Matemática Computacional Aula 01

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CCT0350 – MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Aula 1: Teoria dos Conjuntos Prof: Emanoela Lopes 
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MATEMÁTICA APLICADA A COMPUTAÇÃO
Estrutura do conteúdo 
AULA 1: Apresentação do Plano de Aula. Teoria dos Conjuntos
Unidade 1 – Teoria dos Conjuntos
1.1. Introdução, Notação e Propriedades;
1.2. Tipos especiais de Conjuntos. Subconjuntos;
1.3. Operações Elementares em Conjuntos;
1.4. Conjuntos Numéricos;
1.5. Princípio da Inclusão e da Exclusão;
1.6. Intervalos numéricos;
1.7. Valor absoluto de um número e Propriedades.
Unidade 2 – Contagem
2.1. Princípio da Casa de Pombo;
2.2. Princípio da Multiplicação;
2.3. Princípio da Adição;
2.4. Arranjo, Permutação e Combinação.
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Estrutura do conteúdo 
AULA 1: Apresentação do Plano de Aula. Teoria dos Conjuntos
Unidade 3 – Relações
3.1. Pares Ordenados;
3.2. Relações Binárias. Propriedades e Fechos;
3.3. Ordens Parciais;
3.4. Relações de Equivalência.
Unidade 4 – Funções
4.1. Definição;
4.2. Funções Sobrejetoras, Injetoras e Bijetoras;
4.3. Composição de Funções;
4.4. Função Inversa;
4.5. Funções do Primeiro e do Segundo Grau e seus Gráficos.
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Estrutura do conteúdo 
AULA 1: Apresentação do Plano de Aula. Teoria dos Conjuntos
Unidade 5 – Cálculo Proposicional
5.1. O Raciocínio e a Lógica;
5.2. Linguagem Natural e Linguagem Simbólica;
5.3. Proposições Simples;
5.4. Proposições Compostas. Conectivo;
5.5. Tabelas Verdade. Interpretação. Ordem de Precedência dos Conectivos;
5.6. Álgebra de Boole aplicada à construção de tabelas verdade;
5.7. Tautologia, Contradição e Contingência;
5.8. Implicação Lógica;
5.9. Equivalência Lógica;
5.10. Formas Normais. Problema de Post;
5.11. Conjuntos Adequados de Conectivos;
5.12. Argumento e Regras de Inferência.
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Estrutura do conteúdo 
AULA 1: Apresentação do Plano de Aula. Teoria dos Conjuntos
Unidade 6 – Cálculo dos Predicados
6.1. Predicados. Conjunto Universo. Conjunto Verdade;
6.2. Quantificadores;
6.3. Variáveis Livres e Ligadas. Alcance do Quantificador;
6.4. Negação de Fórmulas Quantificadas;
6.5. Relações Lógicas;
6.6. Argumento e Regras de Inferência Adicionais.
Unidade 7 – Métodos de Demonstração
7.1. Vacuidade. Trivial. Direta. Indireta;
7.2. Contradição ou Redução ao Absurdo;
7.3. Técnicas Adicionais, envolvendo quantificadores;
7.4. Construção dos Números Naturais como 
 Função: Princípio da Indução.
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Procedimentos de avaliação 
AULA 1: Apresentação do Plano de Aula. Teoria dos Conjuntos
O processo de avaliação oficial será composto de três etapas: 
 Avaliação 1 (AV1);
 Avaliação 2 (AV2); 
 Avaliação 3 (AV3).
AV2 e AV3 são unificadas, a partir de um banco de questões propostas pelos professores da Estácio de todo o Brasil.
As avaliações poderão ser realizadas por meio de provas teóricas, provas práticas, e realização de projetos ou outros trabalhos, representando atividades acadêmicas de ensino, de acordo com as especificidades de cada disciplina. A soma de todas as atividades que possam vir a compor o grau final de cada avaliação não poderá ultrapassar o grau máximo de 10, sendo permitido atribuir valor decimal às avaliações. Caso a
disciplina, atendendo ao projeto pedagógico de cada curso, além de provas teóricas e/ou práticas contemple outras atividades acadêmicas de ensino, estas não poderão ultrapassar 20% da composição do grau final.
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Procedimentos de avaliação 
AULA 1: Apresentação do Plano de Aula. Teoria dos Conjuntos
A AV1 contemplará o conteúdo da disciplina até sua realização, incluindo o das atividades estruturadas.
As AV2 e AV3 abrangerão todo o conteúdo da disciplina, incluindo o das atividades estruturadas.
Para aprovação na disciplina, o aluno deverá:
1. Atingir resultado igual ou superior a 6,0, calculado a partir da média aritmética entre os graus das avaliações, sendo consideradas apenas as duas maiores notas obtidas dentre as três etapas de avaliação (AV1, AV2 e AV3). A média aritmética obtida será o grau final do aluno na disciplina;
2. Obter grau igual ou superior a 4,0 em, pelo menos duas das três avaliações;
3. Frequentar, no mínimo, 75% das aulas ministradas.
As disciplinas oferecidas na modalidade Educação a Distância (EAD) seguirão o mesmo critério de avaliação das disciplinas presenciais.
Para a avaliação do Trabalho de Conclusão de Curso (TCC), ou trabalhos de mesma natureza, será atribuído grau único para a disciplina que, para aprovação do aluno, deverá ser igual ou maior do que 6,0.
Mais detalhes: Portaria D. E.nº02, de 18 de novembro de 2009.
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Bibliografia
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Bibliografia Básica
MINELLI, J. Matemática discreta. Rio de Janeiro: Universidade Estácio de Sá, 2014. 112 p.
SOUZA, J. Lógica para Ciência Da Computação. São Paulo: Elsevier Editora, 2008.
BISPO, C. A.; CASTANHEIRA, L. B.; FILHO, O. M. S. Introdução à Lógica Matemática. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2011.
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Bibliografia
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Bibliografia Complementar
GERSTING, J. Fundamentos Matemáticos para Ciência da Computação. São Paulo: LTC, 2004.
FÁVARO, S.; KMETEUK FILHO, O. Noções de Lógica e Matemática Básica. 1. ed. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2005. 224p.
MENEZES, P. B. Matemática discreta para computação e informática. 4. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013. 370p.
ALENCAR FILHO, E. Iniciação à lógica matemática. 18. ed. São Paulo: Nobel, 2002.
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Teoria dos Conjuntos
AULA 1: Apresentação do Plano de Aula. Teoria dos Conjuntos
Introdução / Motivação
Todos os ramos da matemática utilizam a noção de conjuntos de diversas maneiras diferentes. 
Sendo assim, a noção de conjunto ganha um lugar de destaque no ensino da matemática. 
Noções básicas da teoria dos conjuntos (noções intuitivas) são: 
 conjunto, 
 elemento e
 pertinência.
1. Conceitos Primitivos (não definidos) – Conjunto e Elemento: Ideia de conjunto é a mesma de coleção.
Exemplos:
Os alunos de sua sala de aula formam um conjunto; cada aluno é um elemento desse conjunto.
(b) Um time de futebol é um conjunto; cada jogador do time é um elemento desse conjunto.
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2. Representação de um Conjunto
	
2.1. Representação tabular
		Notação: Podemos representar um conjunto sob forma de tabela, escrevendo seus elementos entre chaves {} e separados por vírgula.
 É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D, ...
 É usual representarmos os elementos por letra minúsculas a,b,c,d, ...
		Exemplo: A = {a, e, i, o, u}
		Exemplo: B = {1, 2, 3, 4}
	
2.2. Representação por meio de diagramas de Venn-Euler
	Os elementos de um conjunto são representados por:
 - pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não se entrelaça.
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Exemplos: Representação por meio de diagramas de Venn-Euler
2.3 . Representação através de uma propriedade
	A = {x | x tem a propriedade p}.
Lê-se: "A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p“.
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Exemplos: A = {x | x é par} – o conjunto A é formado por todos os pares.
3. Relação de Pertinência
Nos exemplos:
 A = {a, e, i, o, u}
B = {1, 2, 3, 4}
Observe: u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. Representaremos como:
 u  A (lê-se "u pertence a A") 
 u  B (lê-se "u não pertence a B")Observação: De modo geral, para relacionar elemento e conjunto, devemos utilizar os símbolos: (pertence) e  (não pertence).
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Teoria dos Conjuntos
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4. Tipos de Conjunto
4.1. Conjunto unitário – Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento. 
Exemplos: C = {5}
4.2. Conjunto vazio – Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. 
Representa-se o vazio por Ø ou { }.
Exemplos: E = {x | x é computador sem memória} = { }
4.3.Conjunto finito – Conjunto finito é aquele em que conseguimos contar do início ao fim todos os elementos.
Exemplos: B = {1, 2, 3, 4}
4.4. Conjunto infinito – é aquele que não é possível contar do inicio até o fim todos os elementos.
Exemplos: N = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
5. Conjuntos Iguais 
Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos.
Exemplo: "arte": A = {a, r, t, e} e "reta": B = {r, e, t, a}, temos A = B, pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos. 
Se A não é igual a B, escrevemos A B (lê-se "A é diferente de B").
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6. Conjunto Universo (U) 
	É o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar.
Exemplo: Quais são os números menores que 5? A resposta irá depender do conjunto universo considerado.
 Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais, teremos como resposta o conjunto solução: 
 S = {0, 1, 2, 3, 4}.
 Se o conjunto universo for o conjunto dos números naturais pares, teremos como conjunto solução:
 S = {0, 2, 4}.
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7 – Subconjunto
	Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B.
Notação: A é subconjunto de B por: A  B (lê-se "A está contido em B"), ou ainda, B  A por (lê-se "B contém A").
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Exemplos:
	(a) {2, 5, 3}  {2, 5, 3, 8, 9}
	(b) {6, 9, 6, 5}  {9, 6}
Propriedades:
1 - O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto:
	Simbolicamente: A  B  [ ∀ x  A, x  B]
	Exemplos:
	(a)   { 1,2,3}
	(b)    
2 - Todo conjunto é subconjunto de si mesmo.
	Simbolicamente: A A, ∀ A
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Exemplos
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Conjunto das Partes de um Conjunto
	Podemos ter um conjunto cujos elementos podem também ser conjuntos.
	Exemplo: Considere o conjunto A = {a, b}. Vamos determinar os subconjuntos de A, pensando em termos de número de elementos.
 Subconjuntos com nenhum elemento: Ø
 Subconjuntos com um elemento: {a}, {b}
 Subconjuntos com dois elementos: {a,b}
Chamamos conjunto das partes de um conjunto A ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.
	Notação: P(A) (lê-se P de A)
	Exemplo: Determinando o conjunto das partes do conjunto A = {a, b}. P(A) = {Ø , {a}, {b}, {a,b}}
	Exemplo: Determinando o conjunto das partes do conjunto B = {a, b, c}
Vamos determinar primeiramente os subconjuntos de A, pensando em termos de número de elementos.
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Observação: O procedimento de definir os subconjuntos e mais ainda, sabendo quantos elementos um conjunto possui, podemos saber quantos subconjuntos o conjunto partes deste terá, nos lembra que esta é uma importante definição no momento de programar, pois precisaremos definir o espaço de uma tabela, espaço de um vetor, eficiência de um procedimento etc.
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Exercícios
Um certo número de alunos de uma escola de ensino médio foi consultado sobre a preferência em relação a jogar futebol ou jogar vôlei. O resultado obtido foi o seguinte: 180 alunos jogam futebol, 160 jogam vôlei, 60 jogam futebol e vôlei e 40 não jogam nem futebol nem vôlei.
(a) Quantos alunos foram consultados? R: 120 + 60 + 100 + 40 = 320
(b) Quantos alunos jogam apenas futebol? R: 180 - 60 = 120
(c) Quantos alunos não jogam futebol? R: 60 + 100 + 40 = 200
(d) Quantos alunos jogam futebol ou jogam vôlei? R: 120 + 60 + 100 = 280
V
F
x
180 - x
160 - x
40
X = 60
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2. Foram consultadas 500 pessoas sobre as emissoras de TV a que habitualmente assistem. Obteve-se o 
 seguinte resultado: 300 pessoas assistem ao canal Z, 270 assistem ao canal W e 80 assistem a outros 
 canais distintos de Z e W. 
300 - x + x + 270 - x + 80 = 500
- x = - 650 + 500
x = 150
(a) Quantas pessoas assistem aos dois canais? R: (300 -150) + 150 + (270 - 150) = 420
(b) Quantas pessoas assistem somente ao canal W? R: 270 - 150 = 120
(c) Quantas pessoas não assistem ao canal Z? R: 150 + 120 + 80 = 350
z
W
D
x
300 - x
270 - x
80
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Exercício 1: (PUC-RIO 2010) Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. 
Então, podemos afirmar que:
Solução: X = 0 e y = 7
Exercício 2: (PUC-RIO 2009) Em um colégio de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam 
de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos não gostam de nenhum dos dois sabores?
Solução: 10
Exercício 3: Seja A = { 1, {2}, {1,2} }. Considere as afirmações:
(I) 1 ∊ A
(II) 2 ∊ A
(III)   A
(IV) {1,2}  A
Quais a(s) afirmação(ões) estão corretas ?
Solução: I e III
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Solução: I e III
(I) Veja que 1 é elemento de A e o símbolo usado (pertence) para relacionar está correto, então o item I é verdadeiro.
(II) Repare que 2 não é elemento do conjunto A, então ele não pertence a A, logo o item II não está correto. Observe que {2} é elemento de A. Nesse ponto, chamamos a atenção para o fato de que {2} é um conjunto, já que está entre chaves, que é um elemento de A. Há uma diferença entre 2 e {2}. O item IV é semelhante.
(III) Uma das propriedades de inclusão (por definição de subconjunto) diz o seguinte: o (vazio) está contido 
em qualquer conjunto. Portanto, o item III está correto.
(IV) Mais uma vez temos que {1,2} é um elemento de A e não um subconjunto, logo a afirmação não está correta, pois deveria ser usado o símbolo de pertence. Neste caso, o símbolo estaria correto se ao invés de 
{1,2} tivéssemos {{1,2}} (subconjunto 1,2).
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Indicação de Leitura Específica
Recomendamos a leitura do capítulo referente à Teoria de Conjuntos no material didático.
Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros de Teoria de Conjuntos disponíveis.
Recomendação de leitura no material didático:
MINELLI, J. Matemática Discreta. 1. ed. Rio de Janeiro: Estácio, 2015, p. 11-19.
Sugestão de material:
http://www.otricolor.com/images/noticias/1278/Inicia%E7%E3o%20a%20L%F3gica%20Matem%E1tica.%20Edegard%20Filho.%20Editota%20Nobel%20(1).pdf
Sugestão de leitura: Conjuntos
http://educacao.globo.com/matematica/assunto/matematica-basica/conjuntos.htmlhttp://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos.php
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/conjunto.htm
https://www.youtube.com/watch?time_continue=58&v=Yw-XDnn6kUI
https://pt.slideshare.net/edimarlsantos/gincana-conjuntos-numricos-e-intervalos-na-reta-realprofessor-dimas
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VAMOS AOS PRÓXIMOS PASSOS?
 
1.3. Operações Elementares em Conjunto.
 Interseção e União de conjuntos;
 Diferença e conjunto complementar;
 Propriedades das Operações entre Conjuntos;
 Principio da Inclusão e Exclusão.
1.4. Conjuntos Numéricos.
1.5. Intervalos Numéricos.
1.6. Valor absoluto de um número e propriedades.
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