mecânica dos solos 2 Empuxos de terra pdf aula 4

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Empuxos de terra
MECÂNICA DOS SOLOS II
AULA 04
Introdução
 O que é empuxo de terra?
Esforço exercido pela terra contra o muro (MOLITERNO, 
1980).
2
Introdução
 O que é empuxo de terra?
Esforço exercido pela terra contra o muro (MOLITERNO, 
1980).
3
vaicomtudo.com
http://www.vaicomtudo.com/2069-9-tipos-de-muro-de-arrimo-e-modelos-de-projetos.html
Introdução
 Qual importância de conhecimento?
4
Introdução
 Qual importância de conhecimento?
- Análise de projetos de obras como muros de arrimo,
cortinas de estacas-prancha, construção de
subsolos;
- Análises solo x elementos estrutural;
- Empuxo provoca: deslocamentos, variações de
tensão.
5
Introdução
 Qual importância de conhecimento?
O projeto e a construção adequada das estruturas de
contenção demanda um conhecimento amplo das forças
laterais que atuam entre a estrutura e as massas de solo que
estão sendo contidas.
6
vaicomtudo.com sopeengenharia.com.br
Objetivos
 Entender e calcular empuxos de terra.
7
Noções de tensões no solo
8
(PINTO, 2006)
Noções de tensões no solo
9
Noções de tensões no solo
10
Noções de tensões no solo
11
(ANTUNES, 2014)
Noções de tensões no solo
12
(ANTUNES, 2014)
Noções de tensões no solo
13
(ANTUNES, 2014)
Noções de tensões no solo
14
’ =  - u
Noções de tensões no solo
15
(PINTO, 2006)
Noções de tensões no solo
16
OBS.:  = sub(ANTUNES, 2014)
Noções de tensões no solo
17
(ANTUNES, 2014)
Noções de tensões no solo
18
(ANTUNES, 2014)
Noções de tensões no solo
19
(ANTUNES, 2014)
Noções de tensões no solo –
Exemplo proposto
20
(ANTUNES, 2014)
Relação entre tensões efetivas 
horizontal (h) e vertical (V)
21
No caso geostático as tensões horizontais associadas às
tensões verticais são definidas em função do coeficiente de
empuxo ao repouso (K0), que é obtido experimentalmente
(ANTUNES, 2014) .
V
h
oK
'
'



(ANTUNES, 2014)
Relação entre tensões efetivas 
horizontal (h) e vertical (V)
22
No caso geostático, as tensões horizontais associadas às
tensões verticais são definidas em função do coeficiente de
empuxo ao repouso (K0), que é obtido experimentalmente
(ANTUNES, 2014).
V
h
oK
'
'



O valor de K0 varia entre
0,3 e 3 dependendo do
tipo de solo, história de
tensões, plasticidade, etc.
Tipo de Solo K0
areia fofa 0,50
areia densa 0,40
argila de baixa plasticidade 0,50
argila muito plástica 0,65
argila pré-adensada > 1
solos compactados > 1
(ANTUNES, 2014)
Distribuição das tensões no 
solo
23
Distribuição das tensões no 
solo
24
(ANTUNES, 2014)
Distribuição das tensões no 
solo
25
(ANTUNES, 2014)
Distribuição das tensões no 
solo
26
Noções de representação de 
tensões em um plano
27
Num plano genérico no
interior do subsolo, a
tensão atuante não é
necessariamente normal
ao plano.
Tensão normal 
positiva
Tensão normal 
negativa
Tensão 
cisalhante 
positiva
Tensão 
cisalhante 
negativa
σ: tensão normal
τ: tensão cisalhante
Noções de representação de 
tensões em um plano
28
• Existem sempre três planos em que a tensão atuante é normal ao
próprio plano, não existindo a componente de cisalhamento;
• Esses planos, em qualquer situação, são ortogonais entre si e
recebem o nome de planos principais.
Tensões principais:
 1  tensão principal maior
 2  tensão principal 
intermediária
 3  tensão principal menor
Noções de representação de 
tensões em um plano
29
• Nos problemas de engenharia, desconsidera-se 2.
Como o solo é isotrópico, 2 é horizontal assim como 3.
Tensões principais:
 1  tensão principal maior
 2  tensão principal 
intermediária
 3  tensão principal menor
Noções de representação de 
tensões em um plano
30
• Do 1 e do 3, há uma resultante  
• A perpendicular a  é a linha de ruptura (ângulo ).
Tensão normal
1 3 1 3 cos2
2 2
     
    
Tensão cisalhante
1 3( ) sen2
2
  
   
Pode-se representar esse estado de 
tensões por meio do CÍRCULO DE MOHR.
Noções de representação de 
tensões em um plano
31
CÍRCULO DE MOHR
Tensão normal, Te
n
sã
o
 d
e
 c
is
a
lh
a
m
e
n
to
, 

3
α
0 2αα
1
τα
Noções de representação de 
tensões em um plano
32
Por que preciso saber disso?
- Compreender melhor a atuação do empuxo;
- Estado de tensão altera com a atuação das forças laterais.
(BITTENCOURT, 2020)
Critérios de ruptura de Mohr-
Coulomb
33
c... Intercepto coesivo
 ... Inclinação da reta
CRITÉRIO DE RUPTURA DE MOHR-COULOMB


’1
1
’2
2
’3
3
c’’tg(’)
Se for areia, c’=0
c’
’
(ANTUNES, 2014b)
Critérios de ruptura
34
Ângulo de atrito (Φ):
- Ângulo de atrito entre as partículas;
- Mais importante para as areias;
- Entre 26° e 35°;
- Influenciado pela rugosidade das partículas.
Coesão:
- Mais importante em solos finos;
- Parcela de coesão advém de forças de atração entre as
partículas e processos de cimentação.
Pressões em repouso, ativa e 
passiva
35
EMPUXO NO REPOUSO
 A massa de solo é delimitada por
um muro sem atrito;
 O muro é estático;
 A massa de solo de solo estará em
equilíbrio estático;
 σ’h é chamada de empuxo de
terra no repouso.
' '
0h vK  
'
v

'
0 '
h
v
K



(DAS, 2011)
Pressões em repouso, ativa e 
passiva
36
EMPUXO ATIVO
 A massa de solo é delimitada por
um muro sem atrito;
 O muro pode se deslocar para
uma posição A’B;
 A massa de solo de solo atingirá
um estado de equilíbrio plástico e
se romperá;
 σ’h = σ’a é chamada de empuxo
ativo.
'
v

' '
h a v
K  
' '
' '
h a
a
v v
K
 
 
 
(DAS, 2011)
Pressões em repouso, ativa e 
passiva
37
EMPUXO PASSIVO
 A massa de solo é delimitada por
um muro sem atrito;
 O muro pode se deslocar para
uma posição A”B;
 A massa de solo de solo atingirá
um estado de equilíbrio plástico e
se romperá;
 σ’h = σ’p é chamada de empuxo
passivo.
'
v

' '
h p v
K  
''
' '
ph
p
v v
K

 
 (DAS, 2011)
Pressões em repouso, ativa e 
passiva
38
Deslocamentos adicionais no muro para além daqueles que
provocam as condições ativa e passiva não mais alteram os
valores assumidos pelas tensões horizontais (BUENO; VILAR, 2004).
(BUENO; VILAR, 2004)
Pressões em repouso, ativa e 
passiva
39
Valores típicos de inclinação do muro para alcançar os estados
ativo e passivo em diversos solos.
Solo l / l (Ativo) l / l (Passivo)
Areia Fofa 0,001 – 0,002 0,01
Areia compacta 0,0005 – 0,001 0,005
Argila mole 0,02 0,04
Argila rija 0,01 0,02
(SOUZA NETO, 2014) (SOUZA NETO, 2014)
EMPUXO: Condição de 
repouso
40
DETERMINAÇÃO DE K0
EMPUXO: Condição de 
repouso
41
EMPUXO RESULTANTE
A força total por comprimento
específico da parede, P0, é igual à
área do diagrama de empuxo.
2
0 0
1
2
P K H 
(DAS, 2011)
EMPUXO: Condição de 
repouso
42
SOLO PARCIALMENTE SATURADO
Para um profundidade z ≤ H1
Para um profundidade z > H1
'
0h K z  
'
1 sub 1( )v H z H     
' '
0 0 1 sub 1( )]h vK K H z H       
1( )wu z H  
(DAS, 2011)
EMPUXO: Condição de 
repouso
43
SOLO PARCIALMENTE SATURADO
Para um profundidade z ≤ H1
Para um profundidade z > H1
'
0h K z  
'
1 sub 1( )v H z H     
' '
0 0 1 sub 1( )]h vK K H z H       
1( )wu z H  
'
h h
u   
0 1 sub 1 1( )] ( )h wK H z H z H        
(DAS, 2011)
EMPUXO: Condição de 
repouso
44
EXEMPLO 1 – A figura mostra um muro de
arrimo de 4,5 m de altura. Impede-se que o
muro ceda. Calcule o empuxo lateral P0
por comprimento específico do muro.
Além disso, determine o local do empuxo
resultante. Suponha que, para a areia,
OCR = 2,5.
7 
m
Areia
c’ = 0
φ’=38o
γ = 17 kN/m³
EMPUXO: Condição de 
repouso
45
EXEMPLO 2 – A figura abaixo
mostra um muro de arrimo de
4,57 m de altura. Impede-se
que o muro ceda. Calcule o
empuxo lateral P0 por
comprimento específico do
muro. Além disso,determine o
local do empuxo resultante.
Suponha que, para a areia,
OCR = 2,0.
3,05 m
Areia
c' = 0
φ'=30o
γ = 15,72 kN/m³
c' = 0
φ'=30o
γsat = 19,24 kN/m³
NA
1,52 m
EMPUXO: Condição de 
repouso
46
Aplicação: muro de flexão executado sobre fundações
profundas (estacas), executada e concretada juntas, configurando uma
estrutura toda “travada”, indeslocável.  repouso
(MARANGON, 2018)
Teoria de Rankine
47
Teoria de Empuxo de Rankine (1857) admite (em sua forma 
original):
 interface muro-solo sem atrito
 paramento do muro é vertical 
 o terrapleno é horizontal 
 solo não coesivo
''
' '
ph
p
v v
K

 
 
' '
' '
h a
a
v v
K
 
 
 
Teoria de Rankine
48
'
v

' '
h a v
K  
' '
' '
h a
a
v v
K
 
 
 
'
v

' '
h p v
K  
''
' '
ph
p
v v
K

 
 
(DAS, 2011) (DAS, 2011)
Teoria de Rankine
49
Tensão normal, 
Te
n
sã
o
 d
e
 
c
is
a
lh
a
m
e
n
to
, 

0
’v’h
φ
’
’a
Com o deslocamento do
muro, a tensão horizontal
decresce até um valor limite
mínimo, correspondente à
ruptura do solo.
EMPUXO ATIVO
Teoria de Rankine
50
Tensão normal, 
Te
n
sã
o
 d
e
 
c
is
a
lh
a
m
e
n
to
, 

A ’v’h
φ
’
’a
' '
2
v a
  
' ' ' '
'
2 2
v a v a
a
     
  
B
C
EMPUXO ATIVO
A partir de relações e
análises do Círculo de
Mohr, determina-se Ka.

Teoria de Rankine
51
EMPUXO ATIVO
' '
' '
'
' ' ' '
2sen
2
v a
v a
v a v a
  
  
  
     
Para o triângulo ABC:
' '
' '
1 sen
1 sen
a
a
v
K
  
 
  
' '
2
'
1 sen
 ou tg 45
1 sen 2
a a
K K
   
   
   
Teoria de Rankine
52
EMPUXO ATIVO
Aplicação: Muro de arrimo
vaicomtudo.com
http://www.vaicomtudo.com/2069-9-tipos-de-muro-de-arrimo-e-modelos-de-projetos.html
Teoria de Rankine
53
Com o deslocamento
do muro, a tensão
horizontal cresce até
um valor limite
máximo,
correspondente à
ruptura do solo.
EMPUXO PASSIVO
Tensão normal, 
Te
n
sã
o
 d
e
 
c
is
a
lh
a
m
e
n
to
, 

0
’v’h
φ
’
’p
Teoria de Rankine
54
EMPUXO PASSIVO
A partir de relações e
análises do Círculo de
Mohr, determina-se
Kp.

Teoria de Rankine
55
EMPUXO PASSIVO
Para o triângulo ABC:
' '
' '
'
' ' ' '
2sen
2
p v
p v
p v p v
  
  
  
     
' '
' '
1 sen
1 sen
p
p
v
K
  
 
  
' '
2
'
1 sen
 ou tg 45
1 sen 2
p p
K K
   
   
   
Teoria de Rankine
56
EMPUXO PASSIVO
Aplicação: Parede de arrimo com tirantes
(MARANGON, 2018)
Teoria de Rankine
57
PLANOS DE RUPTURA
(BUENO; VILAR, 2004)
Teoria de Rankine
58
PLANOS DE RUPTURA
Caso ativo Caso passivo
Teoria de Rankine
59
(BUENO; VILAR, 2004)
Teoria de Rankine
60
 tan c
Foram feitas as considerações sem coesão:
Teoria de Rankine
61
Foram feitas as considerações sem coesão. O que fazer se o
solo tem coesão?
- Faz-se as mesmas análises anteriores (análogo), entretanto,
deve-se considerar a nova posição da reta (com o
intercepto coesivo).
Teoria de Rankine
62
SOLO COM COESÃO: estado ativo
Teoria de Rankine
63
SOLO COM COESÃO: estado ativo
' '2
a a a
K c K   
A coesão irá se opor à 
atuação do empuxo ativo
(DAS, 2011)
Teoria de Rankine
64
SOLO COM COESÃO: estado ativo
0
'2
a a
z K c K 
0
'2
a
a
c K
z
K


0
'2
a
c
z
K

 (MARANGON, 2018)
Teoria de Rankine
65
SOLO COM COESÃO: estado ativo
Fendas de tração
(MARANGON, 2018)
Teoria de Rankine
66
SOLO COM COESÃO: estado passivo
A coesão será somada ao 
empuxo passivo.
' '2
p p p
K c K   
(DAS, 2011)
Teoria de Rankine
67
 A direção dos empuxos ativo
e passivo não é mais
horizontal;
 O empuxo terá a direção da
superfície do terreno e dada
a distribuição triangular de
esforços, atuará a um terço
da base do muro.
c’ = 0
EMPUXO COM ATERRO INCLINADO
(DAS, 2011)
Teoria de Rankine
68
c’ = 0
EMPUXO COM ATERRO INCLINADO
2 2 '
2 2 '
cos cos cos
cos
cos cos cos
a
K
    
 
    
21
2
a a
P K H 
(DAS, 2011)
Teoria de Rankine
69
c’ = 0
EMPUXO COM ATERRO INCLINADO
2 2 '
2 2 '
cos cos cos
cos
cos cos cos
p
K
    
 
    
21
2
p p
P K H 
(DAS, 2011)
Teoria de Rankine
70
EMPUXO COM ATERRO INCLINADO
Valores de Ka
(DAS, 2011)
Teoria de Rankine
71
EMPUXO COM ATERRO INCLINADO
Valores de Kp
(DAS, 2011)
Teoria de Rankine
72
EXEMPLO 3 – Para o muro de arrimo da
figura, determine os empuxos ativo e
passivo de Rankine por comprimento
específico do muro e a localização do
empuxo resultante.
6 m
c’ = 0
φ’=36o
γ = 16 kN/m³
OCR = 1
Areia
Teoria de Rankine
73
EXEMPLO 4 – Para o muro de
arrimo da figura, determine:
a) Trace diagrama de pressão
de terra ativa.
b) A que altura ocorre a fenda
de tração?
c’ = 10 kN/m²
φ’=0o
γ = 16,5 kN/m³
Argila mole 
saturada
4 m
Teoria de Coulomb
74
• Baseia-se na ideia de que há uma superfície de ruptura;
• Diferença para teoria de Rankine: há atrito entre muro e
solo; não menciona ponto de aplicação da carga.
Empuxo: fatores de influência
75
• Influência da pressão neutra;
• Sobrecarga na superfície do terreno;
• Atrito entre o solo e o muro;
• Fendas de tração;
• Paredes irregulares;
• Solos estratificados.
Referências bibliográficas
76
ANTUNES. A. F. N. R. Resistência a cisalhamento de solos. Notas 
de aula. Univasf. 2014b. 
ANTUNES. A. F. N. R. Tensões no solo. Notas de aula. Univasf. 
2014. 
BITTENCOURT, D. M. A. Empuxos de terra – Teoria de 
Coulomb/Teoria de Rankine. PUC Góias. Disponível em: 
http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivos
Upload/17430/material/GEO_II_11_Empuxos%20de%20Terra.pdf
BUENO, Benedito de Souza; VILAR, Orêncio Monje. Mecânica 
dos Solos Volume II. Universidade de São Paulo. 2004.
http://professor.pucgoias.edu.br/SiteDocente/admin/arquivosUpload/17430/material/GEO_II_11_Empuxos de Terra.pdf
Referências bibliográficas
77
DAS, B. M. Fundamentos da engenharia geotécnica. São 
Paulo: Cangage Learning, 2011.
MARANGON, M. Mecânica dos solos II. Faculdade de 
Engenharia – NuGeo/Núcleo de Geotecnia. 2018.
MOLITERNO, Antônio. Caderno de muro de arrimo. São Paulo: 
Edgard Blucher. 1980.
PINTO, C.S. Curso Básico de Mecânica dos Solos. 2.ed São 
Paulo: Oficina de Textos, 2006.
SOUZA NETO, J. B. Empuxo de terras. Notas de aula. Univasf. 
2014.