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Atividade de Calculo Numérico Computacional –– 2014
Professora: Claudia Gomes de Oliveira Santos
Estudos de Casos
Sabendo-se que a quantidade de calor necessária para elevar a temperatura de um corpo de massa m de uma temperatura T0 a uma temperatura T1 é dada por:
ondecp(T) é o calor específico do corpo à temperatura T. Calcular a quantidade de calor necessária para elevar 20,0 kg de água de 0 a 100,0 ºC. Para a água temos a seguinte tabela, que fornece o calor específico em função da temperatura:
	T(ºC)
	0
	10
	20
	30
	40
	50
	60
	70
	80
	90
	100
	110
	Cp(T) (kcal/kgºC)
	999,9
	999,7
	998,2
	995,3
	992,3
	988,1
	983,2
	977,8
	971,8
	965,3
	958,4
	950,3
Utilize a regra dos trapézios com 5subintervalos.
Utilize a primeira regra de Simpsoncom 10 subintervalos
O telhado de um silo é feito com a revolução da curva de x=-5m a x = 5 m em torno do eixo y, conforme mostrado na figura a
A área superficial S obtida com a revolução de uma curva f(x) no domínio de aab em torno do eixo y pode ser calculada usando:
Calcule a área da superficial do telhado usando os seguintes métodosde integração:
Método dos trapézios com oito subintervalos.
Método de Simpson 1/3. Divida o intervalo de integração em oito subintervalos.
Método de Simpson 3/8. Divida o intervalo de integração em nove subintervalos.
No projeto de tubulações subterrâneas, é necessário estimar a temperatura do solo. A temperatura do solo pode ser estimada em várias profundidades a partir da modelagem do solo como um sólido semi-infinito com temperatura inicial constante. A temperatura em uma profundidade x no tempo t pode ser calculada pela expressão:
	Onde TS é a temperatura na superfície, Ti é a temperatura inicial do solo e α = 0,138.10-6 m²/s é a difusividade térmica do solo. Responda as seguintes questões assumindo TS = - 15 ºC e Ti = 12ºC.
Determine a temperatura em uma profundidade de x = 1m após 30 dias. (t = 2,592.106 s). Utilizando o método dos Trapézios.
Determine a temperatura em uma profundidade de x = 0,5 m após 40 dias. Utilizando o método de 1/3 Simpsom.
Determine a temperatura em uma profundidade de x = 0,5 m após 40 dias. Utilizando o método de 2/3 Simpsom.
Obs.: Em ambos os casos com uma aproximação de 10-7.
2ª derivada
4ª derivada
Uma viga de alumínio com comprimento L = 2m é presa em uma extremidade e carregada em sua outra extremidade e carregada em sua outra extremidade por uma força axial P = 20 kN. A área da seção reta da viga varia com seu comprimento e é dada em função de x como:
Onde W = 80mm e H = 30 mm. A deformação normal ε ao longo da viga é dada por:
Onde E = 10GPa é o módulo elástico da viga.
O deslocamento δ no ponto x = x
p
 ao longo da viga pode ser calculada por 
Determine o deslocamento δ no ponto final da viga (xp = L). Utilize a regra do Trapézio e de Simpsom com uma precisão de 10-4
 Pretende-se calcular, corretamente com oito casas decimais, o valor de
a) pela regra dos trapézios
b) por Simpson
As integrais seguintes não possuem primitiva, de modo que utilizaremos a própria solução da integração numérica para encontrar a solução exata com sete casas decimais usando a regra de Simpson. 
Quais a diferença de se usar a regra do Trapézio e as de Simpson? Relacione o intervalo que tem que haver em cada regra.
 Continuando na decoração da minha casa, decidi fazer a janela no seguinte formato:
Qual a área dessa janela?
9.Determine: O valor da integral e o número de intervalos de modo que utilizando a regra de 1/3 Simpson forneça o valor da integral abaixo com três casas decimais corretas.
a quarta derivada da função acima é:
10. Uma linha reta foi traçada de modo a tangenciar as margens de um rio nos pontos A e B. Para medir a área do trecho entre o rio e a reta AB foram traçadas perpendiculares em relação a AB com um intervalo de 0,06. Qual método pode ser utilizado para descobrir esta área? Utilize o método a sua escolha e calcule a área.
	Perpendiculares
	comprimento (m)
	1
	2,28
	2
	3,02
	3
	3,64
	4
	4,26
	5
	5,98
	6
	4,62
	7
	2,82
	8
	3,68
	9
	4,26
	10
	4,82
	11
	3,24
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA
1 – Regra do Trapézio
- Primeira Regra de Simpson
Nesta regra, a função a ser integrada será aproximada por um polinômio interpolador é de ordem 2. Portanto, necessita-se de três pontos para a interpolação, ou seja, , onde e . Tem-se a expressão:
O Erro de truncamento resultante da integração pela Primeira Regra de Simpson é dado por:
 (7.19)
Primeira Regra de Simpson – Fórmula Composta
Para melhorar o resultado, pode-se subdividir o intervalo [a,b] de integração em n subintervalos de amplitude h e aplicar a Primeira Regra de Simpson em cada subintervalos. Pela necessidade de haver três pontos em cada subintervalos, o número de subintervalos deve ser par. A formulação é dada por:
Resultando em:
Segunda Regra de Simpson
Nesta regra, a função a ser integrada será aproximada por um polinômio interpolador é de ordem 3. Portanto, necessita-se de quatro pontos para a interpolação, ou seja, , onde e . Tem-se a expressão:
De forma semelhante ao realizado no caso da Primeira Regra de Simpson, chega-se a expressão:
O Erro de truncamento resultante da integração pela Segunda Regra de Simpson é dado por:
Segunda Regra de Simpson – Fórmula Composta
A expressão da Segunda Regra de Simpson – Fórmula Composta é dada por:
Resultando em:
O número de subintervalos n deverá ser múltiplo de três, pois a regra utiliza um polinômio interpolador de grau três.
 (7.30)