AULA 6 INTEGRAIS TRIPLAS

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Aula 6 – Integral Tripla 
 
NOME DA AULA – AULA1 
NOME DA DISCIPLINA 
Conteúdo Programático desta aula 
 
 Definição de Integral Tripla; 
 Propriedades de Integral Tripla; 
 Interpretação geométrica de Integral de 
Tripla; 
 Integração Tripla: Mudança de Variáveis 
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Integração Tripla 
Definição. Podemos relacionar as integrais simples com funções de uma 
variável, as duplas com funções de duas variáveis, portanto, quando 
temos uma Integral Tripla, esta está relacionada a uma função de três 
variáveis [ f(x,y,z) ]. 
 
 w = f(x,y,z) 
Variável dependente 
Variáveis independentes 
- Domínio em R3 
- Imagem em R4 (hiper-espaço) 
Características 
de f(x,y,z) 
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Integração Tripla 
 Considere a figura: 
 
 Suponha os volumes elementares 
 do DVi = DxiDyiDzi domínio D em 
 três dimensões (R3): 
 
 Temos como base cubos que 
 somados formam aproximadamente 
 o volume do sólido. Assim sendo: 
 



n
i
iiiin vzyxfS
1
).,,(
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Integração Tripla 
 Calculando o limite quando n tende ao um número infinitamente 
grande e positivo (uma infinidade de pequenos cubos), tem-se a 
integral tripla: 
 
  DnnT dzdydxzyxfSI ..).,,(lim
  DD dVzyxfdzdydxzyxf ).,,(..).,,(
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Integração Tripla: Propriedades 
 
 Segue as seguintes propriedades: 
 
  DD dVzyxfKdVzyxfK ).,,(.).,,(.
1ª) 
2ª) 




DD
D
dVzyxgdVzyxf
dVzyxgzyxf
).,,().,,(
)].,,(),,([
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Integração Tripla: Propriedades 
 
 Segue as seguintes propriedades: 
 
  DD dxdzdyzyxfdzdydxzyxf ..).,,(..).,,(
3ª) 
4ª) 




2D1D
D
dVzyxfdVzyxf
dVzyxf
).,,().,,(
)].,,(
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Integração Tripla: Exemplo 1 
 Calcular o volume do sólido limitado pelas superfícies cujas 
equações são x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 e z = 1 + x + y . 
 
 Solução: Seja volume escrito da forma 
 
 D = {(x, y, z) ∈ R3 / 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 1 + x + y}. 
 
 Temos então a integral tripla 
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Integração Tripla: Exemplo 1 
Resolvendo a integral tripla 
 
 
Temos 
 
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Integração Tripla: Exemplo 2 
 Calcular a integral 
 
 
 Solução: 
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Integração Tripla: Mudança de Variáveis 
 As coordenadas retangulares (ou cartesianas) e cilíndricas do ponto P 
estão relacionados por: 
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Integração Tripla: Mudança de variáveis 
 
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Integração Tripla: Mudanças de Variáveis 
 Assim sendo, feita a devida transformação temos 
 
 
 
 
 
 
 Lembrar: 
 
 Esta mudança é realizada com base em uma transformação e parte 
desta transformação é dada pelo determinante do Jacobiano da 
transformação T. 
 
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Integração Tripla: Mudanças de Variáveis 
 Calcular a integral de onde W é o sólido limitado 
 
 
 
 pelas superfícies 
 
 
 Solução: Sendo (x,y,z)  W o sólido limitado pelas superfícies acima 
temos que 
 
 
 
 
 
onde D é a projeção de W no plano XY. 
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Integração Tripla: Mudanças de Variáveis 
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Integração Tripla: Mudanças de Variáveis 
 De fato, a interseção das superfícies é a curva cuja equação¸ obtêm-se 
fazendo 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, fazendo a projeção desta curva sobre o plano XY 
obtemos o conjunto 
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Integração Tripla: Mudanças de Variáveis 
 Usando mudança de variáveis cilíndricas observamos que W é a imagem 
do conjunto Q, onde 
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Integração Tripla: Mudanças de Variáveis 
 Assim sendo, 
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