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Unidade 2: Teoria de Filas 
Disciplinas de Atendimento 
• FIFO (First-In-First-Out) ou FCFS (first come, first 
served): primeiro cliente a chegar à fila será o 
primeiro a ser atendido. 
• LIFO (Last-In-First-Out) ou LCFS (last come, first 
served): o último cliente a chegar à fila é o primeiro 
a ser atendido. Ex: Retirada de compras do carrinho no 
supermercado para passagem no caixa. 
• SIRO (Service-In-Random-Order): Ordem aleatória. 
Ex: Contemplação de consórcios e a seleção de ganhadores em 
concursos populares. 
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Disciplinas de Atendimento 
 
• SPT (Shortest-Processing-Time first): o cliente a 
ser atendido em primeiro lugar será aquele cujo 
tempo de atendimento é menor. 
 
• PR (Priority Rules): o atendimento faz-se de 
acordo com as regras de prioridades pré-
estabelecidas. Ex: Internação hospitalar ou cirurgias. 
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• Sistemas Estáveis 
 
A abordagem matemática das filas pela teoria de 
filas exige estabilidade no fluxo de chegada e no 
processo de atendimento, ou seja, os valores de 
λ e μ devem se manter constante no tempo. Do 
contrário, devemos nos valer da simulação por 
computador. 
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•Funcionamento de um 
banco; 
 
•Fluxo de chegada de 
clientes varia durante o 
horário bancário. Ou seja, 
não existe estabilidade 
para o ritmo de chegada 
no período das 10 às 16h; 
 
• Filas x Simulação ( λ e μ 
não constantes no tempo); 
• λ e µ constantes no 
tempo, então, filas. 
 
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Ou seja, não existe estabilidade para o ritmo de 
chegada no período das 10:00 às 16:00h, portanto 
não podemos analisar seu funcionamento pela teoria 
das filas, a menos que usemos alguns artifícios, por 
exemplo, retalhar o período global em períodos 
parciais. 
 
 Infelizmente, isso torna ainda mais complexa a 
abordagem pela teoria das filas. Conforme dissemos, 
para esses casos a simulação por computador é a 
ferramenta adequada. 
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Outra exigência para que o processo seja estável 
é que os atendentes sejam capazes de atender o 
fluxo de chegada. No caso de “uma fila e um 
atendente” isso significa dizer que μ > λ ( a 
capacidade de atendimento é maior que o ritmo de 
chegada). Caso isso não ocorra, o tamanho da fila 
aumentará infinitamente. 
 
 
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Resumindo: 
Sistemas Estáveis: 
 
 Fluxo médio de entrada (λ) constante; 
 
 
 Ritmo médio de atendimento (μ) constante; 
 
 μ > λ (uma fila e um atendente) . 
 
 
 
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Em processos randômicos estáveis, μ e λ 
representam valores médios e, para entender a 
razão da ocorrência de filas, quando μ > λ é 
necessário ter em mente que sempre é possível a 
ocorrência de fatos “ruins”, por exemplo: 
 
i. Em determinado instante podem chegar mais 
clientes que a capacidade de atendimento daquele 
momento, gerando filas temporárias. 
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Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
Em processos randômicos estáveis, μ e λ 
representam valores médios e, para entender a 
razão da ocorrência de filas, quando μ > λ é 
necessário ter em mente que sempre é possível a 
ocorrência de fatos “ruins”, por exemplo: 
 
ii. O atendimento de determinado cliente pode ser 
muito mais moroso que a média, obrigando os clientes 
que chegam posteriormente a ficar em fila. 
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Por fim, em sistema estáveis, todas as 
características randômicas das filas se mantêm 
estáveis o tempo todo, significando que oscilam 
em torno de um valor médio. Isso se aplica a 
tamanho médio da fila, tempo médio da fila, 
tempo médio de espera, tempo médio de 
atendimento, etc. 
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DIMENSIONANDO FILAS 
 
Conforme afirmamos anteriormente, estudamos 
filas para dimensionar sistemas com o objetivo de 
prestar um melhor atendimento aos clientes ou 
para obter uma redução de custos do 
funcionamento do sistema. Assim, as 
considerações a seguir valem para qualquer 
situação: sistemas estáveis ou não. 
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A escolha inicial: A qualidade do atendimento 
 
Essa escolha geralmente está ligada à capacidade 
de atendimento a ser implantada e que deverá 
atender os clientes que chegam. As opções são: 
 
• Atendimento para a média de chegada; 
• Atendimento para o pico de chegada; 
• Atendimento para momentos especiais. 
 
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Obtenção de dados: o tamanho da amostra 
 
Para estudar um sistema, é necessário ter alguns 
dados para, de posse deles, deduzir os outros 
necessários ao dimensionamento. Para efetuar 
um correto dimensionamento, é necessário que 
os dados sejam confiáveis. Para isso, a escolha de 
um correto tamanho de amostra é fundamental. 
A não observância desse item pode confundir, 
porque produz diferentes valores para uma 
mesma variável. 
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Obtenção de dados: o tamanho da amostra 
 
Por exemplo, em um sistema estável podemos ter 
um tempo médio de espera na fila de 5 minutos. 
Para chegar a essa conclusão, foi necessário 
observar o funcionamento do sistema durante 
um longo período, no qual inúmeros clientes 
foram atendidos. Se observarmos apenas o 
atendimento de uns poucos clientes, poderemos 
encontrar um valor bastante diferente para o 
tempo médio de espera na fila. 
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Tipo da fila e quantidade de servidores 
 
Quando desejamos dimensionar um sistema, 
podemos escolher diversas opções para o 
atendimento: 
• Uma única fila e um único servidor; 
• Uma única fila e diversos servidores; 
• Diversas filas e os correspondentes servidores; 
• Filas especiais; 
• Alteração dinâmica no sistema de atendimento. 
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A escolha entre as opções anteriores vai 
depender das características do sistema em 
estudo, pois o que pode ser ótimo em uma 
situação pode ser péssimo em outra ou, então, 
inadequado. 
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 Em situações em que a distribuição do tempo de 
atendimento pode variar dentro de uma larga faixa 
de valores, não se recomenda o uso de diversas 
filas, e sim uma fila única. 
 
 É o caso de bancos, correios, etc., em que sempre 
pode ocorrer que alguns clientes apresentem uma 
carga de serviço muito grande, portanto o tempo de 
atendimento para eles será exageradamente maior 
que a média. Sendo assim, uma fila única com 
diversos atendentes é a melhor solução. 
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Em outas situações, é conveniente modificar 
dinamicamente a quantidade de atendentes 
conforme aumente ou diminua o fluxo de 
chegada de clientes. Bancos têm usado esse 
expediente, tornando disponíveis atendentes 
extras nos horários de pico. (verdade para o usuário?) 
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Às vezes a fila única é impraticável, como no caso 
de supermercados. Aqui a existência de “caixas 
expressos”, para clientes com poucos itens de 
compra, representa uma maneira de prestar um 
bom serviço, além de conquistar clientes que, do 
contrário, não se sujeitariam a filas morosas para 
adquirir poucos itens. ( solteiros, famílias cada vez menores, recessão 
econômica, etc.) 
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 Vamos continuar com as considerações conceituais, agora 
com enfoque matemático, no qual apresentaremos as 
chamadas variáveis randômicas fundamentais. 
 
λ = Ritmo médio de chegada; 
µ = Ritmomédia de atendimento; 
c = Capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes. 
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Variáveis Randômicas Fundamentais 
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Variáveis Randômicas Fundamentais 
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 Variáveis referentes ao sistema: 
 
• TS = Tempo médio de permanência no sistema; 
• NS = Número médio de clientes no sistema; 
 
 Variáveis referentes ao processo de chegada: 
 
• λ = Ritmo médio de chegada; 
• IC = Intervalo médio entre chegadas; 
• Por definição: IC = 1/ λ. 
 
 
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Variáveis Randômicas Fundamentais 
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 Variáveis referentes à fila: 
 
• TF = Tempo médio de permanência na fila; 
• NF = Número médio de clientes na fila; 
 
 Variáveis referentes ao processo de atendimento: 
 
• TA = Tempo médio de atendimento ou de serviço; 
• c = Capacidade de atendimento ou quantidade de 
atendentes; 
• NA= Número médio de clientes que estão sendo atendidos; 
 
 
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Variáveis Randômicas Fundamentais 
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 Variáveis referentes ao processo de atendimento 
(cont.): 
 
• µ = Ritmo médio de atendimento de cada atendente; 
 
• Por definição: TA= 1/µ. 
 
 
 
 
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 Relações Básicas: 
 
• NS= NF + NA; 
 
• TS= TF + TA; 
 
Pode-se demonstrar também que: 
 
• NA= λ/µ= TA/IC 
 
• Logo, 
 
• NS= NF+ NA = NF+(λ/µ) ou = NF + (TA/IC) 
 
 
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 Taxa de utilização dos atendentes (conceito): 
 
• Para o caso de uma fila/um atendente, chamamos de 
taxa de utilização do atendente a expressão: 
 ρ = λ / μ , na qual λ = ritmo médio de chegada e μ = 
ritmo médio de atendimento. (c=1) 
 
• Já para o caso de uma fila/vários atendentes, a 
expressão se torna: 
 ρ = λ / c.μ, em que c é o número de atendentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Variáveis Randômicas Fundamentais 
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 Taxa de utilização dos atendentes (conceito): 
 
• Assim, ρ representa a fração média do tempo em 
que cada servidor está ocupado. 
 
 Ex: Sistema com 1 atendente, λ = 4 clientes/hora, 
µ = 10 clientes/hora, dizemos, então, que a taxa de 
utilização é 0,40 e podemos afirmar que o atendente 
fica 40% do tempo ocupado e consequentemente 
60% do tempo livre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Taxa de utilização dos atendentes (conceito): 
 Visto que estudaremos apenas sistemas estáveis (os 
atendentes sempre serão capazes de atender o fluxo 
de chegada, ou seja, µ > λ (sistemas estáveis), 
logo,sempre teremos ρ < 1. 
 
 E quando ρ = 1? 
 
 R: O atendente trabalhará 100% do tempo! (Máquina?) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Intensidade de tráfego ou número mínimo de atendentes (i): 
 
• Chamaremos de intensidade de tráfego a expressão, usada na 
indústria telefônica: 
 
 i = l λ / μ l = l TA / IC l , medido em “erlangs”. Em que i é o 
próximo valor inteiro que se obtém, ou seja, o valor absoluto. 
 
• Na prática i representa o número mínimo de atendentes 
necessários para atender um dado fluxo de tráfego. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Intensidade de tráfego ou número mínimo de 
atendentes , i = l λ / μ l = l TA / IC l ; 
 
• Por exemplo, se λ = 10 clientes/hora e TA= 3 minutos, 
qual seria o valor de i ? (0,5, logo 1 atendente é suficiente). 
 
• Agora, se o fluxo aumentar λ = 50 clientes/hora e TA= 
3 minutos, então, i? (2,5, logo 3 atendentes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Fórmulas de Little 
 J.D.C.Little demonstrou que, para um sistema 
estável (μ > λ) de filas, temos: 
 
• NF = λ x TF 
• NS = λ x TS 
 
 Fórmulas importantíssimas, pois fazem referências a 
quatro das mais importantes variáveis randômicas de 
um sistema de filas: NS, NF, TS e TF. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Fórmulas de Little (cont.) 
 
• NF = λ x TF 
• NS = λ x TS 
 
• É importante salientar que as fórmulas acima 
independem da quantidade de servidores e do 
modelo de fila, pois são fórmulas básicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 O aluno pode observar que existe uma semelhança 
entre as fórmulas de Little e a fórmula sobre 
velocidade da física clássica: 
 
• Little: λ = NF/ TF; 
 
• Física: velocidade = espaço / tempo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercício: ( NF=5,2 clientes, NS= 6 clientes e NA=0,8 cliente.) 
 
1. Em uma fábrica observou-se o 
funcionamento de uma dado setor, em que λ 
= 20 clientes por hora, µ = 25 clientes por 
hora e TS = 0,3 hora. Pede-se o tamanho 
médio da fila (NF), o número médio de 
clientes no sistema (NS) e o número médio 
de clientes que estão sendo atendidos (NA)? 
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Por little, λ= 0,5 chegada por minuto. 
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2. Em uma mineração cada caminhão efetua 
um ciclo em que é carregado de minério por 
uma das carregadeiras, desloca-se para o 
britador (sistema em estudo) onde efetua o 
descarregamento e retorna às carregadeiras. 
Verificou-se que o tempo médio (TS) dos 
caminhões junto ao britador é de 12 minutos 
e que, em média, existem 6 caminhões (NS) 
nesse setor. Qual a taxa de chegada de 
caminhões? 
 
 
 
 
 
 
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• Ciclo 
 Chamamos de ciclo o tempo gasto para que um 
caminhão, partindo de um ponto de referência 
qualquer, percorra todo o sistema e volte ao mesmo 
ponto. Consequentemente, esse também é o tempo 
necessário para que todos os caminhões passem 
pelo mesmo ponto. 
 
• Duração do ciclo = (quantidade de caminhões)/ λ 
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 3. No mesmo sistema do exercício 2 
(mineração/britador), existindo um total de 30 
caminhões em serviço, qual a duração do 
ciclo, sabendo que λ= 0,5 chegada por 
minuto? 
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4. No mesmo sistema do exercício 3 
(mineração/britador), qual o tempo fora do sistema 
(TFS)? Observa-se que o sistema em estudo é o 
britador. Dado do exercício 2, TS = 12 minutos. 
 
 
TFS + TS = Ciclo 
 
 
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Um caminhão está fora do sistema quando não 
ocupa o espaço citado. 
 
 Assim: 
 
• Um ciclo corresponde à soma do tempo dentro do 
sistema (TS=12) mais o tempo fora do sistema (TFS). 
Logo: 
TFS + TS = Ciclo 
 
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**Substituir NS por NF na 1º fórmulas de Little 
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Postulados Básicos (μ > λ, estabilidade)44 
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Lista de Exercício - Exercício 1 
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 Exercício 2 
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 Exercício 3 
47 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 Exercício 4 
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