utilizando o winplot prof. erminia

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Utilizando o Winplot em Laboratórios 
de Informática de Escolas Públicas 
no Estudo de Funções Reais 
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Resumo: O ensino-aprendizagem de funções reais pode ser facilitado e enrique-
cido com a utilização de softwares matemáticos, dentre eles destaca-se 
o Winplot. Esse software é livre e pode ser obtido (na versão em Portu-
guês) através de download pela Internet no seguinte endereço: http://
math.exeter.edu/rparris. O objetivo deste trabalho é mostrar como o 
Winplot pode ser usado para explorar conteúdos matemáticos, com 
destaque para o estudo de funções reais: funções polinomiais, logarít-
micas, exponenciais e trigonométricas, apresentando roteiros de ati-
vidades que tem sido desenvolvidas/aplicadas junto a escolas públicas 
como parte de projetos desenvolvidos sob a orientação da professora 
Ermínia de L. Campello Fanti, em especial o projeto do Núcleo de 
Ensino Informática e Jogos no Ensino de Matemática: 2008-2009. É in-
teressante destacar que a utilização de software como uma ferramenta 
adicional no ensino de Matemática, no Ensino Médio, tem sido suge-
rida pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo. 
Palavras-chave: Software Winplot, funções reais, ensino de Matemática.
Introdução 
O Winplot, um dos softwares do grupo Peanut Software, é uma ferramenta computa-
cional bastante interessante, principalmente para se fazer/representar grá4cos de funções 
1 Docente do Departamento de Matemática – IBILCE/UNESP - SJRP – Coord. do Projeto do Núcleo de Ensino 
2 Professores da E E Profa. Amira Homsi Chalella - SJRP - Colaboradores do Projeto do Núcleo de Ensino
3 Aluna do Curso de Matemática – IBILCE – UNESP - Bolsista do Núcleo de Ensino
4 Aluna do Curso de Matemática – IBILCE – UNESP - Bolsista do Programa Ciência na UNESP
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reais de uma ou duas variáveis (2D e 3D). Foi desenvolvido pelo Professor Richard Parris 
(Rick), da Philips Exeter Academy, por volta de 1985. Inicialmente chamava-se PLOT 
e rodava no DOS. A versão para Windows surgiu em 2001. Além da versão original, em 
inglês, o Winplot possui versões em mais seis idiomas, incluindo o português. A versão 
em Português foi preparada com a assistência de Adelmo Ribeiro de Jesus (Bahia). É um 
programa simples, mas que pode executar um grande número de tarefas. É pequeno e 
roda em sistemas Windows 95/98/ME/2K/XP/Vista/7, e mesmo Linux. Outra de suas 
vantagens é ser livre (gratuito), podendo por isso ser utilizado sem problemas por profes-
sores e alunos dos Ensinos Fundamental, Médio, e Superior. Pode ser obtido, através de 
download pela Internet, no endereço: http://math.exeter.edu/rparris, sendo sua instalação 
bastante rápida e fácil. O objetivo deste trabalho é mostrar como o Winplot pode ser 
usado para explorar conteúdos matemáticos, com destaque para o estudo de funções reais, 
apresentando roteiros de atividades que foram elaborados, após pesquisas e análise biblio-
grá4ca sobre conteúdo de cada série. Esse material foi aplicado junto a escolas públicas 
como parte de projetos desenvolvidos sob a coordenação da professora Ermínia de L. 
Campello Fanti, em especial o projeto do Núcleo de Ensino Informática e Jogos no Ensino 
de Matemática - 2009. 
Desenvolvimento/ Metodologia
O Winplot tem sido utilizado em escolas públicas como parte dos projetos Núcleo de 
Ensino e Ciência na UNESP, desenvolvidos sob a coordenação da Profa. Dra. Ermínia 
de L. Campello Fanti. As atividades são desenvolvidas pelos bolsistas dos referidos pro-
jetos nos Laboratórios de Informática das escolas públicas envolvidas, com o intuito de 
melhorar o aprendizado dos alunos. Visto que a simples possibilidade de visualizar na tela 
do computador os grá4cos das funções reais constitui um recurso pedagógico de alcance 
ilimitado para os mesmos. Dentre as escolas que usamos o Winplot, destacamos a E. E. 
Profa. Amira Homsi Chalella - SJRP, com 1as, 2as e 3as séries do Ensino Médio, dentro do 
projeto do Núcleo de Ensino (só em 2009 – com mais de 340 alunos) e Etec Philadelpho 
Gouvêa Netto - SJRP, em o4cinas oferecidas em 2009, com a colaboração de bolsistas do 
programa Ciência na UNESP, realizadas com todas as classes de 1a e 3a séries , totalizando 
8 classes (cerca de 250 alunos). Nas primeiras séries destaca-se o estudo das funções a4ns, 
quadráticas, exponenciais e logarítmicas. Nas segundas, das funções trigonométricas, e 
nas terceiras das funções polinomiais. A importância do estudo de funções e a análise de 
seus grá4cos é indicada nos Parâmetros Curriculares Nacionais - Parte III - Ciências da 
Natureza, Matemática e suas Tecnologias, por exemplo, na p.44 (no caso do estudo das 
funções trigonométricas)
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[...] Outro tema que exemplica a relação da aprendizagem de Mate-
mática com o desenvolvimento de habilidades e competências é a Trigo-
nometria, desde que seu estudo esteja ligado às aplicações, evitando-se o 
investimento excessivo no cálculo algébrico das identidades e equações 
para enfatizar os aspectos importantes das funções trigonométricas e da 
análise de seus grácos. [...]
Inicialmente foram realizadas pesquisas sobre quais os tópicos podem ser explorados 
com o Winplot, e elaborados roteiros de atividades para serem entregues aos alunos (nas 
aulas de laboratório). Nesses roteiros procurou-se selecionar quais itens devem ser abor-
dados de modo a estar de acordo com o plano de ensino do professor responsável pela 
matéria (nos ensinos fundamental e médio, mais especi4camente ensino médio onde 
temos mais utilizado), não atrapalhando a sequência estabelecida pelo mesmo, e enrique-
cendo e complementando suas aulas, de forma a ter um bom aproveitamento. Espera-se 
que seja possível desenvolver cada roteiro de atividades no período de uma ou duas horas/
aula, como aconteceu, em geral, com as classes de Ensino Médio em que o projeto foi 
desenvolvido/aplicado. Cada aluno anotou, no roteiro recebido, seu nome e suas conclu-
sões/observações. Esse material foi recolhido pelos bolsistas para análise. Os roteiros fo-
ram elaborados de modo que o mesmo possa ser usado por quem não tem familiaridade 
com o software, por isso, no inicio de cada um, alguns passos básicos são apresentados. 
Além disso, mesmo que o aluno já tenha feito alguma atividade utilizando o software, se 
ocorreu um intervalo de tempo, ele pode já ter esquecido os comandos. Seria ótimo se 
todos, alunos e professores, tivessem um bom domínio do software e pudessem, a partir 
das atividades apresentadas aqui, criar as suas próprias aulas/atividades. Mas, em geral, 
não há tempo disponível (em sala de aula) para realizarmos um estudo mais aprofunda-
do de um determinado software. Assim precisamos ser bastante objetivos na utilização 
do espaço, em sala de aula/laboratório, que nos foi concedido. Espera-se que os roteiros 
apresentados aqui (também referidos como “aulas”) sirvam de material auxiliar, e que a 
partir deles, novos roteiros (aulas) possam ser elaborados aprimorando/aprofundando 
ainda mais os conteúdos tratados. 
Observamos que em FANTI, et al. (2008) já foi apresentado um breve relato de como o 
Winplotfoi utilizado no estudo de grá4cos de funções quadráticas/polinomiais de segun-
do grau, explorando os zeros/raízes reais (quando existem), pontos de máximo e mínimo, 
e auxiliando no estudo de fatoração, através do comando adivinhar. 
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Winplot - Noções Básicas e Roteiro de Atividades
Embora os roteiros de atividades, apresentados no 4nal dessa seção tenham sido ela-
borados de modo a não exigir conhecimento do Winplot, apresentamos aqui, antes desses 
roteiros, uma noção básica do software. 
Noções básicas: Tomaremos como referência, neste trabalho, a última versão, em Por-
tuguês existente até então do software Winplot. Com relação aos comandos por nós utili-
zados na elaboração das atividades para o Ensino Fundamental e Médio, as alterações em 
relação às versões anteriores foram poucas. De fato, a versão que utilizamos no projeto 
(em 2009) foi uma versão anterior a essa que referiremos no texto. 
Ao abrirmos o programa nós encontramos inicialmente duas “opções”: Janela e Ajuda. 
Em Janela temos as escolhas: 2-dim, 3-dim, Adivinhar e Mapeador. Além disso, temos 
também Planetas, Abrir última e Usar padrão (ao selecionarmos uma dessas duas últimas 
opções estamos indicando qual arquivo o Winplot vai abrir, se é o último trabalho realiza-
do ou é a tela padrão), e Sair. As opções 2-dim e 3-dim permitem que trabalhemos com 
funções/objetos no plano e no espaço, respectivamente. Estamos mais interessados em tra-
balhar com 2-dim tendo em vista nosso objetivo de explorar grá4cos de funções reais (de 
uma variável real). Ao selecionarmos 2-dim ou 3-dim aparecerá uma tela com os menus: 
Arquivo, Equação, Ver, Mouse (ou Botões – Btns), Um, Dois, Anim, Outros (ou Miscelânia). 
Existe em cada um dos Menus um arquivo de Ajuda, apropriado, em português, que nos dá 
algumas informações sobre a utilização dos comandos do menu selecionado. Por exemplo, 
selecionando Ver (após Janela, 2-dim) e Ajuda, aparecerá um quadro explicativo contendo 
certas informações sobre comandos do Menu Ver (ajuda Winplot).
Daremos uma breve descrição de alguns comandos/opções dos Menus:
Menu Arquivo: Para fechar um arquivo do Winplot que está aberto, clique na 4gura 
(“parábola amarela” – símbolo do Winplot) no canto superior esquerdo da tela, referente 
ao grá4co/arquivo que está aberto, e em seguida em fechar, ou feche clicando em “X” no 
canto à direita.
Para abrir um arquivo do Winplot que já tinha sido salvo (2-dim, por exemplo): clique em 
Janela, 2-dim, irá abrir um arquivo (padrão ou o último que foi feito). Nesse arquivo/tela 
que está aberto, clique em Arquivo, Abrir e em seguida procure o arquivo desejado no local 
disponível, computador ou pen drive, etc. 
Para abrir um arquivo novo, vá em Arquivo e selecione Novo.
Interessante: Para copiar os grá.cos/construções já feitas, para um documento do Word, basta 
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abrir o arquivo do Winplot que contém os grá4cos, selecionar Arquivo e Copiar. Em se-
guida, abrir o arquivo do Word e selecionar editar, colar (ou Ctrl v).
Há outros comandos/funções no menu Arquivo. Podemos, por exemplo, salvar um ar-
quivo do Winplot para o formato EPS, usando Arquivo, Exportação de grá.cos, EPS.
Menu Equação: Em Equação temos os comandos para representações grá4cas:
Equação Explícita (tipo y = f(x) ) 
Equação Paramétrica (x = f(t), y = g(t )) 
Equação Implícita (tipo f(x,y) = c) 
Equação Polar (tipo r = f(t)) 
 Aparecem ainda outras opções como Ponto, Segmento, Reta, Inventário, Fonte, Biblio-
teca, De.nir função, etc... 
Inventário: Fornece uma caixa de diálogo que aparece só depois que o primeiro exem-
plo é criado, permite que você inspecione e edite exemplos existentes e faça outras modi.ca-
ções e construções. Para alterar um exemplo clique sobre a equação/função correspondente a 
ele (na caixa Inventário) com o mouse, e em seguida em editar (faça as alterações e clique 
em OK). Somente um exemplo por vez pode ser selecionado e alterado. Se selecionarmos 
equação na caixa Inventário aparecerá na tela a equação/função correspondente ao exemplo 
trabalhado. Caso a caixa de inventário não esteja aparecendo basta selecionar o menu Equa-
ção e em seguida Inventário. 
Fonte : Permite mudar a fonte usada para mostrar as equações na tela. 
Biblioteca: Dá uma lista de funções (padrão) do Winplot
De.nir função: Permite ampliar a biblioteca, criando uma nova função.
Importante: As funções da opção “Equação Explícita” devem ser digitadas de modo 
compatível com a notação usada na Biblioteca do programa. Listamos a seguir algumas 
funções e o modo de digitá-las no Winplot. 
Função Winplot
y=ax+b ax+b
y=xn x^n
y =| x | abs(x)
y= ) sqr(x)
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) root(n,x) ou x^(1/n)
y = sen x sin(x)
y = cos x cos(x)
 y = tg x tan(x)
y = ax a^x
y = ex e^x ou exp(x)
y = ln x ln(x)
y = loga x log(a, x)
Menu Ver: Alguns dos principais comandos desse menu são Ver, Zoom, Mover, Grade, 
Restaurar, Eixos, Linhas de Grade., 
Ver : Permite redimensionar os eixos, para maior visualização do grá4co.
Zoom: Use as teclas Page Up e Page Down para aproximar ou afastar o grá4co na tela .
Restaurar : Restaura a con4guração padrão.
, - . / 0
: Use as setas (para cima, baixo, direita, esquerda) do teclado para 
PRYHU�R�JUi¿FR�
1
0 2 3 /
: Apresenta um quadro com uma série de opções para melhor adequa-
ção da janela e detalhes relacionados ao sistema de coordenadas subjacente. 
Pode-se colocar vários tipos de 
/ 4 5 2 6 2 4
 nos eixos, usando inclusive múltiplos 
de S, inserir 6 7 8 9 2 3 / : 0 2 3 / , etc. 
Eixos: Muda cor, espessura, etc dos eixos Ox e Oy
Linhas de Grade: Permite adequar cor e espessura da linha de grade.
Menu Mouse (ou Botões- Btns): 
(LB ou BE- Botão Esquerdo - Left ; RB ou BD - Botão Direito - Right). 
Arrastar Box BE/Recentr zoom BD: Quando este comando estiver selecionado, ao clicar 
com BD do mouse sobre um determinado ponto do grá4co, criamos um caixa para visu-
alizar com mais detalhe o grá4co, nas proximidades do ponto, e com BE recentraliza o 
grá4co. Se necessário, use Ver, Restaurar, para voltar a posição inicial. 
Texto: Após selecionar Texto, podemos com BE (do mouse apertado) mover para um 
lugar mais adequado da tela uma equação/lei de uma função, que estiver na tela. Por outro 
lado, ao clicar com o BD aparecerá uma caixa de texto.
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Colar: Com a opção colar selecionada podemos com um clique com BD colar grá4co 
do “clipboard”. Para remover uma 4gura clicar com BD e em apagar.
Coords XY BE/Recentr BD: O botão esquerdo dá as coordenadas do ponto selecionado 
e o direito recentraliza/movimenta o grá4co, sem mudar o tamanho da janela.
Desenhar: Com esta opção selecionada pode-se fazer com BE desenho livre na tela. A 
cor e espessura da linha (do desenho) pode ser também de4nida no menu Mouse.
Menu Um:
Traço: Permite o usuário percorrer o grá4co de uma função, usando uma barra de rola-
gem, visualizar aproximações de Taylor da mesma. É possível também movimentar retas 
secantes por um ponto 4xado na curva, ou ver retas tangentes ao longo da curva. Estas 
duas opções são úteis, por exemplo, para ilustrar o conceito de derivada. 
Zeros: possibilita encontrar (e marcar) as interseções do grá4co de uma funçãocom o 
eixo Ox (zeros).
Extremos: Encontra os pontos de máximo e mínimo da função. 
Integração: Dá opções de integração da função considerada. 
Menu Dois:
Interseções: Determina a interseção entre duas curvas 
Integrações: Dá opções de integração entre duas funções. O programa calcula a integral 
de f - g, onde f e g são funções especi4cadas pelo usuário. 
Combinações: Faz operações com funções: soma, produto, composta, etc. 
Menu Anim (Animação): Permite animar grá4cos de funções ou equações cuja expres-
são foi dada e contenha um ou mais parâmetro (tais parâmetros precisam ser inseridos na 
equação/função). Por exemplo, pode-se trabalhar com a função quadrática y = ax2+bx+c e 
variar valores os valores de a, b ou c após inseri-la (usando Janela, 2-dim, Equação, Explici-
ta, ax^2+bx+c), clicar em Anim e selecionar o parâmetro que queremos variar, suponhamos 
A, e movimentar a barra de rolagem que aparece na caixa auxiliar. O Intervalo de variação 
e a velocidade podem ser adequados.
Menu Outros (ou Miscelânea): Nesse menu encontramos as opções Fontes que permi-
te escolher uma fonte (para Escala dos eixos, Tabelas, Inventário, e Coordenadas), Cores 
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(para Fundo da tela, por exemplo), Eq. dif. miscelânea, Dados, Texto, Tolerância, entre outras. 
Para mudar a cor de fundo da tela selecione: Outros (ou Misc, se for alguma versão anterior), 
Cores, Fundo, Cor (escolha a cor desejada) e fechar.
A seguir vejamos com mais detalhes a opção “Grade” do menu “Ver”: 
Selecionando Janela, 2-dim aparecerá a tela para representarmos os grá4cos. Usando 
as opções Ver, Grade aparecerá uma tela (quadro), como na 4gura seguinte, que indica que 
podemos escolher os intervalos das “marcas” nos eixos x e y, o “número de decimais” em cada 
eixo, etc... 
FIGURA 1: Grade (menu Ver - Winplot)
Mais especi4camente, ao selecionarmos (após Ver, Grade), eixos, ambos (aplicar e fechar): 
aparecerão os dois eixos x e y. Selecionado setas, ambos (aplicar e fechar): aparecerão as setas 
nos eixos x e y. Ainda,
pontos (na segunda linha da caixa de grade): aparecerá uma “malha pontilhada” (pontos 
em cruz).
rótulos ( e ambos) : aparecerão as letras x e y nos eixos.
marcas (ambos): selecionado marcas serão inseridas pequenas marcas verticais nos eixos 
x e/ou y, cujo tamanho pode ser de4nido usando “tamanho da marca”. 
escala (sobre eixos) aparecerão os números nos eixos de acordo com o intervalo e a opção 
escolhida. 
Por exemplo, para o eixo x (já tendo selecionado marcas-ambos) fazendo,
intervalo: 1 , escala (em x) e aplicar, aparecerão os números ... -2, -1, 0, 1, 2, 3... no eixo x. 
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Ou
intervalo: pi/2 (digite dessa forma), selecionando escala (em x), e clicando em pi (de-
pois de freq) e aplicar, aparecerá no local indicado para intervalo x o número (aproximado) 
1.570796, e na tela aparecerão os números .... – S, -S/2, 0, S/2, S, ... no eixo x. 
Decimais: indica o número de casas decimais a ser usado.
Freq: indica a freqüência que queremos que os números apareçam nos eixos. 
Retangular: aparecerá uma tela quadriculada (linhas contínuas).
Pontilhado e Retangular: aparecerá uma tela “quadriculada” formada de linhas pontilhadas.
Alguns Roteiros de Atividades: Na sequência apresentamos roteiros de atividades (que 
referiremos também como “aulas”), que foram elaborados e aplicados em Laboratórios de 
Informática com classes do Ensino Médio: 
Aula 1.Representando pontos e segmentos no plano, 
Aula 2. Funções polinomiais do 1º e 2º graus (ou a4ns e quadráticas),
Aula 3. Funções Exponenciais,
Aula 4.Funções Logarítmicas, 
Aula 5. Função seno,
Aula 6. Função Cosseno,
Aula 7. Funções Polinomiais. 
Para facilitar o uso do material (cópias/xerox) por professores interessados em utilizá-
-los em suas aulas, em Laboratórios de Informática, vamos apresentar os roteiros/aulas 
assim como foram utilizados no projeto, em espaçamento simples (no caso foram incluí-
dos também, nesses roteiros/aulas, os nomes, do projeto na UNESP, da escola de Ensino 
Médio onde foram aplicados, e um espaço para o aluno colocar o seu nome). Ainda, as 
4guras serão numeradas separadamente em cada “aula” proposta. 
Em geral uma “aula” pode ser desenvolvida/trabalhada independentemente das demais. 
Como já observado anteriormente, para o desenvolvimento de algumas dessas “aulas” fo-
ram necessárias mais de uma hora/aula. 
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Aula 1: Representando pontos e segmentos no plano.
Público Alvo: 8ª série Ens. Fund., e 1a a 3a Séries do E. Médio. Software: Winplot
Observação: Para baixar o Winplot use http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html 
(selecione Português). Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o 
tamanho do grá4co/4gura na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas 
(o,n�,m, p).
Apresentamos a seguir os passos básicos para o desenvolvimento das atividades:
Passos: 1) Abrindo o programa e preparando a tela/eixo cartesiano:
a) Abrir o Winplot (software do grupo Peanut - clicar no ícone “parábola amarela”)
b) Clicar em Janela – 2-dim;
c) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver – Grade (alguns itens já são 
estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, am-
bos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo 1(para x e 0 para y), decimais – 0, 
escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular (deixar todos os quadrantes selecionados); 
aplicar e fechar (ver Fig.1.1).
Atividade I. Representar os pontos P1=(2,1), P2=(2,3) e P3=(4,1).
Passos: 2) Representar o ponto P1=(2,1): Equação, ponto, (x,y), digite 2 e 1, tamanho do 
ponto 2, e ok. Deverá aparecer na tela o ponto escolhido. Deverá aparecer também, ao lado, 
um quadro como na Fig. 1.2, caso não apareça selecione no menu (acima na tela) Equação 
e depois Inventário. 
 
 
Figura 1.1: Grade Winplot Figura 1.2: Equação/Inventário - Winplot
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3)Usando essa caixa, clique em equação (para mostrar a equação na tela), automatica-
mente as coordenadas do ponto será exibida na tela.
4) Representando os demais pontos: Para representar os outros pontos na mesma tela 
(ou arquivo) basta repetir (no arquivo que está aberto) o mesmo procedimento: Equação, 
Ponto, (x,y), digite 2 e 3, tamanho do ponto 2, e clique em ok. Use novamente equação (na 
caixa inventário) para exibir as coordenadas do ponto. Agora, repita novamente para o 
ponto (4,1): Equação, Ponto, (x,y), digite 4 e 1, tamanho do ponto 2, ok e equação (para 
mostrar as equações do ponto na tela).
5) Ajustando a “posição do texto/coordenadas” dos pontos na tela: Para colocar na 
tela o texto/coordenadas próximas dos respectivos pontos, simplesmente selecione Mouse 
(ou Bnts), Texto e clique e arraste com o botão esquerdo do mouse apertado as “coordenadas” 
próxima ao respectivo ponto. Na Fig. 1.3, apresentada na seqüência, 4zemos isso com os 
pontos P1 = (2,1) e P2 = (2,3).
6) Digitando um texto na tela: Podemos também (uma vez que já selecionamos Mouse 
(ou Bnts) e Texto), clicar com o botão direito do mouse sobre um local da tela e digitar 
um texto qualquer, por exemplo, “Representando pontos no plano”, ou digitar as coordenadasx e y do ponto (x,y) e em seguida em ok. Para um novo texto, clique novamente na tela 
com o botão direito. Na 4gura digitamos ponto P1, para o ponto (2,1), P2 para (2, 3) e as 
coordenadas de P3, ou seja, (4,1).
7) Caso queira salvar essa atividade, selecione Arquivo, Salvar como, escolha o local a 
ser salvo (Salvar em computador: C, ou pen-drive, etc) e digite o nome adequado para o 
arquivo e clique em Salvar. 
Figura 1.3: Representando pontos
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Atividade II: Representar o segmento com extremos nos pontos (2,1) e (3,3). (Em 
geral não há necessidade de adequar novamente as coordenadas - 4ca a anterior).
Passos: 8) Selecione Arquivo, Novo. Depois, Equação, Segmento, (x,y), digite x= 2 e y= 
1 (primeiro ponto), 3, 3 (para o 2º. ponto), espessura da linha 2, e clique em ok.
Figura 1.4: Segmento
Observação: Algumas variações podem ser feitas de modo a obter um “segmento pon-
tilhado”, a cor seja alterada e espessura da linha. 
Exercícios: 1) Marcar os pontos Q1=(1, -1) e Q2=(3,2; 2) (note, aqui x = 3,2 e y = 2, e 
para o número real 3,2 digitar no Winplot 3.2).
2) Representar os pontos (-2,1) e (0,3) (use tamanho do ponto 3), e o segmento com 
extremos nesses pontos.
3) Representar um triângulo isósceles de base AB, sendo A=(2,1) e B=(4,1).
4) Representar um quadrado de área 4. 
5) Representar um triângulo de área 3 tendo (1,1) como um de seus vértices. 
Aula 2: Grá4cos de funções polinomiais do 1º e 2º graus (ou a4ns e quadráticas).
Público Alvo: 1a Série do Ensino Médio. Software: Winplot
Observação: Para baixar o Winplot use http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html 
Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do grá4co na 
tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas (o,n�,m, p). 
Apresentamos a seguir os passos básicos para o desenvolvimento da atividade:
1) Abrir o Winplot (clicando no ícone – “parábola amarela”)
2) Clicar em Janela – 2-dim;
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3) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver – Grade (alguns itens já são 
estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, am-
bos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo 1 (para x e para y), decimais – 0, 
escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular (deixar todos os quadrantes selecionados); 
aplicar e fechar (ver Fig.2.1). 
4) Clicar Menu Outros – Decimais – digitar 0 e clicar em - ok;
5) Clicar Menu Equação, Explícita: obterá um quadro como na Fig. 2.2 abaixo.
6) Digitar a lei da função f(x) = x+1 e selecionar ok (aparecerá na tela o grá4co). 
 
; < = > ? @ A B C D E F G > H I ? @ J F ; < = > ? @ A B A D E F G > K L > @ M N O P K Q R S T U < V @ W Q X C
7) Na caixa Inventário, clicar em equação para mostrar na tela a lei y=x+1. 
8) Marcar as coordenadas dos pontos do grá4co que intersectam os eixos x e y, para isso 
clicar em Equação – ponto – (x,y)..., digitar as coordenadas dos pontos que intersectam o 
eixo x das abscissas – que no caso é (x= -1, y= 0), repetir para o eixo y das ordenadas, para 
que esse pontos apareçam marcados na tela.
9) Completar: Esta função é _______________ (crescente/decrescente).
10) Menu Equação, Explicita digitar a Função f(x) = -x+1 e clicar em ok.;
11) Clique em equação para mostrar na tela a lei y= - x+1; marcar as coordenadas dos 
pontos do grá4co que intersectam os eixos x e y, como para y=x+1, ver item 8). 
12) Completar: Esta função é ____________ (crescente/decrescente).
13) Clicar Menu – Arquivo – Novo;
14) Menu Equação, Explícita – digitar a função f(x) = x^2+2x-3 e clicar em ok.
15) Quais são os zeros da função? (isto é, as raízes da equação x2 + 2x - 3= 0)?______.
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16) No Menu Equação, Ponto – (x,y)..., digitar as coordenadas dos pontos que corres-
pondem, no grá4co, as raízes/zeros da função (isto é os pontos do grá4co -parábola - que 
intersectam o eixo x das abscissas, ou seja, tem ordenada y = 0).
17) Equação, Ponto - (x,y)..., digitar as coordenadas (x, y) do vértice da parábola.
18) Quais são as coordenadas do vértice? __________;
19) Em que intervalo a função é positiva, ou seja, para quais valores de x tem-se 
y = f(x) > 0 ? _____________ , e negativa? _____________.
20) Exercício: Repetir os itens 13) a 19) para a função função f(x) = -x^2+4x.
Aula 3: Função Exponencial.
Público Alvo: 1ª Série do Ensino Médio. Software: Winplot.
Observação: 
No site http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html pode-se obter o Winplot para 
download (selecione Português). Quando estiver usando o Winplot, para melhor visuali-
zação, utilizar as teclas PageUp para aumentar o tamanho do grá4co na tela (aproximar), 
PageDown para diminuir (afastar) e setas (o,n�,m, p). Para corrigir/alterar dados já 
apresentados na tela selecione Menu Equação – Inventário – Editar.
Passos básicos:
1) Abrir o Winplot;
2) Clicar em Janela – 2-dim;
3) Clicar no menu Mouse (ou botões- Btns) - Coords XY BE/Recentr BD;
4) Clicar no menu Ver – Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela 
padrão no Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y), 
use intervalo 1, decimais -0, escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular; e aplicar e 
fechar .
5) Clicar Menu Outros – Decimais – digitar 0 e clicar em - ok;
6) Clicar no menu Equação, Explícita: aparecerá uma caixa/tela como na 4gura:
 
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; < = > ? @ Y B C D E F G > Z [ \ ] ^ _ ` a b c d e f g h i j k
f(x)=l m n
7) Digitar a função f(x) = 2^x (que signi$ca f(x) = 2x ) e clicar em ok.
8) Na caixa Inventário, clique em equação para mostrar na tela a lei y=2^x 
9) Olhando o grá$co obtido, responda: o que acontece com os valores de y à medida 
que x aumenta? __________________________
10) O que acontece com os valores de y à medida que x diminui? _____________
11) Esta função é crescente ou decrescente? _______. Por quê? ______________
12) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = 0.5 ^x (ou (1/2)^x) e ok.
13) O que acontece com os valores de y à medida que x aumenta? ____________. O 
que acontece com os valores de y à medida que x diminui? _____________.
14) Esta função é crescente ou decrescente? __________ . Por quê? __________.
15) Há uma simetria entres os grá$cos feitos acima?_____________. Se tiver, qual é o 
eixo de simetria entre eles?______________________________________.
16) Os dois grá$cos se cruzam no ponto (0,1) e esse é o único ponto de intersecção dos 
dois grá$cos. Porque?______________________. Justi$car isso algebricamente igualan-
do as duas funções e achando o ponto que as mesmas têm em comum _______________
___________________.
17) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = 1 + 2^x e ok.
18) Os pontos (1,2) (2,4) pertencem ao grá$co da função y=2^x, e os pontos (1,_ ) 
(2,__). pertencem ao grá$co da função f(x)= 1+2^x. Comparando o grá$co dessa última 
função como o da função y= 2^x e, o que você observa (há alguma relação entre eles)?__
__________________________.
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Aula 4:Função Logarítmica.
Público Alvo: 1ª Série do Ensino Médio. Software: Winplot.
Observação Para uma melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar 
o tamanho do grá$co na tela (aproximar) e PageDown para diminuir (afastar) e setas 
(o,n�,m, p). O Winplot pode ser obtido na página http://math.exeter.edu/rparris/win-
plot.html. Para corrigir/alterar dados já apresentados na tela ir em Menu Equação – In-
ventário, selecionar o que se quer alterar– clicar em Editar e fazer as alterações.
Apresentamos a seguir os passos básicos:
1) Abrir o Winplot;
2) Clicar em Janela – 2-dim;
3) Clicar no menu Mouse (Botões- Bnts);
4) Clicar no menu Ver – Grade (alguns itens já são estão selecionados automaticamente/tela 
padrão no Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y), 
use intervalo 1, decimais -0, escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular; e aplicar e 
fechar .
5) Clicar no menu Equação, Explícita: aparecerá uma tela como na Fig. 4.1:
 
o p q r s t u v w x y z { r | } r t ~  € a |
n  ‚ ƒ „
p … t k
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€ q †
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o p q r s t u v
l
x ˆ s ‰ Ł v
xlog2
z
xlog 2/1
6) Digitar a função f(x) = log (2,x) (que signi$ca f(x) = xlog2 ). Em espessura da linha 
digite 2 e clicar em ok.
 7) Clique em equação para mostrar na tela a lei y= log (2,x).
8) Olhando o grá$co obtido, responda: o que acontece com os valores de y à medida 
que x aumenta? __________________________.
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 9) O que acontece com os valores de y à medida que x aproxima de zero (x positivo)? 
_________________.
10) Esta função é crescente ou decrescente? _____________ . Por quê?_________.
11) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = log (0.5 , x).
12) O que acontece com os valores de y a medida que x aumenta? ______________.
13) O que acontece com os valores de y a medida que x tende a zero? ___________.
14) Esta função é crescente ou decrescente? ________________ . Por quê? ______.
15) Há uma simetria entres os grá$cos feitos acima (ver Fig.4.2)?_____________. Se 
tiver, qual é o eixo de simetria entre eles?_______________________________.
16) Os dois grá$cos se cruzam no ponto (1,0) e esse é o único ponto de interseção dos 
dois grá$cos. Porque?______________. Tente justi$car isso algebricamente igualando as 
duas funções e achando o ponto que as mesmas têm em comum.
17) No menu Equação, Explicita digitar a função f(x) = 1 + log(2,x).
18) Os pontos (2,1) (4,2) pertencem ao grá$co da função y = log(2,x), e os pontos 
(2,__) (4,__) pertencem ao grá$co da função f(x) = 1 + log(2,x). Comparando o grá$co 
dessa última função como o da função y = log(2,x), o que você observa (há alguma relação 
entre eles)?____________________.
Aula 5: Função seno.
Público Alvo: 2ª Série do Ensino Médio Software: Winplot
Observação: Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tama-
nho do grá$co na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas (o,n�,m, p). 
O Winplot pode ser obtido na página http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html. 
Passos básicos:
1) Abrir o Winplot; Clicar em Janela – 2-dim.
2) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver – Grade (alguns itens já 
são estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, 
ambos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo pi/4 para x e 1 para y, decimais 
– digite 1, freq. 1, selecione também em pi para x. Escala sobre - eixos, grade – pontilhado 
e retangular (ver Fig. 5.1) 
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3) Clicar Menu Outros – Decimais – digitar - 0, clicar em ok;
4) Clicar Menu Equação, Explícita: aparecerá um quadro como na Figura 5.2.
o p q r s t ‹ v w x y z { r Œ ˆ s t  z o p q r s t ‹ v
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5) Digitar a função f(x) = sin(x) (de fato deveria ser sen(x), mas o software usa sin(x)), 
e clicar em ok. A seguir na caixa Inventário, que vai aparecer, clique em equação (para 
mostrar a equação/lei da função na tela). Responda, qual o Período (da função) ________, 
Amplitude ______ e Conjunto Imagem ___________. 
5.1) Repita: Menu Equação, Explícita, digitar a função f(x) = sin(2x) e clicar em ok. 
A seguir, na caixa Inventario, selecionar equação. Responda qual o Período ______, Am-
plitude_______, Conj. Imagem___________ dessa função.
5.2) Comparar os grá$cos das funções sen(2x) e sen(x) (Fig. 5.3) e responder quais 
alterações podem ser observadas no que se refere a Período ________________, Ampli-
tude ___________ e Imagem _____________.
)LJXUD������*Ui¿FR�GDV�IXQo}HV�VHQ�[��H�VHQ��[��
5.3) Repetir 4) e 5) para obter o grá$co da função f(x) = sen(4x); selecionar também 
equação. Responda, qual o Período _____, Amplitude____, Imagem_______. Comparar 
os grá$cos das funções sen(4x) e sen(x) no que se refere a Período ____________, Ampli-
tude _________ e Conjunto Imagem _____________.
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5.4) Idem para a função f(x) = sen(x/2). Responda, qual o Período _________, Ampli-
tude________ e Imagem__________. Compare os grá$cos das funções sen(x/2) e sen(x) 
no que se refere a Período ____________, Amplitude,_________ e Imagem __________.
6) Menu Arquivo, Novo. Menu Equação, Explicita, digitar a função f(x) = sin(x). se-
lecionar equação na caixa inventario. Dar o Período _______, Amplitude________, Ima-
gem________. 
6.1) Representar o grá$co da função f(x) = 2sen(x); selecionar também equação na caixa 
inventário. Responder qual o Período __________, Amplitude _________ e Imagem 
__________. 
6.3) Comparar os grá$cos das funções 2sen(x) e sen(x) e responder quais alterações 
podem ser observadas no que se refere a Período:_____________, Amplitude,__________ 
e Imagem __________.
6.2) Digitar agora a função f(x) = 3sin(x); selecionar também equação. Responder qual 
o Período ______ Amplitude________ Imagem__________ 
6.4) Comparar os grá$cos das funções 3sen(x) e sen(x) e responder quais alterações 
podem ser observadas no que se refere a Período_____________, Amplitude,__________ 
e Conjunto Imagem ____________.
7) Menu Arquivo, Novo. Menu Equação, Explicita digitar f(x)= sin(x) e selecionar 
também equação na caixa Inventario. Dar: Período _____, Amplitude _____ e Imagem 
________ . 
7.1) Representar o grá$co da função f(x) = 1+sen(x); selecionar equação na caixa in-
ventário e responder, qual o Período _______, Amplitude _______ e Imagem________.. 
7.2) Representar o grá$co da função f(x) = -2+sen(x); selecionar também equação e 
responda, qual o Período ________, Amplitude _______ e Imagem__________.
7.3) Comparar os grá$cos das funções 1+sen(x) e sen(x) e responder quais alterações 
podem ser observadas no que se refere a Período:_______________ __________, Ampli-
tude,_________ e Imagem __________.
7.4) Comparar os grá$cos das funções -2+sen(x) e sen(x). Período _____________, 
Amplitude ___________ e Imagem __________.
8) Representar, usando o Winplot, o grá$co da função f(x)= 1+2sen(4x). 
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Usando o recurso animação: 
1) Adequar o sistema de coordenadas como no item 1), se necessário.
2) Menu Equação, Explicita. Digitar a função f(x) =sin(Ax)
3) Clicar em Anim e depois em Parâmentros A-W (selecione A, se necessário). 
4) Clicar na barra de rolagem que aparece na caixa (“valor corrente de A”) e movi-
mentá-la lentamente com o botão esquerdo do mouse apertado. Observar o que ocorre. 
Podemos também clicar em auto-cícl (nesse caso use no teclado S: para sair/$nalizar, P: 
pausa, R: rápido e L: lento).
Figura 5.4: Anim, Parâmetro “A”
5) Repetir os passos acima para as funções f(x) = Asin(x) e f(x) = A+cos(x).
Aula 6: Função cosseno. 
Público Alvo: 2ª Série do Ensino Médio, Software Winplot
Observação: Para melhor visualização utilizar as teclas PageUp para aumentar o tama-
nho do grá$co na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afastar) e setas (o,n�,m, p). 
O Winplot pode ser obtido na página http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html. 
Para corrigir/alterar dados já apresentados na tela ir em Menu Equação – Inventário, 
selecionar o que se quer alterar– clicar em Editar e fazer as alterações.
Passos básicos:
1) Abrir o Winplot; Clicar em Janela – 2-dim.
2) Adequando nosso sistema de coordenadas: Menu Ver – Grade (alguns itens já são estão 
selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, ambos, 
marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo pi/4 para x e 1 para y, decimais – 
digite 1, freq. 1, selecione também em pi para x. Escala sobre - eixos, grade – pontilhado e 
retangular (Fig. 6.1) 
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3) Clicar Menu Outros (ou Misc) – Decimais – digitar - 0, clicar em ok;
4) Clicar Menu Equação, Explícita: aparecera um quadro como na Fig. 6.2.
 
Figura 6.1: Menu - Grade Figura 6.2: Menu Equação, Explícita, cos(x) 
5) Digitar a função f(x) = cos(x) e clicar em ok. A seguir na caixa Inventário, que vai 
aparecer, clique em equação (para mostrar a equação/lei da função na tela). Responda, qual 
o Período _____ Amplitude_______ e Conjunto Imagem__________.
5.1) Repetir: Menu Equação, Explícita, digitar a função f(x) = 1+cos(x) e clicar em ok. 
A seguir, na caixa Inventario, selecionar equação. Responda qual o Período ________, 
Amplitude _______ e Imagem__________ dessa função. 
5.2) Comparar os grá$cos das funções 1+cos(x) e cos(x) e responder quais alterações 
podem ser observadas no que se refere a Período ____________, Amplitude,_________ 
e Imagem __________.
5.3) Representar o grá$co da função f(x) = -1 +cos(x); dar sua equação (na tela), dar o 
Período ______, Amplitude _____ e Imagem_______. Comparar os grá$cos das funções 
y=cos(x) e f(x)= -1+cos(x) no que se refere a Período, Amplitude e Imagem ___________. 
6) Arquivo, Novo (não precisa salvar o anterior). Representar o grá$co da função f(x) = 
cos(x) (clicar em equação), e depois o de f(x) = (1/2)cos(x) (clicar em equação). Para essa 
última função temos: Período ________, Amplitude ______ e Imagem _______.
6.1) Digitar a função f(x) = [1+cos(x)]/2 = ½ + ½cos(x); mostrar a equação na tela. 
Responder qual o Período ______Amplitude_______ Imagem__________ 
6.2) Qual a diferença entre os grá$cos das funções y=cos(x) e f(x)=(1+cos(x))/2? 
7) Digitar a função f(x) = - cos(x); clique em equação em Inventário. Escrever quais 
diferenças podem ser observadas no que se refere ao Período __________, Amplitude 
_________ e Imagem _________das funções y = cos(x) e f(x) = - cos(x).
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Aula 7: Grá$cos de funções polinomiais.
Público Alvo: 3ª Série do Ensino Médio. Software: Winplot.
Observação: Para melhor visualização na tela do Winplot utilizar as teclas PageUp 
para aumentar o tamanho do grá$co na tela (aproximar), PageDown para diminuir (afas-
tar) e setas (o,n�,m, p). Para corrigir/alterar dados já apresentados na tela do Winplot ir 
ao menu Equação – Inventário, selecionar o que se quer alterar– clicar em Editar e fazer 
as alterações. 
O Winplot pode ser obtido na página http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html. 
Passos:
1) Abrir o Winplot (software do grupo Peanut).
2) Clicar em Janela – 2-dim;
3) Adequando nosso sistema de coordenadas: Clicar Menu Ver – Grade (alguns itens já são 
estão selecionados automaticamente/tela padrão do Winplot). Marcar as caixas: eixos, am-
bos, marcas, setas, escala (marque em x e y - use intervalo 1 (para x e para y), decimais – 0, 
escala sobre - eixos, grade – pontilhado e retangular (deixar todos os quadrantes selecionados); 
aplicar e fechar (ver Fig. 7.1). 
4) Clicar no menu Outros (Misc)– Decimais – digitar 0 e clicar em - ok;
5) Clicar Menu Mouse (Btns – Coords xy BE Recentre BD);
6) Clicar no menu Equação, Explícita: obterá um quadro como na Fig. 7.2 abaixo.
7) Digitar a lei da função f(x) = 2x+1, em espessura da linha digite 2, e selecionar ok 
(aparecerá o grá$co na tela). 
 
Figura 7.1: Menu - Grade Figura 7.2: Menu Equação, Explícita, 2x+1 
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 7.1) A seguir na caixa Inventário, que vai aparecer, clique em equação (para mostrar a 
equação/lei da função na tela).
7.2) Quais são os zeros/raízes da função f(x) = 2x+1? (isto é, as raízes da equação 
2x+1=0?). No menu Equação – Ponto – (x,y)..., digitar as coordenadas dos pontos que 
representam, no grá$co, as raízes da função (isto é os pontos do grá$co que interceptam o 
eixo x das abscissas, ou seja, tem ordenada 0), que no caso é x= – 0,5 (que devemos digitar 
-0.5) e y= 0. 
7.3) Completar: Esta função é _______________ crescente/decrescente.
 Clicar menu – Arquivo – Novo; menu Equação, Explícita – digitar a função f(x) = 
x^2+2x-3 e ok, para obter o grá$co (parábola). 
8.1) Quais são os zeros/raízes da função? (raízes da equação x2 + 2x – 3 = 0 ?) _____ 
_____. No menu Equação – Ponto – (x,y) ..., digitar as coordenadas dos pontos que repre-
sentam, no grá$co, as raízes da função f(x) = x^2+2x-3 (pontos do grá$co que intersectam 
o eixo x, ou seja, tem ordenada 0).
8.2) Quais são as coordenadas do vértice? __________________. 
No menu Equação – Ponto – (x,y)..., digitar as coordenadas (x, y) do vértice. 
A concavidade da parábola nesse caso está voltada para cima ou para baixo?__________.
8.3) Menu Equação – Ponto digitar (x-1)*(x+3). O que você observa relativamente ao 
grá$co dessa função e da anterior?_______________. Note que x^2+2x-3 = (x-1)(x+3) = 
(x+1)(x-2)(x-3). Menu Equação - Explícita – digitar (1/2)*(x-1)*(x+3). E agora o que você 
observa em relação ao grá$co dessa função e da anterior?___________ e com relação às 
raízes/ zeros? ____________.
Menu Equação, Explícita – digitar a função f(x) = -x^2+4x-5.
9.1) Essa função tem raízes reais? ______. Caso tenha marque na tela tais pontos usan-
do Equação, Ponto – (x,y) ... 
9.2) Quais as coordenadas do vértice? _______. Menu Equação – Ponto – (x,y)..., digi-
tar as coordenadas (x, y) do vértice. A concavidade da parábola nesse caso está para cima 
ou para baixo?______ 
 9.3) Menu Equação, Explícita – digitar a função f(x) = -x^2+4x-3. Essa função tem ra-
ízes reais? Compare com o grá$co da função anterior. O que você observa? ___________. 
Note f(x) = -x^2+4x-3 = (-x^2+4x-5) +2
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10) Clicar menu – Arquivo – Novo; menu Equação, Explícita – digitar a função f1(x) 
= x. Equação, Explícita digitar a função f2(x) = x^2. Fazer o mesmo paraas funções f3(x) 
= x^3, f4(x) = x^4 e f5(x) = x^5 . O que você observa com relação aos zeros dessas funções? 
E com relação aos grá$cos? O que acontece próximo da origem, com os grá$cos das 
funções, à medida que aumentamos o grau da função polinomial? __________ ____ 
_______ _____ 
11) Clicar menu – Arquivo – Novo; menu Equação, Explícita – digitar a função f(x) = 
x*(x^2-1) = x^3 - x^2. Quais são os zeros/raízes (reais) dessa função?______. 
12) Menu Equação - Explícita – digitar f(x) = x^3-4x^2+x+6. Quais são os zeros/raízes 
(reais) dessa função polinomial? (isto é, as raízes reais da equação x^3 - 4x^2+x+6 = 0)? 
_____ e _____.
13) Menu Equação - Explícita – digitar (x+1)*(x-2)*(x-3). O que você observa relativa-
mente ao grá$co dessa função e da anterior? Note que x^3-4x^2+x+6 = (x+1)(x^2-5x+6) = 
(x+1)*(x-2)*(x-3). Menu Equação - Explícita – digitar (-1/2)*(x+1)*(x-2)*(x-3). 
E agora o que você observa em relação ao grá$co dessa função e da anterior?_______ e 
com relação aos zeros?______ (ver Fig. 7.3).
14) Menu Equação - Explicita digitar a função f(x) = x^4 – 5x^3 + 5x^2 + 5x – 6. Quais 
são os zeros da função? Menu Equação - Explicita digitar (x^2-1)* (x-2)*(x-3). O que 
você observa, relativamente ao grá$co?_______________.
15) Menu Equação - Explicita digitar (x^2+1)*(x^2-5x+6) ou x^4-5x^3+7x^2-5x +6. 
Quais são os zeros/raízes (reais) dessa função?____________________. 
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RESULTADOS/CONCLUSÕES
As atividades desenvolvidas nos laboratórios de informática das escolas, usando o sof-
tware Winplot no ensino de Matemática, teve uma participação bastante ativa dos alunos 
e o interesse dos mesmos é con$rmado nos questionários de avaliação que apresentamos 
na E.E. Profa. Amira Homsi Chalella e na Etec Philadelpho G. Netto. Os conteúdos 
trabalhados estão de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais e também a Pro-
posta Curricular do Estado de São Paulo ver, por exemplo, o Caderno do Professor de 
Matemática - 2a série, v.1 - 2009, da Secretaria do Estado de São Paulo, p. 36 (Situação de 
Aprendizagem 3 - Grá$cos de funções periódicas envolvendo senos e cossenos):
“[...] sugerimos que o professor utilize um software de construção de grá-
‚cos para auxiliar a compreensão dos alunos e imprimir maior velocida-
de às conclusões.” 
Com o uso do Winplot foi possível detectar, por exemplo, que muitos alunos não ti-
nham entendido, durante o desenvolvimento das aulas normais, os conceitos de amplitude 
e período das funções trigonométricas seno e cosseno, e assim esses conceitos foram re-
tomados e explorados. Destacamos que nas atividades, constam as séries que aplicamos 
(seguimos a seriação de acordo com o proposto no Caderno do Professor – SEE – SP), 
mas tal material pode ser utilizado para outras séries mais avançadas, por exemplo, para 
revisão do assunto. Observamos que de acordo com o interesse e a participação da turma, 
as atividades podem ser enriquecidas. Por exemplo, pode-se incluir, no estudo de funções 
trigonométricas, atividades/perguntas relativas à função ser par ou ímpar. No estudo de 
funções, certamente muitas outras informações podem ser obtidas/exploradas a partir da 
representação grá$ca. Também se pode usar o Winplot para “resolver geometricamente”, 
ou melhor, “testar a veracidade” da solução de um problema que foi obtida através de 
cálculos algébricos. Isso foi feito com classes de 3ªs séries usando algumas questões de 
vestibulares/Enem. Nesse caso, as questões precisam ser previamente selecionadas pelos 
bolsistas e uma melhor adequação do sistema de coordenadas ou alguns passos/comandos 
adicionais do Winplot podem ser necessários. Segue um exemplo:
(UFSCar - 2008) A $gura (Fig. 2 abaixo) indica a representação grá$ca, no plano 
cartesiano ortogonal xOy, das funções y = x2 + 2x - 5 e xy = 6. Sendo P, Q, R os pontos de 
intersecção das curvas, e p, q e r as respectivas abscissas dos pares ordenados que represen-
tam esses pontos, então p + q + r é igual a
(A) -2/3; (B) -1; (C) -3/2; (D) -2; (E) -3.
 
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A solução (algébrica) é obtida resolvendo o sistema de equações y = x2+2x-5 e xy = 6. 
Para a “solução geométrica” (ou teste de veracidade) com o Winplot a sugestão é construir o 
grá$co dessas duas funções no Winplot (usando coordenadas adequadas): no menu Equa-
ção – Explícita digite x^2+2x-5 e dê ok. Novamente no menu Equação – Implícita digite xy 
= 6 e dê ok. Ao fazer as representações geométricas vamos obter os grá$cos como na Fig.3. 
Logo P = (-3, -2); Q = (-1, -6); R = (2,3) e p = -3, q = -1 e r = 2. Donde p+q+r = -2. 
É interessante observar que, comparando o Cabri Géomètre II com o Winplot, o Cabri 
é bastante dinâmico e pode ser utilizado no estudo de vários tópicos dos ensinos funda-
mental, médio (FANTI, et al., no prelo), e superior, mas para o estudo/representação de 
grá$cos de funções reais o Winplot é mais apropriado.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
CARVALHO, P. C. P.; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C.; WAGNER, E. A. Matemática 
do Ensino Médio, v. 1, 2 e 3. IMPA – RJ, Coleção do Professor de Matemática - SBM, 
1998.
FANTI, E.L. C., et al. Ensinando fatoração e funções quadráticas com o apoio de material con-
creto e informática. Livro Eletrônico dos Núcleos de Ensino da Unesp, relativos a trabalhos 
do NE de 2006. Edição 2008, p. 170-184. 
FANTI, E.L.C., et al. Cabri-Géomètre II como um importante instrumento no estudo de con-
teúdos matemáticos no Ensino Médio. Livro Eletrônico dos Núcleos de Ensino da Unesp. 
Relativos a trabalhos do NE de 2008, (submetido – no prelo). 
JESUS, A.; MASCARENHAS, M. G. Atividades Dinâmicas com o Winplot, Winmat e 
Cabri- Géomètre II, UFBA,II Bienal 2004.
JESUS, A. R. Winplot. Revista do Professor de Matemática, v. 47, p. 41-44, 2001.
JESUS, A. R.; SOARES, E. P. Grá$cos animados no Winplot. Revista do Professor de 
Pró Reitoria de Graduação - Núcleos de Ensino da UNESP 
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Matemática, v. 56, p. 34-44, 2005.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio - Parte III, Ciências da 
Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/Semtec, 1999. Disponível em 
http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf (Acesso em 19/07/2010).
SÃO PAULO (Estado) Secretaria da Educação. Caderno do Professor: Matemática. En-
sino Médio - 1ª a 3ª série. Coordenação Geral, São Paulo, SEE, 2009.