Equação Diferencial

Prévia do material em texto

Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Curitiba 
Gerência de Ensino e Pesquisa 
Departamento Acadêmico de Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
NOTAS DE AULA DESTINADA A DISCIPLINA MA52F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa Paula Francis Benevides 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 1
AULA 01 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
1 – INTRODUÇÃO: 
 Antes de mais nada, vamos recordar a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, 
embora a derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois 
operadores têm significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são: 
a) a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por 
exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades 
puramente matemáticas; 
b) a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência 
entre os pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo 
grau em uma função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de 
uma grandeza; 
c) a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação 
que envolve uma grandeza; 
d) o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura; 
conseqüentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser 
aplicada a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo); 
e) Se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se: 
 
 em total semelhança com a definição de derivada. A conseqüência direta desse fato é 
que a derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se 
fosse esse quociente. Isto significa que a partir da relação: 
 
 é possível escrever: 
 dy = f(x).dx 
 que se denomina equação diferencial. 
f) uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a 
obtenção da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo 
Integral. 
 
1.1 - Definição: Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas 
derivadas ou diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas para 
a forma diferencial. As equações diferenciais da forma ( )yfy =′ são chamadas de 
autônomas. 
 
Exemplos: 
 
1) 13 −= x
dx
dy
 
 
2) 0=− ydxxdy 
 
3) 
2
2 3 2 0
d y dy y
dxdx
+ + = 
 
4) 2"' 2( ") ' cosy y y x+ + = 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 2
5) 2 3 2( ") ( ') 3y y y x+ + = 
 
6) 
2 2
2
2 2
z z x y
x y
∂ ∂+ = +∂ ∂ 
 
7) 
z zz x
x y
∂ ∂= +∂ ∂ 
 
1.2 - Classificação: 
 Havendo uma só variável independente, como em (1) a (5), as derivadas são ordinárias 
e a equação é denominada equação diferencial ordinária. 
 Havendo duas ou mais variáveis independentes, como em (6) e (7), as derivadas são 
parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial. 
 
1.2.1 - Ordem: A ordem de uma equação diferencial é a ordem de mais alta derivada que 
nela aparece. As equações (1), (2) e (7) são de primeira ordem; (3), (5) e (6) são de segunda 
ordem e (4) é de terceira ordem. 
 
1.2.2 - Grau: O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando a 
derivadas, como um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. 
Todas as equações dos exemplos acima são do primeiro grau, exceto (5) que é do segundo 
grau. 
 
 As equações diferenciais parciais serão vista mais adiante. 
 
Exemplos: 
 
1
3
33
3
=−
dx
yd
y
dx
ydx ⇒ 3
32
3
3
dx
ydy
dx
ydx =−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 ⇒ 3a ordem e 2o grau 
 
 
yxLg
dx
dy =− 2ln ⇒ y
x
dx
dy
=2ln ⇒ yedx
dy
x
=.12 ⇒ yexdx
dy 2= ⇒ 1a ordem e 1o grau 
 
 Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato 
quanto a ordem e grau. 
 
 
1.3 – Origem das Equações Diferenciais: 
 Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como 
4y x Cx= + ou 2y Ax Bx= + , é chamada uma primitiva. As n constantes, representadas 
sempre aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não puderem ser 
substituídas por um número menos de constantes. 
 Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem a 
uma equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação aparece 
eliminando-se as n constantes entre as (n + 1) equações obtidas juntando-se à primitiva as n 
equações provenientes de n derivadas sucessivas, em relação a variável independente, da 
primitiva. 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 3
Exemplos: Obter a equação diferencial associada às primitivas abaixo: 
 
a) 6
2
3 2 +−= xxy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y = C1 sen x + C2 cos x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) y = Cx2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) y = C1 x2 + C2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 4
e) y = a cos(x + b) onde a e b são constantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) y = C1 e3x + C2 e- 2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 01 – EXERCÍCIOS 
1) x2 + y2 = C2 
2) y = C ex 
3) x3 = C (x2 – y2) 
4) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x 
5) y = (C1 + C2x) ex + C3 
6) y = C1 e2x + C2 e- x 
7) ay
y
x += 1ln 
8) x2y3 + x3y5 = C 
9) y = Ax2 + Bx + C 
10) y = Ae2x + Bex + C 
11) y = C1e3x + C2e2x + C3 ex 
12) ln y = Ax2 + B 
Respostas: 
1) 0=+ ydyxdx 
2) 0=− y
dx
dy
 
3) 
dx
dyxyxy 23 22 =− 
4) 042
2
=+ y
dx
yd
 
5) 02 2
2
3
3
=+−
dx
dy
dx
yd
dx
yd
 
6) 022
2
=−− y
dx
dy
dx
yd
 
7) 0ln =−⋅ y
dx
dy
y
xx 
8) 22 3 3 5 0dy dyy x xy y x
dx dx
⎛ ⎞+ + + =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
9) 
3
3 0
d y
dx
= 
10) 023 2
2
3
3
=+−
dx
dy
dx
yd
dx
yd
 
 
11) 
3 2
3 26 11 6 0
d y d y dy y
dxdx dx
− + − = 
12) 2" ' ( ') 0xyy yy x y− − = 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 5
AULA 02 
 
1.4 - Resolução: 
 Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, verificam a 
equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, transforme-a 
numa identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente duas etapas: a 
primeira, que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada termo da 
equação tenha, além de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a resolução 
da equação diferencial e consiste na aplicação dos métodos de integração. 
1.5 - Curvas Integrais: 
Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução 
particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais 
da equação diferencial. 
 
Exemplo: 
 x
dx
dy 2= 
 
 
 
 
 
 
1.6 – Tipos de Solução: 
¾ Solução geral: A família de curvas que verifica a equação diferencial, (a primitiva de 
uma equação diferencial) contem tantas constantes arbitrárias quantas forem as 
unidades de ordem da equação. 
¾ Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, impondo condições 
iniciaisou de contorno.Geralmente as condições iniciais serão dadas para o instante 
inicial. Já as condições de contorno aparecem quando nas equações de ordem superior 
os valores da função e de suas derivadas são dadas em pontos distintos. 
¾ Solução singular: Chama-se de solução singular de uma equação diferencial à 
envoltória da família de curvas, que é a curva tangente a todas as curvas da família. A 
solução singular não pode ser deduzida da equação geral. Algumas equações 
diferenciais não apresentam essa solução. Esse tipo de solução será visto mais adiante. 
 
As soluções ainda podem ser: 
 
¾ Solução explícita: Uma solução para uma EDO que pode ser escrita da forma y = f (x) 
é chamada solução explícita. 
¾ Solução Implícita: Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma G (x, y)=0 
trata-se de uma solução implícita 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 6
Exemplo: 
 
 Consideremos a resolução da seguinte EDO: 
x
dx
dy += 1 
 
( )
cxxy
dxxdy
++=
+= ∫∫
2
3
3
2
1
 
 A solução geral obtida é obviamente uma solução explicita. 
 
Por outro lado, pode-se demonstrar que a EDO: 
2
2
xxy
y
dx
dy
−= tem como solução: 
x
y
Cey = , ou seja, uma solução implícita. 
1.7 - Existência e unicidade de solução para uma EDO 
 
Três perguntas importantes sobre soluções para uma EDO. 
1. Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução? 
2. Se tiver solução, será que esta solução é única? 
3. Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? 
Para responder a estas perguntas, existe o Teorema de Existência e Unicidade de 
solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha 
algumas características. 
 
Teorema: Considere o problema de valor inicia 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=+
00 )(
)()(
yxy
xqyxp
dx
dy
 
 Se p(x) e q(x) são continuas em um intervalo aberto I e contendo x 0 , então o problema 
de valor inicial tem uma única solução nesse intervalo. 
 
Alertamos que descobrir uma solução para uma Equação Diferencial é algo “similar” ao 
cálculo de uma integral e nós sabemos que existem integrais que não possuem primitivas, 
como é o caso das integrais elípticas. Dessa forma, não é de se esperar que todas as equações 
diferenciais possuam soluções. 
 
1.8 - Problemas de Valor Inicial (PVI) 
 
Uma equação diferencial satisfazendo algumas condições adicionais é denominada 
Problema de Valor Inicial (PVI). 
 
Exemplo: 
 exy' + 2y = arctan(x) 
 y(0) = π 
 
Se forem conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a 
equação diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter a solução 
geral. 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 7
2 - EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU 
 
 São equações de 1a ordem e 1o grau: 
 
),( yxF
dx
dy = ou 0=+ NdyMdx 
 
em que M = M(x,y) e N = N(x,y). 
 Estas funções têm que ser contínuas no intervalo considerado (- ∞, ∞) 
 
2.1 – TIPOS DE EQUAÇÃO: 
 
2.1.1 - EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. 
 
 Se a equação diferencial M(x,y).dx + N(x,y).dy = 0 puder ser colocada na forma 
P(x).dx + Q(y).dy = 0, a equação é chamada equação diferencial de variáveis separáveis. 
 
Resolução: ∫ ∫ =+ Cdy).y(Qdx).x(P 
 
 
Exemplos: Resolver as seguintes equações: 
 
1) 13 −= x
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) y dx – x dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 8
3) 04 =−− dy
y
xxdx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 0secsec. =− xdytgyydxtgx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 01)1( 222 =−−− dyxdxyx 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 9
6) 
xyx
y
dx
dy
)1(
1
2
2
+
+= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) 2
2
1
1
x
y
dx
dy
+
+= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 02 – EXERCÍCIOS 
1) 0.1 =−
dx
dytgy
x
 
2) 4xy2 dx + (x2 + 1) dy = 0 
3) (2+ y) dx - (3 – x) dy = 0 
4) xy dx – (1 + x2) dy = 0 
5) 
42
2
+=
−
x
e
dx
dy y
 
6) (1 + x2) y3 dx + (1 – y2) x3 dy = 0 
7) 
dx
dyxyy
dx
dyxa =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + 2 
8) sec2 x tg y dx + sec2 y tg x dy = 0 
9) (x2 + a2)(y2 + b2)dx + (x2 – a2)(y2 – b2)dy = 0 
10) (x – 1) dy – y dx = 0 
11) (1 + x2)dy – xydx = 0 
12) 0cos =+ xy
dx
dy
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1) x cos y = C 
2) C
y
x =−+ 1)1ln(2 2 
3) (2 + y)(3 – x) = C 
4) C y2 = 1 + x2 
5) Cxarctge y =−
2
2 
6) C
yxy
x =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +− 22 112
1ln 
7) 
y
y
k
a aex
+= ln2 
8) tg x . tg y = C 
9) C
b
ybarctgy
ax
axax =−++
−+ 2ln 
10) y = c(x – 1) 
11) Cxy .1 2+= 
12) senxe
Ky =
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 10
AULA 03 
 
 
2.1.2 - EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS 
 
 Uma função f = f(x, y) é denominada homogênea de grau k se, para todo t ∈ R, vale a 
relação f(tx, ty) = tk f(x, y). Uma função f = f(x, y) é homogênea de grau 0 se, para todo t ∈ 
R, vale a relação f(tx, ty) = f(x, y) 
 
Exemplos: 
 
1) A função f(x, y) = x2 + y2 é homogênea de grau 2. 
2) 2
2
),(
y
xyxg = e ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
x
yarctgyxh ),( são funções homogêneas de grau 0 
 
 Uma forma simples de observar a homogeneidade de uma função polinomial é constatar que todos 
os monômios da função possuem o mesmo grau. No caso de uma função racional (quociente de 
polinômios), os membros do numerador devem ter um mesmo grau m e os membros do denominador 
devem também ter um mesmo grau n, sendo que o grau da expressão do denominador pode ser menor ou 
igual que o grau da expressão do numerador. 
 
Uma equação diferencial de primeira ordem na forma normal y’ = f(x, y) é dita homogênea se 
),( yxff = é uma função homogênea de grau zero. 
 
Exemplos: 
 
 1) 
xy
yx
dx
dy 22 += 
 2) 2
2
'
y
xy = 
 3) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
x
yarctgy' 
 
 Resumindo, As equações homogêneas são as da forma Mdx + Ndy = 0, onde M e N são 
funções homogêneas em x e y e do mesmo grau. 
 
 
2.1.2.1 – Resolução: 
 
 Seja a equação homogênea Mdx + Ndy = 0 
 Tem-se: 
 
N
M
dx
dy −= 
 
Dividindo-se o numerador e o denominador do segundo membro por x elevado a 
potencia igual ao grau de homogeneidade da equação, resultará uma função de y/x. 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
x
yF
dx
dy
 (1) 
 
É necessário, no entanto, substituir a função y/x por uma outra que permita separar as 
variáveis. 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 11
Dessa forma, substitui-se x
y por u. 
 
uxy .= (2) 
 
 
Derivando y=x.u em relação a x tem-se 
 
dx
duxu
dx
dy += (3) 
 
 
Substituindo (2) e (3) em (1), temos: 
 
 
x
dx
uuF
du
uuF
dx
dux
uF
dx
duxu
=−
−=
=+
)(
)(
)(
 
 
 
Que é uma equação de variáveis separáveis. 
 
 
Em resumo: 
Pode-se resolver uma Equação Diferencial Homogênea, transformando-a em uma 
equação de variáveis separáveis com a substituição y = x.u, onde u = u(x) é uma nova 
função incógnita. Assim, dy = xdu + udx é uma equação da forma y’ = f(x,y) pode ser 
transformada em uma equação separável.Exemplos: 
1) (x2 – y2) dx – 2xy dy = 0 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 12
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 03 – EXERCÍCIOS 
1) (x – y) dx – (x + y) dy = 0 
2) (2x – y) dx – (x + 4y) dy = 0 
3) (x2 + y2) dx + (2x + y)y dy = 0 
4) (x + y) dx + (y – x) dy = 0 
5) (x2 + y2) dx – xy dy = 0 
6) 044
2
2
2
2 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
dx
dyyxy
dx
dyy 
7) Determinar a solução particular da 
equação (x2 – 3y2)dx + 2xydy = 0 para y = 
1 e x = 2. 
 
 
 
Respostas: 
1) y2 + 2xy – x2 = K 
2) Kyyxx =−− 22 422 
3) y3 + 3xy2 + x3 = k 
4) 
x
yarctgyxC =+ 221ln 
5) 
2
2
2 x
y
kex = 
6) Cxyx =±− 23 22 
xxy
8
31−=
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 13
AULA 04 
 
2.1.3 – EQUAÇÕES REDUTÍVEIS ÀS HOMOGÊNEAS E EQUAÇÕES REDUTÍVEIS 
 ÀS DE VARIÁVEIS SEPARADAS; 
 
São as equações que mediante determinada troca de variáveis se transformam em 
equações homogêneas ou em equações de variáveis separáveis. 
 São equações da forma: 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
++=
222
111
cybxa
cybxaF
dx
dy
 
 
onde a1, a2, b1, b2, c1 e c2 são constantes. 
 
 Observemos que a equação acima não é de variáveis separáveis porque temos uma 
soma das variáveis x e y e também não é homogênea pela existência de termos 
independentes, portanto deveremos eliminar ou a soma ou o termo independente. O que 
equivale a efetuar uma translação de eixos. 
 
 
 Para esse tipo de equação tem dois casos a considerar: 
 
2.1.3.1 – O determinante 
22
11
ba
ba
 é diferente de zero 
Resolução: 
 Seja o sistema (1) 
⎩⎨
⎧
=++
=++
0
0
222
111
cybxa
cybxa
 cuja solução é dada pelas raízes x = α e y = β . 
 A substituição a ser feita será: 
 ⎩⎨
⎧
=∴+=
=∴+=
dvdyvy
dudxux
β
α
 
 Observa-se que, geometricamente, equivaleu a uma translação dos eixos coordenados 
para o ponto ( βα , ) que é a interseção das retas componentes do sistema (1), o que é 
verdadeiro, uma vez eu o determinante considerado é diferente de zero. 
 Assim sendo, a equação transformada será: 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++++
++++=
22222
11111
cbavbua
cbavbuaF
du
dv
βα
βα
 
x
y
u
v
P
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 14
 Como α e β são as raízes do sistema: 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
+=
vbua
vbuaF
du
dv
22
11 
que é uma equação homogênea do tipo visto anteriormente. 
 
 
Exemplos: 
Resolver a equação 
23
132
−+
−−=
yx
yx
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 15
2.1.3.2 – O determinante 
22
11
ba
ba
 é igual a zero. 
 Assim, observe-se que o método aplicado no 1o caso não fará sentido, de vez que as 
retas no sistema seriam paralelas e sua interseção seria verificada no infinito (ponto 
impróprio). A equação se reduzirá a uma de variáveis separáveis. 
 Como 
22
11
ba
ba
 = 0, os coeficientes de x e y são proporcionais, de modo que se pode 
escrever: 
 a1b2 = a2b1 ∴ 
1
2
1
2
b
b
a
a = (1) 
 
 Chamando a relação constante (1) de m, pode-se escrever: 
 
1
2
1
2
1
2
c
cm
b
b
a
a ≠== 
 
 a2 = ma1 
 b2 = mb1 
 Assim: 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
++=
211
111
)( cybxam
cybxaF
dx
dy
 
 
 Fazendo a1x +b1y = t, e sendo t = f(x), tem-se: 
 )(1 1
1
xat
b
y −= 
 Derivando em relação a x: 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= 1
1
1 a
dx
dt
bdx
dy
 
 Equação transformada: 
 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
+=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
2
1
1
1
1
cmt
ctFa
dx
dt
b
 
 
 )(11 tGbadx
dt =− 
que é uma equação de variáveis separáveis. 
 
 
Exemplo: Resolver a equação 
136
12
−−
+−=
yx
yx
dx
dy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 16
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 04 – Exercícios 
 
1) (2x – 3y)dx – (3x – y -1)dy = 0 
2) (x + 2y – 4)dx – (2x + y -5)dy = 0 
3) (3y + x)dx + (x + 5y – 8)dy = 0 
4) (2x + 3y -1)dx + (2x + 3y + 2)dy = 0 
5) 
yx
yx
dx
dy
++
−−=
1
331
 
 
Respostas: 
1) 2x2 – 6xy + y2 + 2y = K 
2) (y – x + 1)3 = K(x + y – 3) 
3) ln[5(y – 4)2 + 4(x + 12)(y – 4) + (x + 12)2] – 
2 arctg ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++
− 2
12
)4(5
x
y
= K 
4) 3x + 3y = - 9ln(2x + 3y – 7) + C 
5) 3x + y + 2ln(-3x – 3y + 3) = K 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 17
AULA 05 
 
 
2.1.4 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS EXATAS: 
 Uma equação do tipo M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (1) é denominada diferencial exata, se 
existe uma função U(x,y) tal que dU(x,y) = M(x,y)dx + N(x,y)dy. A condição necessária e 
suficiente para que a equação (1) seja uma diferencial exata é que: 
 
x
N
y
M
∂
∂=∂
∂
 
 
 Dada a equação diferencial exata Mdx+Ndy=0 (1) e seja u=f(x,y)=C sua solução, cuja 
diferencial dada por: 
 dy
y
udx
x
udu ∂
∂+∂
∂= (2). 
 
Então, comparando (1) e (2) teremos: 
 ),( yxM
x
u =∂
∂
(3) e ),( yxN
y
u =∂
∂
(4). 
 
Para obtermos a sua solução u=f(x,y) deveremos integrar, por exemplo,a expressão (3), 
em relação à variável x, da qual teremos 
 ∫ += )(),(),( ygdxyxMyxf (5). 
 
Derivando parcialmente (5) em relação à y teremos: 
 )('
),(
yg
y
dxyxM
y
f +∂
∂=∂
∂ ∫
 (6). 
 Igualando (6) e (4) resulta: 
 ),()('
),(
yxNyg
y
dxyxM =+∂
∂∫
. 
 I 
Isolando g’(y) e integrando em relação a y acharemos: 
 1
),(
),()( Cdy
y
dxyxM
yxNyg +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−= ∫ ∫ (7). 
 
Substituindo (7) em (5) teremos a solução geral da equação exata, que é: 
 Cdy
y
dxyxM
yxNdxyxMyxf =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−+= ∫ ∫∫ ),(),(),(),( . 
 
 
 Logo, a solução é da forma 
 ∫ ∫ =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−+= Cdy
y
PNMdxyxU ),( 
 
onde costuma-se denotar ∫= MdxP 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 18
Exemplos: 
1) (x2 – y2)dx – 2xy dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) (2x – y + 1) dx – (x + 3y – 2) dy = 0 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 19
AULA 05 – EXERCÍCIOS 
 
1) (x3 + y2) dx + ( 2xy + cos y) dy = 0 
 
2) ey dx + ( xey – 2y) dy = 0 
 
3) 2xy dx + x2 dy = 0 
 
4) senh x.cosy dx = coshx.seny dy 
 
5) 0)( 22 =−− θθ drrdre 
 
6) 
2222 yxy
xdy
y
dy
yx
dx
+=++ 
 
 
 
Respostas: 
 
1) Ksenyxyx =++ 2
4
4
 
 
2) Cyxe y =− 2 
 
3) x2y = K 
 
4) coshxcosy = K 
 
5) Kre =− 22θ6) Kyxx =++ 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 20
AULA 06 
 
 
2.1.4.1 – FATOR INTEGRANTE: 
 
 Nem sempre a ED é exata, ou seja, Mdx + Ndy = 0 não satisfaz, isso é: 
x
N
y
M
∂
∂≠∂
∂
. 
 Quando isso ocorre vamos supor a existência de uma função F(x, y) que ao multiplicar 
toda a ED pela mesma resulta em uma ED exata, ou seja, F(x,y)[Mdx +Ndy] = 0, e esta é 
uma ED exata. 
 Se ela é exata, existe u(x, y) = cte e MF
dx
u .=∂ e NF
dy
u .=∂ e 
FN
x
FM
yx
N
y
M
yx
u
∂
∂=∂
∂=∂
∂=∂
∂=∂∂
∂ 2
 
 
 Tomando a condição de exatidão FN
dx
FM
y
∂=∂
∂
 
 F
x
NN
x
FF
y
MM
y
F
∂
∂+∂
∂=∂
∂+∂
∂
 
 e achar F por aqui é loucura!!!!!!! 
 
 Vamos supor então que F(x,y) = F(x) 
 
x
NFN
x
F
y
MF ∂
∂+∂
∂=∂
∂
 
 dividindo tudo por FN≠ 0 e organizando, temos: 
 
x
N
Nx
F
Fy
M
N ∂
∂⋅+∂
∂⋅=∂
∂⋅ 111 
 
x
N
Ny
M
Nx
F
F ∂
∂⋅−∂
∂⋅=∂
∂⋅ 111 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂⋅=∂
∂⋅
x
N
y
M
Nx
F
F
11
 
 reescrevendo: dx
x
N
y
M
N
dF
F ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂⋅= 11 
 integrando: ∫ += CdxxRF )(ln 
 ∫= dxxRecxF )(.)( 
 onde: 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=
x
N
y
M
N
xR 1)( 
 
analogamente, supondo F(x,y) = F(y) que torne exata FMdx + FNdy = 0 teremos: 
 ∫= dyyRecyF )(.)( 
onde: 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂−=
x
N
y
M
M
xR 1)( 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 21
Em resumo: 
 Quando a expressão Mdx + Ndy não é diferencial exata, isto é, 
x
N
y
M
∂
∂≠∂
∂
, mostra-se 
que há uma infinidade de funções ),( yxF , tais que )( NdyMdxF + é uma diferencial exata. 
 A esta função ),( yxF , dá-se o nome de fator integrante. 
 
F(x): F(y): 
 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂=
x
N
y
M
N
xR 1)( ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂−=
x
N
y
M
M
yR 1)( 
 
 
∫= dxxRexF )()( ∫= dyyReyF )()( 
 
 
Exemplos: Resolver as seguintes equações diferenciais transformando em exatas através do 
fator integrante. 
 
1) y2 dx + (xy + 1) dy = 0 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 22
2) (x2 – y2) dx + 2xy dy = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 06– EXERCÍCIOS 
 
1) (2cos y + 4x2) dx = x sen y dy 
 
2) 2x tg y dx + sec2 y dy = 0 
 
3) seny dx + cos y dy = 0 
 
Encontre a solução particular em: 
 
4) 2xy dy = (x2 + y2) dx para y(1) = 2 
 
 
 
 
Respostas: 
1) x2 cos y + x4 = C 
 
2) Ctgyex =2 
 
3) Ceseny x =. 
 
4) xxy 32 += 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 23
AULA 07 
 
 
2.1.5 – EQUAÇÕES LINEARES: 
 
 Uma equação diferencial linear de 1a ordem e 1o grau tem a forma: 
 
 )()( xQyxP
dx
dy =+ (1) 
 
Se Q(x) = 0, a equação é dita homogênea ou incompleta; enquanto, se Q(x)≠ 0, a 
equação é dita não-homogênea ou completa. Analisaremos dois métodos de solução de 
equações diferenciais desse tipo a saber: 
 
 
1o Método: Fator Integrante: 
 
Este método consiste na transformação de uma equação linear em outro do tipo 
diferencial exata, cuja solução já estudamos anteriormente. Posto isto, vamos retornando à 
equação original de nosso problema: 
 QPy
dx
dy =+ 
 
Vamos reescrever esta última sob a forma 
 
 0)( =+− dydxQPy 
 
 
Multiplicando ambos os membros por 
∫ Pdxe (fator integrante) obtemos a expressão 
( ) 0=∫+−∫ dyedxQPye PdxPdx . Aqui, identificamos as funções “M” e “N”: 
 
( )QPyeM Pdx −∫= 
e 
∫= PdxeN 
 
Derivando M com relação a y e N com relação a x, obtemos: 
 
∫=∂
∂ PdxPe
y
M
 e ∫=∂
∂ PdxPe
x
N
 
 
confirmando assim, que a equação transformada é uma equação diferencial exata. 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 24
2o Método: Substituição ou de Lagrange: 
 
Esse método foi desenvolvido por Joseph Louis Lagrange (matemático francês: 1736-
1813) criador da Mecânica Analítica e dos processos de Integração das Equações de Derivadas 
Parciais. O método consiste na substituição de “y” por “Z.t” na equação (1), onde t = φ (x) e 
Z= )(xψ , sendo Z a nova função incógnita e t a função a determinar, assim y = Z.t. 
 
Derivando em relação a x, tem-se: 
 
dx
dZt
dx
dtZ
dz
dy += (2) 
 
Substituindo (2) em (1) vamos obter: 
 QPZt
dx
dZt
dx
dtZ =++ 
 Q
dx
dZtPt
dx
dtZ =+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + (3) 
 
 Para integral a equação (3), examina-se dois casos particulares da equação (1) a saber: 
 
 
i) P = 0, então dy = Qx, logo, CQdxy += ∫ (4) 
 
ii) Q = 0, então 0=+ Py
dx
dy
 (equação homogênea) que resulta em dy + Pydx = 0 que é de 
variáveis separáveis. Daí, 0=+ Pdx
y
dy
. Integrando essa última, resulta em ∫−= PdxCyln . 
Aplicando a definição de logaritmo, passamos a escrever a solução ∫=∫= −− PdxCPdxC eeey . 
Fazendo Cek = , temos ∫= − Pdxkey (5) que representa a solução da equação homogênea ou 
incompleta. Agora, vamos pesquisar na equação (3) valores para “t” e “Z”, uma vez que 
y=Z.t, teremos a solução da equação (1) que uma equação linear completa (não-homogênea). 
Se igualarmos os coeficientes de Z a um certo fator, o valor daí obtido poderá ser levado ao 
resto da equação, possibilitando a determinação de Z uma vez que “t” pode ser determinado a 
partir desta condição. Assim, vamos impor em (3), que o coeficiente de Z seja nulo. Feito isto, 
0=+ Pt
dx
dt
 (6), que é da mesma forma já estudada no caso ii. Assim, ∫= − Pdxket . Substituindo 
este resultado em Q
dx
dZt = obtemos Q
dx
dZke
Pdx =∫− . Daí, Qe
kdx
dZ Pdx∫= 1 e Qdxe
k
dZ
Pdx∫= 1 . 
Integrando este último resultado, temos CQdxe
k
Z
Pdx +∫= ∫1 (7). Lembrando que y = Z.t, 
vamos obter, substituindo “t” e “Z”: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +∫∫= ∫− CQdxekkey PdxPdx 1 , onde resulta, finalmente 
em: 
 
 
 ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +∫∫= ∫− CdxQeey PdxPdx .. (8) que é a solução geral da equação (1) 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 25
Exemplos: 
 
1) Resolver a equação 2−=− x
x
y
dx
dy
 por: 
a. Fator integrante 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. Lagrange 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 26
AULA 7 – EXERCÍCIOS 
 
1) 0cot =−+
x
gx
x
y
dx
dy
 
2) arctgxy
dx
dyx =++ )1( 2 
3) xytgx
dx
dy cos. += 
4) x
x
y
dx
dy =− 
5) 3
2 x
x
y
dx
dy =+ 
6) senxytgx
dx
dy =− 
 
7) Achar a solução particular para y = 0 e x=0 em 
x
ytgx
dx
dy
cos
1=− 
 
Respotas: 
 
1) [ ]Csenx
x
y +=)ln(1 
2) arctgxeCarctgxy −+−= .1 
3) xCxsenxy sec2
4
1
2
1
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++= 
4) 2xCxy += 
5) 2
4
6
1
x
Cxy += 
6) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += Cxsenxy
2
sec
2
 
7) 
x
xy
cos
= 
 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 27
AULA 08 
 
2.1.6 – EQUAÇÕES NÃO LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM REDUTÍVEIS A 
 LINEARES: 
 
 Resolver equações diferenciais não lineares é muito difícil, mas existem algumas delas 
que mesmo sendo não lineares, podem ser transformadas em equações lineares. Os principais 
tipos de tais equações são: 
 
 
2.1.6.1 – EQUAÇÕES DE BERNOULLI: 
 
 Equação da forma: 
nyxQyxP
dx
dy )()( =+ (1) para 1≠n e 0≠n 
 
 Onde P(x) e Q(x) são funções continuas. Nesse caso, a idéia é realizar uma substituição 
na equação acima, de modo a transformá-la em uma EDO linear. 
 
Pois, se: 
 n = 0 ⇒ y’ + P(x)y = g(x) ⇒ caso anterior 
 n = 1 ⇒ y’ + [P(x) – g(x)] y = 0 ⇒ caso anterior e homogênea 
 
 
Solução: 
Transformação de variável: 
 
Substitui por ty n =−1 
 
Deriva-se em relação a x: 
 
dx
dt
dx
dyyn n =− −)1( (2) 
 
Substituindo (1), que é: 
 
nQyPy
dx
dy =+ ⇒ PyQy
dx
dy n −= 
em (2) temos: 
 
 ( )
dx
dtPyQyyn nn =−− −)1( 
 
 ( )( )
dx
dtPyQn n =−− −11 
 
como ty n =−1 , temos: 
 
dx
dtPtQn =−− ))(1( 
 
 QntPndx
dt )1(])1[( −=−+ 
Tornando-se assim uma equação linear a ser resolvida pelo método anterior. 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 28
 
Exemplo: 232 xy
x
y
dx
dy =− 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 29
AULA 08 – EXERCÍCIOS 
 
1) 33 yxxy
dx
dy =+ 
 
2) xyy
dx
dyx ln2=+ 
 
3) 33 yxy
dx
dyx =+ 
 
4) yxy
xdx
dy += 4 
 
5) 02 2 =+− xy
dx
dyxy 
 
6) 32 xyxy
dx
dy =− 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) 2
.1
1
2 xeCx
y
++
= 
 
2) 
Cxex
y += ).ln(
1
 
 
3) 1.2 2223 =+− yxCyx 
 
4) 
2
4 ln
2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += Cxxy 
 
5) 
x
Cxy ln.2 = 
 
6) 
Ke
ey
x
x
+−= 2
2
2
2
2 2 
 
Equações Diferencias Profa Paula Francis Benevides 
 
 30
AULA 9 
 
3 - EXERCÍCIOS GERAIS 
 
Calcule as Equações Diferenciais abaixo: 
1) 0)2(3 =−− dyyxydx 
2) 0
2 =+ − dyyexdx x 
3) 0)1( 2 =−− dxydyx 
4) 0coscos2 =⋅+⋅ xdysenysenxdxy 
5) )cos( yx
dx
dy += 
6) 0)()(2 22 =+++ dyyxdxyxx 
7) dxyxydxxdy 22 +=− 
8) 0)( 22 =−+− xydydxyxyx 
9) 0)2( =−+ dyxxyydx 
10) 0)52()42( =+−++− dxyxdyyx 
11) 
342
12
++
++=
yx
yx
dx
dy
 
12) 0)139()23( =+−++− dyyxdxyx 
13) 
012)cos()cos( =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ + dy
y
xxyxdx
x
yxyy
 
14) 032 4
22
3 =−+ dyy
xydx
y
x
 
15) 0)46()63( 3222 =+++ dyyyxdxxyx 
16) 
yxy
xyx
dx
dy
2
2
+
+−= 
17) 0)cos1()1( =−++ dyxdxysenx 
18) 0)2.(sec).(sec =+−+− dyxtgyydxytgxx 
19) 0)cos2( 2 =−− senydyxdxeyx x , 
determinar a solução particular para x = 0. 
20) dxexydxxdy x2=− 
21) 02 =−+ xdyydxdyy 
22) 0)ln( 3 =−+ dyxydx
x
y
 
23) Achar a solução particular para y = b e x 
= a em 0=−+ xey
dx
dyx 
24) 0)32(2 =+− dyxydxy 
25) 222 y
x
y
dx
dy =+ 
26) dxyyxdy )1( 2 += 
27) 22 )1( xyxy
dx
dyx +=− 
Respostas: 
1) )ln(126 2 Cyxy =− 
2) 22
2
Cey x =+ 
3) 1)1(ln =− xCy 
4) Cyx =+ secsecln 
5) Cxyxgyx +=+−+ )(cot)sec(cos 
6) Cyyxx =++ 323 32 
7) 222 yxCxy +−= 
8) C
X
yxy =+− )ln( 
9) Cy
y
x =+ ln 
10) )3()1( 3 +−=−+ yxCyx 
11) Cxyyx =−+++ 48)584ln( 
12) )126ln(62 +−=++ yxCyx 
13) Cyxyxysen =++ ln2)( 
14) C
yy
x =− 13
2
 
15) Cyyxx =++ 4223 3 
16) Cyyx =++ 222 )1( 
17) Cxyyx =−+ cos 
18) Cx)-y(2secysecx =++ 
19) 1cos2 −=− xeyx 
20) xxeCxy += 
21) Cyxy =+2 
22) Cyyx =+ 3ln2 
23) 
x
eabey
ax −+= 
24) 
y
Cyx 12 −= 
25) 0122 =−+ xyyCx 
26) 2
2
2
xC
xy −= 
27) 
11
1
2 −−= xCy 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 31
AULA 10 
 
4 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS COM MODELOS MATEMÁTICOS 
 
4.1 - MODELO MATEMÁTICO: 
 É freqüentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou fenômeno 
da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou mesmo econômicos. 
A descrição matemática de um sistema ou fenômeno, chamada de modelos matemáticos é 
construída levando-se em consideração determinadas metas. Por exemplo, talvez queiramos 
compreender os mecanismos de um determinado ecossistema por meio do estudo do crescimento 
de populações animais nesse sistema ou datar fósseis por meio da análise do decaimento 
radioativo de uma substância que esteja no fóssil ou no extrato no qual foi descoberta. 
 A construção de um modelo matemático de um sistema começa com: 
i. a identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema. Podemos a 
principio optar por não incorporar todas essas variáveis no modelo. Nesta etapa, 
estamos especificando o nível de resolução do modelo. 
A seguir, 
ii. elaboramos um conjunto de hipóteses razoáveis ou pressuposições sobre o 
sistema que estamos tentando descrever. Essas hipóteses deverão incluir também 
quaisquer leis empíricas aplicáveis ao sistema. 
 
Para alguns propósitos, pode ser perfeitamente razoável nos contentarmos com um 
modelo de baixa resolução. Por exemplo, você provavelmente já sabe que, nos cursos básicos de 
Física, a força retardadora do atrito com o ar é às vezes ignorada, na modelagem do movimento 
de um corpo em queda nas proximidades da superfície da Terra, mas e você for um cientista cujo 
trabalho é predizer precisamente o percurso de um projétil de longo alcance, terá de levar em 
conta a resistência do ar e outros fatores como a curvatura da Terra. 
Como as hipóteses sobre um sistema envolvem freqüentemente uma taxa de variação de 
uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma ou mais 
equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático pode ser uma 
equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. 
Depois de formular um modelo matemático, que é uma equação diferencial ou um sistema 
de equações diferenciais, estaremos de frente para o problema nada insignificante de tentar 
resolvê-lo. Se pudermos resolvê-lo, julgaremos o modelo razoável se suas soluções forem 
consistentes com dados experimentais ou fatos conhecidos sobre o comportamento do sistema. 
Porém, se as predições obtidas pela solução forem pobres, poderemos elevar o nível de resolução 
do modelo ou levantar hipóteses alternativas sobre o mecanismo de mudança no sistema. As 
etapas do processo de modelagem são então repetidas, conforme disposto no seguinte 
diagrama: 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 32
Naturalmente, aumentando a resolução aumentaremos a complexidade do modelo 
matemático e, assim, a probabilidade de não conseguirmos obter uma solução explícita. 
 Um modelo matemático de um sistema físico freqüentemente envolve a variável tempo t. 
Uma solução do modelo oferece então o estado do sistema; em outras palavras, os valores da 
variável (ou variáveis) para valores apropriados de t descrevem o sistemano passado, presente e 
futuro. 
 
4.2 – DINÂMICA POPULACIONAL: 
 
Uma das primeiras tentativas de modelagem do crescimento populacional humano por 
meio de matemática foi feito pelo economista inglês Thomas Malthus, em 1798. Basicamente, a 
idéia por trás do modelo malthusiano é a hipótese de que a taxa segundo a qual a população de 
um pais cresce em um determinado instante é proporcional a população total do pais naquele 
instante. Em outras palavras, quanto mais pessoas houver em um instante t, mais pessoas 
existirão no futuro. Em termos matemáticos, se P(t) for a população total no instante t, então 
essa hipótese pode ser expressa por: 
 kx
dt
dx = , 00 )( xtx = ktexx .0= (1) 
 
onde k é uma constante de proporcionalidade, serve como modelo para diversos fenômenos 
envolvendo crescimento ou decaimento. 
 Conhecendo a população em algum instante inicial arbitrário t0, podemos usar a solução 
de (1) para predizer a população no futuro, isto é, em instantes t > t0. 
 O modelo (1) para o crescimento também pode ser visto como a equação rS
dt
dS = , a qual 
descreve o crescimento do capital S quando uma taxa anual de juros r é composta 
continuamente. 
 
Exemplo: 
 Em uma cultura, há inicialmente x0 bactérias. Uma hora depois, t = 1, o número de 
bactérias passa a ser 3/2 x0. Se a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias 
presentes, determine o tempo necessário para que o número de bactérias triplique. 
Resolução: 
x(to) = x0 
x(t1) = 2
3
xo 
kx
dt
dx = 
 ∫ ∫= kdtxdx 
 lnx = kt + c 
 lnx – ln c = kt 
 ln
c
x
= kt 
 ekt = 
c
x
 
 x = c.ekt 
 
 
para t = 0 
x(0) = x0 
x0 = ce0 
x0 = c ∴ x = x0.ekt 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 33
Para t = 1 
x(1) = 
2
3
x0 x = x0.e0,4055.t 
1.
00 .2
3 kexx = 3x0 = x0.e0,4055.t 
2
3=ke ln3 = ln e0,4055.t 
ek = 1,5 0,4055t = 1,0986 
ln1,5 = k t = 2,71 horas 
k = 0,4055 
 
 
4.3 - MEIA VIDA: 
 
Em física, meia-vida é uma medida de estabilidade de uma substância radioativa. A meia-
vida é simplesmente o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade A0 se 
desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vida de uma 
substância, mais estável ela é. 
Por exemplo, a meia do ultra-radioativo rádio, Ra-226, é cerca de 1700 anos. Em 1700 
anos, metade de uma dada quantidade de Ra-226 é transmutada em Radônio, Rn-222. O isótopo 
de urânio mais comum, U-238, tem uma meia-vida de aproximadamente 4.500.000.000 de anos. 
Nesse tempo, metade de uma quantidade de U-238 é transmutada em chumbo, Pb-206. 
 
 A.K
dt
dA = (2) 
 A(0) = A0 2
)( 0
A
tA = kteAA .0= 
 
Exemplo: 
 Um reator converte urânio 238 em isótopo de plutônio 239. Após 15 anos foi detectado 
que 0,043% da quantidade inicial A0 de plutônio se desintegrou. Encontre a meia vida desse 
isótopo se a taxa de desintegração é proporcional à quantidade remanescente. 
 
Resolução: 
t = 0 → A0 
t = 15 → A0 – 0,043%A0 
 99,957%A0 
 0,99957A0 
 kA
dt
dA = 
 ∫ ∫= kdtAdA 
 ln A = kt + c 
 kt
c
A =ln 
 kte
c
A = 
 A = c.ekt se t = 0 
 A(0) = A0 
 A0 = c.e0 
 C = A0 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 34
A(t) = A0.ekt 
A(15) = A0.e15k A(t) = 2
0A 
0,99957 A0 = A0.e15k 
teAtA
510.8867,2
0 .)(
−−= 
Ln0,99957 = ln e15t 00002867,00
0 .
2
−= eAA 
-0,00043 = 15 k te 00002867,0
2
1 −= 
K = - 2,8667.10- 5 -0,6931 = - 0,00002867t 
t = 24,180 
t ≅ 24,180 anos 
 
 
4.4 – DECAIMENTO RADIOATIVO: 
 
O núcleo de um átomo consiste em combinações de prótons e nêutrons. Muitas dessas 
combinações são instáveis, isto é, os átomos decaem ou transmutam em átomos de outra 
substância. Esses núcleos são chamados de radioativos. Por exemplo, ao longo do tempo, o 
altamente radioativo elemento rádio, Ra-226, transmuta-se no gás radônio radioativo, Rn-222. 
Para modelar o fenômeno de decaimento radioativo, supõe-se que a taxa de dA/dt segundo a 
qual o núcleo de uma substância decai é proporcional a quantidade (mais precisamente, ao 
número de núcleos) A(t) de substâncias remanescente no instante t: 
 A.K
dt
dA = (2) 
 
Naturalmente as equações (1) e (2) são iguais, a diferença reside apenas na interpretação 
dos símbolos e nas constantes de proporcionalidade. Para o crescimento, conforme esperamos 
em (1), k>0, para o decaimento, como em (2), k<0. 
O modelo (2) para o decaimento também ocorre com aplicações biológicas, como a 
determinação de meia vida de uma droga – o tempo necessário para que 50% de uma droga seja 
eliminada de um corpo por excreção ou metabolismo. Em química, o modelo de dacaimento (2) 
aparece na descrição matemática de uma reação química de primeira ordem, isto é, uma reação 
cuja taxa ou velocidade dx/dt é diretamente proporcional à quantidade x de uma substância não 
transformada ou remanescente no instante t. 
A questão é que: 
 
Uma única equação diferencial pode servir como um modelo matemático para vários 
fenômenos diferentes. 
 
 
4.5 - CRONOLOGIA DO CARBONO: 
 
Por volta de 1950, o químico Willard Libby inventou um método para determinar a idade 
de fósseis usando o carbono radioativo. 
A teoria da cronologia do carbono se baseia no fato de que o isótopo do carbono 14 é 
produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio. 
A razão entre a quantidade de C-14 para carbono ordinário na atmosfera para ser uma 
constante e, como conseqüência, a proporção da quantidade de isótopo presente em todos os 
organismos é a mesma proporção da quantidade na atmosfera. 
Quando um organismo morre, a absorção de C-14, através da respiração ou alimentação, 
cessa. Logo, comparando a quantidade proporcional de C-14 presente, digamos, em um fóssil 
com a razão constante na atmosfera, é possível obter uma razoável estimativa da idade do fóssil. 
O método se baseia no conhecimento da meia-vida do carbono radioativo C-14, cerca 
de 5.600 anos. 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 35
O método de Libby tem sido usado para datar móveis de madeira em túmulos egípcios, o 
tecido de linho que envolvia os pergaminhos do Mar Morto e o tecido do enigmático sudário de 
Turim. 
 
Exemplo: 
 Um osso fossilizado contém um milésimo da quantidade original do C-14. Determine a 
idade do fóssil. 
 
Resolução: 
 
A(t) = A0.ekt 
5600.
0
0 .
2
keA
A = 
ke5600ln
2
1ln = 
5600k = - 0,6931 
K = - 0,000123776 
 
 A(t) = A0.e- 0,000123776t 
 teAA 000123776,000 .100
1 −= 
 te 000123776,0ln
100
1ln −= 
 - 0,000123776 t = - 6,9077 
 t = 55.808 anos 
 
 
 
4.6 - RESFRIAMENTO: 
 
 De acordo com a Lei empírica de Newton do esfriamento/resfriamento, a taxa segundo a 
qual a temperatura de um corpo varia é proporcional a diferença entre a temperatura de um 
corpo varia proporcionalmente a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio 
que o rodeia, denominada temperatura ambiente. Se T(t) representar a temperatura de um corpo 
no instante t, Tm a temperatura do meio que o rodeia dT/dt a taxa segundo a qual a temperatura 
do corpo varia, a lei de Newton do esfriamento/resfriamento é convertida na sentença 
matemática 
 
 )( mTTKdt
dT −= , (3) 
 
 T = C.ekt + Tm 
 
onde k é uma constante de proporcionalidade. Em ambos os casos,esfriamento ou aquecimento, 
se Tm for uma constante, é lógico que k<0. 
 
 
Exemplo: 
 Um bolo é retirado do forno, sua temperatura é de 300ºF. Três minutos depois, sua 
temperatura passa para 200ºF. Quanto tempo levará para sua temperatura chegar a 75 graus, se 
a temperatura do meio ambiente em que ele foi colocado for de exatamente 70ºF? 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 36
Resolução: 
T(0) = 3000F )( mTTkdt
dT −= 
T(3) = 2000F )70( −= Tk
dt
dT
 
T(?) = 750 ∫ ∫=− kdtT dT )70( 
Tm = 700 cktT +=− )70ln( 
 kt
c
T =− 70(ln 
 
c
Tekt 70−= 
 70. += ktecT 
 
T(0) = 3000 
300 = C.ek.0 + 70 
C = 2300 
 
T = 230.ekt + 70 
 
T(3) = 200 
200 = 230.e3k + 70 
230 e3k = 130 
230
1303 =ke 
230
130lnln 3 =ke 70.230 19018,0 += − teT 
230
130ln3 =k 70.23075 19018,0 += − te 
K = - 0,19018 
230
707519018,0 −=− te 
 - 0,19018t = ln
230
5
 
 T = 20,13 minutos 
 
4.7 – MISTURAS: 
 
 A mistura de dois fluidos algumas vezes dá origem a uma equação diferencial de primeira 
ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Vamos supor um grande tanque de mistura 
contenha 300 galões de salmoura (isto é, água na qual foi dissolvida uma determinada 
quantidade de libras de sal). Uma outra salmoura é bombeada para dentro do tanque a uma taxa 
de três galões por minuto; a concentração de sal nessa segunda salmoura é de 2 libras por 
galão.Quando a solução no tanque estiver bem misturada, ela será bombeada para fora a mesma 
taxa em que a segunda salmoura entrar. Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em libras) 
no tanque no instante t, a taxa segundo a qual A(t) varia será uma taxa liquida: 
 
 
se RRdt
dA −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
sal de 
saída de Taxa
sal de 
entrada de Taxa
 (4) 
 
 
 A taxa de entrada Re de sal (em libras por minuto) é: 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 37
 
 
min/6)/2(.min)/3(
 
sal de 
entrada de taxa
 
entrada de fluxo no
sal de ãoConcentraç
 
salmoura de
 entrada de Taxa
lbgalkbgalRe ==
↓↓↓ 
 
 
Uma vez que a solução está sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma 
taxa, o número de galões de salmoura no tanque no instante t é constante e igual a 300 galões. 
Assim sendo, a concentração de sal no tanque e no fluxo de saída é de A(t)/300 lb/gal, e a taxa 
de saída de sal Rs é: 
 
min/
100
/
300
.min)/3(
 
sal de 
saida de taxa
 
saída de fluxo no 
sal de ãoConcentraç
 
salmoura de
 saída de Taxa
lbAgallbAgalRs =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
↓↓↓ 
 
 A equação (4) torna-se então: 
 
100
6 A
dt
dA −= (5) 
 
Exemplo: 
 Dos dados do tanque acima considerado e da equação (4), obtemos a equação (5). 
Vamos colocar agora a seguinte questão: se 50 libras de sal fossem dissolvidas nos 300 galões 
iniciais, quanto sal haveria no tanque após um longo período? 
Resolução: 
 
100
100100
100100
.600
600
6.
.
6
100
1
100
6
t
tt
tt
PdtPdt
eCA
CeeA
CdteeA
CQdteeA
A
dt
dA
A
dt
dA
−
−
−
−
+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +∫∫=
=⋅+
−=
∫
∫ 
 
para A(0) =50 
 
550
.60050 0
−=
+=
C
eC
 
Logo: 
 100550600
t
eA −−= (6) 
 
A solução acima (6) foi usada para construir a seguinte tabela: 
 
 
 
 
t(min) A(lb) 
50 266,41 
100 397,67 
150 477,27 
200 525,57 
300 572,62 
400 589,93 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 38
Além disso podemos observar que 600→A quando ∞→t . Naturalmente, isso é o que 
esperaríamos nesse caso; durante um longo período, o número de libras de sal na solução deve 
ser (300 gal).(2lb/gal) = 600 lb. 
 
 Neste exemplo supusemos que a taxa segundo a qual a solução era bombeada para dentro 
era igual à taxa segundo a qual ela era bombeada para fora. Porém isso não precisa ser assim; a 
mistura salina poderia ser bombeada para fora a uma taxa maior ou menor do que aquela 
segundo a qual é bombeada para dentro. Por exemplo, se a solução bem misturada do exemplo 
acima for bombeada para fora a uma taxa menor, digamos de 2 gal/min, o liquido acumulará no 
tanque a uma taxa de (3 – 2) gal/min = 1gal/min. Após t minutos, o tanque conterá 300 + t 
galões de salmoura. A taxa segundo a qual o sal sai do tanque é então: 
 
 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+= gallbt
AgalRs /300
min)./2( 
 
 Logo, a Equação (4) torna-se: 
 t
A
dt
dA
+−= 300
26
 ou 6
300
2 =++ Atdt
dA
 
 
 Você deve verificar que a solução da última equação, sujeita a A(0)=50, é: 
 27 )300)(1095,4(2600)( −+×−+= tttA 
 
 
4.8 – DRENANDO UM TANQUE: 
 
 Em hidrodinâmica, a Lei de Toricelli estabelece que a velocidade v do fluxo de água em 
um buraco com bordas na base de um tanque cheio até a uma altura h é igual a velocidade com 
que um corpo (no caso, uma gota d’agua) adquiriria em queda livre de uma altura h, isto é, 
ghv 2= , onde g é a aceleração devida a gravidade. Essa última expressão origina-se de igualar 
a energia cinética 2
2
1 mv com a energia potencial mgh e resolver para v. Suponha que um tanque 
cheio com água seja drenado por meio de um buraco sob a influência da gravidade. 
 Gostaríamos de encontrar a altura h de água remanescente no tanque no instante t. 
 
Considere o tanque ao lado: 
Se a área do buraco for Ah (em pés quadrados) e a velocidade de 
saída da água do tanque for ghv 2= (em pés/s), o volume de saída de 
água do tanque por segundo é ghAh 2 (em pés cúbicos/s). Assim, se 
V(t) denotar o volume de água no tanque no instante t, 
 
 ghA
dt
dV
h 2−= (6) 
 
onde o sinal de subtração indica que V está decrescendo. Observe aqui que estamos ignorando a 
possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma redução na taxa de fluxo. Agora, se o 
tanque for tal que o volume de água em qualquer instante t possa ser escrito como hAtV w=)( , 
onde wA (em pés quadrados) é a área constante da superfície de água, então dt
dhA
dt
dV
w= . 
 Substituindo essa última expressão em (6), obtemos a equação diferencial desejada para 
a altura de água no instante t: 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 39
 gh
A
A
dt
dh
w
h 2−= (7) 
 
 É interessante notar que (7) permanece válida mesmo quando Aw não for constante. Nesse 
caso, devemos expressar a superfície superior da água como uma função de h, isto é, Aw = A(h). 
 
 
4.9 – DISSEMINAÇÃO DE UMA DOENÇA: 
 
 Uma doença contagiosa, por exemplo, um vírus de gripe, espalha-se em uma comunidade 
por meio do contato entre as pessoas. Seja x(t) o número de pessoas que contraíram a doença e 
y(t) o número de pessoas que ainda não foram expostas. É razoável supor que a taxa dx/dt 
segundo a qual a doença se espalha seja proporcional ao número de encontros ou interações 
entre esses dois grupos de pessoas. Se supusermos que o número de intereações é 
conjuntamente proporcional a x(t) e a y(t), isto é, proporcional ao produto xy, então: 
 kxy
dt
dx = (8) 
 
onde k é a constante de proporcionalidade usual. Suponha que uma pequena comunidade tenha 
uma população fixa de n pessoas. Se uma pessoa infectada for introduzida na comunidade, pode-
se argumentar que x(t) e y(t) sãorelacionadas por x + y = n + 1. Usando essa última equação 
para eliminar y em (8), obtemos o modelo 
 )1( xnkx
dt
dx −+= (9) 
 
 Uma condição óbvia que acompanha a equação (9) é x(0) = 1. 
 
 
4.10 – CORPOS EM QUEDA: 
 
 Para construir um modelo matemático do movimento de um corpo em um campo de força, 
em geral iniciamos com a segunda lei do movimento de Newton. Lembre-se da física elementar 
que a primeira lei do movimento de Newton estabelece que o corpo permanecerá em repouso 
ou continuará movendo-se a uma velocidade constante, a não ser que esteja agindo sobre ele 
uma força externa. Em cada caso, isso equivale a dizer que, quando a soma das forças ∑= kFF 
isto é, a força liquida ou resultante, que age sobre o corpo for diferente de zero, essa força 
líquida será proporcional a sua aceleração a ou, mais precisamente, F = m.a, onde m é a massa 
do corpo. 
 Suponha agora que uma pedra seja jogada par acima do topo de um prédio, conforme 
ilustrado na figura abaixo: 
Qual a posição s(t) da pedra em relação ao chão no 
instante t? A aceleração da pedra é a derivada segunda 22 dtsd . 
Se assumirmos como positiva a direção para cima e que nenhuma 
outra força além da gravidade age sobre a pedra, obteremos a 
segunda lei de Newton 
 
 mg
dt
sdm −=2
2
 ou g
dt
sd −=2
2
 (10) 
 
 Em outras palavras, a força liquida é simplesmente o peso 
F= F1 = - W da pedra próximo á superfície da Terra. Lembre-se de 
que a magnitude do peso é W = mg, onde m é a massa e g é a 
aceleração devida a gravidade. O sinal de subtração foi usado em 
(10), pois o peso da pedra é uma força dirigida para baixo, oposta 
a direção positiva. Se a altura do prédio é s0 e a velocidade inicial 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 40
da pedra é v0, então s é determinada, com base no problema de valor incial de segunda ordem 
 g
dt
sd −=2
2
, 0)0( ss = , 0)0(' vs = (11) 
 
 Embora não estejamos enfatizando a resolução das equações obtidas, observe que (11) 
pode ser resolvida integrando-se a constante – g duas vezes em relação a t. As condições iniciais 
determinam as duas constantes de integração. Você poderá reconhecer a solução de (11), da 
física elementar, como a fórmula 00
2
2
1)( stvgtts ++−= . 
 
4.11 – CORPOS EM QUEDA E A RESISTÊNCIA DO AR: 
 
Antes dos famosos experimentos de Galileu na torre inclinada de Pisa, acreditava-se que 
os objetos mais pesados em queda livre, como uma bala de canhão, caíam com uma aceleração 
maior do que a de objetos mais leves, como uma pena. Obviamente, uma bala de canhão e uma 
pena, quando largadas simultaneamente da mesma altura, caem a taxas diferentes, mas isso não 
se deve ao fato de a bala de canhão ser mais pesada. A diferença nas taxas é devida a 
resistência do ar. A força de resistência do ar foi ignorada no modelo dado em (11). Sob algumas 
circunstâncias, um corpo em queda com massa m, como uma pena com baixa densidade e 
formato irregular, encontra uma resistência do ar proporcional a sua velocidade instantânea v. Se 
nessas circunstancias, tomarmos a direção positiva como orientada para baixo, a força liquida 
que age sobre a massa será dada por F = F1 + F2 = mg – kv, onde o peso F1 = mg do corpo é a 
força que age na direção positiva e a resistência do ar F2 = - kv é uma força chamada 
amortecimento viscoso que age na direção oposta ou para cima. 
Veja a figura abaixo: 
 
 
Agora, como v esta relacionado com a aceleração a 
através de a = dv/dt, a segunda lei de Newton torna-se F = m.a 
= m. dv/dt. Substituindo a força liquida nessa forma da segunda 
lei de Newton, obtemos a equação diferencial de primeira ordem 
para a velocidade v(t) do corpo no instante t. 
 
 kvmg
dt
dvm −= (12) 
 
 Aqui k é uma constante de proporcionalidade positiva. Se s(t) for a distancia do corpo em 
queda no instante t a partir do ponto inicial, então v = ds/dt e a = dv/dt = d2s/dt2. Em termos de 
s, (12) é uma equação diferencial de segunda ordem: 
 
dt
dskmg
dt
sdm −=2
2
 ou mg
dt
dsk
dt
sdm =+2
2
 (13) 
 
 
4.12 – CORRENTE DESLIZANTE: 
 
Suponha que uma corrente uniforme de comprimento L em pés seja pendurada em um 
pino de metal preso a uma parede bem acima do nível do chão. Vamos supor que não haja atrito 
entre o pino e a corrente e que a corrente pese ρ libras/pés. A figura abaixo (a) ilustra a posição 
da corrente quando em equilíbrio; se fosse deslocada um pouco para a direita ou para a 
esquerda, a corrente deslizaria pelo pino. Suponha que a direção positiva seja tomada como 
sendo para baixo e que x(t) denote a distancia que a extremidade direita da corrente teria caído 
no tempo t. A posição de equilíbrio corresponde a x = 0. Na figura (b), a corrente é deslocada em 
x0 pés e é mantida no pino até ser solta em um tempo inicial que designaremos por t=0. Para a 
corrente em movimento, conforme mostra a figura (c), temos as seguintes quantidades: 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 41
 
Peso da corrente: 
W = (L pés) . ( ρ lb/pés) = L ρ 
 
Massa da corrente: 
 m = W/g = L ρ /32 
 
Força resultante: 
 xpxLxLF 2
22
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += ρρ 
 
 
Uma vez que a = d2x/dt2, ma = F torna-se 
 
x
dt
xdL ρρ 2
32 2
2
=⋅ ou 0642
2
=− x
Ldt
xd
 (14) 
 
 
4.13 - CIRCUITOS EM SÉRIE: 
 
 Considere o circuito em série de malha simples mostrado ao lado, 
contendo um indutor, resistor e capacitor. A corrente no circuito depois que 
a chave é fechada é denotada por i(t); a carga em um capacitor no instante 
t é denotada por q(t). As letras L, C e R são conhecidas como indutância, 
capacitância e resistência, respectivamente, e em geral são constantes. 
Agora, de acordo com a segunda Lei de Kirchhoff, a voltagem aplicada 
E(t) em uma malha fechada deve ser igual à soma das quedas de voltagem 
na malha. 
 
A figura abaixo mostra os símbolos e as fórmulas para a respectiva queda de voltagem em 
um indutor, um capacitor e um resistor. Uma vez que a corrente i(t) está relacionada com a 
carga q(t) no capacitor por i = dq/dt, adicionando-se as três quedas de voltagem. 
 
,2
2
dt
qdL
dt
diL
indutor
= 
dt
dqRiR
resistor
= q
c
capacitor
1 
 
 
 
 
e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas, obtém-se uma equação diferencial de 
segunda ordem 
 )(12
2
tEq
cdt
dqR
dt
qdL =++ 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 42
 Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a segunda lei de 
Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor (L(di/dt)) e no resistor (iR) é 
igual a voltagem aplicada no circuito (E(t)). Veja a figura abaixo 
 
 
 Obtemos, assim, a equação diferencial linear para a corrente i(t). 
 )(tERi
dt
diL =+ 
 
onde L e R são constantes conhecidas como a indutância e a resistência, respectivamente. A 
corrente i(t) é também chamada de resposta do sistema. 
 A queda de voltagem em um capacitor com capacitância C é dada por q(t)/Ci, onde q é a 
carga no capacitor. Assim sendo, para o circuito em série mostrado na figura (a), a segunda lei 
de Kirchhoff nos dá 
 )(1 tEq
C
Ri =+ 
 
 
 
 
mas a corrente i e a carga q estão relacionadas por i = dq/dt, dessa forma, a equação acima 
transforma-se na equação diferencial linear 
 )(1 tEq
Cdt
dqR =+ 
 
Exemplo: 
 Uma bateria de 12 volts é conectadaa um circuito em série no qual a indutância é ½ 
Henry e a resistência é 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial for 0. 
 
Resolução: 
L= indutância = ½ ERi
dt
diL =+ Para i(0) = 0 
R = resistência = 10 1210
2
1 =+⋅ i
dt
di
 ce0
5
60 += 
i = corrente 2420 =+ i
dt
di
 
5
6−=c 
 
E = voltagem aplicada = 12 P = 20 Q = 24 Logo: 
 
∫ ∫ == tdtPdt 2020 tei 205656 −−= [ ]∫ +⋅= − cdxeei tt 242020 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += − ceei tt 2020
20
24
 
cei t ⋅+= −20
5
6
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 43
AULA 10 – EXERCÍCIOS 
1) Encontre uma expressão para a corrente em 
um circuito onde a resistência é 12Ω , a 
indutância é 4 H, a pilha fornece uma voltagem 
constante de 60 V e o interruptor é ligado quanto 
t = 0. Qual o valor da corrente? 
 
 
 
 
 
 
2) Uma força eletromotriz é aplicada a um circuito 
em série LR no qual a indutância é de 0,1 henry e 
a resistência é de 50 ohms. Ache a curva i(t) se 
i(0) = 0. Determine a corrente quanto t ∞→ . 
Use E = 30 V. 
3) Uma força eletromotriz de 100 V é aplicada a 
um circuito em série RC no qual a resistência é de 
200Ω e a capacitância é de 10- 4 farads. Ache a 
carga q(t) no capacitor se q(0) = 0. Ache a 
corrente i(t). 
4) Uma força eletromotriz de 200 V é aplicada a 
um circuito em série RC no qual a resistência é de 
1000Ω e a capacitância é 5 x 10- 6 farads. Ache a 
carga q(t) no capacitor se i(0) = 0,4. Determine a 
carga da corrente em t = 0,005s. Determine a 
carga quando t ∞→ . 
5) Sabe-se que a população de uma certa 
comunidade cresce a uma taxa proporcional ao 
número de pessoas presentes em qualquer 
instante. Se a população duplicou em 5 anos, 
quando ela triplicará? 
6) Suponha que a população da comunidade do 
problema anterior seja 10000 após 3 anos. Qual 
era a população inicial? Qual será a população em 
10 anos? 
7) A população de uma cidade cresce a uma taxa 
proporcional à população em qualquer tempo. Sua 
população inicial de 500 habitantes aumenta 15% 
em 10 anos. Qual será a população em 30 anos? 
8) O isótopo radioativo de chumbo, Ph 209, 
decresce a uma taxa proporcional à quantidade 
presente em qualquer tempo. Sua meia vida é de 
3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente 
inicialmente, quanto tempo levará para 90% de 
chumbo desaparecer? 
9) Inicialmente havia 100 miligramas de uma 
substância radioativa presente. Após 6 horas a 
massa diminui 3%. Se a taxa de decrescimento é 
proporcional à quantidade de substância presente 
em qualquer tempo, determinar a meia vida desta 
substância. 
10) Com relação ao problema anterior, encontre 
a quantidade remanescente após 24 horas. 
11) Em um pedaço de madeira queimada, ou 
carvão, verificou-se que 85,5% do C-14 tinha se 
desintegrado. Qual a idade da madeira? 
12) Um termômetro é retirado de uma sala, em 
que a temperatura é 70ºF, e colocado no lado fora 
onde a temperatura é 10ºF. Após 0,5 minuto o 
termômetro marcava 50ºF. Qual será a 
temperatura marcada pelo termômetro no 
instante t=1 minuto? Quanto levará para marcar 
15ºF? 
13) Segundo a Lei de Newton, a velocidade de 
resfriamento de um corpo no ar é proporcional à 
diferença entre a temperatura do corpo e a 
temperatura do ar. Se a temperatura do ar é 20oC 
e o corpo se resfria em 20 minutos de 100oC para 
60oC, dentro de quanto tempo sua temperatura 
descerá para 30oC? 
14) Um indivíduo é encontrado morto em seu 
escritório pela secretária que liga imediatamente 
para a polícia. Quando a polícia chega, 2 horas 
depois da chamada, examina o cadáver e o 
ambiente, tirando os seguintes dados: A 
temperatura do escritório era de 20oC, o cadáver 
inicialmente tinha uma temperatura de 35oC. Uma 
hora depois medindo novamente a temperatura 
do corpo obteve 34.2oC. O investigador, supondo 
que a temperatura de uma pessoa viva é de 
36.5oC, prende a secretária. Por que? No dia 
seguinte o advogado da secretária a liberta, 
alegando o que? 
15) Sob as mesmas hipóteses subjacentes ao 
modelo em (1), determine a equação diferencial 
que governa o crescimento populacional P(t) de 
um país quando os indivíduos tem autorização 
para imigrar a uma taxa constante r. 
16) Usando o conceito de taxa liquida, que é a 
diferença entre a taxa de natalidade e a taxa de 
mortalidade na comunidade, determine uma 
equação diferencial que governe a evolução da 
população P(t), se a taxa de natalidade for 
proporcional a população presente no instante t, 
mas a de mortalidade for proporcional ao 
quadrado da população presente no instante t. 
17) Suponha que um estudante portador de um 
vírus da gripe retorne para um campus 
universitário fechado com mil estudantes. 
Determine a equação diferencial que descreve o 
número de pessoas x(t) que contrairão a gripe, se 
a taxa segundo a qual a doença for espalhada for 
proporcional ao numero de interações entre os 
estudantes gripados e os estudantes que ainda 
não foram expostos ao vírus. 
18) Suponha um grande tanque para misturas 
contenha inicialmente 300 galões de água,no qual 
foram dissolvidas 50 libras de sal. Água pura é 
bombeada pra dentro do tanque e uma taxa de 3 
gal/min, e então, quando a solução esta bem 
misturada, ela é bombeada para fora segundo a 
mesma taxa. Determine uma equação diferencial 
para a quantidade de sal A(t) no tanque no 
instante t. 
19) Suponha que a água esta saindo de um 
tanque por um buraco circular em sua Bse de 
área Ah. Quando a água vaza pelo buraco, o atrito 
e a concentração da corrente de água nas 
proximidades do buraco reduzem o volume de 
água que esta vazando do tanque por segundo 
para ghcAh 2 , onde c (0<c<1) é uma constante 
empírica.Determine uma equação diferencial para 
a altura h de água no instante t para um tanque 
cúbico, como na figura abaixo, O raio do buraco é 
2 pol e g = 32 pés/s2. 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 44
 
 
 
 
 
 
20) Para um movimento em alta velocidade no ar 
– tal como o paraquedista mostrado na figura 
abaixo , caindo antes de abrir o paraquedas – a 
resistência do ara esta próxima de uma potencia 
da velocidade instantânea. Determine a equação 
diferencial para a velocidade v(t) de um corpo em 
queda com massa m, se a resistência do ar for 
proporcional ao quadrado de sua velocidade 
instantânea. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) Uma pequena barra de metal, cuja 
temperatura inicial é de 200C, é colocada em um 
recipiente com água fervendo. Quanto tempo 
levará para a barra atingir 900C se sua 
temperatura aumentar 20 em 1 segundo? Quanto 
tempo levará para a barra atingir 980C? 
22) Um tanque contém 200 litros de fluido no 
qual foram dissolvidos 30 gramas de sal. Uma 
salmoura contendo 1 grama de sal por litro é 
então bombeada para dentro do tanque a uma 
taxa de 4 L/min; a solução bem misturada é 
bombeada para fora à mesma taxa. Ache o 
número A(t) de gramas de sal no tanque no 
instante t. 
23) Um grande tanque contém 500 galões de 
água pura. Uma salmoura contendo 2 libras por 
galão é bombeada para dentro do tanque a uma 
taxa de 5 gal/min. A solução bem misturada é 
bombeada para fora à mesma taxa. Ache a 
quantidade A(t) de libras de sal no tanque no 
instante t. Qual é a concentração da solução no 
tanque no instante t = 5 min? 
24) Um grande tanque esta parcialmente cheio 
com 100 galões de um fluido no qual foram 
dissolvidas 10 libras de sal. Uma salmoura 
contendo ½ libra de sal por galão é bombeada 
para dentro do tanque a uma taxa de 6 gal/min. A 
solução bem misturada é então bombeada para 
fora a uma taxa de 4 gal/min. Ache a quantidade 
de libras de sal no tanque após 30 minutos. 
 
 
 
 
Respostas:1) tetI 355)( −−= 
2) tcei 500
5
3 −+= e 
5
3)(lim =∞→ tit 
3) tceq 50
100
1 −+= onde C = -1/100 e 
 tei 50
2
1 −= 
4) tceq 200
1000
1 −+= 
 tcei 200200 −−= 
 
500
1−=C 
 coulombsq 0003,0)005,0( = 
 ampi 1472,0)005,0( = 
 
1000
1→q 
5) 7,92 anos. 
6) x0 = 6600,66 e N(10) = 26.396,04 
7) N(30) = 760 
8) t = 11 horas 
9) t = 136,72 horas 
10) 88,5 gramas. 
11) 15600 anos 
12) T(1) = 36,66ºF e t = 3,06 min 
13) t = 60 min 
14) justificativa pessoal. 
15) rkp
dt
dP += , rkp
dt
dP −= 
16) 221 PkPkdt
dP −= 
17) )1000( xkx
dt
dx −= 
18)
100
A
dt
dA −= 
19) hc
dt
dh
450
π−= 
20) 2kvmg
dt
dvm −= 
21) Aproximadamente 82,1 s 
 Aproximadamente 145,7 s 
22) A(t) = 200 – 170 e-t/50 
23) A(t) = 1000 – 1000 e-t/100 
 0,0975 lb/gal 
24) 64,38 lb 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 45
AULA 11 
 
5 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 2a ORDEM 
E ORDEM SUPERIOR 
 
 As equações lineares de ordem n são aquelas da forma: 
ByA
dx
ydA
dx
ydA
dx
ydA nn
n
n
n
n
n
=/++++ −
−
−
−
...2
2
21
1
10 
 Onde B, A0, A1, A2,..., An dependem apenas de x ou são constantes. 
 Para começarmos este estudo vamos utilizar como padrão de uma EDO-2 linear (Equação 
Diferencial Ordinária Linear de ordem 2) a seguinte equação: 
 
 y” +p(x)y’ +q(x)y = r(x) 
 
onde: 
¾ p(x) e q(x) são os coeficientes e representam parâmetros do sistema 
¾ r(x) termos de excitação (input) 
¾ y(x) resposta do sistema 
 
Se r(x) = 0, ∀ x∈I → Eq. Dif. Homogênea 
 r(x) ≠ 0 → Eq. Dif. não homogênea 
 
 A EDO-2 acima possui 2 soluções, y1(x) e y2(x) e são linearmente independentes (L.I), isto 
é ctexh
xy
xy ≠= )(
)(
)(
1
2 
Com isso, y1(x) e y2(x) formam uma base para a solução da EDO-2 homogênea (base 
fundamental). 
 
Exemplo: 
 y" + y = 0 
 
 Se propormos como solução y1(x) = sen(x) 
 y2 (x) = cos(x) 
 ctextg
x
xsen
xy
xy ≠== )(
)cos(
)(
)(
)(
1
2 , logo, formam uma base, com isso, a solução geral da EDO-2 
fica y(x) = C1cos(x) + C2sen(x). 
 
 
 Se obtemos as bases para a solução da homogênea, a solução da equação fica 
 
 )(...)()()( 2211 xyCxyCxyCxy nn+++= 
 
 
Se temos uma solução y1(x) pode-se obter y2(x) mais facilmente. 
Obtida uma solução y1(x) da EDO-2, pode-se obter y2(x) pelo conceito de base, onde y1(x) 
e y2(x) são linearmente independentes. 
 
 ctexh
xy
xy ≠= )(
)(
)(
1
2 
 )().()( 12 xyxhxy = 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 46
Exemplo: Obter y2(x), sabendo que y1(x) = x 
 (1 – x2)y” – 2xy’ + 2y = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 11 – EXERCÍCIOS 
Obter y2(x) nos exercicios abaixo: 
1) x2y” – 5xy’ +9y = 0 , com y1(x) = x3 
 
2) 4x2y” – 3y = 0 com y1(x) = x-1/2 
 
3) x2y” + xy’ + (x2 – ¼)y = 0, 
 com y1(x) = x-1/2 cosx 
Respostas: 
1) y2(x) = x3 lnx 
2) y2(x) = 2
2
3
x
 
3) y2(x) = x-1/2senx 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 47
AULA 12 
 
 
5.1 – EQUAÇÕES LINEARES E HOMOGÊNEAS DE COEFICIENTES 
CONSTANTES: 
 
 
São aquelas da forma: 0...2
2
21
1
10 =/++++ −
−
−
−
yA
dx
ydA
dx
ydA
dx
ydA nn
n
n
n
n
n
, onde A0, A1, A2,...,An 
são constantes. 
 
 
Resolução: 
 Para n= 1 → 010 =+ yAdx
dyA 
 yA
dx
dyA 10 −= 
 dx
A
A
y
dy
0
1−= 
 Cx
A
Ay +−=
0
1ln 
 
 
Cx
A
A
ey
+−= 0
1
 
 C
x
A
A
eey .0
1−= 
 
Chamando 
0
1
A
A− = λ e KeC = , temos key x .λ= 
 
 Para nos facilitar a demonstração, vamos usar a seguinte equação: 
 02
2
=++ by
dx
dya
dx
yd
 
onde a e b são constantes. 
 
 Vamos utilizar xey λ= calculado anteriormente como solução proposta. 
 
xey λ= 
xey λλ=' 
xey λλ2"= 
 
Substituindo na EDO temos: 
 
0).(
0
2
2
=++
=++
x
xxx
eba
beeae
λ
λλλ
λλ
λλ
 
 
Como 0≠xeλ para qualquer valor de x, temos 02 =++ baλλ , a qual iremos chamar de 
equação característica da EDO-2 dada. 
Em relação a equação característica 0)( =λP temos três casos a considerar: 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 48
Caso 1: Raízes Reais Distintas. 
 xey 11
λ= 
 xey 22
λ= 
 Assim a solução geral fica: 
xx eCeCy
yCyCy
21
21
2211
λλ +=
+=
 
 
E para uma equação de ordem n fica: 
 
x
n
xxx neCeCeCeCy λλλλ ++++= ...321 321 
 
Caso 2: Raízes Múltiplas. 
 
 Se λλλ == 21 , onde se aplicarmos a regra anterior teremos xey λ=1 e xey λ=2 . 
 Só que é necessário encontrar soluções que sejam linearmente independentes, pois com 
as raízes sendo iguais temos === 1
1
2
x
x
e
e
y
y
λ
λ
constante. 
 Assim temos que achar uma segunda solução que seja linearmente independente. 
 Supondo a equação y” + ay’ + by = 0 e utilizando o conceito de base em que 
)().()( 12 xyxhxy = , onde xey λ=1 , temos: 
 
xxx
xx
x
heehehy
heehy
ehy
xyxhxy
λλλ
λλ
λ
λλ
λ
2
2
2
2
12
'2""
''
.
)().()(
++=
+=
=
=
 
 Substituindo na equação dada: 
 0''2" 2 =+++++ xxxxxx bheheaeahheeheh λλλλλλ λλλ 
 Reordenando: 
 [ ] 0)(')2(" 2 =+++++ hbahahe x λλλλ 
Como 0≠xeλ e ba ++ λλ2 =0, pois como já vimos anteriormente 0)( =λP . 
 Então: 
 
KCxh
Ch
h
+=
=
=
'
0"
 
 Logo: 
 xeKCxy
yhy
λ).(
.
2
12
+=
=
 
 
Solução geral: 
 
xx
xx
CeCeKCCy
eKCxCeCy
yCyCy
λλ
λλ
221
21
2211
)(
)(
++=
++=
+=
 fazendo C1 + C2k = C1 e C2C = C2 
 temos: 
 
x
xx
exCCy
xeCeCy
λ
λλ
)( 21
21
+=
+=
 
 
 A propriedade se estende para equações de ordem superior: 
xn
n exCxCxCCy
λ)...( 12321
−++++= 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 49
Caso 3: Raízes complexas distintas. 
 
 Sejam bia +=1λ e bia −=2λ as raízes da equação característica. Aplicando a condição 
para raízes reais distintas teríamos como solução: 
 
( )bixbixax
bixaxbixax
xbiaxbia
eCeCey
eeCeeCy
eCeCy
−
−
−+
+=
+=
+=
21
21
)(
2
)(
1
.. 
 Das fórmulas de Euler temos: 
 θθ
θθ
θ
θ
isene
isene
i
i
−=
+=
− cos
cos
 
 
 Com isso: 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]senbxCCibxCCey
isenbxbxCisenbxbxCey
ax
ax
2121
21
cos
coscos
−++=
−++=
 
 Fazendo 
 C1 + C2 = C1 
 i(C1 – C2) = C2 
 temos: 
 [ ]senbxCbxCey ax 21 cos += 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) 03613 2
2
4
4
=+− y
dx
yd
dx
yd
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 50
2) y”+4y = 0, com y(0) = 3 e y(π /2) = -3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) y” - 2√2 y’+2y = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 12 – EXERCÍCIOS 
1) y” – 5y’ +