Lista 5 de Cálculo 1

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Matema´tica para a Economia I - 5a lista de exerc´ıcios
Prof. - Juliana Coelho
1 - Fac¸a o que se pede:
• determine o domı´nio de f(x);
• determine as ass´ıntotas verticais e horizontais, se existirem;
• determine os nu´meros cr´ıticos de f(x), se existirem, e os valores de x para os quais
f(x) e´ crescente e decrescente;
• determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo relativos e os pontos de inflexa˜o, se exis-
tirem, e os valores de x para os quais o gra´fco de f(x) tem concavidade para cima e
para baixo;
• esboce o gra´fico de f(x).
para as func¸o˜es abaixo:
(a) f(x) = x3 − 3x + 2;
(b) f(x) = x3 + 3x2 − 2;
(c) f(x) = 2x2 − x4;
(d) f(x) =
−4
x− 2 sabendo que f
′(x) =
4
(x− 2)2 e f
′′(x) =
−8
(x− 2)3 ;
(e) f(x) =
2x
x− 1 sabendo que f
′(x) =
−2
(x− 1)2 e f
′′(x) =
4
(x− 1)3 ;
(f) f(x) =
1
x2 − 1 sabendo que f
′(x) =
−2x
(x2 − 1)2 e f
′′(x) =
6x2 + 2
(x2 − 1)3 ;
(g) f(x) =
2x
x2 + 1
sabendo que f ′(x) =
−2x2 + 2
(x2 + 1)2
e f ′′(x) =
4x3 − 12x
(x2 + 1)3
.
1
Gabarito:
(a) f(x) = x3 − 3x + 2;
• O domı´nio de f(x) e´ todo o conjunto R;
• A func¸a˜o f(x) na˜o possui ass´ıntotas, ja´ que e´ um polinoˆmio;
• Temos que f ′(x) = 3x2 − 3 e logo os nu´meros cr´ıticos de f(x) satisfazem
f ′(x) = 0 ⇔ 3x2 − 3 = 0 ⇔ x = 1 ou x = −1.
Assim f(x) tem dois nu´meros cr´ıticos, que sa˜o x = −1 e x = 1. Ale´m disso,
fazendo uma ana´lise de sinais de f ′(x) vemos que
f(x) e´ crescente ⇔ f ′(x) > 0 ⇔ x < −1 ou x > 1
f(x) e´ decrescente ⇔ f ′(x) < 0 ⇔ −1 < x < 1.
• Temos que f ′′(x) = 6x e, aplicando o teste da derivada segunda aos nu´meros
cr´ıticos vemos que:
f ′′(−1) = −6 < 0 ⇒ (−1, f(−1)) = (−1, 4) e´ ponto de ma´ximo relativo;
f ′′(1) = 6 > 0 ⇒ (1, f(1)) = (1, 0) e´ ponto de mı´nimo relativo.
Os pontos de inflexa˜o satisfazem
f ′′(x) = 0 ⇔ 6x = 0 ⇔ x = 0,
ou seja, (0, f(0)) = (0, 2) e´ o u´nico ponto de inflexa˜o do gra´fico de f(x). Ale´m
disso, fazendo uma ana´lise de sinais de f ′′(x) vemos que
o gra´fico de f(x) tem concavidade para cima ⇔ f ′′(x) > 0 ⇔ x > 0
o gra´fico de f(x) tem concavidade para baixo ⇔ f ′′(x) < 0 ⇔ x < 0.
• O gra´fico de f(x) se encontra ao final da lista.
(b) f(x) = x3 + 3x2 − 2;
• O domı´nio de f(x) e´ todo o conjunto R;
• A func¸a˜o f(x) na˜o possui ass´ıntotas, ja´ que e´ um polinoˆmio;
• Temos que f ′(x) = 3x2 + 6x e logo os nu´meros cr´ıticos de f(x) satisfazem
f ′(x) = 0 ⇔ 3x2 + 6x = 0 ⇔ x = 0 ou x = −2.
Assim f(x) tem dois nu´meros cr´ıticos, que sa˜o x = −2 e x = 0. Ale´m disso,
fazendo uma ana´lise de sinais de f ′(x) vemos que
f(x) e´ crescente ⇔ f ′(x) > 0 ⇔ x < −2 ou x > 0
f(x) e´ decrescente ⇔ f ′(x) < 0 ⇔ −2 < x < 0.
2
• Temos que f ′′(x) = 6x+ 6 e, aplicando o teste da derivada segunda aos nu´meros
cr´ıticos vemos que:
f ′′(−2) = −12 + 6 = −6 < 0 ⇒ (−2, f(−2)) = (−2, 2) e´ ponto de ma´ximo relativo;
f ′′(0) = 6 > 0 ⇒ (0, f(0)) = (0,−2) e´ ponto de mı´nimo relativo.
Os pontos de inflexa˜o satisfazem
f ′′(x) = 0 ⇔ 6x + 6 = 0 ⇔ x = −1,
ou seja, (−1, f(−1)) = (−1, 0) e´ o u´nico ponto de inflexa˜o do gra´fico de f(x).
Ale´m disso, fazendo uma ana´lise de sinais de f ′′(x) vemos que
o gra´fico de f(x) tem concavidade para cima ⇔ f ′′(x) > 0 ⇔ x > −1
o gra´fico de f(x) tem concavidade para baixo ⇔ f ′′(x) < 0 ⇔ x < −1.
• O gra´fico de f(x) se encontra ao final da lista.
(c) f(x) = 2x2 − x4;
• O domı´nio de f(x) e´ todo o conjunto R;
• A func¸a˜o f(x) na˜o possui ass´ıntotas, ja´ que e´ um polinoˆmio;
• Temos que f ′(x) = 4x− 4x3 e logo os nu´meros cr´ıticos de f(x) satisfazem
f ′(x) = 0 ⇔ 4x− 4x3 = 4x(1− x2) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 1 ou x = −1.
Assim f(x) tem treˆs nu´meros cr´ıticos, que sa˜o x = −1, x = 0 e x = 1. Ale´m
disso, fazendo uma ana´lise de sinais de f ′(x) vemos que
f(x) e´ crescente ⇔ f ′(x) > 0 ⇔ x < −1 ou 0 < x < 1
f(x) e´ decrescente ⇔ f ′(x) < 0 ⇔ −1 < x < 0 oux > 1
• Temos que f ′′(x) = 4−12x2 e, aplicando o teste da derivada segunda aos nu´meros
cr´ıticos vemos que:
f ′′(−1) = 4− 12 = −8 < 0 ⇒ (−1, f(−1)) = (−1, 1) e´ ponto de ma´ximo relativo;
f ′′(0) = 4 > 0 ⇒ (0, f(0)) = (0, 0) e´ ponto de mı´nimo relativo;
f ′′(1) = 4− 12 = −8 < 0 ⇒ (1, f(1)) = (1, 1) e´ ponto de ma´ximo relativo.
Os pontos de inflexa˜o satisfazem
f ′′(x) = 0 ⇔ 4− 12x2 = 0 ⇔ x = 1√
3
ou x =
−1√
3
,
ou seja,(
1√
3
, f
(
1√
3
))
=
(
1√
3
,
5
9
)
e
(−1√
3
, f
(−1√
3
))
=
(−1√
3
,
5
9
)
3
sa˜o os pontos de inflexa˜o do gra´fico de f(x). Ale´m disso, fazendo uma ana´lise de
sinais de f ′′(x) vemos que
o gra´fico de f(x) tem concavidade para cima ⇔ f ′′(x) > 0 ⇔ − 1√
3
< x < 1√
3
o gra´fico de f(x) tem concavidade para baixo ⇔ f ′′(x) < 0 ⇔ x < − 1√
3
ou x > 1√
3
.
• O gra´fico de f(x) se encontra ao final da lista.
(d) f(x) =
−4
x− 2 sabendo que f
′(x) =
4
(x− 2)2 e f
′′(x) =
−8
(x− 2)3 ;
• O domı´nio de f(x) e´ o conjunto dos nu´meros reais x 6= 2;
• Temos que
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
−4
x
= 0 e lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
−4
x
= 0,
mostrando que y = 0 e´ uma ass´ıntota horizontal. Ale´m disso, fazendo um estudo
de sinais de x− 2 vemos que
lim
x→2−
f(x) =
−4
−0 = +∞ e limx→2+ f(x) =
−4
+0
= −∞,
mostrando que x = 2 e´ uma ass´ıntota vertical.
• Como f ′(x) = 4
(x− 2)2 existe para todo x no domı´nio de f(x), os nu´meros cr´ıticos
de f(x) satisfazem
f ′(x) = 0 ⇔ 4
(x− 2)2 = 0,
o que nunca ocorre. Assim f(x) na˜o tem nu´meros cr´ıticos. Ale´m disso, como
(x − 2)2 e´ sempre positivo (por ser um quadrado), vemos que f ′(x) e´ sempre
positivo, ou seja, f(x) e´ sempre crescente.
• Como f(x) na˜o tem nu´meros cr´ıticos, tambe´m na˜o tem pontos de ma´ximo e
mı´nimo relativos. Ale´m disso, como f ′′(x) =
−8
(x− 2)3 , temos que os pontos de
inflexa˜o satisfazem
f ′′(x) = 0 ⇔ −8
(x− 2)3 = 0,
o que nunca ocorre. Assim f(x) na˜o tem pontos de inflexa˜o. Finalmente, como o
sinal de (x− 2)3 e´ igual ao sinal de x− 2, fazendo uma ana´lise de sinais de f ′′(x)
vemos que
o gra´fico de f(x) tem concavidade para cima ⇔ f ′′(x) > 0 ⇔ x < 2
o gra´fico de f(x) tem concavidade para baixo ⇔ f ′′(x) < 0 ⇔ x > 2.
(Note que o sinal de f ′′(x) e´ o contra´rio do sinal de (x − 2)3, ja´ que f ′′(x) =
−8/(x− 2)3 e −8 < 0.)
4
• O gra´fico de f(x) se encontra ao final da lista.
(e) f(x) =
2x
x− 1 sabendo que f
′(x) =
−2
(x− 1)2 e f
′′(x) =
4
(x− 1)3 ;
• O domı´nio de f(x) e´ o conjunto dos nu´meros reais x 6= 1;
• Temos que
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
2x
x
= 2 e lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
2x
x
= 2,
mostrando que y = 2 e´ uma ass´ıntota horizontal. Ale´m disso, fazendo um estudo
de sinais de x− 1 vemos que
lim
x→1−
f(x) =
2
−0 = −∞ e limx→1+ f(x) =
2
+0
= +∞,
mostrando que x = 1 e´ uma ass´ıntota vertical.
• Como f ′(x) = −2
(x− 1)2 existe para todo x no domı´nio de f(x), os nu´meros cr´ıticos
de f(x) satisfazem
f ′(x) = 0 ⇔ −2
(x− 1)2 = 0,
o que nunca ocorre. Assim f(x) na˜o tem nu´meros cr´ıticos. Ale´m disso, como
(x − 1)2 e´ sempre positivo (por ser um quadrado), vemos que f ′(x) e´ sempre
negativo, ou seja, f(x) e´ sempre decrescente.
• Como f(x) na˜o tem nu´meros cr´ıticos, tambe´m na˜o tem pontos de ma´ximo e
mı´nimo relativos. Ale´m disso, como f ′′(x) =
4
(x− 1)3 , temos que os pontos de
inflexa˜o satisfazem
f ′′(x) = 0 ⇔ 4
(x− 1)3 = 0,
o que nunca ocorre. Assim f(x) na˜o tem pontos de inflexa˜o. Finalmente, como o
sinal de (x− 1)3 e´ igual ao sinal de x− 1, fazendo uma ana´lise de sinais de f ′′(x)
vemos que
o gra´fico de f(x) tem concavidade para cima ⇔ f ′′(x) > 0 ⇔ x > 1
o gra´fico de f(x) tem concavidade para baixo ⇔ f ′′(x) < 0 ⇔ x < 1.
• O gra´fico de f(x) se encontra ao final da lista.
(f) f(x) =
1
x2 − 1 sabendo que f
′(x) =
−2x
(x2 − 1)2 e f
′′(x) =
6x2 + 2
(x2− 1)3 ;
• Como
x2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1,
o domı´nio de f(x) e´ o conjunto dos nu´meros reais x 6= ±1;
5
• Temos que
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
1
x2
= 0 e lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
1
x2
= 0,
mostrando que y = 0 e´ uma ass´ıntota horizontal. Ale´m disso, fazendo um estudo
de sinais de x2 − 1 vemos que
lim
x→−1−
f(x) =
1
+0
= +∞ e lim
x→−1+
f(x) =
1
−0 = −∞,
lim
x→1−
f(x) =
1
−0 = −∞ e limx→1+ f(x) =
1
+0
= +∞,
mostrando que x = −1 e x = 1 sa˜o ass´ıntotas verticais.
• Como f ′(x) = −2x
(x2 − 1)2 existe para todo x no domı´nio de f(x), os nu´meros
cr´ıticos de f(x) satisfazem
f ′(x) = 0 ⇔ −2x
(x2 − 1)2 = 0 ⇔ −2x = 0 ⇔ x = 0,
mostrando que x = 0 e´ o u´nico nu´mero cr´ıtico de f(x). Ale´m disso, como (x−2)2
e´ sempre positivo (por ser um quadrado), vemos que o sinal de f ′(x) e´ igual ao
sinal de −2x e portanto
f(x) e´ crescente ⇔ f ′(x) > 0 ⇔ x < 0
f(x) e´ decrescente ⇔ f ′(x) < 0 ⇔ x > 0.
• Como f ′′(x) = 6x
2 + 2
(x2 − 1)3 , aplicando o teste da derivada segunda ao nu´mmero
cr´ıtico encontrado vemos que
f ′′(0) =
2
−1 = −2 < 0 ⇒ (0, f(0)) = (0,−1) e´ ponto de ma´ximo relativo.
Os pontos de inflexa˜o satisfazem
f ′′(x) = 0 ⇔ 6x
2 + 2
(x2 − 1)3 = 0 ⇔ 6x
2 + 2 = 0,
o que nunca ocorre. Ale´m disso, como o sinal de (x2 − 1)3 e´ igual ao sinal de
x2 − 1 e como 6x2 + 2 e´ sempre positivo, fazendo uma ana´lise de sinais de f ′′(x)
vemos que
o gra´fico de f(x) tem concavidade para cima ⇔ f ′′(x) > 0 ⇔ x < −1 ou x > 1
o gra´fico de f(x) tem concavidade para baixo ⇔ f ′′(x) < 0 ⇔ −1 < x < 1.
6
• O gra´fico de f(x) se encontra ao final da lista.
(g) f(x) =
2x
x2 + 1
sabendo que f ′(x) =
−2x2 + 2
(x2 + 1)2
e f ′′(x) =
4x3 − 12x
(x2 + 1)3
.
• Como x2 + 1 e´ sempre diferente de zero (na˜o tem ra´ızes), o domı´nio de f(x) e´ o
todo conjunto R;
• Temos que
lim
x→+∞
f(x) = lim
x→+∞
2x
x2
= 0 e lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
2x
x2
= 0,
mostrando que y = 0 e´ uma ass´ıntota horizontal. A func¸a˜o f(x) na˜o possui
ass´ıntotas verticais.
• Como f ′(x) = −2x
2 + 2
(x2 + 1)2
existe para todo x no domı´nio de f(x), os nu´meros
cr´ıticos de f(x) satisfazem
f ′(x) = 0 ⇔ −2x
2 + 2
(x2 + 1)2
= 0 ⇔ −2x2 + 2 = 0 ⇔ x = −1 ou x = 1,
mostrando que x = −1 e x = 1 sa˜o os nu´meros cr´ıticos de f(x). Ale´m disso,
como (x2 + 1)2 e´ sempre positivo, vemos que o sinal de f ′(x) e´ igual ao sinal de
−2x2 + 2 e portanto
f(x) e´ crescente ⇔ f ′(x) > 0 ⇔ −1 < x < 1
f(x) e´ decrescente ⇔ f ′(x) < 0 ⇔ x < −1 e x > 1.
• Como f ′′(x) = 4x
3 − 12x
(x2 + 1)3
, aplicando o teste da derivada segunda aos nu´mmeros
cr´ıticos encontrados vemos que
f ′′(−1) = −4 + 12
8
= 1 > 0 ⇒ (−1, f(−1)) = (−1,−1) e´ ponto de mı´nimo relativo,
f ′′(1) =
4− 12
8
= −1 < 0 ⇒ (1, f(1)) = (1, 1) e´ ponto de ma´ximo relativo.
Os pontos de inflexa˜o satisfazem
f ′′(x) = 0 ⇔ 4x
3 − 12x
(x2 + 1)3
= 0 ⇔ 4x3−12x = 4x(x2−3) = 0 ⇔ x = 0, x = ±
√
3,
mostrando que o gra´fico de f(x) tem treˆs pontos de inflexa˜o, que sa˜o
(0, f(0)) = (0, 0),
(
√
3, f(
√
3)) =
(
√
3,
√
3
2
)
, e
(−√3, f(−√3)) =
(
−√3, −
√
3
2
)
.
7
Ale´m disso, como o sinal de (x2 + 1)3 e´ igual ao sinal de x2 + 1, que e´ sempre
positivo, vemos que o sinal de f ′′(x) e´ igual ao sinal de 4x3 − 12x = 4x(x2 − 3).
Fazendo assim uma ana´lise de sinais de f ′′(x) vemos que
o gra´fico de f(x) tem concavidade para cima ⇔ f ′′(x) > 0 ⇔ −√3 < x < 0
ou x >
√
3
o gra´fico de f(x) tem concavidade para baixo ⇔ f ′′(x) < 0 ⇔ x < −√3
ou 0 < x <
√
3.
• O gra´fico de f(x) se encontra ao final da lista.
Gra´ficos:
Figura 1: (a) f(x) = x3 − 3x + 2
8
Figura 2: (b) f(x) = x3 + 3x2 − 2
Figura 3: (c) f(x) = 2x2 − x4
9
Figura 4: (d) f(x) =
−4
x− 2
Figura 5: (e) f(x) =
2x
x− 1
10
Figura 6: (f) f(x) =
1
x2 − 1
Figura 7: (g) f(x) =
2x
x2 + 1
11