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Perspectiva e projeções ortogonais Professor: André Luís Alberton Universidade do Estado do Rio de Janeiro Desenho Técnico Rio de Janeiro, 2015 Perspectiva Geometria projetiva – estuda propriedades de objetos projetados sobre planos Perspectiva – campo da geometria projetiva que procura conferir a um observador a interpretação de um objeto 3D representado em um plano 2D Para alcançar tal efeito, as técnicas de perspectiva fazem uso de pontos de fuga Pontos de fuga – um artifício do desenho técnico que representa a intersecção de linhas paralelas Desenho com um Ponto de Fuga Desenho com dois Pontos de Fuga Note que no caso acima, duas dimensões (altura e largura) foram representadas diretamente sobre o plano do desenho. O ponto de fuga foi o artifício para ilustrar a terceira dimensão (comprimento) Neste caso, com 2 pontos de fuga, apenas a altura permanece representada diretamente no plano; tanto profundidade quanto largura são representadas com o artifício do ponto de fuga. Os desenhos podem conter mais pontos de fuga (inclusive mais do que 3) largura altura profundidade largura altura profundidade Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_de_fuga Desenho com três Pontos de Fuga θ1 θ2 θ3 θ4 θ1 < θ2 < θ3 < θ4 Embora artisticamente esta representação é altamente empregada, ela não possui ainda a objetividade necessária na comunicação de informações requeridas na engenharia. Por exemplo, o ângulo de fuga (ângulo que a linha de fuga faz com a horizontal) muda com cada linha, conforme ilustrado a seguir. Isto dificulta a padronização do desenho e dos comprimentos relativos dos objetos. Seria conveniente que que os comprimentos pudessem ser facilmente obtidos e de forma padronizada. Mas note o que ocorre quando afastamos o ponto de fuga dos objetos: As diferença entre a inclinação das linhas vai se tornando cada vez menor! De fato, se posicionássemos um ponto de fuga no infinito e escolhêssemos um ângulo de fuga (ângulo que a linha faz com a horizontal), todas as linhas de fuga associadas à uma dimensão se tornariam paralelas! 6 No Desenho Técnico, as técnicas de perspectiva mais usuais posicionam os pontos de fuga no infinito Isto na verdade divide as técnicas de perspectiva em dois grupos Projeções centrais ou cônicas - pontos de fuga não localizados no infinito Projeções cilíndricas ou axiométricas - pontos de fuga localizados no infinito São nestas que nos concentraremos!! Note que um cilindro na projeção cônica é um cone (projeções cônicas). Já para ponto de fuga no infinito, ele é de fato um cilindro (projeções cilíndricas)! Perspectiva cônica Perspectiva cilíndrica – pto de fuga no infinito A perspectiva cônica é mais agradável ao olho humano e representa melhor o que vemos. Mas as perspectivas cilíndricas conferem objetividade ao desenho. Segundo a perspectiva cilíndrica, formas paralelas com mesmas dimensões na vida real são representadas com mesmas dimensões no desenho! Por exemplo, considere um cilindro representado em uma perspectiva cilíndrica (exemplo anterior) Estas faces do cilindro que possuem mesma dimensão na vida real são representadas com mesma dimensão no desenho Pto de fuga no infinito Mas há vários tipos de projeções cilíndricas, como veremos a seguir. Tipos e características de projeções cilíndricas Cada técnica escolherá quais dimensões serão representadas com ponto de fuga e qual(s) o(s) ângulo(s) de fuga associados. Exemplos: etc Além disto, pode-se considerar um fator de redução ou aumento (r) em relação à alguma dimensão representada. θ Cavaleira apenas a profundidade usa ponto de fuga θ=30° Isométrica θ=30° largura e profundidade usam ponto de fuga No caso da perspectiva isométrica, r=1 para todas as dimensões. Já para a perspectiva cavaleira, tipicamente, r=0,5 para a profundidade. Isto significa no desenho de um cubo que possui dimensão de 3 cm as seguintes representações: 0 1 2 3 (cm) 0 1 2 3 (cm) 0 1 2 3 (cm) 0 1 2 3 (cm) 0 1 2 3 (cm) 0 1 2 3 (cm) Isométrica Fator de correção r=1. Todas as dimensões são desenhadas com 3 cm comprimento Cavaleira Fator de correção da profundidade r=0,5. Largura e altura com 3 cm, comprimento com 0,5*3 = 1,5 cm Ângulos e fatores de redução das diferentes perspectivas * Excetuando a isométrica, para as demais estão apenas apresentados exemplos de fatores de redução e ângulos, pois elas podem ser empregadas com valores diferentes http://www.uel.br/cce/mat/geometrica/php/gd_t/gd_2t.php (consulte para mais detalhes) Como fica a matemática desta representação?! Como a representação é feita em um papel ou tela 2D, estamos projetando pontos de um eixo tridimensional no plano 2D. Mas definimos que cada eixo tridimensional (u;v;w) corresponde à um vetor no plano 2D com ângulos (θu; θv; 90°) respectivamente, e definimos tamanhos com que estes vetores serão representados A decomposição de (u;v;w) em (x;y) leva à: * Não está sendo empregada rigorosamente a notação vetorial! As decomposições representam valores das contribuições de (u,v,w) nos eixos Por exemplo, considere o ponto ‘P’ como um dos vértices do cubo. Vetorialmente, admitindo que a origem, ponto (0;0), seja o vértice oposto do cubo, as coordenadas do ponto P podem ser obtidas como: Assim, a contribuição de cada um dos vetores nos eixos (x,y) fornecerão as coordenadas de P Substituindo as relações anteriores: Ou matricialmente: Matriz de Projeção Ao incluir fatores de redução (ru; rv; rw), conhecidas as coordenadas originais no plano tridimensional (u; v; w), as coordenadas de x,y ficam: Ou Exemplo - Obtenha o ponto (u;v;w)=(3; 2; 1) no plano (x,y). Podemos pensar sobre as perspectivas cilíndricas como projeções do objeto 3D em um plano 2D por linhas paralelas Neste caso, as linhas projetantes se prolongariam dos vértices do sólido 3D e se projetariam em um plano 2D. Tomemos como exemplo a perspectiva cavaleira em relação ao eixo (x; y) representado. Neste caso: Enxergando como projeções em plano Cavaleira (u; v; w) = (1; 0; 0) Vértice P projetado Vértice P do sólido Plano de projeção Linhas projetantes Perspectiva cavaleira Neste desenho de Autocad, estamos usando a isométrica para representar a cavaleira Porém, se imaginarmos o objeto no espaço, em um eixo tridimensional (u’,v’,w’) com a origem no vértice O do sólido, o vértice p do sólido corresponderia à (u’,v’,w’) = (0; 1; 0). O plano (x,y) corresponderia ao plano (u’,0;w’), e com isto, este ponto projetado sobre o plano corresponde à (u’,v’,w’) = (0,35 ; 0; 0,35). Observe que os ângulos ficam: Vista superior do eixo 3D Vista lateral do eixo 3D 0,35 1 0,35 1 Assim, a linha projetante é tridimensional , passando pelos pontos (u’;v’;w’) = (0; 1; 0) e (0,35; 0; 0,35). Ou seja, nos planos: Como a linha projetante incide obliquamente sobre o plano de projeção, com ângulo de 70°, a projeção cavaleira é dita oblíqua! As perspectivas isométrica, dimétrica e trimétrica podem ser obtidas a partir de linhas projetantes perpendiculares aos planos de projeção! Por isto, são chamadas ortogonais! Vistas em perspectiva Vamos usar Granato, Santana e Claudino (almas bondosas) Representa-se em um desenho plano a forma tridimensional de um objeto. Empregada para nossos fins!!! Granato, Santana e Claudino Perspectiva isométrica (slide dos prof Granato, Santana e Claudino) Perspectiva isométrica (slide dos prof Granato, Santana e Claudino) Perspectiva isométrica (slide dos prof Granato, Santana e Claudino) Perspectiva isométrica (slide dos prof Granato, Santana e Claudino) Granato, Santana e Claudino Granato, Santana e Claudino Granato, Santana e Claudino Granato, Santana e Claudino Superfícies curvas paralelas à um dos planos em perspectiva Consideremos por exemplo, círculos com diâmetro D Segundo cada uma das dimensões, comprimento, profundidade e altura, estes círculos são representados como elipses Tais elipses serão circunscritas em um paralelogramode lados iguais a D, de acordo com a dimensão desejada D D D D D D D Superfícies curvas paralelas à um dos planos em perspectiva Vamos considerar a parte superior do cubo Note que o círculo é representado por uma elipse É possível provar que a elipse possui as seguintes dimensões D D 1,225 D 0,707 D Em desenhos manuais, para desenhar a elipse, primeiramente, desenha-se o paralelogramo que a circunscreve, desenha-se a elipse e apaga-se o paralelogramo Superfícies curvas paralelas à um dos planos em perspectiva Para as demais dimensões, note que podemos inclinar a elipse, junto com o paralelogramo em +60° ou -60° D D D D Pense, como exercício, porque inclinamos o conjunto do slide anterior em + ou - 60°para conseguir as elipses inclinadas acima (pense sobre as retas) Exercícios – Desenhe um cilindro em perspectiva com diâmetro de 4,5cm, e altura H=D, com altura igual ao diâmetro, cuja base é perpendicular ao (A) eixo z; (B) ao eixo y; (C) ao eixo x’. Considere escala 1:1. Com o Power Point, não precisaríamos criar o losango em volta, mas vamos criá-lo apenas para fins de aprendizado. Vamos criar um losango (Aba Inserir -> Formas -> Losango). É deixado como exercício comprovar que, para a malha isométrica, as dimensões do losango ficam conforme apresentadas na figura a seguir. D 1,732 D D Com isto, ao criarmos um losango, definimos suas dimensões horizontais e verticais, ou seja, para D=4,5 temos que: Horizontal 1,732*4,5 = 7,79 Vertical 4,5 Vamos criar uma elipse, com distância horizontal e vertical dadas por: Horizontal 1,225*4,5 = 5,51 Vertical 0,707* 4,5 = 3,18 Agora, centralizamos as duas figuras. Repetimos a elipse para a parte de baixo. Vamos usar o arco para fazer a metade da elipse. Agora, vamos calcular a altura. H = D = 4.5 cm. Inserimos uma linha de 4,5 cm vertical., que toque a elipse nas extremidades horizontais. Agora, apagamos os losangos: O procedimento manual era mais ou menos assim. A diferença é que a elipse era montada a partir do losango por outro procedimento!!! Viva o computador!!!! Para trabalharmos com vasos inclinados, basta agrupar o cilindro e rotacioná-lo em + ou – 240°. Com o botão direito do mouse, selecionamos o objeto e o agrupamos. Em seguida, o rotacionamos, com o botão direto, em Formatar Forma -> Tamanho -> Rotacao A perspectiva isométrica é bastante empregada na Engenharia Química para avaliação de linhas. Ocorre que como as linhas são muito longas, por vezes, esta perspectiva não é apresentada em escala, mas indica comprimentos e acidentes (válvulas, joelhos, etc). Um exemplo está ilustrado a seguir. Ocorre também que os equipamentos não são puramente cilíndricos, mas tem um tampo elíptico ou esférico. Neste caso, sem nos preocuparmos com o detalhe da precisão, podemos representar tais equipamentos inserindo um arcos (meias elipses ou esferas) na parte de cima do equipamento. Um exemplo está ilustrado a seguir. Projeções ortogonais Projeções ortogonais (Slides do Prof Bortolli) Projeções ortogonais (Slide do Prof Bortolli) Projeções ortogonais (Slide do Prof Bortolli) Projeções ortogonais Na projeção ortogonal, considera-se que o observador esteja à uma distância infinita do objeto e do plano de projeção, assim, os raios visuais são paralelos entre si*. Para superfícies paralelas aos planos, as dimensões projetadas são as dimensões reais do objeto. As representações podem ser feitas no 1° diedro ou no 3° diedro *Gonçalves et al., 2006, Desenho técnico, Curso de Engenharia Civil, IPL 1° Diedro Neste sistema, os planos de projeção estão posicionados após o objeto*. Vamos imaginar uma caixa que circunda o objeto *Bortolli, Noções de Desenho técnico Frente Superior Lateral Agora, vamos efetuar as projeções Lateral Esquerda Lateral Direita (Frente) Superior Superior Lateral Frente As projeções ficam... Agora, vamos abrir a caixa Vista superior Vista frontal Vista lateral É isto o que vemos!!! 45 3° Diedro Neste sistema, os planos de projeção estão posicionados entre o observador e o objeto** Vamos imaginar uma caixa que circunda o objeto *Bortolli, Noções de Desenho técnico Frente Superior Lateral 1° Vamos efetuar as projeções Lateral E Lateral D (Frente) Superior 3° Agora, vamos abrir a caixa 2° As projeções ficam Vista frontal Vista superior Vista lateral 4° As representações ficam Representação de arestas ocultas (slide do Prof Bortolli) Representação de arestas ocultas (slide do Prof Bortolli) Exercícios – Faça as projeções no 1° Diedro (slide do prof Bortolli) Exercícios – Faça as projeções no 1° Diedro (slide do prof Bortolli) Exercícios – Faça as projeções das seguintes peças no 1° e no 3° diedros. Para os dois últimos, represente as linhas de cota (admita que as partes ocultas da peça são planas sem detalhes adicionais) Exercícios – Faça as projeções das seguintes peças no 1° para todas as demais peças apresentadas no material de Granato, Santana e Claudino
