Aula 02 Novas funções a partir de outras conhecidas 20180306

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Aula 02 - 01 - Deslocamentos - Reflexões - Expansão vertical.ggb
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Aula 02 - 02 - Reflexões - Expansão horizontal 01.ggb
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Aula 02 - 03 - Reflexões - Expansão horizontal 02.ggb
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Aula 02 - 04 - Transformações.ggb
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Aula 02 - 05 - Ex 4.ggb
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Aula 02 - Flipped Classroom - Atividade - Gabarito.pdf
EFB105 – Cálculo Diferencial e Integral I 
 
1 EFB105 – 2018 
 
 
Aula 04 – Novas funções a partir de outras conhecidas 
Atividade Flipped Classroom 
Gabarito 
 
1. Considere a função 𝑓(𝑥) = cos⁡(𝑥), com Dom⁡𝑓 = [0, 2𝜋]. Na Figura 01, esboce o gráfico e determine o 
conjunto Im⁡𝑓. 
Figura 01 
 
 
Im⁡𝑓 = [−1, 1] 
 
2. Seja 𝑔1(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝜋). Na Figura 01, esboce o gráfico e determine os conjuntos Dom⁡𝑔1 e Im⁡𝑔1. 
 
Dom⁡𝑔1 = [−𝜋, 𝜋] Im⁡𝑔1 = Im⁡𝑓 = [−1, 1] 
 
3. CONCLUSÃO: Considere o gráfico de 𝑓(𝑥) e 𝑐 > 0 . O que ocorre com o gráfico de 
 
𝑓(𝑥 + 𝑐): O gráfico de 𝑓 é deslocado em 𝑐 unidades para a esquerda. 
𝑓(𝑥 − 𝑐): O gráfico de 𝑓 é deslocado em 𝑐 unidades para a direita. 
 
4. CONCLUSÃO: Considere o domínio e a imagem de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o domínio e a imagem 
de 𝑓(𝑥 + 𝑐), 𝑐 > 0. 
 
Dom⁡𝑓(𝑥 + 𝑐) = [0 − 𝑐, 2𝜋 − 𝑐] Dom⁡𝑓(𝑥 − 𝑐) = [0 + 𝑐, 2𝜋 + 𝑐] 
Im⁡𝑓(𝑥 + 𝑐) = Im⁡𝑓 = [−1, 1] Im⁡𝑓(𝑥 − 𝑐) = Im⁡𝑓 = [−1, 1] 
 
EFB105 – Cálculo Diferencial e Integral I 
 
2 EFB105 – 2018 
 
 
5. Seja 𝑔2(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 1. Na Figura 01, esboce o gráfico e determine os conjuntos Dom⁡𝑔2 e Im⁡𝑔2. 
 
Dom⁡𝑔2 = Dom⁡𝑓 = [0,2𝜋] Im⁡𝑔2 = [−1 − 1, 1 − 1] = [−2, 0] 
 
6. CONCLUSÃO: Considere o gráfico de 𝑓(𝑥) e 𝑐 > 0. O que ocorre com o gráfico de 
 
𝑓(𝑥) + 𝑐: O gráfico de 𝑓 é deslocado em 𝑐 unidades para cima. 
𝑓(𝑥) − 𝑐: O gráfico de 𝑓 é deslocado em 𝑐 unidades para baixo. 
 
7. CONCLUSÃO: Considere o domínio e a imagem de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o domínio e a imagem 
de 𝑓(𝑥) + 𝑐,⁡𝑐 > 0. 
 
Dom⁡[𝑓(𝑥) + 𝑐] = Dom⁡𝑓 = [0,2𝜋] Dom⁡[𝑓(𝑥) − 𝑐] = Dom⁡𝑓 = [0,2𝜋] 
Im⁡[𝑓(𝑥) + 𝑐] = [−1 + 𝑐, 1 + 𝑐] Im⁡[𝑓(𝑥) − 𝑐] = [−1 − 𝑐, 1 − 𝑐] 
 
8. Considere novamente 𝑓(𝑥) = cos⁡(𝑥), com Dom⁡𝑓 = [0, 2𝜋] e 𝑔3(𝑥) = 𝑓 (
1
2
𝑥). Na Figura 02, esboce os 
gráficos de 𝑓 e 𝑔3 e determine os conjuntos Dom⁡𝑔3 e Im⁡𝑔3. 
 
Figura 02 
 
 
Dom⁡𝑔3 = [0, 4𝜋] Im⁡𝑔3 = Dom⁡𝑓 = [−1, 1] 
 
9. CONCLUSÃO: Considere o gráfico, domínio e a imagem de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o gráfico, domínio 
e imagem de 𝑓 (
1
𝑐
𝑥), 𝑐 > 1. 
 
Gráfico: O gráfico de 𝑓 sofre uma expansão horizontal por um fator de 𝑐 unidades. 
Dom⁡𝑓 (
1
𝑐
𝑥) = [0 ⋅ 𝑐, 2𝜋 ⋅ 𝑐⁡] 
Im⁡𝑓 (
1
𝑐
𝑥) = Im⁡𝑓 = [−1, 1] 
 
EFB105 – Cálculo Diferencial e Integral I 
 
3 EFB105 – 2018 
 
 
10. Considere 𝑔4(𝑥) = 𝑓(2𝑥). Na Figura 02, esboce o gráfico e determine os conjuntos Dom⁡𝑔4 e Im⁡𝑔4. 
 
Dom⁡𝑔4 = [0, 𝜋] Im⁡𝑔4 = Im⁡𝑓 = [−1, 1]⁡ 
 
11. CONCLUSÃO: Considere o gráfico, domínio e a imagem de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o gráfico, domínio 
e a imagem de 𝑓(𝑐𝑥), 𝑐 > 1. 
 
Gráfico: O gráfico de 𝑓 sofre uma compressão horizontal por um fator de 𝑐 unidades. 
Dom⁡𝑓(𝑐𝑥) = [
0
𝑐
,
2𝜋
𝑐
] 
Im⁡𝑓(𝑐𝑥) = Im⁡𝑓 = [−1, 1] 
 
12. Considere novamente 𝑓(𝑥) = cos⁡(𝑥), com Dom⁡𝑓 = [0, 2𝜋] e 𝑔5(𝑥) = 2𝑓(𝑥). Na Figura 03, esboce os 
gráficos de 𝑓 e 𝑔5 e determine os conjuntos Dom⁡𝑔5 e Im⁡𝑔5. 
 
Figura 03 
 
 
Dom⁡𝑔5 = [0,2𝜋] Im⁡𝑔5 = [−2, 2] 
 
13. CONCLUSÃO: Considere o gráfico, domínio e a imagem de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o gráfico, domínio 
e imagem de 𝑐⁡𝑓(𝑥), 𝑐 > 1. 
 
Gráfico: O gráfico de 𝑓 sofre uma expansão vertical por um fator de 𝑐 unidades. 
Dom⁡𝑐𝑓(𝑥) = Dom⁡𝑓 = [0, 2𝜋] 
Im⁡𝑐𝑓(𝑥) = [𝑐 ⋅ (−1), 𝑐 ⋅ 1] 
 
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4 EFB105 – 2018 
 
 
14. Considere 𝑔6(𝑥) =
1
2
𝑓(𝑥). Na Figura 03, esboce o gráfico e determine os conjuntos Dom⁡𝑔6 e Im⁡𝑔6. 
 
Dom⁡𝑔6 = Dom⁡𝑓 = [0,2𝜋] Im⁡𝑔6 = [−
1
2
,
1
2
]⁡ 
 
15. CONCLUSÃO: Considere o gráfico, domínio e a imagem de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o gráfico, domínio 
e imagem de 
1
𝑐
⁡𝑓(𝑥), 𝑐 > 1.
Gráfico: O gráfico de 𝑓 sofre uma compressão vertical por um fator de 𝑐 unidades. 
Dom⁡
1
𝑐
𝑓(𝑥) = Dom⁡𝑓 = [0, 2𝜋] 
Im⁡
1
𝑐
𝑓(𝑥) = [−
1
𝑐
,
1
𝑐
] 
 
16. Considere novamente 𝑓(𝑥) = cos⁡(𝑥), com Dom⁡𝑓 = [0, 2𝜋] e 𝑔7(𝑥) = −𝑓(𝑥). Na Figura 04, esboce 
os gráficos de 𝑓 e 𝑔7 e determine os conjuntos Dom⁡𝑔7 e Im⁡𝑔7. 
 
Figura 04 
 
 
Dom⁡𝑔7 = Dom⁡𝑓 = [0, 2𝜋] Im⁡𝑔7 = Im⁡𝑓 = [−1,1] (neste caso em particular) 
 
17. CONCLUSÃO: Considere o gráfico de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o gráfico de −𝑓(𝑥). 
 
Gráfico: O gráfico de 𝑓 sofre uma reflexão em torno do eixo das abscissas. 
 
18. Seja 𝑔8(𝑥) = 𝑓(−𝑥). Na Figura 04, esboce o gráfico e determine os conjuntos Dom⁡𝑔8 e Im⁡𝑔8. 
 
Dom⁡𝑔8 = [−2𝜋, 0] Im⁡𝑔8 = Im⁡𝑓 = [−1, 1] 
 
19. CONCLUSÃO: Considere o gráfico de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o gráfico de 𝑓(−𝑥). 
 
Gráfico: O gráfico de 𝑓 sofre uma reflexão em torno do eixo das ordenadas. 
 
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5 EFB105 – 2018 
 
 
20. Dadas as funções 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 5 e 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 3. 
 
a) Determine os domínios das funções 𝑓 e 𝑔. 
 
Dom⁡𝑓 = ℝ Dom⁡𝑔 = {𝑥 ∈ ℝ⁡|⁡𝑥 + 3 ≥ 0} = {𝑥 ∈ ℝ⁡|⁡𝑥 ≥ −3} = [−3,∞) 
 
b) Determine a função ℎ1(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) e encontre o seu domínio. 
 
ℎ1(𝑥) = −2𝑥 + 5 + √𝑥 + 3 
Dom⁡ℎ1 = Dom⁡𝑓 ∩ Dom⁡𝑔 = ℝ ∩ [−3,∞) = [−3,∞) 
 
c) Determine a função ℎ2(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) e encontre o seu domínio. 
 
ℎ2(𝑥) = (−2𝑥 + 5)√𝑥 + 3 
Dom⁡ℎ2 = Dom⁡𝑓 ∩ Dom⁡𝑔 = ℝ ∩ [−3,∞) = [−3,∞) 
 
d) Determine a função ℎ3(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 e encontre o seu domínio. 
 
ℎ3(𝑥) =
−2𝑥 + 5
√𝑥 + 3
 
Dom⁡ℎ3 = {𝑥 ∈ Dom⁡𝑓 ∩ Dom⁡𝑔⁡|⁡𝑔(𝑥) ≠ 0} = {𝑥 ∈ Dom⁡𝑓 ∩ Dom⁡𝑔⁡|⁡𝑥 ≠ −3} = [−3,∞) − {−3} = (−3,∞) 
 
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1 EFB105 – 2018 
 
 
Aula 02 – Novas funções a partir de outras conhecidas 
Atividade Flipped Classroom 
 
1. Considere a função 𝑓(𝑥) = cos⁡(𝑥), com Dom⁡𝑓 = [0, 2𝜋]. Na Figura 01, esboce o gráfico e determine o 
conjunto Im⁡𝑓. 
Figura 01 
 
 
Im⁡𝑓 = _______________________ 
 
2. Seja 𝑔1(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 𝜋). Na Figura 01, esboce o gráfico e determine os conjuntos Dom⁡𝑔1 e Im⁡𝑔1. 
 
Dom⁡𝑔1 = _______________________ Im⁡𝑔1 = _______________________ 
 
3. CONCLUSÃO: Considere o gráfico de 𝑓(𝑥) e 𝑐 > 0 . O que ocorre com o gráfico de 
𝑓(𝑥 + 𝑐): 
𝑓(𝑥 − 𝑐): 
 
4. CONCLUSÃO: Considere o domínio e a imagem de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o domínio e a imagem 
de 𝑓(𝑥 + 𝑐), 𝑐 > 0. 
 
 
Dom⁡𝑓(𝑥 + 𝑐): ____________ 
 
Dom⁡𝑓(𝑥 − 𝑐): ____________ 
Im⁡𝑓(𝑥 + 𝑐): ____________ 
 
Im⁡𝑓(𝑥 − 𝑐): ____________ 
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5. Seja 𝑔2(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 1. Na Figura 01, esboce o gráfico e determine os conjuntos Dom⁡𝑔2 e Im⁡𝑔2. 
 
Dom⁡𝑔2 = _______________________ Im⁡𝑔2 = _______________________ 
 
 
6. CONCLUSÃO: Considere o gráfico de 𝑓(𝑥) e 𝑐 > 0. O que ocorre com o gráfico de 
𝑓(𝑥) + 𝑐 
𝑓(𝑥) − 𝑐 
 
 
7. CONCLUSÃO: Considere o domínio e a imagem de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o domínio e a imagem 
de 𝑓(𝑥) + 𝑐,⁡𝑐 > 0. 
 
 
 
 
8. Considere novamente 𝑓(𝑥) = cos⁡(𝑥), com Dom⁡𝑓 = [0, 2𝜋] e 𝑔3(𝑥) = 𝑓 (
1
2
𝑥). Na Figura 02, esboce os 
gráficos de 𝑓 e 𝑔3 e determine os conjuntos Dom⁡𝑔3 e Im⁡𝑔3. 
 
Figura 02 
 
 
Dom⁡𝑔3 = _______________________ Im⁡𝑔3 =⁡_______________________ 
 
 
 
 
 
Dom⁡[𝑓(𝑥) + 𝑐]: ____________ 
 
Dom⁡[𝑓(𝑥) − 𝑐]: ____________ 
Im⁡[𝑓(𝑥) + 𝑐]: ____________ 
 
Im⁡[𝑓(𝑥) − 𝑐]: ____________ 
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9. CONCLUSÃO: Considere o gráfico, domínio e a imagem de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o gráfico, domínio 
e imagem de 𝑓 (
1
𝑐
𝑥), 𝑐 > 1. 
Gráfico: 
Dom⁡𝑓 (
1
𝑐
𝑥) ∶ 
Im⁡𝑓 (
1
𝑐
𝑥) ∶ 
 
10. Considere 𝑔4(𝑥) = 𝑓(2𝑥). Na Figura 02, esboce o gráfico e determine os conjuntos Dom⁡𝑔4 e Im⁡𝑔4. 
 
Dom⁡𝑔4 = _______________________ Im⁡𝑔4 =⁡_______________________ 
 
11. CONCLUSÃO: Considere o gráfico, domínio e a imagem de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o gráfico, domínio 
e a imagem de 𝑓(𝑐𝑥), 𝑐 > 1. 
Gráfico: 
Dom⁡𝑓(𝑐𝑥) ∶ 
Im⁡𝑓(𝑐𝑥) ∶ 
 
12. Considere novamente 𝑓(𝑥) = cos⁡(𝑥), com Dom⁡𝑓 = [0, 2𝜋] e 𝑔5(𝑥) = 2𝑓(𝑥). Na Figura 03, esboce os 
gráficos de 𝑓 e 𝑔5 e determine os conjuntos Dom⁡𝑔5 e Im⁡𝑔5. 
 
Figura 03 
 
 
Dom⁡𝑔5 = _______________________ Im⁡𝑔5 =⁡_______________________ 
 
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13. CONCLUSÃO: Considere o gráfico, domínio e a imagem de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o gráfico, domínio 
e imagem de 𝑐⁡𝑓(𝑥), 𝑐 > 1. 
Gráfico: 
Dom⁡𝑐𝑓(𝑥) ∶ 
Im⁡𝑐𝑓(𝑥) ∶ 
 
14. Considere 𝑔6(𝑥) =
1
2
𝑓(𝑥). Na Figura 03, esboce o gráfico e determine os conjuntos Dom⁡𝑔6 e Im⁡𝑔6. 
 
Dom⁡𝑔6 = _______________________ Im⁡𝑔6 =⁡_______________________ 
 
15. CONCLUSÃO: Considere o gráfico, domínio e a imagem de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o gráfico, domínio 
e imagem de 
1
𝑐
⁡𝑓(𝑥), 𝑐 > 1. 
Gráfico: 
Dom⁡
1
𝑐
𝑓(𝑥) ∶ 
Im⁡
1
𝑐
𝑓(𝑥) ∶ 
 
16. Considere novamente 𝑓(𝑥) = cos⁡(𝑥), com Dom⁡𝑓 = [0, 2𝜋] e 𝑔7(𝑥) = −𝑓(𝑥). Na Figura 04, esboce 
os gráficos de 𝑓 e 𝑔7 e determine os conjuntos Dom⁡𝑔7 e Im⁡𝑔7. 
 
Figura 04 
 
 
Dom⁡𝑔7 = _______________________ Im⁡𝑔7 =⁡_______________________ 
 
 
 
 
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17. CONCLUSÃO: Considere o gráfico de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o gráfico de −𝑓(𝑥). 
Gráfico: 
 
18. Seja 𝑔8(𝑥) = 𝑓(−𝑥). Na Figura 04, esboce o gráfico e determine os conjuntos Dom⁡𝑔8 e Im⁡𝑔8. 
 
Dom⁡𝑔8 = _______________________ Im⁡𝑔8 =⁡_______________________ 
 
19. CONCLUSÃO: Considere o gráfico de 𝑓(𝑥). O que ocorre com o gráfico de 𝑓(−𝑥). 
Gráfico: 
 
20. Dadas as funções 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 5 e 𝑔(𝑥) = √𝑥 + 3. 
 
a) Determine os domínios das funções 𝑓 e 𝑔. 
Dom⁡𝑓 ∶ 
Dom⁡𝑔 ∶ 
 
b) Determine a função ℎ1(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) e encontre o seu domínio. 
ℎ1(𝑥) = 
 
Dom⁡ℎ1 ∶ 
 
 
c) Determine a função ℎ2(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) e encontre o seu domínio. 
ℎ2(𝑥) = 
 
Dom⁡ℎ2 ∶ 
 
 
d) Determine a função ℎ3(𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 e encontre o seu domínio. 
ℎ3(𝑥) = 
 
Dom⁡ℎ3 ∶ 
 
 
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Cálculo Diferencial e Integral I
1º Bimestre – Aula 02
Novas funções a partir de outras conhecidas
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Deslocamentos
Reflexões
Expansões
Contrações
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Funções essenciais
(polinomiais, trigonométricas,
exponenciais e logarítmicas)
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(Extra) Tarefa para casa: Relacione as funções com seus gráficos: 
Combinações de funções
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Combinações de funções
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(Extra) Considere as funções:
Escreva as combinações...
... e determine os respectivos domínios.
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