Revolução das luas Jupiter

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Revolução das luas de Júpiter 
 
Resumo 
Nessa atividade observamos as quatro luas que Galileo viu através de seu 
telescópio, foi utilizado o software Revolution of Jupiter moons que simula o uso de 
um telescópio automático provido de uma câmara de CCD, que fornece imagens 
digitais à um computador. Essas luas são conhecidas como as luas galileanas e 
possuem o nome de Io, Europa, Ganimedes e Calisto. Essa simulação é realista e 
pode, com seu uso, fornecer uma ideia de como astrônomos coletam dados 
atualmente. Também, essa atividade permite a análise de um problema que somente 
seria possível com o auxílio de um telescópio e inúmeras noites claras. 
 Tomando inúmeras observações em intervalos de tempo para a posição das 
quatro luas em torno de Júpiter, foi possível coletar dados e manipular esses dados de 
modo a obter o período orbital P e a Amplitude A. Utilizando a 3a Lei de Kepler foi 
possível determinar a massa de Júpiter. Pode-se fazer isso para cada lua de Júpiter 
separadamente e fazer uma média do valor obtido para obter um valor 
estatisticamente mais significativo. 
 
Palavras-chave: Revolution of Jupiter Moons; Júpiter. 
 
1. Fundamentação teórica 
 Relação entre Movimento circular uniforme e Movimento 
Harmônico simples 
 O movimento harmônico simples (MHS) é um tipo particular de movimento 
periódico oscilatório em que a partícula se move, num dado referencial, sobre uma 
reta, de modo que a intensidade da força que tende a levá-la ao ponto fixo nesse 
mesmo referencial cresce na mesma proporção em que aumenta o seu afastamento 
deste mencionado ponto fixo. 
 O movimento harmônico simples pode ser visto como a projeção ortogonal 
do movimento circular uniforme (MCU) sobre qualquer diâmetro (ou qualquer reta 
paralela a qualquer diâmetro) da circunferência que constitui a trajetória da partícula 
no referencial considerado. 
Como exemplo concreto (Fig.1), podemos imaginar uma partícula Q em MCU 
num plano vertical, com luz incidindo verticalmente, de cima para baixo. A sombra P 
da partícula Q, numa superfície horizontal, descreve um MHS. 
 
Figura 1: Partícula Q em MCU num plano vertical 
 
A grandeza x, que representa a posição da partícula no MHS, é chamada de 
elongação. Em outras palavras, a elongação é a distância da partícula à origem do 
eixo X com um sinal que, se é positivo, indica que a partícula se encontra na porção 
positiva do eixo X, e se é negativo, indica que a partícula se encontra na porção 
negativa do eixo X. À distância A, que vai da origem do eixo X até qualquer um dos 
pontos de retorno da partícula, é chamada de amplitude. A amplitude do MHS tem o 
mesmo valor que o raio da trajetória da partícula no MCU correspondente. A cada 
volta completa da partícula na Fig. 1, temos uma revolução completa T na Fig. 2. 
Neste intervalo de tempo a partícula percorre 2(π), logo a velocidade angular é: ω = 
2(π)/T e a derivada de (ω) nos fornece a aceleração angular que é: a = ω ².R, onde o 
raio R = Amplitude. Se o ponto Q (partícula) executa uma revolução completa no 
tempo T, então o ponto P (sombra da partícula) realiza o ciclo completo da oscilação 
no mesmo intervalo de tempo; portanto T é o período de oscilação. Desta forma, 
temos que: T = 1/f = 2(π)/ ω . 
 
 
Figura 2: Período e Amplitude do MHS 
 
 Temos então que o eixo X da Fig. 2 nos fornece o raio (amplitude) do 
círculo da Fig. 1, ou seja, a amplitude A. E o eixo do t nos fornece o período T, 
calculado pela equação T = 2(π)/ ω. 
 
 
 
Leis de Kepller 
1° lei de Kepler 
A primeira lei de Kepller diz que as órbitas dos planetas são elípticas com o 
sol ocupando um de seus focos. A Fig. 3 mostra a geometria de uma elipse. A 
dimensão maior corresponde ao eixo maior, e a é a metade do comprimento do eixo 
maior; este comprimento é o semieixo maior. A soma das distâncias de S até P e de S' 
até P é a mesma para todos os pontos sobre a curva. 
 
Figura 3:1a lei de Kepller 
 
2° lei de Kepler 
A linha que liga o planeta ao Sol varre áreas iguais em tempos iguais: (A1/t) = 
(A2/t). 
 
Figura 4:2a lei de Kepller 
 
3° lei de Kepler 
Os quadrados dos períodos de translação (T) dos planetas são proporcionais 
aos cubos dos semi-eixos maiores de suas órbitas (A). Sendo que a amplitude (A) e o 
período (T) podem ser calculados através da análise da senóide da Fig.2. 
 
As órbitas planetárias são muito próximas de uma circunferência deste modo 
podemos calcular a massa de Júpiter se tivermos o raio que equivale ao semi-eixo 
maior da orbita e o período de uma de suas luas utilizando da equação 1.0: 
 
M = 
 
 
 (1.0) 
Onde G é a constante universal e seu valor é de 6,67 x 10-11 Nm2/Kg2 . 
 
2. Objetivo 
Calcular o período orbital de cada uma das quatro luas Galileanas de Júpiter 
e com os dados obtidos calcular a massa de Júpiter. 
 
3. Metodologia 
Utilizei o programa Revolution of Jupiter Moons, para simular as órbitas das 
luas de Júpiter e assim obter o semi-eixo da órbita da lua através da amplitude da 
senóide e o período orbital da lua através do período da senóide. 
 
1. Fiz o Log In no programa em Student com meu nome. Introduzi a data referente ao 
meu nascimento na opção Run, Universal Time (1982/04/23), e cliquei em Ok. 
 
 
 
 
Figura 5: Definição de data e hora 
 
2. Em seguida, na tela abaixo entrei em File, Features e selecionei Animation, Use ID 
Colors e Show Top View. 
 
Figura 6: Imagem de júpiter e da revolução das luas 
 
 
3. Na tela abaixo, em View, cliquei em Normal. 
 
Figura 7: Imagem superior das orbitas das luas de júpiter 
 
4. Em seguida pude variar o intervalo das observações na opção Timing 
Intervals e set Observation Step (Hrs) na seguinte ordem: 8 observações com intervalo 
de 3 horas, depois 12 observações com intervalo de 6 horas, mais 12 observações 
com intervalo de 12 horas e finalmente mais 8 observações com intervalo de 24 horas. 
 
5. Em cada uma das observações foram coletar os dados clicando com o mouse em 
cima de uma das luas, e em seguida, clicando em cima da tecla Record, repetindo o 
mesmo processo para as outras luas. Após ter gravada a posição das 4 luas cliquei 
em Ok. 
 
4. Análise dos Dados 
Através da opção de Analyse do programa Revolution of Jupiter Moons e com 
os dados coletados acima pode montar um gráfico para cada uma das luas. 
Na opção Data cliquei em Analyse, assim aparece uma tela que te possibilita 
selecionar a lua da qual você pretende montar o gráfico. Cliquei em Data, Select 
Moon, Io e assim obtive o gráfico formado pelos pontos coletado nas observações da 
lua IO. Os parâmetros T-Zero, Período e Amplitude da senóide foram ajustados nas 
opções Data, Plot, Fit Sine Curve, Set Initial Parameters, tendo a necessidade de um 
ajuste fino da senóide para encontrar o melhor ajuste aos dados “experimentais”. 
Repeti esses procedimentos para cada uma das Luas, determinando o 
período orbital de cada uma delas, e, por último, calculei a massa de Júpiter com os 
dados de cada Lua utilizando da equação (1.0). 
 
 
Figura 8: Coleta de dados 
 
5. Resultados 
Depois de todos os procedimentos da seção 3 para cada uma das luas 
de Júpiter e dos ajustes necessários nos parâmetros da senóide, obtive os 
seguintes gráficos para as órbitas das Luas: Io, Ganymede, Europa e Calisto. 
 
 
Figura 9: Gráfico referente a órbita da lua Io 
 
Figura 10: Gráfico referente a órbita da lua Europa. 
 
 
Figura 11: Gráfico referente a órbita da lua callisto. 
 
 
Figura 12: Gráfico referente a órbita da lua Ganymedes. 
 
Nas figuras 9,10,11 e 12 visualizamos que o ajuste da senóide foi muito eficaz em 
relação aos dados experimentais, e dosgráficos podemos extrair as amplitudes das 
senóides de cada lua de Júpiter, nos fornecendo o semi-eixo maior da órbita de cada 
lua. Também podemos extrair o período destas senóides que corresponde ao período 
das órbitas das luas, valores citados em Tabela 01. 
 
Tabela 1: Período e Amplitude da senóide ajustada. 
 
Lua 
Amplitude (diâmetros de 
júpiter) 
Amplitude 
(metros) 
Período 
(dias) 
Período 
(segundos) 
Io 2,9514 407883480 1,77204 153104,256 
Europa 4,7059 650355380 3,55103 306808,992 
Ganymedes 7,4657 1031759740 7,13486 616451,904 
Callisto 13,2287 1828206340 16,60991 1435096,224 
 
Tabela 2: Valores de diâmetro e massa de Júpiter, Terra e Sol. 
 
 
Diametro(m) Massa(kg) 
Júpiter 142994760 1,898 x 1027 
Terra 12756000 5,973 x 1024 
Sol 1392955200 1,989 x 1030 
 
 
Através dos dados da Tabela 01 do diâmetro de Júpiter da Tabela 2, da 
constante universal da gravidade G igual a 6,67 x 10-11 Nm2/Kg2 e da equação (1.0), 
foi calculada a massa de Júpiter com os dados de cada Lua, variando o semi-eixo 
maior da órbita da lua na equação que corresponde ao raio médio na equação 15, 
assim, obtive quatro valores da massa de Júpiter citados em Tabela 3 foi calculado 
também o valor médio da massa de Júpiter citados em Tabela 3 em Kilograma, em 
unidades de massa do Sol, e em unidades de massa da Terra. 
 
 
Tabela 3: Valores da massa de Júpiter 
 
Lua Massa de Júpiter (kg) 
Massa de Júpiter (massa do 
sol) 
Massa de júpiter (massa da terra) 
Io 1,71236x10
27 0,000860481 286,8269865 
Europa 1,72853 x10
27 0,000868607 289,5357752 
Ganymedes 1,70961 x10
27 0,000859102 286,3673657 
Callisto 1,75499 x10
27 0,000881903 293,9678104 
Massa média 1,72637 x1027 0,000867523 289,1744845 
 
 
6. Conclusão 
Podemos dizer que nosso objetivo foi concluído com êxito porque através do 
software Revolution of Jupiter Moons, determinamos o período orbital de cada uma 
das quatro luas Galileanas de Júpiter, citados em Tabela 1 e verificamos a validade da 
terceira lei de Kepler ao determinar a massa de Júpiter utilizando a equação(1.0). Ao 
comparar as Tabelas 2 e 3, notamos que o valor médio encontrado da massa de 
Júpiter está bem próximo do valor encontrado na literatura. 
 
7. Bibliografia 
 Sears e Zemansky, Física II, 10° edição, Termodinâmica e ondas; cap.: 13, 
oscilações;. 
Astronomia e astrofísica - http://astro.if.ufrgs.br/ 
 Wikipédia: leis de kepler.