calculo integrais tripla

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Cálculo Diferencial e 
Integral III
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Carlos Henrique de Jesus
Revisão Textual:
Prof. Me. Luciano Vieira Francisco
Integrais Múltiplas: Integral Tripla
• Introdução
• Integrais Triplas
• Propriedades das Integrais Triplas
• Mudança de Coordenadas
• Coordenadas Cilíndricas
• Coordenadas Esféricas
 · Introduzir o conceito de integral tripla de funções de três variáveis;
 · Apresentar o teorema de Fubini para o cálculo de integrais triplas 
como integrais iteradas;
 · Trabalhar a mudança de variáveis em coordenadas cilíndricas e 
esféricas;
 · Apresentar diversidade de exemplos e aplicações de integrais triplas.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Integrais Múltiplas: Integral Tripla
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas: 
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você 
também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão 
sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Integrais Múltiplas: Integral Tripla
Introdução
Para que seja possível calcularmos volumes de sólidos mais complexos dos quais 
estamos acostumados à visualização no dia a dia, necessitamos do conhecimento 
das integrais triplas. Aplicamos as integrais triplas em cálculo de massa, centro de 
massa ou momentos de inércia de um sólido. Assim, nesta Unidade, os conceitos 
de integral simples serão estendidos para integrais triplas.
Integrais Triplas
O procedimento utilizado para definir integrais triplas é análogo ao empregado 
em integrais duplas. Assim, considere uma função f de três variáveis que é contínua 
sobre uma região sólida e limitada Q do espaço cartesiano. Então, cobre-se Q por 
uma rede de cubos, formando uma partição interna que contém todos os cubos que 
estejam, inteiramente, contidos em Q, tal como indica a seguinte Figura:
Figura 1.
Fonte: Larson e Edwards, 2010
O volume do i-ésimo cubo é ΔVi = ΔxiΔyiΔzi.
A norma ||Δ|| da partição é a medida do comprimento da maior diagonal 
dos n cubos da partição. Em cada cubo, elege-se um ponto (xi, vi, zi) e se forma a 
soma de Riemann:
f x y z Vi i i
i
n
i, , .( )∆
=
∑
1
Figura 2
Fonte: Larson e Edwards, 2010
8
9
Tomando o limite, quando ||Δ|| → 0, chegamos à seguinte definição:
Definição 1:
Se f é uma função contínua sobre uma região sólida limitada Q, então a integral 
tripla de f sobre Q se define como
f f Vi
i
n
Q
(x,y,z) dV lim (x ,y ,z ) .i i i= →
=
∑∫∫∫ || ||∆ ∆0
1
Sempre que este limite exista. 
O volume da região sólida Q é dado por: 
V Q dV
Q
( ) = ∫∫∫ .
As figuras a seguir ilustram a aproximação do volume de uma região sólida, 
encontrando a soma dos volumes de prismas retangulares representativos da 
partição que, no limite da soma de Riemann, tendem ao valor exato do volume 
desse sólido. 
Figura 3
Fonte: Larson e Edwards, 2010
Propriedades das Integrais Triplas
São análogas às propriedades das integrais duplas:
I. 
k (x,y,z) dV k (x,y,z) dV;f f
QQ
= ∫∫∫∫∫∫
II. 
[ (x,y,z) g(x,y,z)]dV (x,y,z) dV g(x,y,z) dV;f f
QQQ
± = ± ∫∫∫∫∫∫∫∫∫
III. 
f f f
QQQ
(x,y,z) dV (x,y,z) dV (x,y,z) dV.= + ∫∫∫∫∫∫∫∫∫
21
Na terceira propriedade, Q é a reunião de duas sub-regiões sólidas que não se 
sobrepõem, Q1 e Q2. Se a região sólida Q é simples, a integral tripla 
pode ser calculada com integrais iteradas, utilizando-se as seis possíveis ordens de 
integração:
9
UNIDADE Integrais Múltiplas: Integral Tripla
dxdydz, dxdzdy, dydxdz, dydzdx, dzdxdy, dzdydx
Segue a versão do teorema de Fubini para integrais triplas: 
Teorema:
Se f é contínua em uma região sólida Q, assim definida:
a < x < b, h1(x) < y < h2(x) e g1(x,y) < z < g2(x,y).
Onde g1, g2, h1, h2 são funções contínuas. Então:
f x y z dV f x y z dV
g x y
g x y
h x
h x
a
b
Q
( , , ) ( , , )
( , )
( , )
( )
( )
= ∫∫∫∫∫∫
2
2
1
2
Exemplo 1:
Calcule se Q = {(x,y,z) ∈ R3 : -1 < x < 1, 3 < y < 4, 0 < z < 2}:
Resolução:
Colocaremos os limites de integração e a integral tripla de forma iterada:
f x y z dV f x y z dV
g x y
g x y
h x
h x
a
b
Q
( , , ) ( , , )
( , )
( , )
( )
( )
= ∫∫∫∫∫∫
2
2
1
2
xy yz dx dy dz
x
x
y
y
z
z 2 3
1
1
3
4
0
2
+( )
=−
=
=
=
=
=
∫∫∫ . .
x y
xyz dy dz
y
y
z
z 2 2 3
1
1
3
4
0
2
2
+





 −=
=
=
=
∫∫ .
1
2
1
1
2
1
2 2
3
2 2
3
3
4
0
y
yz
y
yz dy dz
y
y
z
z
+





 −
−
−











=
=
= ∫
( )
.
==
∫
2
y
yz
y
yz dy dz
y
y
z
z 2 3
2
3
3
4
0
2
2 2
+ − +











=
=
=
=
∫∫ .
2 3
3
4
0
2
yz dy dz
y
y
z
z
=
=
=
=
∫∫ .
2
2
2 3
3
4
0
2 2 3
3
4
0
2y z
dz y z dz
z
z
z
z




 ⇒ ( ) ⇒=
=
=
=
∫ ∫. .
4 3 16 92 3 2 3
0
2 3 3
0
2
z z dz z z dz
z
z
z
z
−( )  ⇒ −( ) ⇒=
=
=
=
∫ ∫. .
7 3
0
2
z dz
z
z
.
=
=
∫
7
4
7 2
4
7 0
4
7 16
4
28
4
0
2 4 4z
⇒ − ⇒ ⇒
. . .
.
10
11
Importante!
Agora é a sua vez! Tente calcular a integral tripla a seguir e note que como apenas invertemos 
a ordem dos limites de integração, o resultado deve ser o mesmo, ou seja, a consequência 
dessa “nova” integral tripla é 28, concorda?
xy yz dy dz dx
y
y
z
z
x
x 2 3
3
4
0
2
1
1
+( )
=
=
=
=
=−
=
∫∫∫ . .
Refl ita
Exemplo 2:
Calcule o volume do sólido limitado pelos paraboloides z = x2 + y2 e z = 8 - x2 - y2.
Resolução:
Inicialmente, calcularemos a interseção das superfícies:
z x y
z x y
x y x y x y x y
= − −
= +
⇒ + = − − ⇒ + = ⇒ + =
8
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
8 2 8 4{ ( ) .
Logo, a interseção dos paraboloides é a circunferência x2 + y2 = 4, situada no 
plano x = 4; vejamos:
Figura 4
Fonte: uff.br
Podemos, então, descrever o sólido W por:
W = {(x,y,z) ∈ R3 : (x,y) ∈ Dxy e x
2 + y2 < z < 8 - x2 - y2}.
Onde Dxy é o disco x
2 + y2 < 4. E como V W dVW( ) = ∫∫∫ , temos que:
V W dz dxdy z
x y
x y
D x y
x y
Dxy x
( ) = 



= ]

+
− −
+
− −
∫∫∫ 2 2
2 2
2 2
2 28 8
yy xy
dxdy x y dxdy
D∫∫ ∫∫= − + 8 2
2 2( ) .
Como se vê, recaímos em uma integral dupla. 
Agora, para calcular a integral dupla é conveniente passarmos às coordena-
das polares.
11
UNIDADE Integrais Múltiplas: Integral Tripla
Daí, como x2 + y2 = r2 e para cobrir o disco temos 0 2
0 2
≤ ≤
≤ ≤{ θ πr , portanto:
V W r rdrd r rdr r rdr
Dx
( ) [ ] ( ) ( )8 2 0 2 2 8 22 2
0
2
2
0
2
0
2
− = −





 = −∫ ∫∫θ π
π
yy
r r r r u
∫∫∫
∫= − = − 




= − =28 2 2 4
1
2
2 16 8 163 2 4
0
2
0
2
π π π π ν( ) ( ) . .
Analogamente ao que fizemos na integração dupla, restringimos a atenção a 
funções contínuas a certos tipos de região sólida, fechadas e limitadas, conforme 
estabelecemos os limites de integração das integrais iteradas.
Região sólida simples E tipo I:
Figura 5
Fonte: Stewart, 2012
Neste caso, E = {(x,y,z) ∈ R3 : (x,y) ∈ D,u1(x,y) < z < u2(x,y), em que D é a 
projeção de E sobre o plano XY. Observe que o limite superior do sólido E é a 
superfície de equação z = u2(x,y) e o limite inferior de E é a superfície de equação 
z = u1(x,y). Neste caso, temos:
f x y z dV f x y z dz dA
u x y
u x y
DE
( , , ) ( , , ) .
( , )
( , )
= 


∫∫∫∫∫∫ 1
2
.
Em particular, se a região plana D é do tipo I – para a integração dupla –, temos que: 
Figura 6
Fonte: Stewart, 2012
E = {(x,y,z ∈ R3 : a < x < b, g1(x) < y < g2 (x), u1(x,y) < z < u2(x,y)}.
12
13
E a integral tripla fica:
f x y z dV f x y z dzdydx
u x y
u x y
g x
g x
a
b
E
( , , ) ( , , ) .
( , )
( , )
( )
( )
= ∫∫∫∫∫
1
2
1
2
∫∫
Por outro lado, se a região plana D é do tipo II – para integração dupla –, temos:
Figura 7
Fonte: Stewart, 2012
E = {(x,y,z) ∈ R3 : c < y < d, h1(y) < x < h2 (y), u1(x,y) < z < u2(x,y)}.
E a integral tripla fica:
f x y z dV f x y z dzdydx
u x y
u x y
h y
h y
c
d
E
( , , ) ( , , ) .
( , )
( , )
( )
( )
= ∫∫∫∫∫
1
2
1
2
∫∫
Região sólida simples E tipo II:
E = {(x,y,z) ∈ R3 : (y,z) ∈ D, u1 (y,z) < x < u2 (y,z)}
Figura 8
Fonte: Stewart, 2012
Neste caso, a integração tripla fica da seguinte forma:
f x y z dV f x y z dx dA
u y z
u x y
DE
( , , ) ( , , )
( , )
( , )
= 


∫∫∫∫∫∫ 1
2
Onde a região plana D é a projeção de E sobre o plano YZ. 
Igualmente neste caso, D pode ser do tipo I ou II para a integração dupla. 
Região sólida simples E tipo III:
.
13
UNIDADE Integrais Múltiplas: Integral Tripla
Onde a região plana D é a projeção de E sobre o plano XZ.
Figura 9
Fonte: Stewart, 2012
Neste caso, a integração tripla fica como:
f x y z dV f x y z dy dA
u y
u x z
DE
( , , ) ( , , )
( ,z)
( , )
= 


∫∫∫∫∫∫ 1
2
.
Da mesma forma, a região D pode ser do tipo I ou II para a integração dupla.
Exemplo 3:
Calcular a integral iterada de x z dVE
2 2+∫∫∫ , se E é o sólido limitado pelo 
paraboloide y - x2 + z2 e o plano y = 4.
Resolução:
O sólido E pode ser visto na Figura a seguir. Se considerarmos como uma região 
sólida do tipo I, então é necessário ponderar a sua projeção DI sobre o plano XY, 
que é a região parabólica indicada em tal Figura. 
Figura 10
Fonte: Stewart. 2012
Observe que a interseção do paraboloide y - x2 + x2 e o plano z = 0 correspondem 
à parábola y - x2.
De y - x2 + x2 obtemos z y x= ± − 2 , de modo que a superfície-limite inferior 
de E é z y x= − − 2 e a superfície superior é z y x= − 2 . Assim, a descrição de 
E como uma região do tipo I é:
14
15
E x y z x x y y x z y x= ∈ − ≤ ≤ ≤ ≤ − − ≤ ≤ −{ }( , , ) : , ,R3 2 2 22 2 4
.
E obtemos:
x z dV x z dzdydx
E y x
y x
x
2 2 2 2
2
4
2
2
2
2
+ = +∫∫ ∫∫∫ − −
−
− .
Ocorre que tal expressão, embora correta, é muito difícil de calcular. Desse modo, 
consideraremos E como uma região sólida do tipo III, pois, dessa forma, a projeção 
D2 sobre o plano XZ é o disco x
2 + z2 < 4, tal como indica a próxima Figura:
D�
0
Z
-2 2
x� + z� = �
x
Figura 11
Fonte: Stewart, 2012
Então, a fronteira esquerda de E é o paraboloide y = x2 + z2 e a fronteira à 
direita é o plano y = 4; tal que se tomarmos u1(x,z) = x
2 + z2 e u2(x,z) = 4, a 
equação da integral tripla se tornará:
x z dV x x dy dA x z x z d
E x zD D
2 2 2 24 2 2 2 2
2 2
3 3
4+ = +



= − −( ) +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫+ AA.
Mesmo que possamos escrever 4 2 2 2 2
4
4
2
2
2
2
− −( ) +
− −
−
− ∫∫ x z x z dzdxx
x
, ainda 
assim é mais fácil, neste momento, trabalhar em coordenadas polares, tal como 
fizemos em Exemplo anterior.
x z dV x z x z dA r r rdrdq
d
E D
p2 2 2 2 2 2 2
0
2
0
2
4 4
3
+ = ( ) + = ( ) 
=
∫∫∫ ∫∫ ∫∫- - -
qq r r dr p
r r pp
4 2
4
3 5
128
15
2 4
0
2
2
2 3 5
0
2
- - .( ) = 













=∫∫
15
UNIDADE Integrais Múltiplas: Integral Tripla
Importante!
O passo mais difícil para o cálculo de integrais triplas é estabelecer uma expressão para a 
região de integração. Vale lembrar que os limites de integração na integral interna contêm, 
no máximo, duas variáveis; os limites de integração na integral do meio contêm, no máximo, 
uma variável; e os limites de integração da integral externa contêm constantes, apenas.
Importante!
Exemplo 4:
Expressar a integral iterada f x y z dzdydx
yx
, ,( )∫∫∫ 000
1 2
 como uma integral tripla, 
explicitando o sólido E, e depois a reescrever como integral iterada, em outra 
ordem, integrando primeiro em relação a x, depois a z e, por fim, a y.
Resolução:
Podemos escrever f x y z dzdydx f x y z dV
yx
E
, , , ,( ) = ( )∫∫∫ ∫∫∫000
1 2
, onde:
E = {(x,y,z) ∈ R3 : 0 < x < 1, 0 < y < x2, 0 < z < y}
Esta descrição de E nos possibilita indicar as projeções sobre os três planos 
coordenados, como se segue:
1. Plano XY: D1 = {(x,y) : 0 < 1, 0 < y < x
2} x y y y x, : ,( ) ≤ ≤ ≤ ≤{ }0 1 1 ;
2. Plano YZ: D2 = {(x,y) : 0 < y < 1, 0 < z < y};
3. Plano XZ: D3 = {(x,y) : 0 < y < 1, 0 < z < x
2}.
Assim, podemos representar as projeções de E nos planos coordenados, vejamos:
0
1
y = x�
z = y
x
y z z
y x
z = x�
0 11 10
D�D�D�
1
Figura 12
Fonte: Stewart, 2012
Como resultado de esboçar as projeções, podemos delinear o sólido E como se 
vê na seguinte Figura:
16
17
x = 1
0
x 
y
z
1
1
y =
z = y
x� 
Figura 13
Fonte: Stewart, 2012
Daí, vemos se tratar de um sólido limitado pelos planos z = 0, x = 1, y = z e o 
cilindro parabólico y - r2 ou x = y .
Se integrarmos primeiro com respeito a x, depois a z e, por fim, a y, usaremos 
a descrição alternativa do sólido E = {(x,y,z) : 0 < x < 1, 0 < z < y, y < x < 1}.
Portanto: f x y z dV f x y z dxdzdy
y
y
E
, , , , .( ) = ( )∫∫∫∫∫∫
1
00
1
Mudança de Coordenadas
Seja W uma região do espaço e x,y e x as seguintes funções: x,y,z : W* → R.
Onde x = x(u,v,w), y = y (u, v, w) e z = z(u,v,w) são funções contínuas e com 
derivadas parciais contínuas em um paralelepípedo aberto R tal que W ⊂ R. Essas 
três funções determinam uma transformação do espaço UVW no espaço XYZ. De 
fato, T : W* → R3 é tal que T(u,v,w) = (x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)).
A transformação T, que é injetora, pode também ser representada para todo 
(u,v,w) ∈ W* por:
x x u v w
y y u v w
z z u v w
= ( )
= ( )
= ( )





, ,
, ,
, ,
.
17
UNIDADE Integrais Múltiplas: Integral Tripla
O determinante jacobiano de T é denotado e definido por:
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
(x,y,z)
(u,v,w)
x
u
x
v
x
w
y
u
y
v
y
w
z
u
z
v
z
w
Onde as derivadas parciais são calculadas no ponto . 
Teorema:
Sejam W e W* regiões elementares no espaço, T uma transformação linear 
de classe C1 e injetora em W*; suponha que T(W*) = W Então, para toda função 
integrável f sobre W, temos:
f x y z dxdydw f u v w
x y z
u v w
dudvdw
WW
, , , ,
, ,
, ,
.
*( ) = ( )
∂ ( )
∂ ( )∫∫∫∫∫∫
Onde f(u,v,w) = f(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) e 
∂ ( )
∂ ( )
x y z
u v w
, ,
, ,
 é o valor absoluto do 
determinante jacobiano.
Coordenadas Cilíndricas
Se P = (x,y,z) é um ponto do espaço XYZ, suas coordenadas cilíndricas são (r,q,z), 
onde (r,q) são coordenadas polares da projeção de P no plano XY e definidas por:
x r
y r sen
z z
=
=





cos
-
.
θ
θ
Ou, explicitamente, r x y= +2 2 z = z e:
θ π
π
=





 >
+ <
+ 





arctg
y
x
sex y
arctg
y
z
sex
arctg
y
x
sex
, ,
,
,
0
0
2 >> <








 0 0ey
.
18
19
Se x = 0, então θ
π
=
2
 quando y > 0 e θ
π
=
3
2
 quando y < 0.
Se x = y = 0, q não é definido.
(x, y, z)
(x, y, 0)
rθ
Figura 14
Fonte: Vilches e Corrêa, 2005
Tal transformação é injetora no subconjunto:
r z r z, , : , , .θ θ θ π> < +{ }∈ −∞ ∞( )0 20 0
E o jacobiano dessa transformação é: 
∂ ( )
∂ ( )
=
x y z
r z
r
, ,
, ,
.
θ
Nesse sistema de coordenadas, a região sólida mais simples é um bloco 
cilíndrico determinado por: r1 < r < r2, q1 < q < q2, z1 < z < z2, conforme 
podemos ver nesta figura: 
Figura 15
Fonte: Larson e Edwards, 2010
Para expressar uma integral tripla por meio das coordenadas cilíndricas, seja E 
a região sólida cuja projeção D sobre o plano XY pode ser escrita em coordenadas 
polares. Então:
E x y z x y R h x y z h x y
D r g
= ( ) ∈ ( ) ∈ ( ) ≤ ≤ ( ){ }
= ( ) ≤ ≤
, , : , , , ,
, : ,

3
1 2
1 2 1θ θ θ θ θθ θ( ) ≤ ≤ ( ){ }r g2 .
19
UNIDADE Integrais Múltiplas: Integral Tripla
E a integral tripla, com o uso do jacobiano de mudança de variáveis, torna-se:
f x y z dV f r r z
E h r r
h r r
, , cos , ,
cos ,
cos ,
( ) = ( )∫∫∫ ( ) θ θθ θ
θ
sen
sen
sen
1
2 θθ
θ
θ
θ
θ
θ
( )
( )
( )
∫∫∫ g
g
rdzdrd
1
2
1
2
.
Exemplo 5:
Determinar o volume do sólido limitado por:
z x y= − −1 2 2 e z x y+ = +1 2 2 .
Resolução:
Vemos que a região sólida W é dada por:
W x y z x y D x y z x y= ( ) ∈ ( ) ∈ + − ≤ ≤ − +{ }, , : , , .3 2 2 2 21 1
Onde D, no plano XY é limitada por x2 + y2 = 1, tal como indica esta Figura:
Figura 16
Fonte: Vilches e Corrêa, 2005
Usando coordenadas cilíndricas, temos que o novo sólido é definido por:
W r z r r z r* , , : , , .= ( ) ∈ ≤ ≤ ≤ ≤ − ≤ ≤ −{ }θ θ π3 20 1 0 2 1 1
Logo, o volume é dado pela integral tripla que pode ser resolvida pelas integrais 
iteradas como se segue:
V W dxdydz rdrd dz rdz d
r
r
W
( ) = = =















−
−
∫∫∫∫ θ θ
π
1
1
0
2
0
1 2
∫∫∫∫∫∫
∫ ∫= 







 = − − −( )


−
W
r
r
dr
r z d r r r d] 1
1
0
2
2
0
2
2
1 1
π π
θ θθ
π π






= − − −( )

 = − − −( )
∫∫
∫
0
1
0
1
2
0
1
2
0
2 1 1 2 1 1
dr
r r r dr r r dr r dr
11
0
1
∫∫





.
20
21
Contudo, r dr
r
r−( ) = − ]




 = −∫ 1 2
1
20
1 2
0
1
 e r r dr1
2
0
1
−∫ podemos resolver 
usando a substituição s r ds rdr rdr ds= − ⇒ = − ⇒ = −1 2
1
2
2 .
r r dr sds s
V W
a
1 2
1
2
1
2
2
3
1
2
2
3
1
30
1
1
0
2
1
0− = − = −





 = − −





 =
( )
∫ ∫ ]
== − −










 =





 =2
1
3
1
2
2
5
6
5
3
π π
π
u v. .
Coordenadas Esféricas
Seja P(x,y,z) um ponto no espaço XYZ; suas coordenadas esféricas são (p,q,f) 
onde r é a distância do ponto P à origem, q é o ângulo formado pelo eixo positivo 
X e o segmento de reta que liga (0,0,0) a (x,y,0) e f é o ângulo formado pelo eixo 
positivo Z e o segmento de reta que liga P à origem – lembre-se de que o sentido 
positivo de medida de ângulo é anti-horário.
Então:
x
y
z
= ( ) ( )
= ( ) ( )
= ( )





ρ θ φ
ρ θ φ
ρ φ
cos
cos
.
sen
sen sen
Onde: ρ θ π= + + > ≤ ≤x y z2 2 2 0 0 2, o que define uma região no espaço 
rqf Confira a seguinte Figura:
θ
Φ
(x, y, 0)
(x, y, z)
Figura 17
Fonte: Vilches e Corrêa, 2005
21
UNIDADE Integrais Múltiplas: Integral Tripla
E o jacobiano dessa transformação é:
∂ ( )
∂ ( )
= − ( )x y z, ,
, ,ρ θ φ
ρ φ2sen
Importante!
Verifique você mesmo tal resultado por meio das derivadas parciais da transformação e do 
determinante jacobiano.
Importante!
A representação da partição de Riemann pode ser visualizada na seguinte Figura:
Figura 18
Fonte: Larson e Edwards, 2010
Nesse sistema de coordenadas, a região mais simples é um bloco esférico 
determinado por: ρ θ φ ρ ρ ρ θ θ θ φ φ φ, , : , ,( ) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤{ }1 1 1 2 1 2
Onde: r1 > 0, q2 - q1 < 2p e 0 < f1 < f2 < p, tal como mostra a Figura anterior. Daí:
f x y z dV f r
x y z
d d d
W W
, , , ,
, ,
, ,
.
*( ) = ( )
∂ ( )
∂ ( )∫∫∫ ∫∫∫ θ φ ρ θ φ ρ θ φ
E a integral tripla, com o uso do jacobiano de mudança de variáveis, tornando-se:
f x y z dV f sen sen sen
W
, , cos , , cos( ) = ( )∫∫∫∫∫∫ ρ φ θ ρ φ θ ρ φρ
ρ
φ
φ
θ
θ
1
2
1
2
1
2 ρρ φ ρ φ θ2sen d d d .
Essa fórmula pode se modificar para empregar diferentes ordens de integração 
e se generalizar a regiões com limites e cotas variáveis. 
Como as integrais triplas em coordenadas cilíndricas, as integrais triplas em 
coordenadas esféricas são calculadas por meio de integrais iteradas. Da mesma 
forma, podemos visualizar uma ordem determinada de integração, contemplando 
a integral iterada em termos dos três movimentos de varredura, cada um dos quais 
agregando uma dimensão do sólido. Por exemplo:
22
23
ρ φ ρ φ θ
ππ
2
0
3
0
4
0
2
sen d d d .
−
∫∫∫
Que pode ser ilustrado na seguinte Figura:
Figura 19
Fonte: Larson e Edwards, 2010
Exemplo 6:
Encontre o volume do sólido limitado superiormente pelo cone z x y= +2 2 e 
inferiormente pela esfera x2 + y2 + z2 = z, conforme a Figura a seguir:
Figura 20
Fonte: Stewart, 2012
Resolução:
Pelas informações das superfícies limitantes do sólido, usaremos coordenadas 
esféricas. Para tal, devemos transformar as equações cartesianas em esféricas. 
Observe a esfera ainda em coordenadas cartesianas:
x y z z x y z z x y z2 2 2 2 2 2 2 2
2
0
1
2
1
4
+ + = ⇒ + + − = ⇒ + + −




 = .
Portanto, a esfera passa pela origem, tem centro 0 0
1
2
,




 e raio 
1
2
.
Mas a equação da esfera em coordenadas esféricas é:
r2 = rcosf ⇒ r = cosf.
A equação do cone pode ser escrita em coordenadas esféricas como:
ρ φ ρ φ θ ρ φ θ ρ φcos cos cos .= ( ) ( ) + ( ) ( ) =2 2 2 2 2 2sen sen sen
23
UNIDADE Integrais Múltiplas: Integral Tripla
Logo, ρ φ ρ φ φ φ φ
π
cos cos= ⇒ = ⇒ =sen sen
4
. Portanto, a descrição do sólido é:
W = ( ) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤




ρ θ φ θ π φ
π
ρ φ, , : , , cos0 2 0
4
0
Então, o volume do sólido W é:
Podemos usar a substituição u = cosf ⇒ du = -senfdf. Portanto:
V W dV sen d d d sen( ) = = = 




∫∫∫∫ ρ φ ρ φ θ φ
ρ φ
π
πφ
π
2
3
0
0
4
0
2
00
4
3
]cos
cos
00
2
0
4
0
2
3 3
0
41
3
2
3
π
π
π
π
φ θ
θ φ φ
π
φ φ φ
∫∫∫∫
∫∫= ( ) = ( )
W
d d
d sen d sen dcos cos∫∫ .
Exemplo 7:
As mudanças de variáveis podem ser de outra ordem, no sentido de encontrar 
uma substituição que facilite a integração e seja possível usar o jacobiano da 
transformação. Vejamos este caso de integração dupla:
Calcule a integral e dAx y x y
R
+( ) −( )∫∫ em que a região R é trapezoidal com vértices 
(1,0), (2,0), (0,-2), (0,-1). 
Como não é fácil integrar a função e(x+y)(x-y) faremos uma mudança de variáveis, 
a qual sugerida pela forma da função. 
u = x + y v = x - y.
Tais equações definem uma transformação T-1 do plano XY no plano UV. A 
transformação (inversa) T do plano UV no plano XY é:
x u v y u v= +( ) = −( )1
2
1
2
.
E o determinante jacobiano se torna, então:
∂ ( )
∂ ( )
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
−
= −
x y
u v
x
u
x
v
y
u
y
v
,
,
.
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
24
25
Para encontrar a região S no plano UV correspondente à região R no plano 
XY, note-se que os lados de R estão sobre as retas:
y = 0, x - y = 2 x = 0 x - y = 1.
Dessa forma, as equações das retas no plano UV são:
u = v v = 2 u = -v v = 1.
Assim, a região S é também trapezoidal com vértices (1,1), (2,2), (-2,2) (-1,1) e 
pode ser descrita por: S = {(u,v) : 1 < v < 2, -v < u < v}.
Figura 21
Fonte: Stewart, 2012
E a integral se torna:
e dA e
x y
u v
dudv
e
x y x y
R
u v
S
u v
v
v
+( ) −( )
−
∫∫ ∫∫
∫
=
∂ ( )
∂ ( )
= 





/ /
/
,
,
1
211
2
1
2
1
1
21
2
1
2
1
2
∫ ∫ ∫= 


= −( )
= −
=−
= −dudv ve dv e e vdv
e e
u v
u v
u v/
−− − −( ) 










= −( )




 = −( )1
2
1
2
1 1
2
1
2
3
2
3
4
v
e e e e .
25
UNIDADE Integrais Múltiplas: Integral Tripla
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Introdução às Integrais Triplas, Aula 1
Omatematico.com – professor Grings – introdução às integrais triplas, aula 1, 
disponível em: <https://youtu.be/492T9meZLdA>
https://youtu.be/492T9meZLdA
Aplicações da Integral Tripla
Univesp – Cálculo III – aula 7 – aplicações da integral tripla,disponível em: <https://
youtu.be/YRRT33hmlYg>
https://youtu.be/YRRT33hmlYg
Me Salva! ITT01 – Integral Tripla – Introdução
Me Salva! ITT01 – integral tripla – introdução, disponível em: <https://youtu.be/
XFGEsZoKvJA>
https://youtu.be/XFGEsZoKvJA
Fugindo da DP – Integrais Triplas – Cálculo III # 8 (Aplicações)
Fugindo da DP – integrais triplas – Cálculo III # 8 (aplicações), disponível em: 
<https://youtu.be/PvvmHKUccXY>
https://youtu.be/PvvmHKUccXY
Me passa aí – Cálculo III – Como Resolver uma Integral Tripla
Me passa aí – Cálculo III – como resolver uma integral tripla, disponível em: 
<https://youtu.be/v-WDA73bhjE>
https://youtu.be/v-WDA73bhjE
Matemática sem Mistérios – Integral Tripla, Parte 1
Matemática sem mistérios – integral tripla, parte 1, disponível em: <https://youtu.
be/QN3MYYjdMaA>
https://youtu.be/QN3MYYjdMaA
 Livros
Cálculo - Volume 2
Ademais, leia o capítulo 15 (p. 422-467) do livro Cálculo, volume 2, de George B. 
Thomas Junior, publicado em São Paulo pela Editora Addison Wesley, em 2004.
26
27
Referências
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. v. 2. 8. ed. Porto Alegre, RS: 
Bookman, 2007. 
BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática: cálculo e análise: 
cálculo diferencial e integral. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
BOULOS, P.; ABUD, Z. I. Cálculo diferencial e integral. 2. ed. São Paulo: 
Pearson Education do Brasil, 2002.
BUFFONI, S. S. O. Cálculo vetorial aplicado. v. 1. Rio de Janeiro: Câmara 
Brasileira de Jovens Escritores, 2004. 
FLEMMING, D. M.; GONCALVES, M. B. Cálculo: funções, limite, derivação, 
integração. 6. ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2007.
LARSON, R.; EDWARDS, B. H. Cálculo 2 de varias variables. 9. ed. Santa Fe, 
México: McGraw-Hill/Interamericana, 2010.
LEITHOLD, L. O cálculo com Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Harbra, 1994.
SIMMONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. v. 1. São Paulo: Pearson 
Makron Books, 2010. 
STEWART, J. Cálculo de varias variables. Transcendentes tempranas. 7. ed. 
Santa Fe, México: Cengage Learning Editores, 2012. 
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: 
Makron Books do Brasil, 1995.
THOMAS JUNIOR, G. B. Cálculo. v. 2. 10. ed. São Paulo: Addison-Wesley, 2004. 
VILCHES, M. A.; CORRÊA, M. L. Cálculo: v. 3. Rio de Janeiro: UERJ, 2005.
27