Matemática Computacional Aula 02

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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Aula 2: Teoria dos Conjuntos Prof: Emanoela Lopes
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Teoria dos Conjuntos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Operações com Conjuntos
 Interseção de conjuntos (  ): 
A  B = elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B.
Notação: A  B (lê-se "A intersecção B").
Simbolicamente: A  B = {x | x ∊ A e x ∊ B}
Propriedades :
1. Se um conjunto B é subconjunto de um conjunto A, 
A  B será o conjunto B.
	B  A = A  B = B, ∀ A, ∀ B.
2. Comutativa: A  B = B  A, ∀ A, ∀ B.
3. Associativa: (A  B)  C = A  (B  C), ∀ A, ∀ B, ∀ C.
http://cadernodigital102.blogspot.com/2011/02/resumo-do-dia.html
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Teoria dos Conjuntos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
União de conjuntos (U): união ou reunião
A U B = ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.
Notação: A U B (lê-se "A união B").
Simbolicamente: A U B = {x | x ∊ A ou x ∊ B}
Exemplos: Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {5,6,7,4} então A U B = {1,2,3,4,5,6,7}
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {3, 5} e B={2,3,4,5,6} então A U B = {2, 3, 4, 5, 6} = B
Ref: shutterstock
http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=200
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Teoria dos Conjuntos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Propriedades da união de conjuntos.
Se B é subconjunto de um conjunto A, a união A U B será o
conjunto A, isto é, B  A então (A U B) = A, ∀A, ∀ B.
2. Comutativa: A U B = B U A, ∀A, ∀ B.
3. Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).
Ref: shutterstock
B
A
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Teoria dos Conjuntos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Principio da Inclusão – Exclusão
 Problemas de Combinatória 
	N(AUB) = N(A) + N(B) - N(A  B)
Notação: n( ) é o número de elementos do conjunto dado.
Para três conjuntos:
N(AUBUC) = N(A) + N(B) + N(C) - N(A  B)- N(A  C)- N(B  C) - N(A  B  C)
Ref: shutterstock
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Teoria dos Conjuntos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Exemplo: Um entrevistador de opinião pública entrevista 35 pessoas que optam pelo produto A, produto B ou ambos e conclui que 14 entrevistados escolheram o produto A e 26 o produto B. Quantos entrevistados escolheram ambos?
N(AUB) = N(A) + N(B) - N(A  B) 
 35 = 14 + 26 - N(A  B )
N(A  B) = - 35 +14 +26 = 5
Ref: shutterstock
http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=200
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Teoria dos Conjuntos
Diferença de conjuntos (-):
A – B = elementos de A que não pertencem a B.
Notação: A - B (lê-se "A menos B").
Simbolicamente: A - B = {x | x ∊ A e x  B}
Exemplos: Sejam os conjuntos A = {1,2,3,4} e B = {4,5,6,7}, então A - B = {1,2,3} e B - A = {5,6,7}
Exemplos. Sejam os conjuntos A = {3, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, então A - B = { } = Ø
http://www.blogviche.com.br/2006/11/04/conjuntos-operacoes-parte-ii
Ref: shutterstock
http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=200
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Teoria dos Conjuntos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Complementar de um conjunto (C) : Se A e B são conjuntos, tais que A  B : B - A é chamada complementar de A em B.
Notação: CB A (lê-se "complementar de A em B").
Simbolicamente: CB A = B - A = {x | x ∊ B e x  A}, onde A  B
Exemplo. Sejam os conjuntos A = {2, 3, 5, 6, 8} e B = {3, 5, 8, 9}, então Como A  B, então não existe CB A.
Exemplo. Sejam os conjuntos A = {3, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, então Existe CB A , pois A  B. Portanto, CB A = {2, 4, 6}.
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Teoria dos Conjuntos – Conjuntos Numéricos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
 Conjunto dos Números Naturais: 
 	
	 N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, ...}
	 N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...}.
 Conjunto dos Números Inteiros: 
	 Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
	Z+ = {0,1,2,3,4,5,6, ...}
	Z- = {..., - 5, -4, -3, -2, -1, 0}
 Z*+ = {1, 2,3, 4, 5, 6, 7, ...} = N
	Z* - = {... - 4, -3, -2, -1}
Z
N
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Teoria dos Conjuntos – Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Racionais (Q): 
 Expressos na forma de fração. 
 Números decimais finitos. 
	Exemplo: 125,8342
 Dízimas periódicas (números decimais infinitos periódicos).
	 Exemplo: 14,050505…
 Conjunto dos Números Irracionais (I):
 Números decimais infinitos não periódicos.
Exemplos:
(a) Número PI (resultado da divisão do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro): 3,14159265 ...
(b) Todas as raízes não exatas. Exemplo: = 1,4142135 …
 Q 
Z
N
Q
I
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Teoria dos Conjuntos – Conjuntos Numéricos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Conjunto dos Números Reais (R): 
União do conjunto dos racionais com os irracionais.
Q
I
http://www.estudokids.com.br/conjuntos-numericos-naturais-reais-inteiros-racionais-e-irracionais/
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Intervalo fechado
[a,b]
Intervaloaberto:
]a,b[
Intervalofechadoàesquerda
[a,b[
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Teoria dos Conjuntos – Intervalos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Intervalos numéricos
Representação do conjunto dos números reais.
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Intervalofechadoàdireita
]a,b]
Semirreta esquerda, fechada, de origem a
],a]
Semirreta esquerda, aberta, deorigem a
],a[
Semirreta direita, fechada, de origem a
[a,[
Semirreta direita, aberta, de origem a
]a,[
MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Teoria dos Conjuntos – Intervalos
Intervalos numéricos
Representação do conjunto dos números reais.
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Valor Absoluto de um número 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Valor absoluto de um número e Propriedades
Valor absoluto = módulo 
Notação: |x|.
Exemplo: |-2|=2.
Exemplo: |x|= - x, se x < 0 e |x| = x, se x > 0.
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Valor Absoluto de um número 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Propriedades:
1 - | a |= |-a| para todo número real.
Exemplo: | 2 |= |-2| = 2
2- |a 2|= |a| 2= a2 para todo número real.
Exemplo: |3 2|= |3| 2= 32 = 9
3- 
Exemplo::
4 - | a . b |= | a |.| b | para todo a e b números reais.
Exemplo: Seja a = 3 e b = 5 então |3 . 5|= |15|= 15 e |3|.|5|= 3 . 5 = 15
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Valor Absoluto de um número 
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Propriedades:
5- | a + b | = | a |+ | b | para todo a e b números reais.
Exemplo: Seja a = 6 e b = 5 então |6 + 5|= |11|= 11 e |6|+|5|= 6 + 5 = 11, portanto |6+ 5|=|6|+|5|.
Exemplo: Seja a = -5 e b =1 então |-5 + 1|= |-4|= 4 e |-5|+|1|= 5 + 1 = 6, portanto |-5+ 1|<|-5|+|1|.
6- | | a | - | b | | = | a |- | b | para todo a e b números reais.
Exemplo: Seja a = 4 e b = 1 então ||4|-|1||=|4 - 1|= |3|= 3 e |4 - 1|= |3|= 3, portanto ||4|-|1||=|4 - 1|.
Exemplo: Seja a = -1 e b =9 então ||-1|-|9||=|1 - 9|= |-8|= 8 e |-1 - 9|= |-10|= 10, portanto ||-1|-|9||<|-1 - 9|.
7- | a + b | = | b + a |
Exemplo: Seja a = 6 e b = 5 então |6 + 5|= |11|= 11 e |5 + 6|= |11|= 11.
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Exercícios Propostos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos
Teoria de Conjuntos: 
Seja A = {2, 3, 5} e B = {4, 6} encontre A U B.
b) Seja A = {3, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} determine A - B.
2) Conjuntos numéricos
Considere a seguinte equações : 0,3x = 0,1
Analisando a solução da equação, verifique a veracidade da afirmativa 0,3x = 0,1
A solução é número irracional.
As soluções é números não reais.
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Exercícios Propostos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
Teoria de Conjuntos: 
a) Seja A = {2, 3, 5} e B = {4, 6} encontre A U B.
Solução: A U B = {2, 3, 4, 5,6}
b) Seja A = {3, 5} e B = {2, 3, 4, 5, 6} determine A - B.
Solução: A - B = { } = Ø
2) Conjuntos numéricos
Considere a seguinte equações : 0,3x = 0,1
Analisando a solução da equação, verifique a veracidade da afirmativa 0,3x = 0,1
(a) A solução é número irracional.
Solução:
(F). Pela equação x = 0,1/0,3 = 1/3. Logo racional.
b) As soluções é números não reais.
Solução: (F). Pela justificativa (a), I é racional, logo real.
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Exercícios Propostos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos
3. Módulo – Utilizando a definição de módulo determine os valores das expressões
|6| + 1
|-5|+9
|-10|-1
|-6|-|-2|
|0,2 – 0,9|
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Exercícios Propostos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos.
3. Módulo – Utilizando a definição de módulo determine os valores das expressões
|6| + 1 = 6 + 1 = 7
|-5|+9 = 5 + 9 = 14
|-10|-1 = 10-1 = 9
|-6|-|-2| 6 – 2 = 4
|0,2 – 0,9| = |-0,7| = 0,7
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Exercícios Propostos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos
4. Dados os subconjuntos de R: A = { x ∊R/ -2 =< x < 3} , B = {x ∊R/ 1 = <x < 4 } e C = {x∊R/ x < 0}.
Determine:
A U B
A  B
(A B)C
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Exercícios Propostos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos
4. Dados os subconjuntos de R: A = { x ∊R/ -2 = <x < 3} , B = {x ∊R/ 1 = <x < 4 } e C = {x∊R/ x < 0}.
Determine:
A U B = [-2,4[
A  B = [1,3[
(A B)C = 
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Exercícios Propostos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos
5. Escrever as expressões equivalentes sem o módulo
a) |x - 6|, sendo x um número real qualquer.
b)|x - 6|, com x > 6
c) |x - 1|+ |x - 3|, com x > 3
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Exercícios Propostos
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Sugestão de resolução dos exercícios propostos
5. Escrever as expressões equivalentes sem o módulo
|x - 6|, sendo x um número real qualquer.
b) |x - 6|, com x > 6
Solução: Como x > 6, a expressão de dentro do módulo é positiva.
Logo, nesse caso, |x - 6|= x - 6.
c) |x - 1|+ |x - 3|, com x > 3
Solução: Como x > 3, as duas expressões são positivas. Logo, nesse caso, |x - 1|+ |x -3|= x - 1+ x - 3 = 2x - 4.
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Indicação de Leitura
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Indicação de Leitura Específica
Recomendamos a leitura do capítulo referente Teoria de Conjuntos no material didático.
Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de Conjuntos disponíveis.
Recomendação de leitura no material didático:
MINELLI, Juliano. Matemática Discreta. 1. ed. Rio de Janeiro: SESES, 2015, p. 11-19.
Sugestão de material:
http://www.otricolor.com/images/noticias/1278/Inicia%E7%E3o%20a%20L%F3gica%20Matem%E1tica.%20Edegard%20Filho.%20Editota%20Nobel%20(1).pdf
Sugestão de leitura: Conjuntos
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/matematica-basica/conjuntos.html
http://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos.php
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Indicação de Leitura
AULA 2: Teoria dos Conjuntos
Indicação de Leitura Específica
Sugestão de leitura que podem complementar seu conhecimento: Frações e Decimais
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/fundam/fracoes/fracdec.htm
http://www.mundoeducacao.com/matematica/transformacao-para-numerosfracionarios.htm
Sugestão de leitura: Conjuntos Numéricos
http://www.matematicadidatica.com.br/ConjuntosNumericosFundamentais.aspx
Sugestão de vídeos: Khan Academy
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-prealg/v/number-sets-1
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-prealg/v/number-sets-2
https://pt.khanacademy.org/math/pre-algebra/fractions-pre-alg/number-sets-prealg/v/number-sets-3 https://www.youtube.com/watch?time_continue=374&v=ktrODQ1I8rc
https://www.geogebra.org/m/Tq4HaZhQ
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VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS?
 
Unidade 2 - Contagem
2.1. Princípio da Casas de Pombo.
2.2. Princípio da Multiplicação.
2.3. Princípio da Adição.
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