AULA 12: Cálculo de volumes: revolução

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CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I 
Aula 12: Cálculo de volumes: revolução 
Unidade IV: Aplicações de integrais definidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
AULA 12: CÁLCULO DE VOLUMES - REVOLUÇÃO 
CÁLCULO DE VOLUMES: REVOLUÇÃO 
1 
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PASSOS 
Unidade IV: Aplicações de integrais definidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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Sólidos de revolução: obtido por meio da rotação de uma área plana em torno de um eixo. 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
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Sólidos de revolução: obtido por meio da rotação de uma área plana em torno de um eixo. 
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Cálculo Diferencial e Integral I 
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Sólidos de revolução: obtido por meio da rotação de uma curva em torno de um eixo. 
Note que qualquer seção 
transversal do sólido gerado é 
um círculo com raio igual a f(x) 
Função que fornece a área da 
seção transversal 
 
𝑽 = 𝑨(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
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Sólidos de revolução: Como calcular o volume? 
Função que fornece a área da seção transversal 
 
𝐴 𝑥 = 𝜋𝑥2 
 
 
Cálculo do volume 
 
 𝜋𝑥2𝑑𝑥 = 𝜋
4
0
𝑥3
3
 
4
0
=
64
3
𝜋 
f(x) = x 
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Função que fornece a área da seção transversal 
 
𝐴 𝑦 = 𝜋𝑦2 
 
 
Cálculo do volume 
 
 𝜋𝑦2𝑑𝑥 = 𝜋
4
0
𝑦3
3
 
4
0
=
64
3
𝜋 
f(x) = x 
Sólidos de revolução: Como calcular o volume? 
Unidade IV: Aplicações de integrais definidas 
Cálculo Diferencial e Integral I 
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Calcule o volume do sólido gerado pela revolução de 𝒇 𝒙 = 𝒙 (entre 0 e 4) em x 
Função que fornece a área da seção transversal 
 
𝐴 𝑥 = 𝜋 𝑥
2
= 𝜋𝑥 
 
Cálculo do volume 
 
 𝜋𝑥𝑑𝑥 = 𝜋
4
0
𝑥2
2
 
4
0
=
16
2
𝜋 = 8𝜋 𝑢. 𝑣. 
xxf )(
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Calcule o volume do sólido gerado pela revolução de 𝒇 𝒙 = 𝒙 (entre 0 e 4) em y 
Função que fornece o raio do círculo 
𝑓 𝑦 = 𝑦2 
Função que nos fornece a área da seção 
𝐴 𝑦 = 𝜋𝑦2
2
= 𝜋𝑦4 
 
Cálculo do volume 
 
 𝜋𝑦4𝑑𝑦 = 𝜋
2
0
𝑦5
5
 
2
0
=
32
5
𝜋 𝑢. 𝑣. 
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Sólidos de revolução mais complexos 
Sólido de revolução em torno do eixo x 
gerado pela região delimitada pelas 
funções 
 
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏 e 𝐠 𝒙 = 𝟓 
 
5)( xg
1)( 2  xxf
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Sólidos de revolução mais complexos 
5)( xg
1)( 2  xxf Sólido de revolução em torno do eixo x gerado 
pela região delimitada pelas funções 
 
𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟏 e 𝐠 𝒙 = 𝟓 
 
Como definir o volume? 
O volume final será obtido pela diferença entre o 
volume gerado por g(x) e f(x). 
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Como definir o volume? 
O volume final será obtido pela diferença entre o 
volume gerado por g(x) e f(x) 
 
Quais os limites? 
Sólidos de revolução mais complexos 
5)( xg
1)( 2  xxf
Serão definidos pela interseção entre g(x) e f(x). 
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Quais os limites? 
Serão definidos pela interseção entre g(x) e f(x) 
Igualando as funções 𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟓 
 
Portanto 𝑥 = ±2 
Cálculo do volume 
𝑉 = 𝜋52𝑑𝑥 − 𝜋(𝑥2 + 1)2𝑑𝑥
2
−2
2
−2
 
Sólidos de revolução mais complexos 
5)( xg
1)( 2  xxf
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Cálculo do volume 
 
𝑉 = 𝜋52𝑑𝑥 − 𝜋(𝑥2 + 1)2𝑑𝑥
2
−2
2
−2
 
 
𝑉 = 25𝜋 𝑑𝑥 − 𝜋 𝑥4 + 2𝑥2 + 1𝑑𝑥
2
−2
2
−2
 
 
Sólidos de revolução mais complexos 
5)( xg
1)( 2  xxf
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Cálculo do volume 
 
𝑉 = 25𝜋𝑥 
2
−2
− 𝜋(
𝑥5
5
+
2𝑥3
3
+ 𝑥) 
2
−2
 
𝑉 = 25𝜋𝑥 
2
−2
− 𝜋(
𝑥5
5
+
2𝑥3
3
+ 𝑥) 
2
−2
 
𝑉 = 100𝜋 − 2(
32𝜋
5
+
16𝜋
3
+ 2𝜋) 
 
Sólidos de revolução mais complexos 
5)( xg
1)( 2  xxf
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Cálculo do volume 
 
𝑉 = 100𝜋 − 2(
32𝜋
5
+
16𝜋
3
+ 2𝜋) 
𝑉 = 𝜋 100 −
64
5
−
32
3
− 4 
𝑉 =
𝜋
15
1500 − 192 − 160 − 60 
𝑉 =
1008𝜋
15
 u.v 
Sólidos de revolução mais complexos 
5)( xg
1)( 2  xxf
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Construir sólidos de revolução não costuma ser tarefa fácil e exige certa habilidade. 
O uso do GeoGebra poderá ajuda-lo(a) e muito nesta tarefa. 
www.geogebra.org 
 
. 
 
Dicas, textos, vídeos e cursos: 
Assuntos da próxima aula: 
1. Cálculo de comprimento de curvas 
planas.