Energia Potencial Elétrica e Potencial Elétrico - Fisica C Cap26 2016

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Capítulo 26: Energia Potencial Elétrica e Potencial ElétricoCapítulo 26: Energia Potencial Elétrica e Potencial Elétrico
Gilmar Eugenio MarquesGilmar Eugenio Marques
Universidade Federal de São Carlos, Departamento de Física, São Carlos, BrasilUniversidade Federal de São Carlos, Departamento de Física, São Carlos, Brasil

( )r U(r)
Definições 
Gerais

( ) ( ) . .
b b
a a
U U b U a F dr Q E dr         Energia Potencial 
(trabalho realizado)
b U  ( ) ( ) . ab a E Ur Qd         Potencial Elétrico Obs: O livro texto usa V (r)
Potencial Elétrico e Energia Potencial são diferenças. Se encontramos um ponto a onde as duas grandezas têm 
Exemplo: Carga Puntiforme: Trabalho realizado para trazer 
valores nulos (zero), isto é: e , então definiremos energia ou potencial elétricos no ponto b. As vezes
é mais preciso nos referirmos aos pontos como como . Estas funções de ponto, como definidas, representam 
grandezas escalares, isto é, não dependem nem de direção nem de sentido.
( ) 0a ( ) 0U a 
 e a br r
 
r.r dr drp g p
uma carga do infinito até uma posição .ar   r0q
( ) .
r
r extW U r F dr       0 2 ( ) .r qU r q k r drr       

1 1d   q q
r
r
0 02
1 1( )
r drU r kq q kq q
r r
       0 U ( r) 
q qk
r
 
( )
r
r E dr    ( ) r drr kq 
( )E r
 
0q
) )( (EF
   ( )ext cF F r
  
( ) .r E dr    2( )r kq r   
1 1( ) qr k q k
r r
      
 ( ) qr k
r
 
0) )( (c q E rF r 
2( )
qE r k r
r
  
Resumindo: ( )
qr k
r
 Potencial Elétrico de cargas localizadas
ou pontuais. 

Potencial Elétrico 
de cargas distribuídas.
(método integração) 
d qd k
r
 
Para Cargas 
Puntiformes:
0U ( r) q qk
r
Energia Potencial Elétrica de cargas localizadas ou
pontuais. 

Energia Potencial Eétrica 
de cargas distribuídas
(método integração)
1 2
1 2
dU
| |
dq dqk
r r
 

Potencial Elétrico de cargas puntiformes Superfícies Equipotenciais
2r
 2 2( )r  - Só depende do módulo do vetor posição 
(por isso um escalar) sendo constante
r
2
2r

 - Estas Superfícies de Potencial constante i i i i
(por isso um escalar), sendo constante 
sobre cada uma das superfícies das esferas 
de raios
ir

( ) qr k
r
   1 1( )r

3r
 são denominadas de Eqüipotenciais.
- Obs: Os campos produzidos pela carga q, são 
perpendiculares às Superfícies 
Equipotenciais. Essa propriedade será1
( ) ( )i
i N
r r 

  
Princípio da Superposição
3 3( )r 
1 1 Equipotenciais. Essa propriedade será 
explorada mais a frente para cálculo de 
campo elétrico .
- O sinal do potencial, assim como o sentido 
do campo elétrico, é determinado pelo sinal Unidade de medida do 
Potencial Elétrico, no 
sistema SI. 
[ ] :Volt V 
1,i N p pda carga q, que gera tanto o campo quanto 
o potencial elétrico.
Superfícies Equipotenciais
(Outros exemplos)
Campo
U
nn
i
f
o
rr
m
e
Dipolo Elétrico
Superfícies Equipotenciais  e  Campo Elétrico
Para  dois conjuntos com duas cargas puntuais :j g p
Exemplo: Duas esferas condutoras. A esfera menor tem raio a e carga Q positiva , e a 
esfera maior de raio c não está carregada (neutra). 
Ao aproximarmos as duas esferas:Ao aproximarmos as duas esferas:
- A esfera menor atrai as cargas negativas
livres da esfera maior e ocorre falta de
elétrons do lado oposto, gerando as cargas
positivas.positivas.
As curvas pontilhadas azuis correspondem as
interseções das superfícies equipotenciais com
a página. O campo sendo normal em cadap g p
ponto das equipontenciais.
Como varia qualitativamente oComo varia qualitativamente, o
potencial a partir do centro da
esfera menor para a direita da
esfera maior, considerando que b é a
distância entre as superfícies dasdistância entre as superfícies das
esferas menor e o centro da esfera
maior ?
Superfícies Equipotenciais  e Campo Elétrico
Um condutor ideal é sempre uma equipotencial (superfície e interior). Assim, se dois
condutores diferentes estão com o mesmo potencial elétrico, aquele mais curvado
( pontiagudo) terá o maior campo elétrico na superfície e em sua vizinhança próxima ()
Isso é também verdade para diferentes partes do mesmo condutor não‐simétrico ou comIsso é também verdade para diferentes partes do mesmo condutor não‐simétrico ou com
uma geometria anômala
Exemplo: Considere uma esfera metálica maciça de raio R e carga total positiva Q. 
Como temos um condutor esférico a
distribuição de carga na superfície é
uniforme.
 Potencial fora da esfera r > R. Como
se fosse uma carga puntiforme Q,
colocada no centro da esfera. Para r < R ,
o cond tor é ma eq ipotencial V cte eQkV o condutor é uma equipotencial, V=cte, e
igual ao potencial para r = Rr
QkV e
 Caso Gravitacional    Semelhança com o Campo Gravitacional, 
 MV G
r
    
ç p ,
para fora da esfera, r > R. Obs: So se define 
Energia Gravitacioanal: U=V , no caso de 
mecânica.
2r
QkE e Campo elétrico fora da esfera, r > R. Como se fosse uma carga puntiforme Q, colacada 
7
no centro da esfera,
Para determinar como a carga se distribui num condutor não-esférico, vamos analisar
um sistema simples
O sistema consiste em duas esferas condutoras carregadas de raio r1 e r2, onde r1 > r2, e estão 
ligadas por um muito fino fio condutor
Supomos que as duas esferas estão tão separadas que o campoSupo os que s du s es e s es o o sep d s que o c po
elétrico de uma esfera não influencia no campo elétrico da outra
esfera.
Como as duas esferas são ligadas por um fio condutor  supomos
que todo o sistema é um único condutor e que todos os pontos devemque todo o sistema é um único condutor e que todos os pontos devem
estar no mesmo potencial (condutores são equipotenciais: Não custa
energia, mover uma carga em um condutor em equilíbrio. Assim, os
potenciais das esferas podem sewr calculados:
q q rq1 2
1 2
1 2
e e
q qV k k V
r r
  
 Observe que esfera maior tem a maior quantidade de carga.
2
1
2
1 
r
r
q
q 
q q g
Campos elétricos perpendiculares à superfície de cada 
condutor esférico são dados por:
2
1
1
1 r
qkE e 2
2
2
2 r
qkE e
2
2
21
2
2
21
2
1
1
1 rrrqr
qk
E
E e  21 rE   quer dizer que o campo elétrico próximo àesfera menor (E2) é maior que o campo próximo
Ou seja: 
2
12
2
12
2
2
22 rrrq
r
qkE e 12 rE
esfera menor (E2) é maior que o campo próximo
à esfera maior (E1).
 Como o campo elétrico próximo à superfície de um condutor é proporcional à densidade
superficial de carga ( E  ), a esfera menor (R2) terá a maior densidade superficial de carga,
Esta é a quarta propriedade listada para os condutores em equilíbrio eletrostático:
p g ( ), ( 2) p g ,,
•ASSIM, NUM CONDUTOR COM FORMA IRREGULAR, A CARGA POR UNIDADE DE ÁREA É
Campo forte
, ,
MÁXIMA NOS LOCAIS ONDE O RAIO DE CURVATURA DA SUPERFÍCIE É MÍNIMO : Poder das Pontas
ou efeito aplicação em Para-Raios.
Maior densidade superficial de carga, CC
Campo fraco
Menor densidade superficial de carga, D
D
Cálculo de Potencial Elétrico de cargas distribuídas: Anel ( Linear ) e Disco ( Superficial )
 d qd k   ( ) d qz k r   dQ
Usar o potencial de um anel como elemento de integração
2R rdr r r
2
2 20
( ) Rdz k
z R
    
2 2
( ) dQd z k
z r
   2 20
2( ) 
R rdrz k
z r
   
12 22( ) [ ] 2
R
z k z r rdr   
D
I
A
N
z R
2
2 2 0
( ) Rz k d
z R
   
12 2 2[ ]( ) 1
R
z rz k 
  
0
( ) [ ] 2 z k z r rdr  
I
S
C
E
L
2 2
2( ) Rz k
z R
  
0
1
2 
2 2( ) 2 [ ]z k z R z    
O
z R
2Q R 
Q
Obs:
2 2
0
( ) [ ]
2
z z R z   
d
dq ds 
lim ( ) z R
Qz k
z
 
dQ dS
d
2dq Rd Q R     
dq ds
dsd
R
 

2dS rdr
22dQ rdr Q R    
Da Definição Geral: O Potencial Elétrico pode ser calculado, quando conhecemos o Campo Elétrico ao 
longo vdo percurso (caminho) de integração (Integral de linha), como:
' '( ) ( )
r
E d     ( ) 0r d é l( ) ( ).
ar
r E r dr     ( ) 0ar , onde o ponto é tal que:ar
z
Campo Uniforme:
Plano de Cargas
0
' '( ) ( )
z
z
z E z dz   0( ) 0z , onde
'( )
2
z
z dz   z0z
2
E 
002 z 
0( ) ( )2
z z z   
0z
z
02 02
( )z
z
Onde:
0
tan( )
2
  
0z
Observer a semelhança com o caso gravitacional onde:
0( ) ( )gravU z mg z z  z m z

0
0( ) ( )grav z g z z   
g
0z
mg

Potencial Elétrico de um Condutor Carregado: Esfera Condutora Carregada
intQE n dS  
2dS R d  Usando Lei de Gauss para fora da esfera: Gaussiana Sout
1EdS dS  r
R
outS
( )E
 
int
0
. 
S
E n dS  0out eS SEdS dS  
0t
r
S S
E dS dS  2 20 ( )4 4rE r r R
  R
dQ dS
inS
( )E r 0out eS S 0
2
2
0
1 4( ) ;
4r
RE r
r
 

r R
Lei de Gauss para
ndSr
eS
0
1
S S
EdS dV  0 S EdS   ( ) 0;E r 
 r R
Lei de Gauss para 
dentro da esfera: Gaussiana Sin
Carga na 
superfície S 0in inS S inS
Conhecendo o Campo Elétrico ao longo do percurso
de integração (linha de força), calculamos o potencial:
( )E r
0

 2
( )r
0


24Q R superfície Se
' '( ) ( ).
a
r
r
r E r dr     
R
2
2
0
 R
r


r
0
' '( ) ( )
r
rr E r dr   
24 ;Rk r R 
R
2
0
 R
r


r2 '
2'
( )
rR drr     
2
0
4 1( )
4
r
Rr
r
  
     

;
( )
; 
k r R
rr
Qk r R
R

  
0 r 
( ) 0ar  
Como: ( )( ) 0rE r  
Então:
Exemplo 3) : Potencial elétrico de um fio finito com distribuição linear uniforme: Centro de simetria
Linhas deLinhas de Campo para fio infinitoCampo para fio infinito
dr
Fio Finito: Usando Integração
L d
Fio Infinito: usando o campo+L
d 
rE
dr122 2[ ]
L
L
dyk
z y


 
1
22 2ln[ ( ) ]L Lk y z y    
 dqd k  
Então:
02
rE r rr

 
 
Via Lei de Gauss ou Integração
Equipotenciais
cilíndricas
1
2
1
2
2 2
2 2
( )( ) ln
( )
L z Lz k
L z L
         
0
' '( ) ( ).
r
r
r E r dr      0( ) 0r 
Então:
y

zz
0
' '( ) ( ) 
r
rr
r E r dr   
0
'
'
0
( )
2
r
r
drr
r
   Tomar o limites L infinito coma função logarítimica é compli-cado. Recuperar a simetria 
cilíndrica também. Considere 
Logo:
y 
d
0 0
( ) ln
2
rr
r
 
     

0
'
0
( ) ln 
2
r
r
r r      

1
22 2( )( ) lnL
z L Lz k
z
       zL 
um lado do fio.
( )dq dy
0
( ) lnL L
zLz k
z L
        
 ( )r 
Use o Princípio da Superposição para o outro lado, 
multiplicando o resultado acima por 2 …
L
1
22 2[ ]z y  
dq = dy
0 0
( ) ln
2L
zz
z
 
     
r
0r
-L
Cálculo do Campo Elétrico a partir do Potencial Elétrico Observe, da Definição Geral, que:
( ) ( ) d
b
b a E dr E dr          
b
dF ( ) ( )F b F a uma vez que:
Definições auxiliares
Vetor deslocamento  dr x dx y dy z dz     
Sistema Carteziano
rsendr r dr rd d       
Sistema Esférico
( ) ( ) . d .
a
b a E dr E dr   a ( ) ( )
( , , ) F F FF x y z x y z
x y z
       
   Vetor Gradiente de 
uma função escalar
espacial
y y
F F F  
1 1( , , )
 
F F FF r r
r r r sen
     
       
  
 rsendr r dr rd d     
Diferencial de função  ( , , ) F F FdF x y z dx dy dz
x y z
       ( , , ) F F FdF r dr d dr    
      
Exemplo: Carga PuntiformeVetor Gradiente é Observe então que, independente do sistema Exemplo: Carga Puntiforme
( ) ( , , ) qr r k
r
    
( )E r r r    
 
Normal às Superfi-
cies Equipotenciais
( , , )F r  .dF F dr  
Observe então que, independente do sistema 
de coordenadas:
d .E dr    
Comparando as relações acima, vemos que, se
Então, podemos calcular o campo elétrico como:
( , , )r radE r r rr
     
rE

Então, podemos calcular o campo elétrico como:
E    2r qE k rF

z
Exemplo 5: Potencial Elétrico e Campo Elétrico de um Dipolo Elétrico, fora do eixo de simetria.
( , )
( )
Qr k
r r
  

 
Potencial Elétrico: Cargas Puntiformes 
cosz r 
r

rz
Q

( , )r r 1 1( , ) [ ]r kQ
r r
    
 
      
2z Q cosP 
cosz r 
r

r
0z

r
0
2
2( , ) cos z Qr k
r
    2cos( , ) Pr k r
  
02P z Q z
  Campo Elétrico usando gradiente: Como visto antes:
Q
02 P z Q z 1( , )E r r
r r
   
      
  
( , )( , )r
rE r     3
2 cos( , )r
PE r k  
( , )rE r r 
( )E r  E

Espansão Binomial 0r r z   
( , )r r
1 ( , )( , ) rE r
r
  
  

3( , )r r
3( , )
PsenE r k
r
 

( , )E r  
1
2 2 2
0 0( , ) 2 cosr r r r z rz        
1
2 2
0 0
2
21 1 1 c o sz z 
    


3( , 0) 2r
PE r k
r
  
0 3( , ) 0
PE r k
r
  
Casos especiais

Ao longo 
do eixo-z
0 r r r r   
0
0
21 1 1{1 ( ) cos }; 
2
z r z
r r r


  

r
Casos especiais
No plano xy
 32 ( , )
PE r k
r
 
3
cos( , ) 2 02r
PE r k
r
   
2
 
Cálculo da Energia necessária para se carregar uma esfera condutora de raio R, com carga final Q.
Considere esta esfera inicialmente descarregada, e que vamos usar um processo de 
carrega-mento, trazendo quantidades de cargas diferenciais, desde o infinito até colocá-
las sobre a superfície condutora de raio R. Claro que usaremos um percurso ao longo de 1dQ
r
eS
q dS 
eS
Certamente, não será realizado nenhum trabalho quando trouxermos a primeira fração 
de carga, dQ1, uma vez que ainda não existirá nenhum Campo Elétrico no espaço. 
U bé d l di bá i ã d i l id d
p q p g
uma Linha de Fôrça, por simplicidade. Porém, poderíamos usar qualquer outro percurso, 
já que fôrças produzidas por campos, são conservativas.
eS
Usaremos também deslocamentos adiabáticos, para que a carga não adquira velocidade 
(sem produzir energia cinética).
Após distribuírmos o primeiro dQ1, cada um dos seguintes precisaremos realizar
trabalho, usando uma fôrça externa Fext que balanceie (iguale), em cada ponto do
trajeto a fôrça elétrica sobre os dQ’s arrastados contra o Campo elétrico E(r) produR
ndS
Num dado momento, onde a esfera já contenha uma quantidade de carga, q, temos que 
vencer a fôrça devida ao campo elétrico, na região externa à esfera, r > R. Por definição, 
este trabalho reali ado por nidade de carga relacionao potencial elétrico do corpo
trajeto, a fôrça elétrica sobre os dQ’s arrastados contra o Campo elétrico E(r) produ-
zido pela carga já acumulada no metal. Cada dQN colocado no condutor, se 
distribuirá na superficie externa da esfera, Se.
este trabalho realizado por unidade de carga, relaciona o potencial elétrico do corpo 
carregado com sua energia potencial elétrica (vide 1a. folha), como dU =  dq . Logo:
extF

( ) ( ) qdU q R dq k dq
R
 
0
1 ( ) 
Q
S
U Q k qdq q dS
R
     21( ) 2 QU Q k R
NdQ
eS
( )E r
  – A energia de carregamento do condutor esférico com carga final Q, é igual a metade da energia potencial elétrica de duas cargas puntiformes Q, colocadas a uma distância igual ao raio da 
esfera. Esta energia de carregamento denominamos: Auto-energia do corpo carregado.

( Esfera Metálica )
r
Observe : 
– Se carregarmos uma região esférica com carga final Q, a auto-energia deste 
carregamento volumétrico é diferente, pois o potencial elétrico varia com o
aumento da região com carga. Mostre que para uma região esférica, de 
raio R, onde a carga é uniformente distribuída (  = cte,) no volume, temos:
23( )
5
QU Q k
R

(Esfera Isolante )
Densidade de Enegia Elétrica: Onde está localizada a 
Energia Elétrica da esfera carregada? 
1)-Considere uma casca esférica condutora carregada com carga final, Q. 
Mostramos que esta configuração de cargas, gera Campo Elétrico no espaço
r.r dr dr
Mostramos que esta configuração de cargas, gera Campo Elétrico no espaço 
vizinho a ela. 
Onde e Como esta armazenada a energia?
2) - Ao carregarmos algum corpo (metálico ou isolante) com carga Q, dizemos que 
existe uma energia potencial elétrica, nesta configuração de cargas. 
R
Energia deverá estar no Campo Elétrico. Como podemos expressá-la em função 
do campo? Já que campo é a entidade mais fundamental do eletromagnetismo e 
onde se inventaram inúmeras formas de calculá-lo? 
Energia é uma quantidade escalar enquanto campo é vetorial! Além disso, 
campo é uma função de ponto, logo, em torno de cada ponto onde exista E, deverá eS
Q dS 
existir energia potencial. 
Definir densidade volumétrica de energia em torno de um ponto, como:
( ) ( )dU r u r  ( )U u r dV  2Uma possível escolha para a relação entre 
2( )
QE r k r
r
  2
0
1U(R) 
8
Q
R
( ) Eu rdV
  ( )E
V
U u r dV  2( ) ( ) Eu r E rdensidade volumétrica e o campo elétrico 
é: (alfa uma constante a ser determinada)
Verificar para a esfera condutora carregada: 0 : ( ) 0E r R 
R0 0
( ) ( ) ( )
R
E E E
R
U u r dV u r dV u r dV
 
     2 ( )
R
U E r dV

   2 241 ( ) 4
R
U kQ r dr
r
 

  
Comparação com o resultado obtido por integraçãoComparação com o resultado obtido por integração
2
2
1( ) ( ) 4
R
U R kQ dr
r


  2
0 0
2 1( ) 
8
QU R
R

    0
2 1   
2
0
1( ) ( ) 
2E
u r E r
Sistemas de armazenamento de cargas ou energia eletrostática, através de diferenças de 
potenciais entre dois condutores. Podem tambem ser usados em sintonização de frequencias 
de operação(rádios)
Outras Aplicações
O nosso corpo não é um condutor perfeito e, portanto, existe campos
t i i lét i dif t iõ d h
Um eletrocardiograma pode
ou potenciais elétricos em diferentes regiões do corpo humano.
Um eletrocardiograma pode
registrar as atividades
elétricas ocorrendo num dado 
coração humano e sendocoração humano e sendo
importantes em diagnósticos
médicos e prevenção de 
doenças.ç
Situações que envolvem altas quantidades de cargas elétricas 
(descargas elétricas) e altas diferenças de Potencial Elétrico.