Trabalho Algebra Linear

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Base de espaço vetorial Rebello - 2015 
Já vimos os conceitos básicos de espaço vetorial, da sua construção, onde podemos escrever 
ou representar qualquer vetor, usando um subconjunto deste mesmo espaço. 
Analisando as combinações lineares, percebemos ainda, que existe um conjunto mínimo de 
vetores LI capaz de representar todo o espaço. 
A esse conjunto de vetores, chamamos de base do espaço. 
Vamos organizar essa ideia usando uma breve definição: 
Um conjunto ⃗ ⃗ ⃗ de V é chamado de base se: 
 # ⃗ ⃗ ⃗ 
 # ⃗ ⃗ ⃗ 
 
O número de vetores que formam a base, ou seja, a dimensão da base, é que define a 
dimensão do subespaço gerado. 
Portanto, para avaliarmos se um conjunto de vetores forma a base de um dado espaço, 
tecnicamente temos que provar se esse conjunto é LI e se gera o espaço. 
Exemplos: 
a) Verifique se o conjunto ⃗ ⃗ ⃗ forma uma base para o 
 , onde: 
 ⃗ [ ] ⃗ [ ] ⃗ [ ] 
Vamos, primeiramente verificar se ⃗ ⃗ ⃗ é LI. 
 [
 
 
 
] 
Logo, ⃗ ⃗ ⃗ é LD, portanto, não forma uma base. 
 
Essa mesma análise, poderia ser feita usando o método de eliminação de Gauss. 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] 
 
 
 
 
 [
 
 
 
] 
O posto 2 indica que nesse conjunto temos somente 2 vetores LI, portanto, não poderia 
formar um espaço de dimensão 3. 
Obs.: Veja que neste exemplo, poderíamos ter uma base, usando 2 vetores para formar um 
subespaço do , porém, com dimensão 2. 
Outro exemplo: 
b) Verificar se o conjunto ⃗ ⃗ ⃗ forma uma base para o 
 . 
 ⃗ [ ]
 ⃗ [ ]
 ⃗ [ ]
 
[
 
 
 
 
] 
 
 [
 
 
 
 
] 
 
 [
 
 
 
 
] { posto = 3 } 
Portanto: é L I. 
Porém, a dimensão de é 3 { ( ) } e a dimensão de é 4 { ( ) } . 
Deveriam ser iguais para caracterizar uma base. 
Portanto não representa uma base para o R4. 
 
Então, é fácil verificar se um conjunto ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ representa uma base para o 
espaço vetorial de . 
# Verificar se é ; 
# Verificar se a ( ) ( ). 
Obs.: Isso é válido, desde que, o número de componentes dos vetores de atenda a 
dimensão de V. 
Podemos testar a base canônica { ⃗ ⃗ ⃗⃗ } do . 
 [ ] [ ] [ ] 
 [
 
 
 
] portanto é 
 { ⃗ ⃗ ⃗⃗ } ( ) e ( ) 
Portanto, é realmente uma base para o . 
 
Coordenadas de vetores 
Conforme vimos em combinação linear, podemos escrever o mesmo evento usando 
combinações distintas. 
Ex.: Considere o vetor ⃗⃗⃗ [ ], claro, escrito na base canônica ⃗ ⃗ 
Digamos que fosse necessário escreve-lo na base ⃗ ⃗ 
Onde: ⃗ [ ] ⃗ [ ] 
Ou seja: [ ] [ ] [ ] 
[
 
 
] { 
 
 
 } { 
 
 
 } { 
 
 
 
Ou seja, podemos escrever : ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ou ainda [ ⃗⃗⃗ ] [ ] 
Veja que 2 e 3 são as componentes de ⃗⃗⃗ na base . 
Graficamente: 
 
 
 
Abaixo podemos ver o mesmo evento observado por bases distintas. 
 
 
 
 
Este conceito é essencial para várias áreas do conhecimento, aqui para software de 
modelamento ( eng. civil e arquitetura ). 
 
Classificação de base vetorial 
A princípio, podemos criar bases usando conjuntos de vetores que atendam as condições já 
vistas. Porém, existem bases especiais que se tornam mais interessantes do ponto de vista 
técnico. Vamos ver algumas. 
 
 
Cena produzida no SketchUp 
Base Normal 
Base formada por vetores unitários. 
Sua verificação é simples, basta analisar as normas ( módulos ) dos vetores constituintes. 
 
Seja a base ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , será normal se : 
 | ⃗ | | ⃗ | | ⃗ | | ⃗ | 
 
Ex.: Dadas as bases, verifique se são normais: 
a) [ 
 
 
 
 √ 
 
 ] [ 
 
 
 
 
 
 ] b) [ 
 
 
 
√ 
 
 ] [ 
√ 
 
 
√ 
 
 ] 
 
a) √( 
 
 
 )
 
 (
 √ 
 
)
 
 = √ 
 
 
 
 
 
 = 1 {  } 
 √( 
 
 
 )
 
 (
 
 
)
 
 = √ 
 
 
 
 
 
 = 
√ 
 
 {  } 
Portanto não é uma base normal 
 
b) √(
 
 
 )
 
 (
√ 
 
)
 
 = √ 
 
 
 
 
 
 = 1 {  } 
 √(
√ 
 
 )
 
 ( 
√ 
 
)
 
 = √ 
 
 
 
 
 
 = 1 {  } 
 
Ou seja, representa uma base normal 
 
 
 
Base Ortogonal 
Base formada por vetores ortogonais entre si. 
Neste caso, vamos usar uma ferramenta matemática muito importante aprendida em 
geometria analítica: produto escalar. 
Sabemos que o produto escalar entre dois vetores ortogonais é nulo. 
Só para justificar: ⃗ ⃗⃗⃗ | ⃗ | | ⃗⃗⃗ | ( ) se ( ) 
É lógico que não vamos usar está maneira de fazer, já que estamos trabalhando com vetores definidos 
por componentes, onde o trabalho é muito mais simples. 
 
Definindo base ortogonal: 
Seja a base ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ , será ortogonal se : 
 ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ , . . . , ⃗ ⃗ 
 ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ , . . . , ⃗ ⃗ 
 ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ , . . . , ⃗ ⃗ 
E assim por diante. 
 
Ex.: a) Verifique se [ ] [ 
 
 
 ] é base ortogonal. 
 [ ] [ 
 
 
 ] 
 
 
 
 
 
  
 
Assim, não é ortogonal. 
 
 
Ex.: b) Verifique se ⃗ ⃗ ⃗ representa base ortogonal. 
Onde: ⃗ [ ] , ⃗ [ 
 
 
 
√ 
 
 ] , ⃗ [ 
√ 
 
 
 
 
 ] 
 
 ⃗ ⃗ [ ] [ 
 
 
 
√ 
 
 ] ( 
 
 
) 
√ 
 
 {  } 
 ⃗ ⃗ [ ] [ 
√ 
 
 
 
 
 ] 
√ 
 
 
 
 
 {  } 
 ⃗ ⃗ [ 
 
 
 
√ 
 
 ] [ 
√ 
 
 
 
 
 ] 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 {  } 
 
Portanto representa uma base ortogonal. 
 
Obs.: Veja como o produto escalar é simples e eficiente! 
 
Quando uma base atende as duas condições chamamos de base ortonormal 
Note que a base do exemplo b pode ser classificada como ortonormal. 
Veja o porque: 
 
 | ⃗ | √ ( ) 
 | ⃗ | √( 
 
 
 )
 
 (
√ 
 
)
 
 { Normal } 
 | ⃗ | √( 
√ 
 
)
 
 ( 
 
 
 )
 
 
 
 ⃗ ⃗ , ⃗ ⃗ e ⃗ ⃗ { Ortogonal } 
 
 
Normalizando uma base 
Um procedimento muito usual e útil na engenharia é a normalização de base. 
O procedimento é bem simples, veja. 
 
Ex.: Dada a base [ ] [ ] , normalize . 
Se faz por normalização de cada vetor ( transforma-lo em unitário ).⃗ 
[ ]
√ 
 [ 
 
√ 
 
 
√ 
 ] ⃗ 
[ ]
√ 
 [ 
 
√ 
 
 
√ 
 ] 
 
 [ 
 
√ 
 
 
√ 
 ] [ 
 
√ 
 
 
√ 
 ] 
 
Note que nesta nova base, as direções e sentidos são preservados. 
 
Como exemplo, vamos supor que um braço mecânico tenha que fazer a sequência de furos na lateral 
da carcaça de aço abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considerando a base canônica [ ⃗ ⃗ ] e usando o ponto “A” como referência podemos formar o 
conjuntos de vetores que representam a furação. 
 
 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 
 
Caso usássemos o ponto “O” como referência, bastaria adicionarmos, a cada elemento de , o vetor 
[ ] 
 
Criando uma base adequada [ ] [ ] 
 
 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 
 
Da mesma forma, usando o ponto “O” como referência, deveríamos adicionar, a cada elemento de 
 , o vetor [ ] 
 
Veja como o conjunto de vetores relativos a furação tornou-se mais simples. 
A ideia, do ponto de vista técnico, é alinhar o eixo ou guia numa direção preferencial, de forma a 
minimizar os recursos (operações de cálculo ) e facilitar o problema. 
Esse recurso é amplamente usado na área de engenharia, para medição, usinagem, software de 
modelamento 2d e 3d, simulação, enfim... 
Bom estudo!