Unidade II - Integral Definida

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Cálculo Integral
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Profa. Dra. Ana Lúcia Manrique 
Revisão Textual:
Profa. Esp. Natalia Conti
Integral Definida
5
• Área
• Integral Definida
• Teorema Fundamental do Cálculo
 · Nesta unidade veremos o conceito de integral definida, sua definição, propriedades 
e interpretação geométrica, bem como o Teorema Fundamental do Cálculo.
 · Ao término deste estudo desejamos que você seja capaz de calcular a medida da 
área de uma região do plano cartesiano.
Realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos, além 
de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo. 
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo 
para realização das mesmas.
Integral Definida
6
Unidade: Integral Definida
Contextualização
Embora utilizemos a integral definida muitas vezes para determinar a área de uma região do 
plano cartesiano, seu uso pode ser feito em diferentes áreas. Vejamos um exemplo.
Temos que o crescimento populacional ou o crescimento demográfico de uma população é 
o aumento do número de habitantes. Já a taxa de crescimento de uma população é a variação 
do número de indivíduos em um determinado período de tempo.
O censo demográfico é um estudo estatístico referente a uma população que possibilita 
o recolhimento de várias informações, entre elas a contagem da população. No Brasil, o 
responsável pelos censos demográficos é o IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística).
Vejamos alguns dados fornecidos pelo IBGE sobre a evolução da taxa de crescimento da 
população dos países da América do Sul. Esta tabela fornece taxas de seis períodos de tempo: 
1950-1960, 1960-1970, 1970-1980, 1980-1990, 1990-2000 e 2000-2010. Além disso, 
podemos ver que as taxas da América Latina foram diminuindo ao longo do tempo. 
Evolução taxa de crescimento da população, segundo os países da América do Sul - 1950/2010
Fonte: IBGE, 2010
Imaginemos que tenhamos a taxa de crescimento de uma determinada população estimada 
para um período de tempo. Por exemplo, suponhamos que foi realizado um estudo que apontou 
que a população de certa cidade crescerá, daqui a x anos, a uma taxa de 58 + 115x pessoas por 
ano. E queremos determinar qual será seu aumento populacional nos próximos 20 anos.
Para resolver este problema, precisamos determinar a função que fornece a população da 
cidade em x anos. Como foi fornecida a taxa de crescimento, então temos P’(x) = 58 + 115x.
Precisamos encontrar uma antiderivada para esta função, que pode ser obtida pelas regras 
de integração.
( )
2115 58 
2
= +
xP x x
Desta forma, temos que o aumento populacional nos próximos 20 anos será de:
( ) ( )
2115 20
20 58.20 1160 23000 24.160
2
= + = + =P pessoas
Este é um dos diferentes exemplos que utilizam do conceito de integral para ser resolvido.
7
Área
Queremos resolver o problema de determinar a medida da área de uma região que está 
limitada por uma curva y = f(x), considerando x pertencente ao intervalo [a,b], e o eixo x.
Primeiramente, vejamos um caso simples. Vamos imaginar que temos a reta dada por 
y = 2. E queremos determinar a medida da área da região limitada pela reta horizontal y = 2, 
o eixo x, as retas verticais x = 1 e x = 4.
2
-0,8
-1,6
0,8
1,6
2,4
3,2
3 4 5 6-2-3 -1 0 1
x
y
Área
reta y = 2
Como a região que queremos determinar a medida da área é um retângulo, nós sabemos 
como fazer. Basta determinar a medida da base do retângulo (a base está entre as retas x = 1 e 
x = 4, portanto, a medida é 3 unidades de comprimento) e a medida da altura do retângulo (a 
altura está entre o eixo x e a reta y = 2, portanto, a medida é 2 unidades de comprimento). 
Desta forma, a medida da área do retângulo é:
A = 2 x 3 = 6 unidades de área
8
Unidade: Integral Definida
Vejamos, agora, com a reta y = x. Queremos determinar a medida da área da região 
limitada pela reta y = x, as retas verticais x = 0 e x = 3, e o eixo x.
Como a região que queremos determinar a medida da área é um triângulo, nós sabemos 
como. Basta determinar a medida da base do triângulo (a base está entre as retas x = 0 e x 
= 3, portanto, a medida é 3 unidades de comprimento) e a medida da altura do triângulo (a 
altura está entre o eixo x e a reta y = 3; lembrar que y = x, portanto, a medida é 3 unidades 
de comprimento). Dessa forma, a medida da área do triângulo é:
A = 3 3
2
x = 4,5 unidades de área.
E quando a região abaixo do gráfico da função não for uma figura da qual sabemos como 
calcular a medida da área?
Vejamos outro exemplo, seja y = x2 e vamos estimar a medida da área da região que está 
abaixo do gráfico da função y = f(x) = x2, o eixo x, e as retas verticais x = 1 e x = 2.
Para estimarmos esta medida de área, vamos cobrir a região por retângulos de medida da 
base igual a 0,5 unidade de comprimento, ou seja, teremos um retângulo em cada um dos 
intervalos [0;0,5], [0,5;1], [1;1,5] e [1,5;2], e a altura destes retângulos será f(0,5), f(1), f(1,5) 
e f(2), respectivamente.
( ) ( ) ( ) ( )A 0,5 0,5 0,5 1 0,5 1,5 0,5 2≅ × + × + × + ×f f f f
( ) ( ) ( ) ( )A 0,5 0,5 1 1,5 2 ≅ × + + + f f f f
( )
4
1
A 0,5
=
≅ ×∑ i
i
f x
2
-0,8
0,8
1,6
2,4
3,2
4
3 4 5 6-2-3 -1 0 1
x
y
reta y = x
9
sendo x1 = 0,5; x2 = 1, x3 = 1,5 e x4 = 2.
E se considerarmos ∆x = 0,5, podemos escrever que:
( )
4
1
A .
=
≅ ∆∑ i
i
f x x
Vejamos esses retângulos na figura a seguir.
2
-0,8
0,8
1,6
2,4
3,2
4
3 4 5 6-2-3 -1 0 1
x
y
y = x2
Podemos perceber que a soma das medidas das áreas dos retângulos é maior que a medida 
da área da região que procuramos. Neste caso, estes retângulos cobrem uma área maior que 
a região que queremos determinar a área. Será que se escolhêssemos retângulos menores 
poderíamos cobrir a região?
Vamos escolher como medida da altura dos retângulos o valor da função no extremo inferior 
dos intervalos. Para estimarmos esta medida de área, vamos cobrir a região por retângulos de 
medida da base igual a 0,5 unidade de comprimento, ou seja, teremos um retângulo em cada 
um dos intervalos [0;0,5], [0,5;1], [1;1,5] e [1,5;2], e a altura destes retângulos será f(0), f(0,5), 
f(1) e f(1,5), respectivamente. 
( ) ( ) ( ) ( )A 0,5 0 0,5 0,5 0,5 1 0,5 1,5≅ × + × + × + ×f f f f
( ) ( ) ( ) ( )A 0,5 0 0,5 1 1,5 ≅ × + + + f f f f
( ) ( ) ( ) ( )A 0,5 0 0,5 1 1,5 ≅ × + + + f f f f
( )
4
1
A 0,5
=
≅ ×∑ i
i
f x ,
10
Unidade: Integral Definida
sendo x1 = 0; x2 = 0,5, x3 = 1 e x4 = 1,5.
E se considerarmos ∆x = 0,5, podemos escrever que:
( )
4
1
A .
=
≅ ∆∑ i
i
f x x
Vejamos esses retângulos na figura a seguir.
Neste caso, teremos que a soma das medidas das áreas dos retângulos é menor que a 
medida da área da região que procuramos.
Se pensássemos em diminuir a medida da base destes retângulos, de modo a tender a zero, 
ou seja, dividir o intervalo [0,2] em subintervalos de medida de comprimento tendendo a zero, 
podemos imaginar que a soma das medidas das áreas destes retângulos tenderá à medida da 
área da região que procuramos.
2
-0,8
0,8
1,6
2,4
3,2
4
3 4 5 6-2-3 -1 0 1
x
y
11 22
y = x2
11
Consideramos que o intervalo [0,2] seja dividido em n intervalos de mesma medida ∆x, nos 
pontos 0 = x0, x1, x2, ... , xn-2, xn-1, xn = 2. Desta forma, o intervalo [0,2] será dividido nos intervalos:
[0, x1] , [x1, x2] , [x2, x3] , [x3, x4] , ... , [xn-2, xn-1] , [xn-1, 2].
Assim, podemos escrever a soma das medidas das áreas dos retângulos, que também é 
conhecida como soma de Riemann, em termos de limite:
Tender a zero a 
medida da base 
dos retângulos

Medida da 
altura dos 
retângulos

( )
1
 .limA
=
→∞
= ∆∑
n
n
i
if x x

Soma das 
medidas das 
áreas dos 
retângulos

Medida da base 
dos retângulos
2
-0,8
0,8
1,6
2,4
3,2
4
3 4 5 6-2-3 -1 0 1
x
y
y = x2
12
Unidade: Integral Definida
Integral Defi nida
Definimos como Integral Definida este limite quando escolhemospontos quaisquer xi* no 
intervalo, ou seja, xi não precisa ser um dos extremos do subintervalo.
Definição
Seja f uma função contínua definida em um intervalo fechado [a,b], que dividimos 
em n subintervalos de comprimentos iguais a 
−
∆ =
b ax
n
. Desta forma, temos 
x0 = a, x1, x2, x3, ... , xn = b como os extremos destes intervalos e escolhemos 
pontos amostrais x1*, x2*, x3*, ... , xn* dentro de cada um destes subintervalos. 
Então, a integral definida de f é:
( ) ( )*
1
lim .
→∞
=
= ∆∑∫
b n
in
ia
f x dx f x x
Temos nesta definição que os valores a e b são os limites de integração, sendo a o limite 
inferior e b o limite superior. E o processo de calcular uma integral definida é chamado de 
integração. 
Vale salientar que a integral definida é um número e a integral indefinida é um conjunto de 
funções. Como estamos trabalhando com funções contínuas, é possível provar que o limite 
sempre existe e independe dos pontos amostrais.
Propriedades
1 ( ) ( )= −∫ ∫
a
b
b
a
f x dx f x dx

Perceber que os limites de 
integração estão trocados
2 ( ) ( ) 0= =∫ ∫
a
a
b
a
f x dx f x dx

Perceber que os limites de 
integração são idênticos
3 ( ) .= −∫
b
a
dx c bc a , onde c é qualquer constante.

Perceber que a função é constante y =c, 
portanto a área é de um retângulo
13
4 ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
5 ( ) ( ) ( ) ( ) − = − ∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
6 ( ) ( ). .=∫ ∫
b b
a a
c f x dx c f x dx , onde c é qualquer constante.
7 ( ) ( ) ( )+ =∫ ∫ ∫
c b b
a c a
f x dx f x dx f x dx
8
Se f(x) ≥ 0, para a ≤ x ≤ b, então ( ) 0≥∫
b
a
f x dx
9
Se f(x) ≥ g(x), para a ≤ x ≤ b, então ( ) ( )≥∫ ∫
b b
a a
f x dx g x dx
Vejamos a demonstração da propriedade 4, da integral definida da soma de duas funções 
contínuas. Iremos utilizar a definição de integral definida.
( ) ( ) ( ) ( )* *
1
lim .
→∞
=
  + = + ∆ =   ∑∫
b n
i in
ia
f x g x dx f x g x x
( ) ( )* *
1 1
lim[ . . ] 
→∞
= =
= ∆ + ∆ =∑ ∑
n n
i in
i i
f x x g x x
( ) ( )* *
1 1
lim . lim . 
→∞ →∞
= =
= ∆ + ∆ =∑ ∑
n n
i in n
i i
f x x g x x
( ) ( )= +∫ ∫
b b
a a
f x dx g x dx
A propriedade 7 pode ter uma interpretação geométrica considerando f(x) ≥ 0 e a < c < b.
Podemos ver que a medida da área sob o gráfico de y = f(x) de a até c somada à medida da 
área sob o gráfico de y = f(x) de c até b é a medida da área sob o gráfico de y = f(x) de a até b.
a c b
x
y
f(x)
14
Unidade: Integral Definida
E vejamos uma interpretação gráfica da propriedade 8. Se f(x) ≥ 0, para a ≤ x ≤ b, então 
temos que o gráfico da função f no intervalo [a,b] está acima do eixo x, logo temos uma área 
positiva, ou seja, A = ( ) 0≥∫
b
a
f x dx
Podemos também apresentar uma interpretação geométrica da propriedade 9. 
Consideremos f(x) ≥ g(x) ≥ 0 no intervalo [a,b].
A medida da área Af é dada por ( )∫
b
a
f x dx , ou pela região entre os pontos aQRb. E a medida 
da área Ag é dada por ( )∫
b
a
g x dx , ou pela região entre os pontos aPSb. 
Então, podemos perceber que a medida da área Af ≥ Ag, ou seja, ( ) ( ) 0≥ ≥∫ ∫
b b
a a
f x dx g x dx .
y
xa b
f(x)
( )∫
b
a
f x dxA =
y
xa b
Q R
S
P
f(x)
g(x)
15
Exemplos
1 O gráfico de f está mostrado a seguir. Calcule cada uma das integrais interpretando-as em termos das áreas.
a) ( )
0
1−
∫ f x dx b) ( )
2
0
∫ f x dx c) ( )
5
2
∫ f x dx d) ( )
5
1−
∫ f x dx
Resolução:
a) Para calcular esta integral devemos determinar a medida da área de um trapézio.
( )
0
1−
∫ f x dx = ( )
2 1 .1
1,5
2
+
=
b) Para calcular esta integral devemos determinar a medida da área de um trapézio.
( )
2
0
∫ f x dx = ( )4 2 .2 62
+
=
c) Para calcular esta integral devemos determinar a medida da área de um retângulo.
( )
5
2
∫ f x dx = 3.4 = 12
d) Para calcular esta integral devemos somar todos os valores das integrais definidas 
calculadas nos itens a), b) e c).
( )
5
1−
∫ f x dx = ( )
0
1−
∫ f x dx + ( )
2
0
∫ f x dx + ( )
5
2
∫ f x dx = 1,5 + 6 + 12 = 19,5
4
1
2
3
4
5 6 7 80-1 1 2 3
x
y
16
Unidade: Integral Definida
2 Calcular a integral definida interpretando-a em termos de áreas.
( )
5
1
2+∫ x dx
Resolução:
Para calcular esta integral, esbocemos o gráfico da função g(x) = 2 + x.
Podemos perceber que, para calcular esta integral, devemos calcular a área de um trapézio.
( ) ( ) ( ) ( )
5
1
5 1 . 5 1
2
2
 + − + =∫
g g
x dx
( ) [ ]
5
1
7 3 .4
2 20
2
+
+ = =∫ x dx
2,5
2,5
7,5
-2,5
5
0-2,5-5 7,5 10 12,5 155
x
y
17
3 Se ( )
9
1
8
−
=∫h x dx e ( )
9
4
3=∫h x dx , calcule ( )
4
1−
∫h x dx .
Resolução:
Para resolver esta integral, faremos uso da propriedade 7.
( ) ( ) ( )+ =∫ ∫ ∫
c b b
a c a
h x dx h x dx h x dx
( ) ( ) ( )
4 9 9
1 4 1− −
+ =∫ ∫ ∫h x dx h x dx h x dx
( )
4
1
3 8
−
+ =∫h x dx
( )
4
1
8 3 5
−
= − =∫h x dx
18
Unidade: Integral Definida
Teorema Fundamental do Cálculo
Vimos que para calcular a integral definida necessitamos conhecer uma fórmula para o 
cálculo da medida da área ou determinar um limite – que demonstra o desafio que é determinar 
a medida de uma área sem este teorema. Mas o Teorema Fundamental do Cálculo fornece 
elementos que facilitam o cálculo de integrais definidas utilizando integrais indefinidas. 
Este teorema estabelece que a diferenciação e a integração são processos inversos. E sua 
demonstração pode ser vista em qualquer livro de Cálculo Diferencial e Integral.
Teorema Fundamental do Cálculo: Suponha que temos uma função f contínua no 
intervalo fechado [a,b]. 
1) Se g(x) = ( )∫
x
a
f t dt , então g’(x) = f(x).
2) ( ) ( ) ( )= −∫
b
a
f x dx F b F a , quando F for qualquer antiderivada de f, ou seja, F’= f.
Se g(x) é a medida da área da região e g’(x) = f(x), então temos que g é uma antiderivada de 
f. Se F também é uma antiderivada de f, temos que F e g diferem por uma constante, ou seja, 
F(x) = g(x) + c, para x pertencente ao intervalo aberto ]a,b[.
Podemos, então, pensar que:
F(b) – F(a) = [g(b) + c] – [g(a) + c] = g(b) – g(a) = ( ) ( )−∫ ∫
b a
a a
f t dt f t dt

Como os limites de integração são idênticos, 
o valor desta integral de� nida é zero.
Portanto, temos que:
( ) ( ) ( ) − = ∫
b
a
F b F a f t dt
Que pode ser escrito também como: 
( ) ( ) ( )= −∫
b
a
f x dx F b F a
Podemos perceber também da parte 1) que:
( ) ( )=∫
x
a
d f t dt f x
dx
a bx
g(x)
19
Exemplos
1 Determinar a derivada da função:
a) ( ) 3
1
g x 2 4= − +∫
x
t t dt
b) ( ) ( )5
1
h y 3 . 
−
= ∫
y
t sent dt
c) ( ) 3
1
1F u 
2 5
−
=
+∫
u t dt
t
Resolução:
a) A parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo afirma que: 
Se g(x) = ( )∫
x
a
f t dt , então g’(x) = f(x).
Como queremos determinar a derivada da função g, então temos que:
g’(x) = 3 2 4− +x x
b) Utilizando a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo temos que:
h(y) = 3y5.sen y
c) Utilizando a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo temos que:
F(u) = 3
1
2 5
−
+
u
u
20
Unidade: Integral Definida
2 Calcular a integral definida:
a)
4
1
∫ tdt
b) ( ) ( )
/2
0
 0 cos cos 0 0 1 1
2 2
π π π = − = − + − − + = + =  ∫ sen xdx F F c c
c) ( )
3
3
1
2 3 5− +∫ x x dx
Resolução:
Para calcular estas integrais definidas iremos fazer uso da parte 2 do Teorema Fundamental 
do Cálculo.
a) Para calcular esta integral necessitamos de uma antiderivada da função f(t) = 
1
2=t t , que 
é F(t) = 
1 3 31
2 2 2
3 2 21 3 3 31
2 2
+
+ = + = + = +
+
t t tc c c t c . Portanto, temos que:
4
1
=∫ tdt F(4) – F(1) = 3 3 3
2 2 2 24 1 .2
3 3 3 3
 + − + = −  
c c
4 4
1
2 2 16 2 14
3 3 3
− −
= = =∫ tdt
b) Para calcular esta integral necessitamos de uma antiderivada da função f(x)=sen x, que 
é F(x)= -cos x+c. Portanto, temos que:
( ) ( )
/2
0
 0 cos cos 0 0 1 1
2 2
π π π = − = − + − − + = + =  ∫ sen xdx F F c c
c) Para calcular esta integral necessitamos de uma antiderivada da função f(x)= 2x3 - 3x + 5,
 que é ( )
4 2
2 3 5
4 2
= − + +
x xF x x c . Portanto, temosque:
( ) ( ) ( )
3
3
1
2 3 5 3 1− + = − =∫ x x dx F F
4 2 4 23 3 1 12 3 5.3 2 3 5.1
4 2 4 2
 
= − + + − − + + =  
c c
81 1 9 12 3 15 5 40 12 10 38.
4 2
− −
= − + − = − + =
21
Material Complementar
Para pesquisar e aprofundar seus estudos sobre Antiderivada, consulte o site e as referências 
a seguir. 
Livros:
ANTON, H. Cálculo, Um Novo Horizonte. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 2000.
STEWART, J. Cálculo. v. 1. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009.
THOMAS, G. Cálculo. v. 1. São Paulo: Addison Wesley, 2003.
Sites:
http://www.somatematica.com.br/superior.php
http://www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais.php
https://pt.khanacademy.org/math/integral-calculus
http://www.omatematico.com/Novo/NIVELSUPERIOR/integraltodos/integraltodos.html
22
Unidade: Integral Definida
Referências
Referências Básicas:
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre, RS: Bookman, 2002.
STEWART, J. Cálculo, volume I. 4a ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning. 2001.
LARSON, R.; HOSTETLER, R.P.; EDWARDS, B.H. Cálculo, volume 1. São Paulo: McGraw-
Hill, 2006.
Referências Complementares:
FLEMMING, D.M.; GONÇALVES, M.B. Cálculo A: Funções, limite, derivada, integração. 
5a. Ed. São Paulo: Makron Books do Brasil, 2004.
GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
SIMMONS, G.F. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. Ed. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
SWOKOWSKI, E.W. Cálculo com Geometria Analítica. 2a. São Paulo: Makron Books do 
Brasil, 1995.
23
Anotações