de secante segue 
paralelamente os do seno e co-seno. A idéia 
é usar as seguintes fórmulas de redução para 
reduzir o expoente do integrando até que a 
integral resultante possa ser calculada: 
 
 
(1) e (2) 
 
No caso onde n for ímpar,o expoente pode 
ser reduzido a um,nos deixando com o 
problema de integrar tgx ou sec x. Estas 
integrais são dadas por: 
 
 
A fórmula pode ser 
obtida escrevendo-se 
 
A fórmula 
 requer um truque. Escrevemos 
 
 
As seguintes integrais ocorrem 
frequentemente,e vale a pena destacar: 
 
 
 
A fórmula(2) já foi vista, uma vez que a 
derivada de tgx é . A fórmula(1) pode 
ser obtida aplicando-se a fórmula de redução, 
com n=2, ou alternativamente,usando-se a 
identidade 
 
 
para escrever 
. 
 
Estudando Cálculo com o Wolfram Alpha 
O Wolpham Alpha é um mecanismo de 
conhecimento computacional desenvolvido 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
35 
pela Wolfram Research. É um serviço on-line 
que responde às perguntas diretamente, 
mediante o processamento da resposta 
extraída de base de dados estruturados, em 
lugar de proporcionar uma lista dos 
documentos ou páginas web que poderiam 
conter a resposta, tal como fazem os 
mecanismos de busca. 
Foi anunciado em março de 2009 pelo físico 
britânico Stephen Wolfram, e esta em 
funcionamento desde 15 de maio de 2009. O 
endereço de acesso é 
www.wolframalpha.com. 
 
Dicas 
1) O WA funciona como um site de busca. Se 
não se souber escrever em linguagem 
matemática, é possível digitar as frases 
completas em inglês. 
 
2) Abreviaturas e notações: 
 
- sqrt = abreviatura de "square root" (raiz 
quadrada); 
- cbrt = abreviatura de "cubic root" (raiz 
cúbica); 
- Para outras raízes, digite o nome da raiz em 
inglês, na forma ordinal. Ex.: 
Fourth root of (raiz quarta de...), fifth root of 
(raiz quinta de...); 
- int = integral indefinida; 
- int (l, L) = integral definida, sendo "l" o limite 
inferior e "L" o limite superior do intervalo 
(separados por vírgula e entre parênteses); 
- dy/dt = derivada de y em relação a x; 
- x^2 = x². 
 
 
 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
36 
ANEXOS 
SÍMBOLOS LÓGICOS E MATEMÁTICOS 
Símbolo Descrição 
 Mais (adição) 
- Menos (subtração) 
 : / Dividido (divisão) 
 
∗ 
∙ 
Vezes (multiplicação) 
= Igual a 
 Diferente de 
 Aproximadamente 
~ Semelhante 
 Maior do que 
 Maior do que ou igual a 
≫ Muito maior do que 
 Menor do que 
 Menor do que ou igual a 
≪ Muito menor do que 
 Mais ou menos 
 Menos ou mais 
 Proporcional 
 Fatorial 
 Infinito 
 Por cento 
 
Por mil 
 Grau 
 Portanto 
 Porque 
¬ Não 
^ E 
V Ou 
 Qualquer 
 Existe 
 Não existe 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
37 
 
Conjunto 
ℝ Conjunto dos números reais 
ℤ Conjunto dos números inteiros 
ℕ Conjunto dos números naturais 
ℚ Conjunto dos números racionais 
ℂ Conjunto dos números complexos 
 Interseção 
⋓ Dupla intersecção 
 União 
⋒ Dupla união 
 Está contido em 
 Não está contido em 
 Contém 
 Pertence 
 Não pertence 
 Conjunto vazio / Diâmetro 
 
Raiz quadrada 
 Congruente 
 Ângulo 
∥ Paralelo a 
 Perpendicular a 
 Diferença ou incremento finito 
 Equivalente a 
 Implica que 
 
Integral 
D Diferencial total 
 Diferencial parcial 
 
Somatório 
Lim Limite 
f(x) Função de x 
Log Logaritmo decimal 
 Logaritmo natural 
|x| Valor absoluto de x 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
38 
 
 
ALFABETO GREGO 
LETRA MAIÚSCULA MINÚSCULA 
Alfa   
Beta   
Gama   
Delta   
Épsilon   
Zeta   
Eta   
Teta   
Iota   
Capa   
Lambda   
Mu   
Nu   
Csi   
Ômicron   
Pi   
Ro   
Sigma   
Tau   
Upsilon   
Fi   
Chi   
Psi   
Ômega   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suplemento de Cálculo para Engenharia 
39 
 
 
CALENDÁRIO PERMANENTE (1901 - 2092) 
Tabela A - Anos Tabela B - Meses 
1901 - 2000 | 2001 - 2092 J F M A M J J A S O N D 
 25 53 81 09 37 65 4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2 
 26 54 82 10 38 66 5 1 1 4 6 2 4 0 3 5 1 3 
 27 55 83 11 39 67 6 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4 
 28 56 84 12 40 68 0 3 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6 
01 29 57 85 13 41 69 2 5 5 1 3 6 1 4 0 2 5 0 
02 30 58 86 14 42 70 3 6 6 2 4 0 2 5 1 3 6 1 
03 31 59 87 15 43 71 4 0 0 3 5 1 3 6 2 4 0 2 
04 32 60 88 16 44 72 5 1 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4 
05 33 61 89 17 45 73 0 3 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5 
06 34 62 90 18 46 74 1 4 4 0 2 5 0 3 6 1 4 6 
07