Aula Inferencia

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Universidade Federal de Mato Grosso
Probabilidade e Estatística - Curso: Engenharia Civil
Introdução à Inferência Estatística - ProfaEveliny
1 Introdução
Vimos no início do curso como resumir descritivamente variáveis associadas a um ou mais conjunto de dados. Em
seguida, construímos modelos teóricos (probabilísticos), identificados por parâmetros (por exemplo, X ∼ Bin(n; p)),
capazes de representar adequadamente o comportamento de algumas variáveis. Agora veremos argumentos estatísticos
para fazer afirmações sobre as características de uma população, com base em informações dadas por amostras.
O uso de informações de uma amostra para concluir sobre o todo faz parte da atividade diária da maioria das
pessoas. Basta observar como uma cozinheira verifica se o prato que ela está preparando tem ou não a quantidade
adequada de sal.
Conceitos Importantes:
1. População: Conjunto de elementos que possuem pelo menos uma característica em comum.
2. Amostra: É um subconjunto da população.
3. Amostragem: É o processo de seleção de uma amostra.
4. Parâmetro: Alguma medida descritiva (média, variância, proporção etc) dos valores x1, x2, · · · , associados à pop-
ulação.
5. Estatística: Alguma medida descritiva (média, variância, proporção etc) das variáveis aleatórias X1, X2, · · · , asso-
ciados à amostra.
• As Estatísticas mais comuns são:
X¯ =
∑n
i=1
xi
n Média Amostral
S2 = 1n−1 ×
∑n
i=1(xi − x¯)2 Variância Amostral
X(1) = min(X1, X2, · · · , Xn) o menor valor da amostra
X(n) = max(X1, X2, · · · , Xn) o maior valor da amostra
W = X(n) −X(1) Amplitude Total
pˆ = N
o de elementos com a característica de interesse
n Proporção Amostral
• Os Parâmetros mais comuns são:
µ =
∑N
i=1
xi
N Média Populacional
σ2 =
∑N
i=1
(xi−µ)2
N Variância Populacional
p = N
o de elementos com a característica de interesse
N Proporção Populacional
2 Distribuição Amostral da Média
Considere uma população identificada pela variável X , cujos parâmetros média populacional µ = IE(X) e va-
riância populacional σ2 = V ar(X) são supostamente conhecidos. Vamos retirar todas as possíveis amostras aleatórias
simples de tamanho “n” dessa população, e para cada uma calcular a média X¯. Em seguida, consideremos a distribuição
amostral e estudemos suas propriedades.
Exemplo: Considere uma população de 4 ônibus de uma pequena companhia de transporte urbano. Seja X = No
de vezes que o ônibus teve um defeito grave. Valores observados para X : 2, 3, 4, 5.
µ =
2 + 3 + 4 + 5
4
=
N∑
i=1
xi
N
1
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σ2 =
N∑
i=1
(xi − µ)2
N
=
1
4
{(2− 3, 5)2 + (3− 3, 5)2 + (4− 3, 5)2 + (5− 3, 5)2} = 1, 25
Retirando-se uma a.a. simples de n = 2 dessa população, com reposição, temos:
Amostras possíveis Valor de x¯ Probabilidade
(2,2) 2,0 1/16
(2,3); (3,2) 2,5 2/16
(2,4); (3,3); (4,2) 3,0 3/16
(2,5); (3,4); (4,3); (5,2) 3,5 4/16
(3,5); (4,4); (5,3) 4,0 3/16
(4,5); (5,4) 4,5 2/16
(5,5) 5,0 1/16
Vamos calcular a média e a variância das médias:
IE(X¯) = 2, 0× 1/16 + 2, 5× 2/16 + · · ·+ 5, 0× 1/16 = 3, 5 = µ
V ar(X¯) = 0, 625 = σ2/n
Se a amostragem for sem reposição e N não muito grande, N < 20n:
V ar(X¯) =
σ2
n
× N − n
N − 1
2.1 Teorema do Limite Central
Para uma a.a simples (X1, · · · , Xn), retiradas de uma população com média µ e variância σ2 finita, a distribuição
amostral da média X¯ aproxima-se, para n grande, de uma distribuição Normal, com média µ e variância σ2/n.
Corolário: Se (X1, · · · , Xn) for uma a.a simples da população X , com média µ e variância σ2 finita, e X¯ =
(X1 + · · ·+Xn)/n, então
Z =
X¯ − µ
σ/
√
n
∼ N(0, 1) (1)
ou
Z =
√
n(X¯ − µ)
σ
∼ N(0, 1) (2)
2.1.1 Estimação Pontual
Média: IE(X¯) = µ; Variância: V ar(X¯) = σ
2
n ; Desvio - Padrão: DP (X¯) =
σ√
n
Prova:
Média:
IE(X¯) = IE
{
n∑
i=1
xi
n
}
= IE
{
1
n
n∑
i=1
xi
}
=
1
n
× IE(X1 +X2 + · · ·+Xn) = 1
n
× {µ+ µ+ · · ·+ µ} = n× µ
n
= µ.
Variância:
V ar(X¯) = V ar
(
n∑
i=1
xi
n
)
=
1
n2
V ar(
n∑
i=1
xi)
=
1
n2
× {V ar(X1) + V ar(X2) + · · ·+ V ar(Xn)}
=
1
n2
× {σ2 + σ2 · · ·σ2} = nσ2
n2
=
σ2
n
.
Exercícios:
2
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1) Suponha que a aceitação de um lote de 1000 peças ocorra apenas, se o comprimento médio de 10 peças, retiradas
aleatoriamente do lote, estiver entre 5 e 10 cm. Sabe-se que o comprimento das peças é uma variável aleatória com
distribuição Normal de média 7,5 cm e variância 20cm2. O que podemos dizer a respeito da aceitação do lote?
2) Os pesos das peças produzidas por uma máquina (produção de 5.000 peças/dia) seguem distribuição normal com
uma média de 22g e desvio padrão de 12,5g. Foi coletada 50 amostras, de 16 peças cada uma.
i) Determine a média e o desvio padrão da distribuição das médias amostrais;
ii) Em quantas amostras pode-se esperar que a média se encontre entre 19,3 e 20,5g? e abaixo de 19g?
iii) Qual a probabilidade de encontrarmos uma peça escolhida dessa produção com dimensão entre 19,3g e 20,5g?
3 Distribuição Amostral de uma Proporção
Vamos considerar uma população em que a proporção de elementos portadores de certa característica é p. Logo,
podemos definir uma v.a. X , da seguinte maneira:
X =
{
1, se o indivíduo tiver a característica de interesse
0, se o indivíduo não tiver a característica de interesse,
logo,
µ = IE(X) = p, σ2 = V ar(X) = p(1− p).
Se retirarmos uma AAS (amostra aleatória simples) dessa população, e definirmos Yn como sendo o total de indivíduos
portadores da característica na amostra, Yn =
∑n
i=1Xi, logo,
pˆ =
Yn
n
Então,
IP (Yn = k) = IP (Yn/n = k/n) = IP (pˆ = k/n),
ou seja, a distribuição amostral de pˆ é obtida da distribuição de Yn e k é o número de elementos portadores de certa
característica na amostra.
Vamos mostrar que a justificativa desse fato está no TLC. Observe que
Yn = X1 +X2 + · · ·+Xn
onde cadaXi tem distribuição de Bernoulli, com média µ = p e variância σ2 = p(1−p), e são duas a duas independentes.
Assim,
Média:
IE(pˆ) = IE(Yn/n) =
1
n
IE(Yn)
IE(pˆ) =
1
n
IE(X1 +X2 + · · ·+Xn)
IE(pˆ) =
1
n
{IE(X1) + IE(X2) + · · ·+ IE(Xn)}
como X ∼ Bernoulli(p),
IE(pˆ) =
1
n
{p+ p+ · · ·+ p} = n× p
n
= p.
Variância:
V ar(pˆ) = V ar(Yn/n) =
1
n2
V ar(Yn)
V ar(pˆ) =
1
n2
V ar(X1 +X2 + · · ·+Xn)
V ar(pˆ) =
1
n2
{V ar(X1) + V ar(X2) + · · ·+ V ar(Xn)}
V ar(pˆ) =
1
n2
{
σ2 + σ2 + · · ·+ σ2)} = n× σ2
n2
3
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V ar(pˆ) =
σ2
n
=
p(1− p)
n
Assim como X¯ , pˆ terá, para N grande, distribuição aproximadamente Normal:
pˆ ∼ N
(
p,
p(1− p)
n
)
. (3)
Z =
pˆ− p√
p(1−p)
n
. (4)
Exercícios:
1. Um procedimento de controle de qualidade foi planejado para garantir um máximo de 10% de itens defeituosos na
produção. A cada 6hr sorteia-se uma amostra de 20 peças e, havendo mais que 15% de defeituosas, encerra-se a
produção para verificação do processo. Qual a probabilidade de uma parada desnecessária?
2. Supondo que a produção do exemplo anterior esteja sob controle, isto é, p = 10%, e que os itens sejam vendidos
em caixas com 100 unidades, qual a probabilidade de que uma caixa:
(a) tenha mais do que 10% de defeituosos?
(b) não tenha itens defeituosos?
3. Suponha que p = 30% dos estudantes de uma escola sejam mulheres. Colhemos uma AAS de n = 10 estudantes e
calculamos pˆ = proporção de mulheres na amostra.Qual a probabilidade de que pˆ difira de p em menos de 0,01?
4 Determinação do Tamanho de uma Amostra
Nas considerações feitas anteriormente foi feita a suposição que o tamanho da amostra, n, era conhecido e fixo.
Em determinadas situações, pode ser de interesse determinar o tamanho da amostra a ser escolhida de uma população, de
modo a obter um erro de estimação previamente estipulado, com determinado grau de confiança.
Média:
n =
σ2z2α/2
ε2
. (5)
Note que em (5) conhecemos zα/2 e ε, mas σ2 é a variância desconhecida da população. Para podermos ter uma idéia
sobre n devemos ter alguma informação prévia sobre σ2 ou, então, usar uma pequena amostra piloto para estimar σ2.
Exemplo: Suponha que uma pequena amostra piloto de n = 10, extraída de uma população, forneceu os valores
X¯ = 15 e S2 = 16. Fixando-se ε = 0, 5 e α = 0, 95, temos
n =
16× (1, 96)2
(0, 5)2
≈ 245.
No caso de proporções, usando a aproximação normal apresentada na seção anterior para pˆ, é fácil ver que (5)
resulta
n =
z2α/2p(1− p)
ε2
. (6)
Geralmente o valor de p, a verdadeira proporção populacional, não é conhecida, neste caso podemos usar o fato que
p(1− p) ≤ 1/4, para todo p, e (6) fica
n ≈
z2α/2
4ε2
. (7)
Por outro lado, se tivermos alguma informação sobre p ou pudermos estimá-lo usando uma amostra piloto, basta substituir
esse valor estimado em (6).
Exemplo: Suponha que numa pesquisa de mercado estima-se que no mínimo 60% das pessoas entrevistadas
preferirão a marca A de um produto. Essa informação é baseada em pesquisas anteriores. Se quisermos que o erro
amostral de pˆ seja menor do que ε = 0, 03, com probabilidade α = 0, 95, teremos
n ≈ (1, 96)
2(0, 6)(0, 4)
(0, 03)2
≈ 1.024,
usa-se o fato de que p ≥ 0, 60.
Exercícios:
4
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1. Suponha que uma indústria farmacêutica deseja saber a quantos voluntários se deva aplicar uma vacina, de modo
que a proporção de indivíduos imunizados na amostra difira de menos de 2% da proporção verdadeira de imunizados
na população, com probabilidade 90%. Qual o tamanho da amostra escolher?
2. No problema anterior, suponha que a indústria tenha a informação de que a proporção de imunizados pela vacina
seja p ≥ 0, 80. Qual o novo tamanho de amostra a escolher? Houve redução?
5 Propriedades dos estimadores
Definição 1: Parâmetro
As quantidades da população, em geral desconhecidas, sobre as quais temos interesse, são denominadas parâmetros
e, usualmente, representadas por letras gregas tais como θ, µ, σ, entre outras.
Definição 2: Estimador e Estimativa
À combinação dos elementos da amostra, construída com a finalidade de representar, ou estimar, um parâmetro
de interesse na população, denominamos estimador. Em geral, denotamos os estimadores por símbolos com o acento
circunflexo: θˆ, µˆ, σˆ, etc. Aos valores numéricos assumidos pelos estimadores denominamos estimativas pontuais ou
simplesmente estimativas.
Definição 3: Vício
Um estimador θˆ é não viciado ou não viesado para um parâmetro θ se IE(θˆ) = θ. Em outras palavras, um estimador
é não viciado se o seu valor esperado coincide com o parâmetro de interesse.
IE(θˆ) = θ
Definição 4: Consistência
Um estimador θˆ é consistente, se, à medida que o tamanho da amostra aumenta, seu valor esperado converge para
o parâmetro de interesse e sua variância converge para zero. Ou seja, θˆ é consistente se as duas propriedades seguintes
são satisfeitas:
i) lim
n→∞ IE(θˆ) = θ,
ii) lim
n→∞V ar(θˆ) = 0.
Note que, na definição de consistência, usa-se implicitamente o fato que o estimador depende de n, o tamanho da amostra.
Na definição do vício, o resultado deve valer para qualquer que seja n, isto é, IE(θˆ) = θ, para todo n. Na definição de
consistência, o estimador necessita ser não viciado apenas para valores grandes de n.
Definição 5: Eficiência
Dados dois estimadores θˆ1 e θˆ2, não viciados para um parâmetro θ, dizemos que θˆ1 é mais eficiente do que θˆ2 se
V ar(θˆ1) < V ar(θˆ2).
Tabela 1: Estimadores para média, proporção e variância.
Parâmetro Estimador Propriedades
σ2 S2 = 1n−1 ×
∑n
i=1(xi − x¯)2 Não viciado e Consistente.
µ X¯ =
∑n
i=1
xi
n Não viciado e Consistente.
p pˆ = N
o de elementos com a característica de interesse
n Não viciado e Consistente.
6 Estimação por Intervalo
Até agora, todos os estimadores apresentados foram pontuais, isto é, especificam um único valor para o estimador.
Esse procedimento não permite julgar qual a possível magnitude do erro que estamos cometendo. Daí, surge a idéia de
construir os intervalos de confiança, que são baseados na distribuição amostral do estimador pontual.
5
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6.1 Intervalo de confiança (IC) para a média µ de uma população Normal com variância σ2
conhecida
Consideremos, inicialmente, o intervalo de confiança para a média µ de uma certa população Normal, com var-
iância conhecida σ2. Supondo uma amostra de tamanho n dada por (X1, · · · , Xn), vimos que a média amostral tem
distribuição Normal com a mesma média µ e variância σ2/n. Assim,
Z =
X¯ − µ
σ/
√
n
∼ N(0, 1).
Assim, o intervalo de confiança para µ, com coeficiente de confiança 1− α, é dado por
IP
(
X¯ − zα/2 × σ√
n
< µ < X¯ +
zα/2 × σ√
n
)
= 1− α
ou
IC(µ, 1− α) =
[
X¯ − zα/2 × σ√
n
; X¯ +
zα/2 × σ√
n
]
(8)
Representação Gráfica: O valor zα/2 pode ser obtido na tabela da Normal padrão, localizando o valor de (1 − α)/2 no
corpo da tabela e obtendo o valor de zα/2 nas margens correspondentes. Feito isso, temos o intervalo
Exercícios:
1. Calcule o intervalo de confiança para a média de uma N(µ, σ2) em cada uma dos casos abaixo:
Média Amostral Tamanho da Amostra Desvio Padrão (σ) Coeficiente de Confiança
175 cm 100 15 cm 95%
165 cm 184 30 cm 85%
180 cm 225 30 cm 70%
2. De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia retira-se uma amostra de 400 válvulas, e obtém-se a vida média
de 800 horas e o desvio padrão de 100 horas.
a) Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média da população?
b) Com que confiança dir-se-ia que a vida média é 800 ± 9,8?
c) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95% a confiança na estimativa 800 ± 7,84?
6.2 Intervalo de confiança (IC) para a média µ de uma população Normal com variância σ2
desconhecida
O intervalo de confiança descrito em (8) somente poderá ser usado nas situações em que conhecemos o desvio
padrão σ da população, o que não é comum na prática. Caso contrário, o procedimento usual é substituir σ pelo desvio
padrão calculado com os dados da amostra:
S =
√√√√ 1
n− 1 ×
n∑
i=1
(xi − x¯)2 (9)
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Duas situações a considerar:
1. se n > 30, então usa-de a distribuição Normal com o estimador S2 de σ2;
2. se n ≤ 30, então usa-se a distribuição t-de-Student, que veremos adiante;
6.2.1 Distribuição t de Student
Supondo a população com distribuição Normal, a estatística
t =
X¯ − µ
S/
√
n
(10)
tem distribuição de probabilidade conhecida como distribuição t de Student, com gl = n− 1 graus de liberdade.
Algumas características da distribuição t de student:
• É simétrica em relação a zero;
• Todas curvas tem máximo em t = 0;
• Existe uma curva para cada tamanho de amostra (n) e o valor gl = n − 1 (número de graus de liberdade) é usado
para obtenção de valores na tabela;
• A medida que n cresce a distribuição t se aproxima da normal padrão z;
Valores de probabilidade de t são obtidos em tabelas. A tabela de t informa o valor acima do qual se encontra a areaα/2,
onde tα/2 é o valor encontrado na tabela da t.
Exercícios:
1. Deseja-se avaliar a dureza esperada µ do aço produzido sob um novo processo de têmpera. Uma amostra de dez
corpos de prova do aço produziu os seguintes resultados de dureza, em HRc: 36,4; 35,7; 37,2; 36,5; 34,9; 35,2;
36,3; 35,8; 36,6; 36,9. Construir um IC para µ, com nível de confiança de 95%.
2. Sete medidas de pH de uma solução reguladora proporcionaram os seguintes resultados: 5,12; 5,15; 5,20; 5,16;
5,19; 5,15. Calcular os limites de confiança para o verdadeiro pH médio ao nível de confiança de : i) 99%; ii)95%.
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6.3 Intervalo de confiança (IC) para proporção populacional p
Em muitas situações, o principal parâmetro de interesse é alguma proporção p. Por exemplo:
• a proporção de itens defeituosos em uma linha de produção;
• a proporção de consumidores que vão comprar certo produto;
• a proporção de mensagens que chegam adequadamente a seu destino etc.
Assim como X¯ , pˆ terá, para N grande, distribuição aproximadamente Normal:
pˆ ∼ N
(
p,
p(1− p)
n
)
.
Z =
pˆ− p√
p(1−p)
n
.
Assim, o intervalo de confiança para p, com coeficiente de confiança 1− α, é dado por
IP
(
pˆ− zα/2 ×
√
pˆ(1− pˆ)
n
< p < pˆ+ zα/2 ×
√
pˆ(1− pˆ)
n
)
= 1− α
ou
IC(p, 1− α) =
[
pˆ− zα/2 ×
√
pˆ(1− pˆ)
n
; pˆ+ zα/2 ×
√
pˆ(1− pˆ)
n
]
(11)
Exercícios:
1. Para estimar a porcentagem de alunos de um curso favoráveis a modificação do currículo escolar, tomou-se uma
amostra de 100 alunos, dos quais 80 foram favoráveis.
a) Fazer um IC para a proporção de todos os alunos do curso favoráveis à modificação ao nível de 4%.
b) Qual o valor do erro de estimação cometido em (a)?
2. Pretende-se estimar a proporção p de cura, através do uso de um certo medicamento em doentes contaminados com
cercária, que é uma das formas do verme da esquitossomose. Um experimento consistiu em aplicar o medicamento
em 200 pacientes, escolhidos ao acaso, e observar que 160 deles foram curados. Que podemos dizer da proporção
p na população em geral?
8