SLIDE AULA 2

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ENGENHARIA CIVIL 
6º Semestre 
MECANICA DOS SOLOS II 
EMPUXO DE TERRA 
TURMAS: “A” e “C” 
PROF.: Wesley Peres Pereira 
2019/2 
 
 
 
 
 
 
EMPUXOS DE TERRA: 
Aplicações: 
 Empuxo de terra, que deve ser entendido como a ação produzida pelo 
maciço terroso sobre as obras com ele em contato. A determinação da 
magnitude que ocorre é fundamental na análise e projeto de obras como muros 
de arrimo, obras de contenções, cortinas em estacas pranchas, cortinas 
atirrantadas, escorramentos de escavações em geral, construções em subsolos, 
encontros de pontes, entre outras situações semelhantes. 
 A baixo segue ilustrações de exemplo de obras de arrimo em que são 
utilizadas diferentes soluções na estrutura de contenção, a saber: (1) parede 
diafragma atirantada, (2) muro gabião, (3) muro em concreto pré-moldado e (4) 
estacas prancha metálica. 
 Exemplo 1 - Parede diafragma. 
Exemplo de obras onde se faz necessário analise dos empuxos de solo. 
Na obra da foto a seguir vemos o subsolo de um edifício, (Estrutura ativa, pois 
está atirantada) onde foram executadas as paredes e posteriormente conforme 
prossegue a escavação e retirada do solo, também foram sendo executados os 
tirantes. Nesse tipo de obra quase sempre se faz necessário rebaixar o lençol 
freático. (Conhecimentos de permeabilidade - ver Alonzo, Urbano Rodrigues - 
Exercícios de fundações.) 
 
Foto: http://infraestrutura.eng.br/projeto-de-contencao-de-subsolos-de-edificios-
urbanos/ 
Exemplo 2 - Gabião. 
Exemplo de obras onde se faz necessário analise dos empuxos de solo. 
Na obra da foto a seguir vemos a estabilização do terreno através de uma 
técnica conhecida como gabião. Esse é um tipo de estrutura passiva. 
Foto: Eco Engenharia Gabiões. 
 
Exemplo 3 - Muro de Arrimo em Concreto Pré-Moldado. 
 
Foto: GROUNDTECHGEO 
Exemplo 4 - Estacas Pranchas Metálicas. 
Visite o site: http://blog.arcelormittal.com.br/passagens-viarias-subterraneas/ 
foto: https://www.aecweb.com.br/prod/e/estaca-prancha-metalica_19531_47860 
 
 
Foto: http://blog.arcelormittal.com.br/passagens-viarias-subterraneas/ 
 
Empuxo de Terra: 
Quando se realiza uma obra de contenção é necessário determinar o valor 
do empuxo que o maciço de solo irá causar na estrutura utilizada para assim 
conseguir dimensioná-la. 
As teorias utilizadas para determinação do empuxo são todas baseadas 
em 3 simplificações, ou seja, as hipóteses adotadas simplificam a estrutura real 
visando buscar formas de aplicação das formulações desenvolvidas. 
As teorias clássicas sobre empuxo de terra foram formuladas por 
Coulomb (1773) e Rankine (1856), tendo sido desenvolvidas por Poncelet, 
Culmann, Rebhann, Krey e, mais modernamente, estudadas e criticadas por 
Caquot, Ohde, Terzaghi, Brinch Hansen e outros autores (Caputo, 1975). 
O valor do empuxo, tanto de terra quanto de água, assim como a 
distribuição das tensões ao longo da altura da estrutura de contenção, depende 
da interação solo-estrutura durante todas as fases da obra. O empuxo atuante 
sobre o elemento estrutural provoca deslocamentos horizontais que, por sua vez, 
alteram o valor e a distribuição do empuxo, ao longo das fases construtivas da 
obra e até mesmo durante sua vida útil (Magalhães, 2003). 
Assim, quando se realiza um corte em um solo existe uma tendência deste 
se deslocar horizontalmente para o lado onde houve alívio de tensões. Isto 
ocorre, pois o solo busca, por natureza, uma maneira de retornar ao estado de 
repouso, estável, sem empuxo ativo ou passivo, ou seja, sem mais 
deslocamentos. Desta forma, para conter tais deslocamentos, são realizadas 
obras de contenções. 
As pressões que o solo exerce sobre outras estruturas e materiais com 
ele em contato é chamado de empuxo de terra. 
Desta forma podem ser definidas três situações: 
• Estado repouso, 
• Estado ativo 
• Estado passivo. 
A Figura a baixo mostra; 
a) Representado o estado de repouso; 
b) Foi realizado um corte no lado esquerdo da estaca, gerando assim um 
estado ativo; 
c) Mostra um escoramento de uma vala, representando o estado passivo. 
 
O cálculo dos empuxos constitui uma das maiores e mais antigas 
preocupações da engenharia civil; data de 1776 a primeira contribuição efetiva 
ao tema, em muito anterior ao nascimento da Mecânica dos Solos como ciência 
autônoma. Trata-se de um problema de grande interesse prático, de ocorrência 
frequente e de determinação complexa. 
Vilar e Bueno (1979) ressalta que há, em síntese, duas linhas de conduta 
no estudo dos empuxos de terra; 
l) A primeira, de cunho teórico, apóia-se em tratamentos matemáticos 
elaborados a partir de modelos reológicos (estudo de deformações) que tentam 
traduzir, tanto quanto possível, o comportamento preciso da relação tensão x 
deformação dos solos. 
II) A segunda forma de abordagem é de caráter empírico-experimental; 
são recomendações colhidas de observações em modelos de laboratório e em 
obras instrumentadas. A automatização dos métodos numéricos (diferenças 
finitas, método dos elementos finitos) através de computadores e a evolução das 
técnicas de amostragem e ensaios têm propiciado, nos últimos anos, um 
desenvolvimento significativo dos processos de cunho teórico. 
Devido ao tempo e a complexidade do assunto na nossa aula de 
Mecânica dos Solos II, no curso de engenharia civil da Unigran, trataremos 
apenas o processo clássico de determinação de empuxos, baseados na 
teoria da Elasticidade, de Rankine. 
 
Coeficientes de Empuxo K0, Ka, Kp: 
Os empuxos laterais de solo sobre uma estrutura de contenção são 
calculados por intermédio de um coeficiente, o qual é multiplicado pelo valor da 
tensão vertical efetiva naquele ponto. O valor deste coeficiente irá depender do 
solo e ou do processo de interação solo/estrutura, ou seja, dos movimentos 
relativos entre a estrutura de contenção e o solo. Estes coeficientes são 
denominados de coeficientes de empuxo do solo e a depender da direção do 
movimento lateral imposto pela estrutura de contenção, estes são denominados 
de coeficiente de empuxo ativo (Ka) ou passivo (Kp). 
 
O Coeficiente de Empuxo K0: 
No caso de o solo não apresentar deslocamentos laterais, o coeficiente 
de empuxo é denominado de coeficiente de empuxo em repouso do solo 
(K0). As tensões efetivas verticais e horizontais do solo (neste caso) são 
calculadas utilizando as equações abaixo: 
σ'v = γ.h 
σ'h = K0.σ'v 
Onde, 
σ’h – Tensão efetiva horizontal do solo; 
K0 – Coeficiente de empuxo em repouso do solo; 
σ’v – Tensão efetiva vertical do solo; 
h – Altura de solo até onde se quer calcular a tensão vertical. 
 
Determinação do Coeficiente de Empuxo – K0: 
 A determinação do coeficiente de empuxo no repouso pode ser feita pelos 
seguintes métodos; 
• Pela teoria da elasticidade; 
• Por correlações empíricas; 
• Por ensaios de laboratório; 
• Por ensaios de campo. 
No entanto, a sua determinação exata torna-se difícil principalmente por 
dois fatores: alteração do estado inicial de tensões e amolgamento, provocados 
pela introdução do sistema de medidas. Estes dois fatores também influenciam 
o comportamento de amostras utilizadas em ensaios de laboratório. 
No campo da Teoria da Elasticidade considerando o solo como um 
material elástico, linear e isotrópico, em uma condição de compressão confinada, 
o coeficiente de empuxo em repouso do solo é dado pela equação seguinte. 
As equações da teoria da elasticidade, sob a condição de deformações 
horizontais nulas (εx = εy = 0), estimam o valor de K0, função apenas do 
coeficiente de Poisson (µ): 
K0= v/1-v, Onde, 
K0 – coeficiente de empuxo em repouso do solo; 
ν – coeficiente de Poisson; 
 
Para solos, o coeficiente de Poisson é variável em função do material e 
situação de estar drenado ou não. Sorvers (sd) sugere os valores de K0 
calculados e apresentados na Tabela 6.3, considerado o coeficiente de Poisson, 
para solos:0,25 < μ < 0,5. 
Valores de K0 para situações drenadas e não-drenadas, obtido a partir de µ. 
 
Correlações Empíricas (Ensaios): 
 Por meios experimentais também é possível determinar o valor de K0, no 
campo ou em laboratório através de aparelhos como pressiômetro ou ensaios. 
Diversas expressões foram propostas na literatura para estimativa de K0, 
conforme mostra a Tabela a seguir. Estas proposições valem para solos 
sedimentares. Solos residuais e solos que sofreram transformações pedológicas 
posteriores, apresentam tensões horizontais que dependem das tensões 
internas da rocha ou do processo de evolução sofrido. Nestes solos o valor de 
K0 é muito difícil de ser obtido. 
Algumas outras formas de determinação do K0 são por relações 
empíricas, formuladas por Jaky (1948) e estudadas e desenvolvidas por Brooker 
e Ireland (1965), Alpan (1967) e Wroth (1975), sendo feitas considerações como 
argilas normalmente adensadas e pré-adensadas. 
 
Correlações empíricas para estimativa de K0 
 
 
 
 
O CIRCULO DE MOHR E AS TENSOES DE NO SOLOS: 
A variação do estado de tensões nos estados ativo e passivo, assim como 
em repouso, pode ser interpretada com o auxílio do traçado dos círculos de Mohr 
em relação à envoltória de resistência do material, como mostrado na Figura a 
seguir. (no ex., sem coesão). 
 
 
Partindo da tensão vertical σy= ᵞ.z observa-se o maciço se expandindo, a 
tensão horizontal σh decresce até que o círculo se torna tangente à reta de 
Coulomb, neste ponto, ocorre a ruptura e o valor de σh é dado por Ka.ᵞ.z. Assim, 
os pontos de tangência representam estados de tensão sobre planos de ruptura. 
Observa-se, assim, que no estado ativo a plastificação do maciço dá-se 
ao longo de planos definidos por um ângulo de 45 + φ/2 com a horizontal e um 
ângulo de 45 - φ/2 no estado passivo. Ressalta-se que no caso do estado 
passivo, o maciço contraindo-se, a tensão horizontal σh cresce até que o círculo 
se torna tangente, ocorrendo à ruptura. No caso do estado em repouso a tensão 
horizontal σh é menor que a tensão vertical σv, mas não chega a haver ruptura 
(equilíbrio elástico e não plástico como os dois anteriores). 
 
TIPOS DE EMPUXO; 
EMPUXO ATIVO - A Estrutura se desloca para fora do terrapleno. 
O solo sofre uma distensão ao reagir contra esta ação de afastamento do 
plano interno da estrutura de contenção, provocando na massa uma resistência 
ao longo do possível plano de escorregamento. O desenvolvimento de 
resistência ao cisalhamento alivia, até certo ponto, a ação do solo sobre o 
paramento interno da estrutura. 
Este plano de ruptura faz um ângulo α com o traço do plano principal 
maior, caracterizando um estado de tensões, como mostra a Figura limitando-se 
com a superfície do terrapleno e com o paramento interno da estrutura, formando 
assim uma região que é denominada cunha instável. 
Esta cunha está passível de movimento, portanto, nessa região o 
equilíbrio é plástico. Neste caso o solo foi ativado em sua resistência interna, 
sendo chamado de Estado Ativo de Equilíbrio. 
O esforço do solo desenvolvido sobre a estrutura de contenção é 
chamado de Empuxo Ativo. 
 
 
 
Figura: Formação do empuxo ativo e empuxo passivo. 
fonte: https://mdxengenharia.com.br/material-de-apoio-geo5 
 
 
 
EMPUXO PASSIVO - A Estrutura se desloca contra o terrapleno: 
O solo é comprimido pela estrutura, sofre uma compressão na cunha 
instável, gerando, ao longo do plano de ruptura, uma reação ao “arrastamento”, 
ou seja, de resistência ao cisalhamento. O movimento do parâmetro interno 
contra a massa de solo, tentando deslocá-la, provoca o surgimento de uma 
movimentação, que menor seja, terá que vencer essa resistência deslocando o 
peso da massa na região abrangida pela cunha. 
De maneira similar, a cunha instável é limitada pelo plano de ruptura que 
faz um ângulo α com o traço do plano principal maior Figura acima, pela 
superfície do terrapleno e pelo paramento interno da estrutura de contenção, que 
limita a massa de solo responsável por uma compressão no sentido horizontal 
gerando essa situação particular de equilíbrio, como mostra a Figura. A ação do 
solo será passiva ao movimento sendo a situação de equilíbrio chamado de 
Estado Passivo de Equilíbrio, solicitação em que a estrutura recebe todo esforço 
decorrente da ação passiva do solo em relação ao movimento. 
Esse esforço desenvolvido pelo solo sobre o parâmetro interno da 
estrutura é chamado de Empuxo Passivo. 
 
MÉTODO DE RANKINE 
Rankine, no desenvolvimento de sua teoria impõe algumas condições 
iniciais pressupostas como fundamentais para os primeiros passos da análise da 
resistência ao cisalhamento das massas de solos. São elas: 
 a) O solo do terrapleno considerado é areia pura seca (sem coesão) 
homogênea em todo o espaço semi-infinito considerado; 
b) O terrapleno é constituído de uma camada única e contínua de mesmo 
solo e sua superfície superior é horizontal (solo homogêneo); 
c) O atrito entre o terrapleno e o paramento vertical do plano de contenção 
é considerado nulo; d) O terrapleno não tem nenhuma sobrecarga (concentrada, 
linear ou distribuída). 
Para o cálculo da resultante de empuxo que atuam nestes casos, o 
procedimento será análogo ao demonstrado, variando, apenas o coeficiente de 
empuxo, ativo ou passivo, como expresso: 
Para empuxo ativo: Ka = ½.Ka.ᵞ.h². 
Para empuxo passivo: Kp = ½.Kp.ᵞ.h². 
 No caso de risco de elevação do nível de água e formação de pressão 
neutra, considerar no cálculo. 
De forma que, na prática, equivale dizer que ocorrendo pressão neutra 
não prevista anteriormente no cálculo, pode-se se ter um acréscimo de empuxo 
significativo – o que tem sido responsável por diversos insucessos em obras de 
arrimo. A fim de evitar o desenvolvimento de pressões de água junto ao muro 
recomenda-se executar um sistema de drenagem capaz de eliminar águas que 
por ventura venham a se acumular por trás destas paredes. 
 
 
Queda do muro após uma chuva - Valinhos-SP em 02/2019. 
Foto: Defesa civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MÉTODO DE RANKINE - PARA SOLO ARENOSO E SUPERFICIE PLANA: 
O coeficiente de empuxo ativo dos solos granulares (ou arenosos) pelo 
método de Rankine corresponde à seguinte equação: 
Ka = tg² (45 - Φ/2): 
Ka = coeficiente de empuxo ativo do solo granular (ou arenoso); 
 = ângulo de atrito do solo (graus). 
OBS. tg2 () = tg().tg() 
 
Exemplo de valores calculados para Ka. 
.......................Ka 
0........................Ka=1,0 
30......................Ka=0,33 
45......................Ka=0,17 
60......................Ka=0,07 
 
 
a) O empuxo ativo (EA) é igual à área do triângulo de tensões horizontais 
(ABC) de altura igual à H e base igual à KA.vMÁX; 
b) O empuxo ativo (EA) atua no centro de gravidade do triângulo de 
tensões, ou seja, a 1/3 (um terço) da altura do triângulo de tensões. 
 
 
O coeficiente de empuxo passivo dos solos granulares (ou arenosos) 
pelo método de Rankine corresponde à seguinte equação: 
Kp = tg² (45 + Φ/2): 
Kp = coeficiente de empuxo passivo do solo granular (ou arenoso); 
 = ângulo de atrito do solo (graus). 
OBS. tg2 () = tg().tg() 
 
Exemplo de valores calculados para Kp. 
.......................Kp 
0........................Kp=1 
30......................Kp=3,0 
45......................Kp=5,83 
60......................Kp=13,90 
 
A Figura a seguir ilustra o cálculo, pelo método de Rankine, do empuxo passivo 
“atuante” (no sentido de resistência à compressão do solo) no elemento de 
contenção do maciço de solo granular (ou arenoso). 
a) O empuxo passivo (Ep) é igual à área do triângulo de tensões horizontais 
(ABC) de altura igual à H e base igual à Kp.vmax; e 
b) O empuxo passivo (Ep) atua no centro de gravidade do triângulo de tensões, 
ou seja, a 1/3 (um terço) da altura do triângulo de tensões. 
 
Observações: 
a) Oempuxo passivo (EP) é igual à área do triângulo formado pelas tensões 
horizontais passivas; 
b) O empuxo passivo é uma força, que o solo possui para resistir à ruptura por 
compressão. 
 
Empuxo ativo e passivo. Fonte: SLIDESHARE, online. 
 
Queda do muro aconteceu após uma forte chuva que atingiu Valinhos-SP em 2008. 
Foto: Nerivelton Araujo/AAN - 
Referências Bibliográficas: 
BUENO, B. S.; VILAR, O. M. Mecânica dos solos. Vol. 2. São Carlos - SP: 
Escola de Engenharia de São Carlos - USP, 2002. 219p. (Bibliografia Principal) 
CAPUTO, H. P. Mecânica dos solos e suas aplicações. Vol. 2. Rio de Janeiro - 
RJ: Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 1976. 456p. 
Site: http://infraestrutura.eng.br/projeto-de-contencao-de-subsolos-de-edificios-
urbanos/ 
(acesso em 15 de ago. de 2019) 
 
Artigo: https://mdxengenharia.com.br/material-de-apoio-geo5 
(acesso em 15 de ago. de 2019) 
 
Site: http://blog.arcelormittal.com.br/passagens-viarias-subterraneas/ 
(acesso em 20 de ago. de 2019) 
 
Site: https://www.aecweb.com.br/prod/e/estaca-prancha-metalica_19531_47860 
(acesso em 20 de ago. de 2019) 
 
https://www.groundtechgeo.com.au/ 
(acesso em 20 de ago. de 2019) 
 
https://www.ecoengenharia.com.br/produto/gabioes 
(acesso em 20 de ago. de 2019) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 01: 
Para a construção do muro de arrimo esquematizado na figura a seguir, 
considere os seguintes dados: 
 
Dados: 
- Peso específico natural do solo silte arenoso = 15 kN/m3 
- Ângulo de atrito interno do solo silte arenoso = 30º 
- Para o solo silte arenoso o plano principal maior é o plano horizontal. 
 
Ko = (1- sen Φ) 
Onde: 
Ko = coeficiente de empuxo em repouso 
Φ = ângulo de atrito interno do solo 
 
 
A) 187,50 
B) 12,50 
C) 37,50 
D) 93,75 (resposta) 
E) 375,00 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 02: 
Considere o muro de arrimo da figura a seguir: 
 
Dados: 
─ Admitir que para a areia média, o plano principal maior 
seja sempre o plano horizontal. 
─ Massa específica natural da areia média = 18,20 kN/m3. 
─ Ângulo de atrito interno efetivo da areia média = 30º 
K0 = (1−senφ) 
onde: 
K0 = coeficiente de empuxo em repouso. 
φ = ângulo de atrito interno efetivo do solo. 
O empuxo total, em kN, que a areia média exerce sobre o muro de arrimo na 
situação de repouso é: 
A) 109,20. 
B) 54,60. 
C) 40,95. (RESPOTA) 
D) 13,65. 
E) 4,55. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 03: 
Dado o muro de arrimo mostrado na figura, o qual serve para suportar o 
empuxo provocado pelo material depositado ao seu lado (areia). 
 
 
 
Ocorre que o muro não suportou o empuxo provocado e passou a se deslocar 
sobre o material de fundação no qual se apoiava (argila dura), reduzindo, 
portanto, o empuxo da areia. Considere que para a areia o plano principal maior 
é o plano horizontal e o ângulo de atrito interno é 30º. 
 
O empuxo que a areia exerce sobre o muro, na situação de repouso é 
 
a) 19,0 kN 
b) 57,0 kN 
c) 42,7 kN 
d) 35,6 kN 
e) 38,0 kN