1ª Prova de GAAL 2018.1 UFMG

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DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA ICEx - UFMG
1a Prova - GAAL -Gabarito - TURMA A - 05/04/2018 - Vale 33 pontos
Q 1. (10 pontos)
a) Encontre o conjunto-soluc¸a˜o do sistema S em 4 varia´veis:
S =
{
3x1 − 3x2 − x3 + 2x4 = 0
−x1 + x2 + x3 = 0
b) Considere o sistema de equac¸o˜es AX = B, onde:
A =
(
1 1
1 b− 1
)
e B =
(
1
a
)
.
Decida quando o sistema na˜o tem soluc¸a˜o, tem soluc¸a˜o u´nica e tem infinitas soluc¸o˜es.
Soluc¸a˜o (a):(
3 −3 −1 2
−1 1 1 0
∣∣∣∣ 00
)
l1↔l2−→
( −1 1 1 0
3 −3 −1 2
∣∣∣∣ 00
)
l2+3l1→l2−→
( −1 1 1 0
0 0 2 2
∣∣∣∣ 00
)
−l1→l1; 12 l2→l2−→
(
1 −1 −1 0
0 0 1 1
∣∣∣∣ 00
)
l2+l1→l1−→
(
1 −1 0 1
0 0 1 1
∣∣∣∣ 00
)
Soluc¸a˜o geral: x1 = α−β, x2 = α, x3 = −β, x4 = β, onde α e β sa˜o quaisquer numeros reais.
Podemos escrever o conjunto soluc¸a˜o: S = {(α− β, α, −β, β); α, β ∈ R}.
Observac¸a˜o: Se usamos a matriz escalonada (na˜o reduzida) penultima matriz acima, o
conjunto soluc¸a˜o sera´ escrito como: S = {(s+ t, s, −t, t); s, t ∈ R}.
Soluc¸a˜o (b): (
1 1
1 b− 1
∣∣∣∣ 1a
)
−l1+l2→l2−→
(
1 1
0 b− 2
∣∣∣∣ 1a− 1
)
i) O sistema na˜o possui soluc¸a˜o se e somente se a forma escalonada de matriz aumentada do
sistema conte´m a linha (
0 0 | 6= 0 ) ,
logo o sistema na˜o tem soluc¸a˜o se e somente se b = 2 e a 6= 1.
ii) O sistema possui soluc¸a˜o u´nica se e somente se a forma escalonada de matriz do sistema
conte´m 2 pivoˆs. Logo, o sistema possui soluc¸a˜o u´nica se e somente se b 6= 2.
iii) O sistema possui infinitas soluc¸o˜es se e somente se ele tem soluc¸a˜o e existe uma varia´vel livre.
Logo, o sistema possui infinitas soluc¸o˜es se e somente se b = 2 e a = 1.
Q 2. (10 pontos) Sejam Li, i = 1, 2, 3, 4 as linhas da matriz A. Denotamos por B a matriz que
tenha sido obtida de A aplicando-se sucessivamente as seguintes operac¸o˜es elementares:
1a: troca da linha L2 com a linha L3;
2a: substituic¸a˜o da linha L4 por L4 − 11L2;
3a: substituic¸a˜o da linha L3 por 3L3.
a) Qual e´ relac¸a˜o entre as determinantes das matrizes A e B ?
b) Seja
B =

2 2 5 5
2 0 2 5
1 0 1 0
3 2 4 4

Calcule o determinante da matriz B e o determinante da matriz A.
Soluc¸a˜o (a): Seja A
l2↔l3−→ A1 −11l2+l4→l4−→ A2 3l3→l3−→ B como acima.
Lembramos que: a troca de duas linhas, neste caso l2 ↔ l3, corresponde a` matriz elementar
E2,3 ( detE2,3 = −1); a operac¸a˜o −11l2 + l4 → l4, corresponde a` matriz elementar E2,4(−1)
( detE2,4(−1) = 1); a operac¸a˜o 3l3 → l3 corresponde a` matriz elementar E3(3) ( detE3(3) = 3).
Como B = E3(3) ·E2,4(−1) ·E2,3 ·A, e sabemos que o determinante de om produto de matrizes
e´ igual ao produto dos determinantes, enta˜o detB = −3 detA.
Olhando para a cadeia de operac¸o˜es acima, temos: detB = 3 detA2 = 3 detA1 = −3 detA.
Soluc¸a˜o (b):
detB =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 2 5 5
2 0 2 5
1 0 1 0
3 2 4 4
∣∣∣∣∣∣∣∣
−l1+l4→l4====
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 2 5 5
2 0 2 5
1 0 1 0
1 0 −1 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
desenvolvimento
por 2a coluna
= 2(−1)1+2
∣∣∣∣∣∣
2 2 5
1 1 0
1 −1 −1
∣∣∣∣∣∣ −c1+c2→c2==== −2
∣∣∣∣∣∣
2 0 5
1 0 0
1 −2 −1
∣∣∣∣∣∣ =
=desenvolvimentopor 2a coluna = −2(−2)(−1)3+2 det
(
2 5
1 0
)
= −4(−5) = 20.
Segue de item a) que detA = −1
3
detB = −20
3
.
Q 3. (10 pontos) Encontre, se for poss´ıvel, a inversa da seguinte matriz:
M =

1 0 1 1
1 −1 0 1
1 0 0 1
1 0 1 0

Soluc¸a˜o:
1 0 1 1
1 −1 0 1
1 0 0 1
1 0 1 0
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 −l1+li→li,2≤i≤4−→

1 0 1 1
0 −1 −1 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 0
−1 1 0 0
−1 0 1 0
−1 0 0 1

l4+l1→l1−→

1 0 1 0
0 −1 −1 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣
0 0 0 1
−1 1 0 0
−1 0 1 0
−1 0 0 1
 −l3+l2→l2;l3+l1→l1−→

1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 0 1 1
0 1 −1 0
−1 0 1 0
−1 0 0 1
 −li→li,2≤i≤4−→

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣
−1 0 1 1
0 −1 1 0
1 0 −1 0
1 0 0 −1
 ,
e portanto M−1 =

−1 0 1 1
0 −1 1 0
1 0 −1 0
1 0 0 −1
 .
Q 4. (6 pontos) Verifique se cada uma das proposic¸o˜es sequintes e´ falsa ou verdadeira, justifi-
cando sua resposta.
a) Se A e´ invert´ıvel enta˜o AAt tambe´m e´ invert´ıvel.
b) Se A e´ uma matriz n×n tal que todos os elementos da diagonal principal de A sa˜o diferentes
de 0, enta˜o A e´ invert´ıvel.
Soluc¸a˜o (a): Verdadeiro. A invert´ıvel ⇒ At invert´ıvel ⇒ AAt invert´ıvel.
Soluc¸a˜o (b): Falso. Fac¸a A = (aij)1≤i,j≤n, onde aij = 1 para todos i, j. Logo detA = 0 e A e´
singular.