Calcular a área entre as circunferências usando integrais duplas. Qual o valor obtido? Essa questão tinha em um livro que peguei na biblioteca da ...

Para calcular a área entre duas circunferências usando integrais duplas, é necessário encontrar a equação das circunferências e definir os limites de integração. Supondo que as circunferências tenham centro na origem e raios r1 e r2, respectivamente, a área pode ser calculada pela seguinte integral dupla: A = ∬[r1^2 ≤ x^2 + y^2 ≤ r2^2] dxdy Os limites de integração são determinados pelas equações das circunferências: r1^2 = x^2 + y^2 r2^2 = x^2 + y^2 Resolvendo para y em cada equação, temos: y = ±sqrt(r1^2 - x^2) y = ±sqrt(r2^2 - x^2) Os limites de integração para x são -r2 até r2, e para y são as funções acima. Portanto, a integral dupla fica: A = ∫[-r2, r2] ∫[sqrt(r1^2 - x^2), sqrt(r2^2 - x^2)] dxdy + ∫[-r2, r2] ∫[-sqrt(r2^2 - x^2), -sqrt(r1^2 - x^2)] dxdy Resolvendo a integral, obtemos: A = π(r2^2 - r1^2) Portanto, a área entre as circunferências é igual a π vezes a diferença dos raios ao quadrado.