9) Empuxo de Terra

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Aula 09 – Empuxo de Terra
Prof. Paula Sant'Anna Moreira Pais
paula.pais@prof.unibh.br
1. Conceito de empuxo de terra
 Entende-se por empuxo de terra a ação horizontal
produzida por um maciço de solo sobre as obras com ele
em contato.
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 A determinação do valor do empuxo de terra é fundamental
para a análise de projeto de obras como muros de arrimo,
construção de subsolos, encontro de pontes, etc.
1. Conceito de empuxo de terra
Solo, v = z
h =?
z
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Onde: K= coeficiente de empuxo
K = f ()  Deslocamento 
horizontal
=
h = K v Para tensões 
totais e efetivas
z
v
Considere:
a) Semi-espaço infinito horizontal
b) Homogêneo
c) Isotrópico
Semi-espaço infinito

2. Coeficiente de Empuxo no Repouso
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A 
c) Isotrópico
d) Elástico linear

h
zv . 
z
v

Vamos retirar a porção de
terra à esquerda da linha
vermelha.
Para se manter as condições
2. Coeficiente de Empuxo no Repouso
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A 
h
Para se manter as condições
iniciais, ou seja, não permitir
que ocorram deslocamentos
horizontais, será necessário
substituir por um plano
imóvel, indeformável e sem
atrito.
z’
v

 O solo não sofreu deformações 
laterais (horizontais) logo o estado 
de tensões é o de repouso.
 Nessas condições a pressão 
2. Coeficiente de Empuxo no Repouso
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A ’
h
o
v
h K


oK é o coeficiente de empuxo no repouso  Onde : 
zKK vh  00 
 Nessas condições a pressão 
sobre o plano será horizontal, 
crescerá linearmente com a 
profundidade e valerá:
2. Coeficiente de Empuxo no Repouso
Os valores obtidos experimentalmente para o coeficiente de 
empuxo no repouso (K0) são:
Solo K0
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Solo K0
Argila 0,70 a 0,75
Areia solta 0,45 a 0,50
Areia compacta 0,40 a 0,45
3. Empuxo Ativo e Passivo
 Admitamos que a parede AB sofra
um pequeno deslocamento Δ.
 Como consequência, o terrapleno
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 Como consequência, o terrapleno
se deforma e aparecem então
tensões de cisalhamento, as quais
conduzem a uma diminuição do
empuxo sobre a parede.
 Se, ao contrário, a parede AB
desloca-se de encontro ao terrapleno
(deslocamento Δ), também se
produzem tensões de cisalhamento
no solo, as quais, fazem aumentar o
empuxo sobre a parede.
3. Empuxo Ativo e Passivo
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empuxo sobre a parede.
 Quanto maior o Δ, maior o empuxo.
Esses estados limites de equilíbrio ou
estados plásticos (o primeiro estado
de equilíbrio inferior e o segundo de
equilíbrio superior) são também
chamados estados de Rankine.
 O empuxo de terra que atua sobre um suporte que resiste, porém
cede uma certa quantidade (caso 1), denomina-se empuxo ativo.
Por outro lado, quando a parede é que avança contra o terrapleno,
teremos o chamado empuxo passivo.
3. Empuxo Ativo e Passivo
 Para estes casos
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 Para estes casos
temos os coeficientes
ativo (Ka) e passivo
(Kp).
 Na prática, esses tipos de empuxo se manifestam em diversos
casos.
3. Empuxo Ativo e Passivo
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4. Estado de Tensões no Equilíbrio Plástico
Um maciço de terra encontra-se em equilíbrio plástico quando em
qualquer dos seus pontos há um equilíbrio entre as tensões
cisalhantes e as tensões resistentes.
Estado de tensão ativo:
Desenvolve-se quando o movimento relativo entre o solo e a
estrutura de contenção causa uma expansão no maciço contido,estrutura de contenção causa uma expansão no maciço contido,
levando-o ao equilíbrio plástico.
deslocamento
1
V
H 
Início (1): σV1 e σH1
Fim (2): σV2 e σH2
com o deslocamento: σV1 = σV2
σH1 > σH2
no equilíbrio plástico: σH2 = pa
pa → pressão horizontal ativa
2
4. Estado de Tensões no Equilíbrio Plástico
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4. Estado de Tensões no Equilíbrio Plástico
Estado de tensão passivo:
Desenvolve-se quando o movimento relativo entre o solo e a
estrutura de contenção causa uma compressão no maciço contido,
levando-o ao equilíbrio plástico.
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deslocamento
2
V
H 
Início (1): V1 e H1
Fim (2): V2 e H2
com o deslocamento: V1 = V2
H1 < H2
no equilíbrio plástico: H2 = pp
1
pp → pressão horizontal passiva
4. Estado de Tensões no Equilíbrio Plástico
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5. Teorias do Empuxo de Terra
Teoria de Rankine:
 Desenvolvida para solos não coesivos (granulares) e coesivos.
 Admite que não haja atrito entre o maciço e a parede do muro.
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Teoria de Coulomb:
 Desenvolvida para solos não coesivos.
 Admite que há atrito entre o muro e o maciço.
6. Teoria de Rankine
Baseia-se nas seguintes hipóteses:
 A superfície interna da contenção é vertical
 Não considera o atrito solo-estrutura
 Maciço semi-infinito
 Maciço em equilíbrio plástico
 Obedece ao critério de ruptura de Mohr
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 Obedece ao critério de ruptura de Mohr

Estados de plastificação de Rankine:
Ativo 

Passivo 
 = 45 + f/2  = 45 - f/2
6. Teoria de Rankine
Círculo de Mohr:
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6. Teoria de Rankine
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Planos de ruptura
6. Teoria de Rankine – Empuxo Ativo
 O Empuxo será igual a área do diagrama de pressão e estará
aplicada no centro de massa do diagrama.
Solos não coesivos:
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









2
'
45
'1
'1 2 f
f
f o
a tg
sen
sen
k
EA 
  = 45+f/2
v = 1 = z
h = 3 = Ka  z
dz.z..KE
h
AA  0 
2
2
1
h..KE AA 
h
h/3
 O Empuxo será igual a área do diagrama de pressão e estará
aplicada no centro de massa do diagrama.
Solos não coesivos:
6. Teoria de Rankine – Empuxo Passivo
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EP 

h
 = 45 - f/2
v = 3 =z
h = 1 = KPz
dz.z..KE
h
PP  0 
2
2
1
h..KE PP h/3










2
'
45
'1
'1 2 f
f
f o
p tg
sen
sen
k
6. Teoria de Rankine
 Se a superfície do terreno tem uma inclinação β com o solo,
os valores dos empuxos serão, segundo dedução analítica de
Rankine, respectivamente:
Solos não coesivos:
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 cos
2
1 2
aa KHE 
f
f
22
22
coscoscos
coscoscos


aK
f→ ângulo de atrito interno
Empuxo Ativo:
6. Teoria de Rankine
 Se a superfície do terreno tem uma inclinação β com o solo,
os valores dos empuxos serão, segundo dedução analítica de
Rankine, respectivamente:
Solos não coesivos:
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 cos
2
1 2
pa KHE 
f
f
22
22
coscoscos
coscoscos


pK
f→ ângulo de atrito interno
Empuxo Passivo:
6. Teoria de Rankine
Solos com atrito e coesão
Ativo:
AK2caaha
KczK 2 
zγKa
AK2c
=-
aaha K2czγKσ 
6. Teoria de Rankine
AK2c
aaha KczK 2 
Solos com atrito e coesão - Ativo:
aaha K2czγKσ 
cHKHkE aaa 2
2
1 2  
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6. Teoria de Rankine
Solos com atrito e coesão - Passivo:
pphp KczK 2 
zγKp
pK2c
=+
6. Teoria de Rankine
pphp KczK 2 
Solos com atrito e coesão - Passivo:
cHKHkE ppp 2
2
1 2  
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7. Teoria de Coulomb
 Baseada no equilíbrio do corpo rígido → cunha de solo
determinada por um plano de ruptura frente a um anteparo →
estrutura de arrimo.
 Hipóteses:
 Solo homogêneo e isotrópico; Solo homogêneo e isotrópico;
 A ruptura ocorre sob o estado plano de deformação, ou seja, a
ruptura é tratada como um problema bidimensional;
 Forças de atrito uniformemente distribuídas ao longo da superfície
de ruptura (atrito solo/muro);
 Ao longo da superfície de deslizamento o material se encontra em
estado de equilíbrio limite (critério de Mohr-Coulomb), ou seja, o
estado de equilíbrio plástico é proveniente do peso de uma cunha de
terra.
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7. Teoria de Coulomb
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7. Teoria de Coulomb – Empuxo Ativo
Determina-se o Ea (resultante
de empuxo ativo) traçando-se o
polígono de forças.
P→ Peso da cunha;
R → reação do terreno, fomando um ângulo com a normal à linha de ruptura.
Ea → Empuxo ativo
δ →Atrito entre solo e muro
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7. Teoria de Coulomb – Empuxo Ativo
aa KHE
2
2
1

Empuxo Ativo:
2
2
2
)()(
)()(
1)(
)(












ff

f
sensen
sensen
sensen
sen
Ka
Coeficiente do Empuxo Ativo (Ka):
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7. Teoria de Coulomb – Empuxo Passivo
Determina-se o Ep (resultante
de empuxo ativo) traçando-se o
polígono de forças.
P→ Peso da cunha;
R → reação do terreno, fomando um ângulo com a normal à linha de ruptura.
Ea → Empuxo ativo
δ →Atrito entre solo e muro
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pp KHE
2
2
1

Empuxo Passivo:
7. Teoria de Coulomb – Empuxo Passivo
2
2
2
)()(
)()(
1)(
)(












ff

f
sensensen
sensen
sensen
sen
K p
Coeficiente do Empuxo Passivo (Kp):
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7. Teoria de Coulomb
 Como neste processo não há determinação da pressão
lateral, e sim a determinação direta do empuxo total, não é
possível a determinação do ponto de aplicação do empuxo
pelo centro de gravidade do diagrama de pressão lateral como
na teoria de Rankine.
 No entanto, as expressões obtidas mostram claramente que
o empuxo é resultado de um distribuição triangular das
pressões laterais tanto no estado ativo quanto no passivo.
Então ponto de aplicação do empuxo está localizado,
também neste caso, a uma altura igual “H/3” da base da
estrutura.
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7. Teoria de Coulomb
Tabela de Krey: 
 Facilitam muito a determinação dos valores do empuxo;
 Grande utilidade prática.
Coeficientes de empuxo ativo (E ) para muro com α = 90o e β=0o.Coeficientes de empuxo ativo (Ea) para muro com α = 90
o e β=0o.
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