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Lista de Exercícios – Cálculo III 
1) Determine a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial 
dada. 
a) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥(𝑥2 + 9)
1
2 , 𝑐𝑜𝑚 𝑦(−4) = 0 
 
b) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
10
𝑥2+1
, 𝑐𝑜𝑚 𝑦(0) = 0 
 
c) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= cos 2𝑥, 𝑐𝑜𝑚 𝑦(0) = 1 
 
2) A equação 3𝑥2𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑦2𝑑𝑦 = 0 é uma equação de variáveis separáveis e também é 
uma equação homogênea. Resolva das duas formas e compare os resultados. 
 
 
3) Resolva as equações diferenciais abaixo: 
a) (2 + 𝑦)𝑑𝑥 + (3 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0 
b) (4𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + (6𝑦 − 𝑥)𝑑𝑦 = 0 
c) 𝑑𝑥 + 𝑒−5𝑥𝑑𝑦 = 0 
d) (2𝑥𝑦2 + 3𝑥2)𝑑𝑥 + (2𝑥2𝑦 + 4𝑦3)𝑑𝑦 = 0 
e) (𝑥 − 𝑦)𝑦′ = 𝑥 + 𝑦 
f) (cos 𝑦 + 4𝑥2)𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦𝑑𝑦 
g) (𝑥2 − 𝑦2)𝑦′ = 2𝑥𝑦 
h) 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑥𝑒𝑥 − 𝑦 + 6𝑥2 
i) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1+𝑦2
1+𝑥2
 
j) 
 
4)Resolva a condição dada sujeita à condição inicial dada. 
(a) 𝑦′ =
𝑦3−𝑥3
𝑥𝑦2
; 𝑐𝑜𝑚 𝑦(1) = 2 
(b)(𝑥 + 𝑦)2𝑑𝑥 + (2𝑥𝑦 + 𝑥2 − 1)𝑑𝑦 = 0, 𝑐𝑜𝑚 𝑦(1) = 1. 
5) Resolva as equações diferenciais lineares: 
(a) 𝑥𝑦′ − 2𝑦 = 𝑥2 
(b) 𝑥𝑦′ + 𝑦 = √𝑥 
(c) 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑦𝑠𝑒𝑛𝑥 = 1 
6) Resolva o problema de valor inicial. 
(a)𝑥2𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 , 𝑐𝑜𝑚 𝑦(1) = 2 
 
(b)𝑡3
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 3𝑡2𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑐𝑜𝑚𝑦(𝜋) = 0 
 
 7) Uma partícula move-se em linha reta a uma velocidade dada pela equação 𝑣(𝑡) =
5𝑡4 − 3𝑡2 em (m/s). Encontre a posição da partícula em relação à origem do sistema 
no instante 𝑡 = 2𝑠𝑒𝑔. Sabe-se que no instante 𝑡 = 0𝑠𝑒𝑔 a partícula se encontrava a 2 
metros da origem (𝑠(0) = 2). Lembro que 𝑣 =
∆𝑠
∆𝑡
 
 
8) A equação diferencial 𝑝 + 𝑘𝑣
𝑑𝑝
𝑑𝑣
= 0 descreve a variação adiabática (processo de 
transformação de um sistema no qual há trocas térmicas com exterior) do estado do ar, 
com p = pressão; v = volume; k = constante. Determine p em função de v. Considere 
𝑝 ≥ 0 𝑒 𝑣 ≥ 0. Use a seguinte propriedade de logaritmos 𝑎𝑙𝑛(𝑏) = 𝑙𝑛(𝑏𝑎) 
 
 
9) Deixa-se cair um corpo de massa de 5kg de uma altura de 100m, com velocidade 
inicial zero. Supondo que não haja resistência do ar, determine o tempo necessário para 
o corpo atingir o solo. Use 𝑣(𝑡) = 𝑔𝑡, a expressão da posição x no instante, x(t)=
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
𝑒 𝑥(0) = 0. 
 
10) A segunda lei de Dirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no 
indutor (𝐿(𝑑𝑖/𝑑𝑡)) e no resistor (𝑖𝑅) é igual a voltagem aplicada no circuito (𝐸(𝑡)). 
Veja a figura abaixo. 
 
Uma bateria de 12 volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância(L) é ½ 
Henry e a resistência é 10 ohms. Determine a corrente i se a corrente inicial for 0. 
 
11) Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial. 
 
a) 𝑦′ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥, 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑦 =
1
2
𝑠𝑒𝑛𝑥 −
1
2
𝑐𝑜𝑠𝑥 + 10𝑒−𝑥 
 
b) 𝑥2𝑑𝑦 + 2𝑥𝑦𝑑𝑥 = 0, dado 𝑦 = −
1
𝑥2