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1 UNIFACS – Universidade Salvador Disciplina: Cálculo Integral Curso: Engenharias Professora: Ilka R. Freire A Integral Definida – Área de regiões planas A Integral Definida Vamos voltar à questão colocada no texto que introduz o conceito de integral: Calcular a área de uma figura plana. A definição da área de uma figura plana qualquer é feita aproximando-se a figura por polígonos cujas áreas podem ser obtidas pelos métodos da Geometria Elementar e, como já foi citado, está baseada no chamado método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 AC) e aperfeiçoado por Arquimedes ( 287-212 AC). Consideremos y = f(x) 0 uma função contínua em [a,b] e R a região do plano limitada por y = f(x); y = 0; x = a e x = b. O método da exaustão está basicamente descrito a seguir: Seja a = x0 < x1 < x2<...<xn = b uma partição do intervalo [a,b], ou seja, uma divisão de [a,b] em n subintervalos. Consideremos i um ponto qualquer do subintervalo [xi-1, xi ] Seja xi = xi xi-1 e Ri o retângulo de base xi e altura f(i); i = 1, 2, 3, ..., n. A área do retângulo Ri é dada por A(Ri) = f(i) xi. Consideremos agora a soma das áreas de todos os retângulos n 1i iinn2211n xΔ)f(εxΔ)f(ε...xΔ)f(εxΔ)f(εA . A soma das áreas desses pequenos retângulos nos dá uma aproximação cada vez melhor da área procurada. A interpretação geométrica dessas somas nos sugere que a medida que n cresce (xi decresce ) os valores de An se aproximam da área da região R que indicamos por A(R), ou seja, n 1i ii n x)f(εlimA(R) Esta definição de área nos leva à seguinte 2 Definição: Seja f uma função contínua em [a,b] e consideremos uma partição de [a,b]. Se n 1i ii 0ixΔmax xΔ)f(ε lim = n 1i ii n x)f(ε lim existe e é finito, independentemente da escolha dos i´s, então este limite é chamado de integral definida de f em [a,b] e indicado por n 1i ii 0ixΔmax xΔ)f(ε lim = b a n 1i ii n f(x)dxx)f(εlim A integral b a f (x)dx é calculada através de um “limite de somas”, chamadas de “somas de Riemann da função f no intervalo [a ,b]. Observações 1) Na integral definida b a f(x)dx a e b são chamados de limite inferior e limite superior da integral, respectivamente, ou limite inferior e limite superior de integração e o intervalo [a,b] é chamado de segmento ou intervalo de integração 2) Como conseqüências imediatas da definição temos que i) Se a = b b a f(x)dx = 0 ii) Se a > b b a f(x)dx = a b f(x)dx 3) Se b n i i n i 1a f (x) dx = lim f (x ) x existe, dizemos que f é integrável em [a,b] 4) Em alguns casos este limite não existe, ou seja, a função não é integrável. Isso é devido ao grande número de pontos de descontinuidades da função f. Não abordaremos estes exemplos aqui neste texto. Temos o seguinte resultado: Teorema: Se f é uma função contínua em [a,b], então f é integrável em [a,b] 3 Interpretação Geométrica da Integral Definida Seja y = f(x) contínua em [a,b] e R a região do plano limitada por y = f(x) ; y = 0; x = a e x = b. Seja A(R) a área dessa região. 1. Se f(x) 0, x [a,b], então b a f(x)dxA(R) 2. Se f(x) 0, x [a,b], então b a f(x)dxA(R) Propriedades Uma vez que a integral definida é definida como um limite ela “herda” muitas das propriedades dos limites. Além disso, a partir da interpretação geométrica da integral definida como uma área podemos também justificar algumas propriedades P1) b a b a f(x)dxccf(x)dx P2) b a b a b a g(x)dxf(x)dxdxg(x)f(x) P3) Se f(x) g(x) x [a,b], então b a b a g(x)dxf(x)dx P4) Se M e m são respectivamente os valores máximos e mínimos de f em [a,b], isto é, m f(x) M, então a)M(bf(x)dxa)m(b b a P5) Se f é integrável em [a,b], [a,c] e [c,b], então b c c a b a f(x)dxf(x)dxf(x)dx Observação: O resultado vale geralmente quaisquer que sejam a, b e c Teorema da Média para Integrais: Seja f contínua em [a,b]. Então existe c [a,b ], tal que a)f(c)(bf(x)dx b a 4 Interpretação Geométrica: a área limitada por y = f(x); y = 0; x = a e x = b é igual à área de um retângulo de base ( b a ) e altura f(c) Observações: 1. f(c) é chamado de valor médio de f em [a,b] 2. c pode não ser único O conceito de integral definida é razoavelmente fácil de compreender, pelo menos para funções contínuas em intervalos. Mesmo nestes casos, o cálculo dessas integrais não é simples, pois envolve a divisão do intervalo [a, b] em n partes, o cálculo das somas n n i i i 1 A f (x )Δx , e posteriormente o limite dessas somas. Tendo em vista estas dificuldades, daremos a seguir um mecanismo de cálculo dessas integrais, mais conhecido como o Teorema Fundamental do Cálculo O Teorema Fundamental do Cálculo – Fórmula de Newton-Leibniz: Na integral b a f(x)dx suponhamos que o limite inferior a está fixado e o limite superior b varie. Nesse caso temos que o valor da integral variará, ou seja, a integral passa a ser uma função do seu limite superior 1x a dt)t(f ; 2x a dt)t(f ; etc Vamos designar a variável de integração por t e o limite superior por x. Definimos, então, a seguinte função x a dt)t(f)x(G . Temos o seguinte resultado: Teorema: Se f é contínua em [a,b] então x a dt)t(f)x(G é uma primitiva de f, ou seja, G´(x) = f(x) em [a,b]. O teorema afirma que toda função contínua tem uma primitiva dada por x a dt)t(f)x(G 5 Exemplos: 1) x x 0 t e)x(Gdte)x(G 2) )1x(sen)x(Gdt)1t(sen)x(G 2 x 0 2 Teorema Fundamental do Cálculo: Se f(x) é uma função contínua em [a,b] e F(x) é uma primitiva de f em [a,b], então F(a)F(b)f(x)dx b a Usamos a notação b a F(x)F(a)F(b) Demonstração: Como f é contínua em [a,b], pelo resultado assumido anteriormente, temos que x a dt)t(f)x(G é uma primitiva de f nesse intervalo. Logo, se F(x) é uma primitiva qualquer de f sobre [a,b], então F(x) = G(x) + C, x [a,b]. Como G(a) = 0 e b a dt)t(f)b(G temos que F(b) F(a) = ( G(b) + C ) ( G(a) + C ) = b a dt)t(f)b(G . Podemos também escrever F(a)F(b))x(Ff(x)dx b a b a Exemplos: 1) Calcule as seguintes integrais definidas a) 2 b 2 x xdx 2 b 0 2b 0 b) 1 1 1 x 1 1 x eeedxe 6 c) 0 2 x2sen xdx2cos 00 Observação: Devemos ter cuidado com os limites de integração quando a técnica de integração envolvida é substituição. Se y = f(x) é contínua em [a,b] e x = g(t) é derivável e inversível em [,], sendo g() = a e g() = b, então β α b a dt)t(g))t(g(fdx)x(f Exemplo: xdx21x 1 0 32 x 2 + 1 = t 2xdx = dt x = 0 t = 1 x = 1 t = 2 Temos assim que dxx21x 1 0 32 = 4 15 4 1 4 4 t dtt 2 1 42 1 3 Cálculo de Área Algumas observações sobre a integral definida e a área: 1) A Integral definida de uma função y = f(x) é um número real, e nem sempre representaa área limitada por esta curva e o eixo Ox. Por exemplo, se f(x) = x, 1 x 1 temos que entre 0 e 1 os valores de f(x) são positivos, enquanto entre 1 e 0 os valores são respectivamente os mesmos, só que negativos. É fácil visualizar então que 0 2 1 2 1 2 x xdx 1 1 21 1 No entanto, a área da região é igual a 1 unidade de área que corresponde á soma das áreas dos dois triângulos sombreados. Para calcularmos a área da região devemos dividir a região em duas e considerar o módulo da integral na região em que a função é negativa. 7 Assim, a área da região é igual a 1 2 1 2 1 2 x 2 x xdxxdx 1 0 2 0 1 21 0 0 1 ) A integral b a f (x)dx é o “saldo da função f”, ou seja, é o resultado das contribuições positivas e negativas ao longo do intervalo [a, b] . Por exemplo, 314xxdx2 2 1 2 2 1 No entanto, a área da região é 541xxxdx2xdx2 2 0 2 0 1 2 2 0 0 1 2) Se a região R é limitada pelos gráficos de f e g , sendo f e g funções contínuas em [a,b]; pelas retas x = a e x = b e f(x) g(x) para todo x em [a,b], então a área é calculada pela diferença entre a área sob o gráfico de f e a área sob o gráfico de g, ou seja, A( R ) = dx))x(g)x(f(dx)x(gdx)x(f b a b a b a O resultado acima vale mesmo que as funções assumam valores negativos. Analise graficamente as situações apresentadas nos gráficos a seguir 8 Exercícios Resolvidos: Calcule a área A( R ) das seguintes regiões R 1) Região limitada pela curva y = x, e o eixo Ox no intervalo [1, 3 ] A( R ) = 4 2 1 2 9 2 x xdx 3 1 23 1 unidades de área 2) Região limitada pela curva y = x 2 e o eixo Ox no intervalo [ 1, 1 ] A( R ) = 3 2 3 1 3 1 3 x dxx 1 1 31 1 2 unidade de área 3) Região limitada pelas curvas 2 xy e xy Vamos inicialmente encontrar as intersecções entre as curvas para estabelecer os limites de integração: 1 x ou 0x0)1x(xxxxx 342 A área da região corresponde à diferença entre a área da região limitada pela curva xy o eixo Ox e as retas x = 0 e x = 1 e a área da região limitada pela curva y = x 2 , o eixo Ox e as retas x = 0 e x = 1 9 Logo, A( R ) = 3 1 3 1 3 2 3 x x 3 2 dx)xx( 1 0 3 2/3 1 0 2 unidade de área 4) Região limitada pelas curvas xy = 4 e x + y = 5 Vamos encontrar inicialmente as intersecções entre as curvas 4 x ou 1x04x5x5 x 4 x x 4 y 2 A(R) = 4ln4 2 15 )1ln4 2 1 5()4ln4 2 16 20(xln4 2 x x5dx) x 4 )x5(( 4 1 24 1 5) Região limitada pelas curvas y = 2 x2 e y = x Encontrando as interseções entre as curvas: 1 x ou 2x02xxxx2 22 A(R) = 2 9 2 4 3 8 4 2 1 3 1 2 2 x 3 x x2dx)x)x2(( 1 2 231 2 2 Referências Bibliográficas: 1. Cálculo – Um Novo Horizonte – H. Anton (vol 1) 2. Cálculo A – Diva Fleming 3. Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski ( vol 1)
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