1.3 Produto misto

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Profa. Dra. Fabíola A. SperottoProfa. Dra. Fabíola A. Sperotto
Profa. Dra. Fabíola A. Sperotto - IMEF - FURG
Introdução
� Estamos buscando agora uma outra maneira de
multiplicarmos vetores, cujo vetor associado é a
medida do volume de um paralelepípedo.
� Estamos falando do produto misto, que como o próprio� Estamos falando do produto misto, que como o próprio
nome diz, é a junção do produto escalar com o produto
vetorial.
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Cálculo do Produto Misto
� Considere três vetores: 
),,(
e),,(,),,(
321
321321
wwww
vvvvuuuu
=
==
r
rr
� O produto misto é definido como
),,( 321 wwww =
),,()( wvuwvu rrrrrr =⋅×
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� Então,
=⋅










=×
321
321det)( w
vvv
uuu
kji
vu
r
rrr
rr










=




321
321
321
321
det
www
vvv
uuu
vvv
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Propriedades
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
vuwuwvwvuii
wvui
rrrrrrrrrr
rrrrrrrrr
rrr
,,,,,,.
0,,.
==
=
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )wvuwvuwvuwvuiv
rvuwvurwvuiii
rrrrrrrrrrrr
rrrrrrrrrr
,,,,,,,,.
,,,,,,.
αααα ===
+=+
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Aplicação
� Cálculo do volume do paralelepípedo
),,()( wvuwvuV rrrrrr =⋅×=
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Volume do Tetraedro
),,(
6
1
wvuV rrr=
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