5 Matrizes - Parte 2

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Álgebra Linear I
Matrizes - parte II
Prof. Hugo Nunes
Matemática Licenciatura
Instituto Federal de Alagoas
Campus Maceió
2019
1/71
Sumário
1 Matrizes
O produto de uma matriz por um vetor em termos de colunas
Propriedades de matrizes
Matriz Inversa
2 Aplicações
Modelos econômicos de Leontief
Grafos
2/71
Matrizes
3/71
O produto de uma matriz por um vetor em termos de colunas
3/71
Seja
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... · · ·
...
am1 am2 · · · amn
 e cn×1 =

c1
c2
...
cn

Como A é uma matriz m × n e c é uma matriz n × 1, a matriz produto Ac é
a matriz m × 1.
Ac =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... · · ·
...
am1 am2 · · · amn


c1
c2
...
cn
 =

linha1(A) · c
linha2(A) · c
...
linham(A) · c

=

a11c1 + a12c2 + · · ·+ a1ncn
a21c1 + a22c2 + · · ·+ a2ncn
...
an1c1 + an2c2 + · · ·+ amncn

3/71
Seja
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... · · ·
...
am1 am2 · · · amn
 e cn×1 =

c1
c2
...
cn

Como A é uma matriz m × n e c é uma matriz n × 1, a matriz produto Ac é
a matriz m × 1.
Ac =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... · · ·
...
am1 am2 · · · amn


c1
c2
...
cn
 =

linha1(A) · c
linha2(A) · c
...
linham(A) · c

=

a11c1 + a12c2 + · · ·+ a1ncn
a21c1 + a22c2 + · · ·+ a2ncn
...
an1c1 + an2c2 + · · ·+ amncn

3/71
Seja
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... · · ·
...
am1 am2 · · · amn
 e cn×1 =

c1
c2
...
cn

Como A é uma matriz m × n e c é uma matriz n × 1, a matriz produto Ac é
a matriz m × 1.
Ac =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
... · · ·
...
am1 am2 · · · amn


c1
c2
...
cn
 =

linha1(A) · c
linha2(A) · c
...
linham(A) · c

=

a11c1 + a12c2 + · · ·+ a1ncn
a21c1 + a22c2 + · · ·+ a2ncn
...
an1c1 + an2c2 + · · ·+ amncn

3/71
Podemos escrever: 
a11c1 + a12c2 + · · ·+ a1ncn
a21c1 + a22c2 + · · ·+ a2ncn
...
an1c1 + an2c2 + · · ·+ amncn

Como:
c1

a11
a21
...
am1
+ c2

a12
a22
...
am2
+ · · ·+ cn

a1n
a2n
...
amn

Que é:
c1col1(A) + c2col2(A) + · · ·+ cncoln(A)
4/71
Podemos escrever: 
a11c1 + a12c2 + · · ·+ a1ncn
a21c1 + a22c2 + · · ·+ a2ncn
...
an1c1 + an2c2 + · · ·+ amncn

Como:
c1

a11
a21
...
am1
+ c2

a12
a22
...
am2
+ · · ·+ cn

a1n
a2n
...
amn

Que é:
c1col1(A) + c2col2(A) + · · ·+ cncoln(A)
4/71
Exemplo
Sejam
A =
[
2 −1 −3
4 2 −2
]
e c =
 2−3
4

Então, o produto Ac é escrito como:
2
[
2
4
]
− 3
[
−1
2
]
+ 4
[
−3
−2
]
=
[
−5
−6
]
5/71
Exemplo
Sejam
A =
[
2 −1 −3
4 2 −2
]
e c =
 2−3
4

Então, o produto Ac é escrito como:
2
[
2
4
]
− 3
[
−1
2
]
+ 4
[
−3
−2
]
=
[
−5
−6
]
5/71
Exemplo
Sejam as matrizes
A =
 1 23 4
−1 5
 e B = [−2 3 4
3 2 1
]
Temos:
col1(AB) = −2
 13
−1
+ 3
24
5
 =
 46
17

col2(AB) = 3
 13
−1
+ 2
24
5
 =
 717
7

col3(AB) = 4
 13
−1
+ 1
24
5
 =
 616
1

6/71
Exemplo
Sejam as matrizes
A =
 1 23 4
−1 5
 e B = [−2 3 4
3 2 1
]
Temos:
col1(AB) = −2
 13
−1
+ 3
24
5
 =
 46
17

col2(AB) = 3
 13
−1
+ 2
24
5
 =
 717
7

col3(AB) = 4
 13
−1
+ 1
24
5
 =
 616
1

6/71
Exemplo
Sejam as matrizes
A =
 1 23 4
−1 5
 e B = [−2 3 4
3 2 1
]
Temos:
col1(AB) = −2
 13
−1
+ 3
24
5
 =
 46
17

col2(AB) = 3
 13
−1
+ 2
24
5
 =
 717
7

col3(AB) = 4
 13
−1
+ 1
24
5
 =
 616
1

6/71
Exemplo
Sejam as matrizes
A =
 1 23 4
−1 5
 e B = [−2 3 4
3 2 1
]
Temos:
col1(AB) = −2
 13
−1
+ 3
24
5
 =
 46
17

col2(AB) = 3
 13
−1
+ 2
24
5
 =
 717
7

col3(AB) = 4
 13
−1
+ 1
24
5
 =
 616
1

6/71
Exemplo (continuação)
Assim, o produto AB é: 1 23 4
−1 5
[−2 3 4
3 2 1
]
=
 4 7 66 17 16
17 7 1

7/71
Definição (Potências de matrizes)
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. As potências de A são definidas
como segue:
A2 = AA, A3 = A2A, An+1 = AnA e A0 = I
Exemplo
Dada a matriz
A =
[
1 2
1 3
]
Temos
A3 =
[
1 2
1 3
] [
1 2
1 3
] [
1 2
1 3
]
=
[
11 −30
−15 11
]
8/71
Definição (Potências de matrizes)
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. As potências de A são definidas
como segue:
A2 = AA, A3 = A2A, An+1 = AnA e A0 = I
Exemplo
Dada a matriz
A =
[
1 2
1 3
]
Temos
A3 =
[
1 2
1 3
] [
1 2
1 3
] [
1 2
1 3
]
=
[
11 −30
−15 11
]
8/71
Definição (Potências de matrizes)
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. As potências de A são definidas
como segue:
A2 = AA, A3 = A2A, An+1 = AnA e A0 = I
Exemplo
Dada a matriz
A =
[
1 2
1 3
]
Temos
A3 =
[
1 2
1 3
] [
1 2
1 3
] [
1 2
1 3
]
=
[
11 −30
−15 11
]
8/71
Aplicação
Exemplo
Em uma determinada cidade, 30% das mulheres casadas se divorciam e 20%
das mulheres solteiras se casam por ano. Existem 8000 mulheres casadas e
2000 mulheres solteiras. Supondo que a população total de mulheres perma-
nece constante, quantas mulheres estarão casadas e quantas estarão solteiras
depois de 1 ano? E depois de 2 anos?
Solução.
Formamos uma matriz A de maneira que os elementos na primeira coluna de
A são os percentuais das mulheres casadas e solteiras, respectivamente, que
estão casadas 1 ano depois. Então:
A =
[
0, 70 0, 20
0, 30 0, 80
]
9/71
Aplicação
Exemplo
Em uma determinada cidade, 30% das mulheres casadas se divorciam e 20%
das mulheres solteiras se casam por ano. Existem 8000 mulheres casadas e
2000 mulheres solteiras. Supondo que a população total de mulheres perma-
nece constante, quantas mulheres estarão casadas e quantas estarão solteiras
depois de 1 ano? E depois de 2 anos?
Solução.
Formamos uma matriz A de maneira que os elementos na primeira coluna de
A são os percentuais das mulheres casadas e solteiras, respectivamente, que
estão casadas 1 ano depois. Então:
A =
[
0, 70 0, 20
0, 30 0, 80
]
9/71
Aplicação
Exemplo
Em uma determinada cidade, 30% das mulheres casadas se divorciam e 20%
das mulheres solteiras se casam por ano. Existem 8000 mulheres casadas e
2000 mulheres solteiras. Supondo que a população total de mulheres perma-
nece constante, quantas mulheres estarão casadas e quantas estarão solteiras
depois de 1 ano? E depois de 2 anos?
Solução.
Formamos uma matriz A de maneira que os elementos na primeira coluna de
A são os percentuais das mulheres casadas e solteiras, respectivamente, que
estão casadas 1 ano depois. Então:
A =
[
0, 70 0, 20
0, 30 0, 80
]
9/71
continuação.
Se
X =
[
8000
2000
]
o número de mulheres casadas e solteiras depois de 1 ano pode ser obtido
multiplicando-se A por X .
AX =
[
0, 70 0, 20
0, 30 0, 80
] [
8000
2000
]
=
[
6000
4000
]
Depois de 1 ano, 6000 mulheres estarão casadas e 4000 estarão solteiras. Para
encontrar o número de mulheres casadas e solteiras depois de 2 anos, calcule:
A2X = A(AX )
[
0, 70 0, 20
0, 30 0, 80
] [
6000
4000
]
=
[
5000
5000
]
Depois de 2 anos metade das mulheres estará casada e metade estará solteira.
10/71
continuação.
Se
X =
[
8000
2000
]
o número de mulheres casadas e solteiras depois de 1 ano pode ser obtido
multiplicando-se A por X .
AX =
[
0, 70 0, 20
0, 30 0, 80
] [
8000
2000
]
=
[
6000
4000
]
Depois de 1 ano, 6000 mulheres estarão casadas e 4000 estarão solteiras. Para
encontrar o número de mulheres casadas e solteiras depois de 2 anos, calcule:
A2X = A(AX )
[
0, 70 0, 20
0, 30 0, 80
] [
6000
4000
]
=
[
5000
5000
]
Depois de 2 anos metade das mulheres estará casada e metade estará solteira.
10/71
continuação.
Se
X =
[
8000
2000
]
o número de mulheres casadas e solteiras depois de 1 ano pode ser obtido
multiplicando-se A por X .
AX =
[
0, 70 0, 20
0, 30 0, 80
] [
8000
2000
]
=
[
6000
4000
]
Depoisde 1 ano, 6000 mulheres estarão casadas e 4000 estarão solteiras. Para
encontrar o número de mulheres casadas e solteiras depois de 2 anos, calcule:
A2X = A(AX )
[
0, 70 0, 20
0, 30 0, 80
] [
6000
4000
]
=
[
5000
5000
]
Depois de 2 anos metade das mulheres estará casada e metade estará solteira.
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continuação.
Se
X =
[
8000
2000
]
o número de mulheres casadas e solteiras depois de 1 ano pode ser obtido
multiplicando-se A por X .
AX =
[
0, 70 0, 20
0, 30 0, 80
] [
8000
2000
]
=
[
6000
4000
]
Depois de 1 ano, 6000 mulheres estarão casadas e 4000 estarão solteiras. Para
encontrar o número de mulheres casadas e solteiras depois de 2 anos, calcule:
A2X = A(AX )
[
0, 70 0, 20
0, 30 0, 80
] [
6000
4000
]
=
[
5000
5000
]
Depois de 2 anos metade das mulheres estará casada e metade estará solteira.
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continuação.
Se
X =
[
8000
2000
]
o número de mulheres casadas e solteiras depois de 1 ano pode ser obtido
multiplicando-se A por X .
AX =
[
0, 70 0, 20
0, 30 0, 80
] [
8000
2000
]
=
[
6000
4000
]
Depois de 1 ano, 6000 mulheres estarão casadas e 4000 estarão solteiras. Para
encontrar o número de mulheres casadas e solteiras depois de 2 anos, calcule:
A2X = A(AX )
[
0, 70 0, 20
0, 30 0, 80
] [
6000
4000
]
=
[
5000
5000
]
Depois de 2 anos metade das mulheres estará casada e metade estará solteira.
10/71
Definição (Polinômios matriciais)
Se A for uma matriz quadrada, digamos n × n, e se
p(x ) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ amxm
é um polinômio qualquer, então definimos a matriz p(A) de tamanho n × n
por
p(A) = a0I + a1A+ a2A
2 + · · ·+ amAm
em que I é a matriz identidade n × n.
Ou seja, p(A) é a matriz obtida substituindo x por A e o termo constante a0
pela matriz a0I . Essa expressão é denominada polinômio matricial em A.
11/71
Definição (Polinômios matriciais)
Se A for uma matriz quadrada, digamos n × n, e se
p(x ) = a0 + a1x + a2x
2 + · · ·+ amxm
é um polinômio qualquer, então definimos a matriz p(A) de tamanho n × n
por
p(A) = a0I + a1A+ a2A
2 + · · ·+ amAm
em que I é a matriz identidade n × n.
Ou seja, p(A) é a matriz obtida substituindo x por A e o termo constante a0
pela matriz a0I . Essa expressão é denominada polinômio matricial em A.
11/71
Exemplo
Dada a matriz e o polinômio
A =
[
1 2
3 −4
]
e f (x ) = 2x 2 − 3x + 5
Temos:
f (A) = 2A2 − 3A+ 5I
= 2
[
7 −6
−9 22
]
− 3
[
1 2
3 −4
]
+ 5
[
1 0
0 1
]
=
[
16 −18
−27 61
]
12/71
Exemplo
Dada a matriz e o polinômio
A =
[
1 2
3 −4
]
e f (x ) = 2x 2 − 3x + 5
Temos:
f (A) = 2A2 − 3A+ 5I
= 2
[
7 −6
−9 22
]
− 3
[
1 2
3 −4
]
+ 5
[
1 0
0 1
]
=
[
16 −18
−27 61
]
12/71
Exemplo
Dada a matriz e o polinômio
A =
[
1 2
3 −4
]
e f (x ) = 2x 2 − 3x + 5
Temos:
f (A) = 2A2 − 3A+ 5I
= 2
[
7 −6
−9 22
]
− 3
[
1 2
3 −4
]
+ 5
[
1 0
0 1
]
=
[
16 −18
−27 61
]
12/71
Exemplo
Dada a matriz e o polinômio
A =
[
1 2
3 −4
]
e f (x ) = 2x 2 − 3x + 5
Temos:
f (A) = 2A2 − 3A+ 5I
= 2
[
7 −6
−9 22
]
− 3
[
1 2
3 −4
]
+ 5
[
1 0
0 1
]
=
[
16 −18
−27 61
]
12/71
Propriedades de matrizes
13/71
Teorema: Propriedades da Adição
Sejam A,B ,C e D matrizes m × n:
(a) A+ B = B +A.
(b) A+ (B + C ) = (A+ B) + C .
(c) Há uma única matriz 0m×n tal que
A+ 0 = A.
(d) Para cada matriz Am×n , há uma única matriz Dm×n tal que
A+D = 0.
Representamos D por (−A), ou seja
A+ (−A) = 0.
A matriz (−A) é chamada matriz inversa aditiva ou negativa de A.
13/71
Teorema: Propriedades da Adição
Sejam A,B ,C e D matrizes m × n:
(a) A+ B = B +A.
(b) A+ (B + C ) = (A+ B) + C .
(c) Há uma única matriz 0m×n tal que
A+ 0 = A.
(d) Para cada matriz Am×n , há uma única matriz Dm×n tal que
A+D = 0.
Representamos D por (−A), ou seja
A+ (−A) = 0.
A matriz (−A) é chamada matriz inversa aditiva ou negativa de A.
13/71
Teorema: Propriedades da Adição
Sejam A,B ,C e D matrizes m × n:
(a) A+ B = B +A.
(b) A+ (B + C ) = (A+ B) + C .
(c) Há uma única matriz 0m×n tal que
A+ 0 = A.
(d) Para cada matriz Am×n , há uma única matriz Dm×n tal que
A+D = 0.
Representamos D por (−A), ou seja
A+ (−A) = 0.
A matriz (−A) é chamada matriz inversa aditiva ou negativa de A.
13/71
Teorema: Propriedades da Adição
Sejam A,B ,C e D matrizes m × n:
(a) A+ B = B +A.
(b) A+ (B + C ) = (A+ B) + C .
(c) Há uma única matriz 0m×n tal que
A+ 0 = A.
(d) Para cada matriz Am×n , há uma única matriz Dm×n tal que
A+D = 0.
Representamos D por (−A), ou seja
A+ (−A) = 0.
A matriz (−A) é chamada matriz inversa aditiva ou negativa de A.
13/71
Teorema: Propriedades da Adição
Sejam A,B ,C e D matrizes m × n:
(a) A+ B = B +A.
(b) A+ (B + C ) = (A+ B) + C .
(c) Há uma única matriz 0m×n tal que
A+ 0 = A.
(d) Para cada matriz Am×n , há uma única matriz Dm×n tal que
A+D = 0.
Representamos D por (−A), ou seja
A+ (−A) = 0.
A matriz (−A) é chamada matriz inversa aditiva ou negativa de A.
13/71
Teorema: Propriedades da Adição
Sejam A,B ,C e D matrizes m × n:
(a) A+ B = B +A.
(b) A+ (B + C ) = (A+ B) + C .
(c) Há uma única matriz 0m×n tal que
A+ 0 = A.
(d) Para cada matriz Am×n , há uma única matriz Dm×n tal que
A+D = 0.
Representamos D por (−A), ou seja
A+ (−A) = 0.
A matriz (−A) é chamada matriz inversa aditiva ou negativa de A.
13/71
Teorema: Propriedades da Adição
Sejam A,B ,C e D matrizes m × n:
(a) A+ B = B +A.
(b) A+ (B + C ) = (A+ B) + C .
(c) Há uma única matriz 0m×n tal que
A+ 0 = A.
(d) Para cada matriz Am×n , há uma única matriz Dm×n tal que
A+D = 0.
Representamos D por (−A), ou seja
A+ (−A) = 0.
A matriz (−A) é chamada matriz inversa aditiva ou negativa de A.
13/71
Teorema: Propriedades da Multiplicação por escalar
(a) Se A,B e C tem tamanhos apropriados, então:
A(BC ) = (AB)C .
(b) Se A,B e C tem tamanhos apropriados, então:
A(B + C ) = AB +AC
(c) Se A,B e C tem tamanhos apropriados, então:
(A+ B)C = AC + BC
(d) Para inteiros não-negativos p e q :
ApAq = Ap+q e (Ap)q = Apq
14/71
Teorema: Propriedades da Multiplicação por escalar
(a) Se A,B e C tem tamanhos apropriados, então:
A(BC ) = (AB)C .
(b) Se A,B e C tem tamanhos apropriados, então:
A(B + C ) = AB +AC
(c) Se A,B e C tem tamanhos apropriados, então:
(A+ B)C = AC + BC
(d) Para inteiros não-negativos p e q :
ApAq = Ap+q e (Ap)q = Apq
14/71
Teorema: Propriedades da Multiplicação por escalar
(a) Se A,B e C tem tamanhos apropriados, então:
A(BC ) = (AB)C .
(b) Se A,B e C tem tamanhos apropriados, então:
A(B + C ) = AB +AC
(c) Se A,B e C tem tamanhos apropriados, então:
(A+ B)C = AC + BC
(d) Para inteiros não-negativos p e q :
ApAq = Ap+q e (Ap)q = Apq
14/71
Teorema: Propriedades da Multiplicação por escalar
(a) Se A,B e C tem tamanhos apropriados, então:
A(BC ) = (AB)C .
(b) Se A,B e C tem tamanhos apropriados, então:
A(B + C ) = AB +AC
(c) Se A,B e C tem tamanhos apropriados, então:
(A+ B)C = AC + BC
(d) Para inteiros não-negativos p e q :
ApAq = Ap+q e (Ap)q = Apq
14/71
Teorema: Propriedades de Potência
Se r e s são números reais e A e B são matrizes, então:
(a) r(sA) = (rs)A
(b) (r + s)A = rA+ sA
(c) r(A+ B) = rA+ rB
(d) A(rB) = r(AB) = (rA)B
15/71
Teorema: Propriedades de Potência
Se r e s são números reais e A e B são matrizes, então:
(a) r(sA) = (rs)A
(b) (r + s)A = rA+ sA
(c) r(A+ B) = rA+ rB
(d) A(rB) = r(AB) = (rA)B
15/71
Teorema: Propriedades de Potência
Se r e s são números reais e A e B são matrizes, então:
(a) r(sA) = (rs)A
(b) (r + s)A = rA+ sA
(c) r(A+ B) = rA+ rB
(d) A(rB) = r(AB) = (rA)B
15/71
Teorema: Propriedades de Potência
Se r e s são números reais e A e B são matrizes, então:
(a) r(sA) = (rs)A
(b) (r + s)A = rA+ sA
(c) r(A+ B) = rA+ rB
(d) A(rB) = r(AB) = (rA)B
15/71
Teorema: Propriedades de Transposta
Se r é um escalar e A e B são matrizes, então:
(a) (AT )T
(b) (A+ B)T = AT + BT
(c) (AB)T = BTAT
(d) (rA)T = rAT
16/71
Teorema:Propriedades de Transposta
Se r é um escalar e A e B são matrizes, então:
(a) (AT )T
(b) (A+ B)T = AT + BT
(c) (AB)T = BTAT
(d) (rA)T = rAT
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Teorema: Propriedades de Transposta
Se r é um escalar e A e B são matrizes, então:
(a) (AT )T
(b) (A+ B)T = AT + BT
(c) (AB)T = BTAT
(d) (rA)T = rAT
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Teorema: Propriedades de Transposta
Se r é um escalar e A e B são matrizes, então:
(a) (AT )T
(b) (A+ B)T = AT + BT
(c) (AB)T = BTAT
(d) (rA)T = rAT
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Definição (Matriz simétrica)
Uma matriz A = [aij ] com elementos reais é chamada simétrica se
AT = A.
Ou seja, se a matriz A é simétrica, então os elementos de A são simétricos em
relação à diagonal principal de A.
Exemplo
A matriz
A =
1 2 32 4 5
3 5 6

é simétrica.
17/71
Definição (Matriz simétrica)
Uma matriz A = [aij ] com elementos reais é chamada simétrica se
AT = A.
Ou seja, se a matriz A é simétrica, então os elementos de A são simétricos em
relação à diagonal principal de A.
Exemplo
A matriz
A =
1 2 32 4 5
3 5 6

é simétrica.
17/71
Definição (Traço de uma matriz)
Se A for uma matriz quadrada, então o traço de A, denotado por tr(A), é
definido pela soma das entradas na diagonal principal de A. O traço de A não
é definido se A não for uma matriz quadrada.
Exemplo
Dado
A =

−1 2 7 0
3 5 −8 4
1 2 7 −3
4 −2 1 0

temos que:
tr(A) = 1 + 5 + 7 + 0 = 11
18/71
Definição (Traço de uma matriz)
Se A for uma matriz quadrada, então o traço de A, denotado por tr(A), é
definido pela soma das entradas na diagonal principal de A. O traço de A não
é definido se A não for uma matriz quadrada.
Exemplo
Dado
A =

−1 2 7 0
3 5 −8 4
1 2 7 −3
4 −2 1 0

temos que:
tr(A) = 1 + 5 + 7 + 0 = 11
18/71
Teorema: Propriedades do Traço
Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e k um escalar. Então
valem:
(a) tr(A+ B) = tr(A) + tr(B)
(b) tr(kA) = ktr(A)
(c) tr
(
AT
)
= tr(A)
(d) tr(AB) = tr(BA)
19/71
Matriz Inversa
20/71
Definição (Matriz Inversa)
Uma matriz An×n é dita invert́ıvel (ou não-singular) se existir uma matriz
Bn×n tal que
AB = BA = In .
A matriz B é chamada inversa multiplicativa de A.
Observações
(i) Uma matriz é dita singular (ou não-invert́ıvel) se ela não tem uma inversa
multiplicativa.
(ii) Uma inversa de uma matriz, se existir, é única.
(iii) Denotamos a matriz inversa de A por A−1.
20/71
Definição (Matriz Inversa)
Uma matriz An×n é dita invert́ıvel (ou não-singular) se existir uma matriz
Bn×n tal que
AB = BA = In .
A matriz B é chamada inversa multiplicativa de A.
Observações
(i) Uma matriz é dita singular (ou não-invert́ıvel) se ela não tem uma inversa
multiplicativa.
(ii) Uma inversa de uma matriz, se existir, é única.
(iii) Denotamos a matriz inversa de A por A−1.
20/71
Definição (Matriz Inversa)
Uma matriz An×n é dita invert́ıvel (ou não-singular) se existir uma matriz
Bn×n tal que
AB = BA = In .
A matriz B é chamada inversa multiplicativa de A.
Observações
(i) Uma matriz é dita singular (ou não-invert́ıvel) se ela não tem uma inversa
multiplicativa.
(ii) Uma inversa de uma matriz, se existir, é única.
(iii) Denotamos a matriz inversa de A por A−1.
20/71
Definição (Matriz Inversa)
Uma matriz An×n é dita invert́ıvel (ou não-singular) se existir uma matriz
Bn×n tal que
AB = BA = In .
A matriz B é chamada inversa multiplicativa de A.
Observações
(i) Uma matriz é dita singular (ou não-invert́ıvel) se ela não tem uma inversa
multiplicativa.
(ii) Uma inversa de uma matriz, se existir, é única.
(iii) Denotamos a matriz inversa de A por A−1.
20/71
Exemplo
Sejam
A =
[
2 3
2 2
]
e B =
[
−1 3/2
1 −1
]
Como
AB = BA = In
conclúımos que B é a inversa de A e que A é invert́ıvel.
21/71
Exemplo
Sejam
A =
[
2 3
2 2
]
e B =
[
−1 3/2
1 −1
]
Como
AB = BA = In
conclúımos que B é a inversa de A e que A é invert́ıvel.
21/71
Exemplo
Seja
A =
[
1 2
3 4
]
Para encontrar A−1, fazemos:
A−1 =
[
a b
c d
]
Então devemos ter:
AA−1 = I2 ⇒
[
1 2
3 4
] [
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
Assim: [
a + 2c b + 2d
3a + 4c 3b + 4d
]
=
[
1 0
0 1
]
22/71
Exemplo
Seja
A =
[
1 2
3 4
]
Para encontrar A−1, fazemos:
A−1 =
[
a b
c d
]
Então devemos ter:
AA−1 = I2 ⇒
[
1 2
3 4
] [
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
Assim: [
a + 2c b + 2d
3a + 4c 3b + 4d
]
=
[
1 0
0 1
]
22/71
Exemplo
Seja
A =
[
1 2
3 4
]
Para encontrar A−1, fazemos:
A−1 =
[
a b
c d
]
Então devemos ter:
AA−1 = I2 ⇒
[
1 2
3 4
] [
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
Assim: [
a + 2c b + 2d
3a + 4c 3b + 4d
]
=
[
1 0
0 1
]
22/71
Exemplo (continuação)
Igualando os elementos correspondentes dessas duas matrizes, obtemos o
sistema:

a + 2c = 1
b + 2d = 0
3a + 4c = 0
3b + 4d = 1
As soluções são:
a = −2, b = 1, c = 3
2
, d = −1
2
Conclúımos que A é invert́ıvel e que:
A−1 =
[
−2 1
3/2 −1/2
]
23/71
Exemplo (continuação)
Igualando os elementos correspondentes dessas duas matrizes, obtemos o
sistema: 
a + 2c = 1
b + 2d = 0
3a + 4c = 0
3b + 4d = 1
As soluções são:
a = −2, b = 1, c = 3
2
, d = −1
2
Conclúımos que A é invert́ıvel e que:
A−1 =
[
−2 1
3/2 −1/2
]
23/71
Exemplo (continuação)
Igualando os elementos correspondentes dessas duas matrizes, obtemos o
sistema: 
a + 2c = 1
b + 2d = 0
3a + 4c = 0
3b + 4d = 1
As soluções são:
a = −2, b = 1, c = 3
2
, d = −1
2
Conclúımos que A é invert́ıvel e que:
A−1 =
[
−2 1
3/2 −1/2
]
23/71
Exemplo (continuação)
Igualando os elementos correspondentes dessas duas matrizes, obtemos o
sistema: 
a + 2c = 1
b + 2d = 0
3a + 4c = 0
3b + 4d = 1
As soluções são:
a = −2, b = 1, c = 3
2
, d = −1
2
Conclúımos que A é invert́ıvel e que:
A−1 =
[
−2 1
3/2 −1/2
]
23/71
Teorema
A matriz [
a b
c d
]
é invert́ıvel se, e só se,
ad − bc 6= 0,
caso em que a inversa é dada pela fórmula:
A−1 =
1
ad − bc
[
d −b
−c a
]
24/71
Exemplo
Dada a matriz
A =
[
2 −1
1 3
]
Sua inversa é:
A−1 =
1
(3 · 2)− (1 · (−1))
[
3 1
−1 2
]
=
1
7
[
3 1
−1 2
]
=
[
3/7 1/7
−1/7 2/7
]
25/71
Exemplo
Dada a matriz
A =
[
2 −1
1 3
]
Sua inversa é:
A−1 =
1
(3 · 2)− (1 · (−1))
[
3 1
−1 2
]
=
1
7
[
3 1
−1 2
]
=
[
3/7 1/7
−1/7 2/7
]
25/71
Exemplo
Dada a matriz
A =
[
2 −1
1 3
]
Sua inversa é:
A−1 =
1
(3 · 2)− (1 · (−1))
[
3 1
−1 2
]
=
1
7
[
3 1
−1 2
]
=
[
3/7 1/7
−1/7 2/7
]
25/71
Exemplo
Dada a matriz
A =
[
2 −1
1 3
]
Sua inversa é:
A−1 =
1
(3 · 2)− (1 · (−1))
[
3 1
−1 2
]
=
1
7
[
3 1
−1 2
]
=
[
3/7 1/7
−1/7 2/7
]
25/71
Teorema: Propriedades da Inversa
(a) Se A é uma matriz invert́ıvel, então A−1 é invert́ıvel e:(
A−1
)−1
= A.
(b) Se A e B são matrizes invert́ıveis, então AB é invert́ıvel e:
(AB)−1 = B−1A−1.
(c) Se A é uma matriz invert́ıvel, então: (
AT
)−1
=
(
A−1
)T
.
(d) Se A for uma matriz invert́ıvel e n um inteiro não negativo, então:
(An)−1 = A−n =
(
A−1
)n
(e) kA é invert́ıvel com qualquer escalar não nulo k e:
(kA)−1 = k−1A−1.
26/71
Teorema: Propriedades da Inversa
(a) Se A é uma matriz invert́ıvel, então A−1 é invert́ıvel e:(
A−1
)−1
= A.
(b) Se A e B são matrizes invert́ıveis, então AB é invert́ıvel e:
(AB)−1 = B−1A−1.
(c) Se A é uma matriz invert́ıvel, então: (
AT
)−1
=
(
A−1
)T
.
(d) Se A for uma matriz invert́ıvel e n um inteiro não negativo, então:
(An)−1 = A−n =
(
A−1
)n
(e) kA é invert́ıvel com qualquer escalar não nulo k e:
(kA)−1 = k−1A−1.
26/71
Teorema: Propriedades da Inversa
(a) Se A é uma matriz invert́ıvel, então A−1 é invert́ıvel e:(
A−1
)−1
= A.
(b) Se A e B são matrizes invert́ıveis, então AB é invert́ıvel e:
(AB)−1 = B−1A−1.
(c) Se A é uma matriz invert́ıvel, então: (
AT
)−1
=
(
A−1
)T
.
(d) Se A for uma matriz invert́ıvel e n um inteiro não negativo, então:
(An)−1 = A−n =
(
A−1
)n
(e) kA é invert́ıvel com qualquer escalar não nulo k e:
(kA)−1 =k−1A−1.
26/71
Teorema: Propriedades da Inversa
(a) Se A é uma matriz invert́ıvel, então A−1 é invert́ıvel e:(
A−1
)−1
= A.
(b) Se A e B são matrizes invert́ıveis, então AB é invert́ıvel e:
(AB)−1 = B−1A−1.
(c) Se A é uma matriz invert́ıvel, então: (
AT
)−1
=
(
A−1
)T
.
(d) Se A for uma matriz invert́ıvel e n um inteiro não negativo, então:
(An)−1 = A−n =
(
A−1
)n
(e) kA é invert́ıvel com qualquer escalar não nulo k e:
(kA)−1 = k−1A−1.
26/71
Teorema: Propriedades da Inversa
(a) Se A é uma matriz invert́ıvel, então A−1 é invert́ıvel e:(
A−1
)−1
= A.
(b) Se A e B são matrizes invert́ıveis, então AB é invert́ıvel e:
(AB)−1 = B−1A−1.
(c) Se A é uma matriz invert́ıvel, então: (
AT
)−1
=
(
A−1
)T
.
(d) Se A for uma matriz invert́ıvel e n um inteiro não negativo, então:
(An)−1 = A−n =
(
A−1
)n
(e) kA é invert́ıvel com qualquer escalar não nulo k e:
(kA)−1 = k−1A−1.
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Definição (Matriz Elementar)
Uma matriz obtida a partir da matriz identidade por uma das operações ele-
mentares é chamada de matriz elementar.
Existem três tipos de matrizes elementares, uma para cada operação elementar.
27/71
Definição (Matriz Elementar)
Uma matriz obtida a partir da matriz identidade por uma das operações ele-
mentares é chamada de matriz elementar.
Existem três tipos de matrizes elementares, uma para cada operação elementar.
27/71
Definição (Tipo I)
Uma matriz elementar do tipo I é obtida trocando-se a ordem de duas linhas
de I
Exemplo
Seja
E1 =
0 1 01 0 0
0 0 1

E1, é uma matriz elementar do tipo I, já que foi obtida trocando-se as duas
primeiras linhas de I .
28/71
Definição (Tipo I)
Uma matriz elementar do tipo I é obtida trocando-se a ordem de duas linhas
de I
Exemplo
Seja
E1 =
0 1 01 0 0
0 0 1

E1, é uma matriz elementar do tipo I, já que foi obtida trocando-se as duas
primeiras linhas de I .
28/71
Tipo I
Seja A uma matriz 3× 3:
Multiplicando A à esquerda por E1, trocamos as duas primeiras linhas
de A.
E1A =
0 1 01 0 0
0 0 1
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =
a21 a22 a23 ←a11 a12 a13 ←
a31 a32 a33

Multiplicar A à direita por E1, equivale a efetuar a operação elementar
sobre colunas que consiste na troca das duas primeiras colunas de A.
AE1 =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
0 1 01 0 0
0 0 1
 =

↓ ↓
a12 a11 a13
a22 a21 a23
a32 a31 a33

29/71
Tipo I
Seja A uma matriz 3× 3:
Multiplicando A à esquerda por E1, trocamos as duas primeiras linhas
de A.
E1A =
0 1 01 0 0
0 0 1
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =
a21 a22 a23 ←a11 a12 a13 ←
a31 a32 a33

Multiplicar A à direita por E1, equivale a efetuar a operação elementar
sobre colunas que consiste na troca das duas primeiras colunas de A.
AE1 =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
0 1 01 0 0
0 0 1
 =

↓ ↓
a12 a11 a13
a22 a21 a23
a32 a31 a33

29/71
Tipo I
Seja A uma matriz 3× 3:
Multiplicando A à esquerda por E1, trocamos as duas primeiras linhas
de A.
E1A =
0 1 01 0 0
0 0 1
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =
a21 a22 a23 ←a11 a12 a13 ←
a31 a32 a33

Multiplicar A à direita por E1, equivale a efetuar a operação elementar
sobre colunas que consiste na troca das duas primeiras colunas de A.
AE1 =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
0 1 01 0 0
0 0 1
 =

↓ ↓
a12 a11 a13
a22 a21 a23
a32 a31 a33

29/71
Tipo I
Seja A uma matriz 3× 3:
Multiplicando A à esquerda por E1, trocamos as duas primeiras linhas
de A.
E1A =
0 1 01 0 0
0 0 1
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =
a21 a22 a23 ←a11 a12 a13 ←
a31 a32 a33

Multiplicar A à direita por E1, equivale a efetuar a operação elementar
sobre colunas que consiste na troca das duas primeiras colunas de A.
AE1 =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
0 1 01 0 0
0 0 1
 =

↓ ↓
a12 a11 a13
a22 a21 a23
a32 a31 a33

29/71
Definição (Tipo II)
Uma matriz elementar do tipo II é uma matriz obtida multiplicando-se uma
linha de I por uma constante não-nula.
Exemplo
Seja
E2 =
1 0 00 1 0
0 0 3

E2, é uma matriz elementar do tipo II, já que foi obtida multiplicando a
última linha por 3.
30/71
Definição (Tipo II)
Uma matriz elementar do tipo II é uma matriz obtida multiplicando-se uma
linha de I por uma constante não-nula.
Exemplo
Seja
E2 =
1 0 00 1 0
0 0 3

E2, é uma matriz elementar do tipo II, já que foi obtida multiplicando a
última linha por 3.
30/71
Tipo II
A multiplicação à esquerda por E2 efetua a operação elementar sobre as
linhas que consiste em multiplicar a terceira linha por 3:
E2A =
1 0 00 1 0
0 0 3
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
3a31 3a32 3a33

A multiplicação à direita por E2 efetua a operação elementar sobre as
colunas que consiste em multiplicar a terceira coluna por 3.
AE1 =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
1 0 00 1 0
0 0 3
 =
a11 a12 3a13a21 a22 3a23
a31 a32 3a33

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Tipo II
A multiplicação à esquerda por E2 efetua a operação elementar sobre as
linhas que consiste em multiplicar a terceira linha por 3:
E2A =
1 0 00 1 0
0 0 3
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
3a31 3a32 3a33

A multiplicação à direita por E2 efetua a operação elementar sobre as
colunas que consiste em multiplicar a terceira coluna por 3.
AE1 =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
1 0 00 1 0
0 0 3
 =
a11 a12 3a13a21 a22 3a23
a31 a32 3a33

31/71
Tipo II
A multiplicação à esquerda por E2 efetua a operação elementar sobre as
linhas que consiste em multiplicar a terceira linha por 3:
E2A =
1 0 00 1 0
0 0 3
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
3a31 3a32 3a33

A multiplicação à direita por E2 efetua a operação elementar sobre as
colunas que consiste em multiplicar a terceira coluna por 3.
AE1 =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
1 0 00 1 0
0 0 3
 =
a11 a12 3a13a21 a22 3a23
a31 a32 3a33

31/71
Definição (Tipo III)
Uma matriz elementar de tipo III é uma matriz obtida de I somando-se um
múltiplo de uma das linhas à outra linha.
Exemplo
Seja
E3 =
1 0 30 1 0
0 0 1

E3, é uma matriz elementar do tipo III .
32/71
Definição (Tipo III)
Uma matriz elementar de tipo III é uma matriz obtida de I somando-se um
múltiplo de uma das linhas à outra linha.
Exemplo
Seja
E3 =
1 0 30 1 0
0 0 1

E3, é uma matriz elementar do tipo III .
32/71
Tipo III
Multiplicação à esquerda por E3 soma 3 vezes a terceira linha à segunda:
E3A =
1 0 30 1 0
0 0 1
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 = [a11 + 3a31 a12 + 3a32 a13 + 3a33a21 a22 a23
3a31 3a32 3a33
]
Multiplicação à direita por E3 soma 3 vezes a primeira coluna à terceira:
AE3 =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
1 0 30 1 0
0 0 1
 =
a11 a12 3a11 + a13a21 a22 3a21 + a23
a31 a32 3a31 + a33

33/71
Tipo III
Multiplicação à esquerda por E3 soma 3 vezes a terceira linha à segunda:
E3A =
1 0 30 1 0
0 0 1
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 = [a11 + 3a31 a12 + 3a32 a13 + 3a33a21 a22 a23
3a31 3a32 3a33
]
Multiplicação à direita por E3 soma 3 vezes a primeira coluna à terceira:
AE3 =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
1 0 30 1 0
0 0 1
 =
a11 a12 3a11 + a13a21 a22 3a21 + a23
a31 a32 3a31 + a33

33/71
Tipo III
Multiplicação à esquerda por E3 soma 3 vezes a terceira linha à segunda:
E3A =
1 0 30 1 0
0 0 1
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
 = [a11 + 3a31 a12 + 3a32 a13 + 3a33a21 a22 a23
3a31 3a32 3a33
]
Multiplicação à direita por E3 soma 3 vezes a primeira coluna à terceira:
AE3 =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
1 0 30 1 0
0 0 1
 =
a11 a12 3a11 + a13a21 a22 3a21 + a23
a31 a32 3a31 + a33

33/71
Definição
Uma matriz B é equivalente por linhas a A se existe uma sequência finita de
matrizes elementares E1,E2, . . .,Ek tal que:
B = Ek ,Ek−1, . . . ,E1A
Se A é invert́ıvel, então A é equivalente por linhas a I , logo existem matrizes
elementares E1,E2, . . . ,Ek , tais que:
Ek ,Ek−1, . . . ,E1A = I
Multiplicando ambos os lados dessa equação à direita por A−1, obtemos:
Ek ,Ek−1, . . . ,E1I = A
−1
34/71
Definição
Uma matriz B é equivalente por linhas a A se existe uma sequência finita de
matrizes elementares E1,E2, . . . ,Ek tal que:
B = Ek ,Ek−1, . . . ,E1A
Se A é invert́ıvel, então A é equivalente por linhas a I , logo existem matrizes
elementares E1,E2, . . . ,Ek , tais que:
Ek ,Ek−1, . . . ,E1A = I
Multiplicando ambos os lados dessa equação à direita por A−1, obtemos:
Ek ,Ek−1, . . . ,E1I = A
−1
34/71
Definição
Uma matriz B é equivalente por linhas a A se existe uma sequência finita de
matrizes elementares E1,E2, . . . ,Ek tal que:
B = Ek ,Ek−1, . . . ,E1A
Se A é invert́ıvel, então A é equivalente por linhas a I , logo existem matrizes
elementares E1,E2, . . . ,Ek , tais que:
Ek ,Ek−1, . . . ,E1A = I
Multiplicando ambos os lados dessa equação à direita por A−1, obtemos:
Ek ,Ek−1, . . . ,E1I = A
−1
34/71
Logo, a mesma sequência de operações elementares que transforma uma matriz
invert́ıvel A em I transforma I em A−1.
Isso nos dá um método para calcular A−1. Aumentando a matriz A com I e
efetuando as operações elementares que transformam A em I sobre as linhas
da matriz aumentada, I vai ser transformada em A−1.
Algoritmo da inversão
Para encontrar a inversa de uma matriz invert́ıvel A, encontre uma sequência
de operações elementares com linhas que reduza A à identidade e depois efetue
essa mesma sequência de operações em In para obter A
−1.
35/71
Logo, a mesma sequência de operações elementares que transforma uma matriz
invert́ıvel A em I transforma I em A−1.
Isso nos dá um método para calcular A−1. Aumentando a matriz A com I e
efetuando as operações elementares que transformam A em I sobre as linhas
da matriz aumentada, I vai ser transformada em A−1.
Algoritmo da inversão
Para encontrar a inversa de uma matriz invert́ıvel A, encontre uma sequência
de operações elementares com linhas que reduza A à identidade e depois efetue
essa mesma sequência de operações em In para obter A
−1.
35/71
Logo, a mesma sequência de operações elementares que transforma uma matriz
invert́ıvel A em I transforma I em A−1.
Isso nos dá um método para calcular A−1. Aumentando a matriz A com I e
efetuando as operações elementares que transformam A em I sobre as linhas
da matriz aumentada, I vai ser transformada em A−1.
Algoritmo da inversão
Para encontrar a inversa de uma matriz invert́ıvel A, encontre uma sequência
de operações elementares com linhas que reduza A à identidade e depois efetue
essa mesma sequência de operações em In para obter A
−1.
35/71
Passo 1: Forme a matriz [
A
... In
]
obtida juntando-se a matriz identidade In e a matriz A dada.
Passo 2: Calcule a forma escalonada reduzida por linhas da matriz obtida no
Passo 1 utilizando operações elementares.
Passo 3: Suponha que o Passo 2 produziu a matriz[
C
... D
]
da forma escalonada reduzida por linhas:
(a) Se C = In , então D = A
−1.
(b) Se C 6= In , então C tem uma linha nula. Neste caso, A é singular e A−1
não existe.
36/71
Passo 1: Forme a matriz [
A
... In
]
obtida juntando-se a matriz identidade In e a matriz A dada.
Passo 2: Calcule a forma escalonada reduzida por linhas da matriz obtida no
Passo 1 utilizando operações elementares.
Passo 3: Suponha que o Passo 2 produziu a matriz[
C
... D
]
da forma escalonada reduzida por linhas:
(a) Se C = In , então D = A
−1.
(b) Se C 6= In , então C tem uma linha nula. Neste caso, A é singular e A−1
não existe.
36/71
Passo 1: Forme a matriz [
A
... In
]
obtida juntando-se a matriz identidade In e a matriz A dada.
Passo 2: Calcule a forma escalonada reduzida por linhas da matriz obtida no
Passo 1 utilizando operações elementares.
Passo 3: Suponha que o Passo 2 produziu a matriz[
C
... D
]
da forma escalonada reduzida por linhas:
(a) Se C = In , então D = A
−1.
(b) Se C 6= In , então C tem uma linha nula. Neste caso, A é singular e A−1
não existe.
36/71
Passo 1: Forme a matriz [
A
... In
]
obtida juntando-se a matriz identidade In e a matriz A dada.
Passo 2: Calcule a forma escalonada reduzida por linhas da matriz obtida no
Passo 1 utilizando operações elementares.
Passo 3: Suponha que o Passo 2 produziu a matriz[
C
... D
]
da forma escalonada reduzida por linhas:
(a) Se C = In , então D = A
−1.
(b) Se C 6= In , então C tem uma linha nula. Neste caso, A é singular e A−1
não existe.
36/71
Passo 1: Forme a matriz [
A
... In
]
obtida juntando-se a matriz identidade In e a matriz A dada.
Passo 2: Calcule a forma escalonada reduzida por linhas da matriz obtida no
Passo 1 utilizando operações elementares.
Passo 3: Suponha que o Passo 2 produziu a matriz[
C
... D
]
da forma escalonada reduzida por linhas:
(a) Se C = In , então D = A
−1.
(b) Se C 6= In , então C tem uma linha nula. Neste caso, A é singular e A−1
não existe.
36/71
Exemplo
Encontre a inversa da matriz 1 1 10 2 3
5 5 1

Solução.
Passo 1: Formar a matriz
[
A
... I3
]

1 1 1
... 1 0 0
0 2 3
... 0 1 0
5 5 1
... 0 0 1

37/71
Exemplo
Encontre a inversa da matriz 1 1 10 2 3
5 5 1

Solução.
Passo 1: Formar a matriz
[
A
... I3
]

1 1 1
... 1 0 0
0 2 3
... 0 1 0
5 5 1
... 0 0 1

37/71
Exemplo
Encontre a inversa da matriz 1 1 10 2 3
5 5 1

Solução.
Passo 1: Formar a matriz
[
A
... I3
]

1 1 1
... 1 0 0
0 2 3
... 0 1 0
5 5 1
... 0 0 1

37/71
Solução.
Passo 2: Vamos calcular a forma escalonada reduzida por linhas:
A =

1 1 1
... 1 0 0
0 2 3
... 0 1 0
5 5 1
... 0 0 1

|
L3 → −5L1 + L3
↓
A1 =

1 1 1
... 1 0 0
0 2 3
... 0 1 0
0 0 −4
... −5 0 1

38/71
Solução.
Passo 2: Vamos calcular a forma escalonada reduzida por linhas:
A =

1 1 1
... 1 0 0
0 2 3
... 0 1 0
5 5 1
... 0 0 1

|
L3 → −5L1 + L3
↓
A1 =

1 1 1
... 1 0 0
0 2 3
... 0 1 0
0 0 −4
... −5 0 1

38/71
Solução.
Passo 2: Vamos calcular a forma escalonada reduzida por linhas:
A =

1 1 1
... 1 0 0
0 2 3
... 0 1 0
5 5 1
... 0 0 1

|
L3 → −5L1 + L3
↓
A1 =

1 1 1
... 1 0 0
0 2 3
... 0 1 0
0 0 −4
... −5 0 1

38/71
Solução.
Passo 2: Vamos calcular a forma escalonada reduzida por linhas:
A =

1 1 1
... 1 0 0
0 2 3
... 0 1 0
5 5 1
... 0 0 1

|
L3 → −5L1 + L3
↓
A1 =

1 1 1
... 1 0 0
0 2 3
... 0 1 0
0 0 −4
... −5 0 1

38/71
Solução (continuação).
A1 =

1 1 1
... 1 0 0
0 2 3
... 0 1 0
0 0 −4
... −5 0 1

|
L2 → 1/2L2
↓
A2 =

1 1 1
... 1 0 0
0 1 3/2
... 0 1/2 0
0 0 −4
... −5 0 1

39/71
Solução (continuação).
A1 =

1 1 1
... 1 0 0
0 2 3
... 0 1 0
0 0 −4
... −5 0 1

|
L2 → 1/2L2
↓
A2 =

1 1 1
... 1 0 0
0 1 3/2
... 0 1/2 0
0 0 −4
... −5 0 1

39/71
Solução (continuação).
A1 =

1 1 1
... 1 0 0
0 2 3
... 0 1 0
0 0 −4
... −5 0 1

|
L2 → 1/2L2
↓
A2 =

1 1 1
... 1 0 0
0 1 3/2
... 0 1/2 0
0 0 −4
... −5 0 1

39/71
Solução (continuação).
A2 =

1 1 1
... 1 0 0
0 1 3/2
... 0 1/2 0
0 0 −4
... −5 0 1

|
L3 → −1/4L3
↓
A3 =

1 1 1
... 1 0 0
0 1 3/2
... 0 1/2 0
0 0 1
... 5/4 0 −1/4

40/71
Solução (continuação).
A2 =

1 1 1
... 1 0 0
0 1 3/2
... 0 1/2 0
0 0 −4
... −5 0 1

|
L3 → −1/4L3
↓
A3 =

1 1 1
... 1 0 0
0 1 3/2
... 0 1/2 0
0 0 1
... 5/4 0 −1/4

40/71
Solução (continuação).
A2 =

1 1 1
... 1 0 0
0 1 3/2
... 0 1/2 0
0 0 −4
... −5 0 1

|
L3 → −1/4L3
↓
A3 =

1 1 1
... 1 0 0
0 1 3/2
... 0 1/2 0
0 0 1
... 5/4 0 −1/4

40/71
Solução (continuação).
A3 =

1 1 1
... 1 0 0
0 1 3/2
... 0 1/2 0
0 0 1
... 5/4 0 −1/4
|
L1 → −L3 + L1
L2 → −3/2L3 + L2
↓
A4 =

1 1 0
... −1/4 0 1/4
0 1 0
... −15/8 1/2 3/8
0 0 1
... 5/4 0 −1/4

41/71
Solução (continuação).
A3 =

1 1 1
... 1 0 0
0 1 3/2
... 0 1/2 0
0 0 1
... 5/4 0 −1/4

|
L1 → −L3 + L1
L2 → −3/2L3 + L2
↓
A4 =

1 1 0
... −1/4 0 1/4
0 1 0
... −15/8 1/2 3/8
0 0 1
... 5/4 0 −1/4

41/71
Solução (continuação).
A3 =

1 1 1
... 1 0 0
0 1 3/2
... 0 1/2 0
0 0 1
... 5/4 0 −1/4

|
L1 → −L3 + L1
L2 → −3/2L3 + L2
↓
A4 =

1 1 0
... −1/4 0 1/4
0 1 0
... −15/8 1/2 3/8
0 0 1
... 5/4 0 −1/4

41/71
Solução (continuação).
A4 =

1 1 0
... −1/4 0 1/4
0 1 0
... −15/8 1/2 3/8
0 0 1
... 5/4 0 −1/4

|
L1 → −L2 + L1
↓
A5 =

1 0 0
... −13/8 −1/2 −1/8
0 1 0
... −15/8 1/2 3/8
0 0 1
... 5/4 0 −1/4

42/71
Solução (continuação).
A4 =

1 1 0
... −1/4 0 1/4
0 1 0
... −15/8 1/2 3/8
0 0 1
... 5/4 0 −1/4

|
L1 → −L2 + L1
↓
A5 =

1 0 0
... −13/8 −1/2 −1/8
0 1 0
... −15/8 1/2 3/8
0 0 1
... 5/4 0 −1/4

42/71
Solução (continuação).
A4 =

1 1 0
... −1/4 0 1/4
0 1 0
... −15/8 1/2 3/8
0 0 1
... 5/4 0 −1/4

|
L1 → −L2 + L1
↓
A5 =

1 0 0
... −13/8 −1/2 −1/8
0 1 0
... −15/8 1/2 3/8
0 0 1
... 5/4 0 −1/4

42/71
Solução (continuação).
Passo 3: Como C = I3, conclúımos que D = A
−1. Portanto:
A−1 =
−13/8 −1/2 −1/8−15/8 1/2 3/8
5/4 0 −1/4

43/71
Solução (continuação).
Passo 3: Como C = I3, conclúımos que D = A
−1. Portanto:
A−1 =
−13/8 −1/2 −1/8−15/8 1/2 3/8
5/4 0 −1/4

43/71
Observação
Se a matriz escalonada reduzida por linhas obtida de A tiver uma linha nula,
então A é singular. Neste caso, A−1 não existe.
Exemplo
Seja a matriz
A =
1 2 −31 −2 1
5 −2 −3

Após alguns passos no escalonamento, nos deparamos com:
F =
1 2 −30 −4 4
0 0 0

Como F tem uma linha nula, paramos e conclúımos que A não tem inversa.
44/71
Observação
Se a matriz escalonada reduzida por linhas obtida de A tiver uma linha nula,
então A é singular. Neste caso, A−1 não existe.
Exemplo
Seja a matriz
A =
1 2 −31 −2 1
5 −2 −3

Após alguns passos no escalonamento, nos deparamos com:
F =
1 2 −30 −4 4
0 0 0

Como F tem uma linha nula, paramos e conclúımos que A não tem inversa.
44/71
Observação
Se a matriz escalonada reduzida por linhas obtida de A tiver uma linha nula,
então A é singular. Neste caso, A−1 não existe.
Exemplo
Seja a matriz
A =
1 2 −31 −2 1
5 −2 −3

Após alguns passos no escalonamento, nos deparamos com:
F =
1 2 −30 −4 4
0 0 0

Como F tem uma linha nula, paramos e conclúımos que A não tem inversa.
44/71
Observação
Se a matriz escalonada reduzida por linhas obtida de A tiver uma linha nula,
então A é singular. Neste caso, A−1 não existe.
Exemplo
Seja a matriz
A =
1 2 −31 −2 1
5 −2 −3

Após alguns passos no escalonamento, nos deparamos com:
F =
1 2 −30 −4 4
0 0 0

Como F tem uma linha nula, paramos e conclúımos que A não tem inversa.
44/71
Teorema
Se A for uma matriz invert́ıvel n × 1, então para cada matriz b de tamanho
n × 1, o sistema de equações Ax = b tem exatamente uma solução, a saber,
x = A−1b.
Exemplo (Solução de um sistema linear usando A−1)
Considere o sistema de equações lineares
x + 2y + 3z = 5
2x + 5y + 3z = 3
x + 8z = 17
No formato matricial, esse sistema pode ser escrito como Ax = b, em que:
A =
1 2 32 5 3
1 0 8
 , x =
xy
z
 , b =
 53
17

45/71
Teorema
Se A for uma matriz invert́ıvel n × 1, então para cada matriz b de tamanho
n × 1, o sistema de equações Ax = b tem exatamente uma solução, a saber,
x = A−1b.
Exemplo (Solução de um sistema linear usando A−1)
Considere o sistema de equações lineares
x + 2y + 3z = 5
2x + 5y + 3z = 3
x + 8z = 17
No formato matricial, esse sistema pode ser escrito como Ax = b, em que:
A =
1 2 32 5 3
1 0 8
 , x =
xy
z
 , b =
 53
17

45/71
Teorema
Se A for uma matriz invert́ıvel n × 1, então para cada matriz b de tamanho
n × 1, o sistema de equações Ax = b tem exatamente uma solução, a saber,
x = A−1b.
Exemplo (Solução de um sistema linear usando A−1)
Considere o sistema de equações lineares
x + 2y + 3z = 5
2x + 5y + 3z = 3
x + 8z = 17
No formato matricial, esse sistema pode ser escrito como Ax = b, em que:
A =
1 2 32 5 3
1 0 8
 , x =
xy
z
 , b =
 53
17

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Teorema
Se A for uma matriz invert́ıvel n × 1, então para cada matriz b de tamanho
n × 1, o sistema de equações Ax = b tem exatamente uma solução, a saber,
x = A−1b.
Exemplo (Solução de um sistema linear usando A−1)
Considere o sistema de equações lineares
x + 2y + 3z = 5
2x + 5y + 3z = 3
x + 8z = 17
No formato matricial, esse sistema pode ser escrito como Ax = b, em que:
A =
1 2 32 5 3
1 0 8
 , x =
xy
z
 , b =
 53
17

45/71
Exemplo (continuação)
Temos que:
A−1 =
−40 16 913 −5 −3
5 −2 −1

Pelo teorema anterior, temos:
x = A−1b =
−40 16 913 −5 −3
5 −2 −1
 53
17
 =
 1−1
2

Assim:
x = 1, y = −1, z = 2
46/71
Exemplo (continuação)
Temos que:
A−1 =
−40 16 913 −5 −3
5 −2 −1

Pelo teorema anterior, temos:
x = A−1b =
−40 16 913 −5 −3
5 −2 −1
 53
17
 =
 1−1
2

Assim:
x = 1, y = −1, z = 2
46/71
Exemplo (continuação)
Temos que:
A−1 =
−40 16 913 −5 −3
5 −2 −1

Pelo teorema anterior, temos:
x = A−1b =
−40 16 913 −5 −3
5 −2 −1
 53
17
 =
 1−1
2

Assim:
x = 1, y = −1, z = 2
46/71
Um problema fundamental
Seja A uma matriz m × n fixada. Encontre todas as matrizes b de tamanho
m × 1 tais que o sistema Ax = b seja consistente.
Se A não for quadrada, ou se A for quadrada, mas não invert́ıvel, então o
Teorema anterior não pode ser aplicado.
Nesses casos, geralmente a matriz b deve satisfazer certas condições para
garantir que Ax = b seja consistente.
47/71
Um problema fundamental
Seja A uma matriz m × n fixada. Encontre todas as matrizes b de tamanho
m × 1 tais que o sistema Ax = b seja consistente.
Se A não for quadrada, ou se A for quadrada, mas não invert́ıvel, então o
Teorema anterior não pode ser aplicado.
Nesses casos, geralmente a matriz b deve satisfazer certas condições para
garantir que Ax = b seja consistente.
47/71
Um problema fundamental
Seja A uma matriz m × n fixada. Encontre todas as matrizes b de tamanho
m × 1 tais que o sistema Ax = b seja consistente.
Se A não for quadrada, ou se A for quadrada, mas não invert́ıvel, então o
Teorema anterior não pode ser aplicado.
Nesses casos, geralmente a matriz b deve satisfazer certas condições para
garantir que Ax = b seja consistente.
47/71
Determinando consistência por eliminação
Exemplo
Quais condições devem satisfazer b1, b2, e b3 para garantir que o sistema de equações:
x + y + 2z = b1
x + z = b2
2x + y + 3z = b3
seja consistente?
Solução.
Usando a matriz aumentada e escalonando, temos:
1 1 2
... b1
1 0 1
... b2
2 1 3
... b3
 ⇒
−L1 + L2 → L2
−2L1 + L3 → L3
−L2 → L3
L2 + L3 → L3
⇒

1 1 2
... b1
0 1 1
... b1 − b2
0 0 0
... b3 − b2 − b1

48/71
Determinando consistência por eliminação
Exemplo
Quais condições devem satisfazer b1, b2, e b3 para garantir que o sistema de equações:
x + y + 2z = b1
x + z = b2
2x + y + 3z = b3
seja consistente?
Solução.
Usando a matriz aumentada e escalonando, temos:
1 1 2
... b1
1 0 1
... b2
2 1 3
... b3

⇒
−L1 + L2 → L2
−2L1 + L3 → L3
−L2 → L3
L2 + L3 → L3
⇒

1 1 2
... b1
0 1 1
... b1 − b2
0 0 0
... b3 − b2 − b1

48/71
Determinando consistência por eliminação
Exemplo
Quais condições devem satisfazer b1, b2, e b3 para garantir que o sistema de equações:
x + y + 2z = b1
x + z = b2
2x + y + 3z = b3
seja consistente?
Solução.
Usando a matriz aumentada e escalonando, temos:
1 1 2
... b1
1 0 1
... b2
2 1 3
... b3
 ⇒
−L1 + L2 →L2
−2L1 + L3 → L3
−L2 → L3
L2 + L3 → L3
⇒

1 1 2
... b1
0 1 1
... b1 − b2
0 0 0
... b3 − b2 − b1

48/71
Determinando consistência por eliminação
Exemplo
Quais condições devem satisfazer b1, b2, e b3 para garantir que o sistema de equações:
x + y + 2z = b1
x + z = b2
2x + y + 3z = b3
seja consistente?
Solução.
Usando a matriz aumentada e escalonando, temos:
1 1 2
... b1
1 0 1
... b2
2 1 3
... b3
 ⇒
−L1 + L2 → L2
−2L1 + L3 → L3
−L2 → L3
L2 + L3 → L3
⇒

1 1 2
... b1
0 1 1
... b1 − b2
0 0 0
... b3 − b2 − b1

48/71
Determinando consistência por eliminação
Exemplo
Quais condições devem satisfazer b1, b2, e b3 para garantir que o sistema de equações:
x + y + 2z = b1
x + z = b2
2x + y + 3z = b3
seja consistente?
Solução.
Usando a matriz aumentada e escalonando, temos:
1 1 2
... b1
1 0 1
... b2
2 1 3
... b3
 ⇒
−L1 + L2 → L2
−2L1 + L3 → L3
−L2 → L3
L2 + L3 → L3
⇒

1 1 2
... b1
0 1 1
... b1 − b2
0 0 0
... b3 − b2 − b1

48/71
Determinando consistência por eliminação
Exemplo
Quais condições devem satisfazer b1, b2, e b3 para garantir que o sistema de equações:
x + y + 2z = b1
x + z = b2
2x + y + 3z = b3
seja consistente?
Solução.
Usando a matriz aumentada e escalonando, temos:
1 1 2
... b1
1 0 1
... b2
2 1 3
... b3
 ⇒
−L1 + L2 → L2
−2L1 + L3 → L3
−L2 → L3
L2 + L3 → L3
⇒

1 1 2
... b1
0 1 1
... b1 − b2
0 0 0
... b3 − b2 − b1

48/71
(continuação).
Pela terceira linha da matriz, que o sistema tem uma solução se, e só se, b1, b2,
e b3 satisfazem a condição:
b3 − b2 − b1 = 0 ou b3 = b1 + b2
Para expressar essa condição de uma outra maneira, Ax = b é consistente se,
e só se, b é uma matriz da forma:
b =
 b1b2
b1 + b2

em que b1, b2 são arbitrários.
49/71
(continuação).
Pela terceira linha da matriz, que o sistema tem uma solução se, e só se, b1, b2,
e b3 satisfazem a condição:
b3 − b2 − b1 = 0 ou b3 = b1 + b2
Para expressar essa condição de uma outra maneira, Ax = b é consistente se,
e só se, b é uma matriz da forma:
b =
 b1b2
b1 + b2

em que b1, b2 são arbitrários.
49/71
(continuação).
Pela terceira linha da matriz, que o sistema tem uma solução se, e só se, b1, b2,
e b3 satisfazem a condição:
b3 − b2 − b1 = 0 ou b3 = b1 + b2
Para expressar essa condição de uma outra maneira, Ax = b é consistente se,
e só se, b é uma matriz da forma:
b =
 b1b2
b1 + b2

em que b1, b2 são arbitrários.
49/71
(continuação).
Pela terceira linha da matriz, que o sistema tem uma solução se, e só se, b1, b2,
e b3 satisfazem a condição:
b3 − b2 − b1 = 0 ou b3 = b1 + b2
Para expressar essa condição de uma outra maneira, Ax = b é consistente se,
e só se, b é uma matriz da forma:
b =
 b1b2
b1 + b2

em que b1, b2 são arbitrários.
49/71
Determinando consistência por eliminação
Exemplo
Quais condições devem satisfazer b1, b2, e b3 para garantir que o sistema de equações:
x + 2y + 3z = b1
2x + 5y + 3z = b2
x + 8z = b3
seja consistente?
Solução.
Usando a matriz aumentada e escalonando, temos:
1 2 3
... b1
2 5 3
... b2
1 0 8
... b3
 ⇒

1 0 0
... −40b1 + 16b2 + 9b3
0 1 0
... 13b1 − 5b2 − 3b3
0 0 1
... 5b1 − 2b2 − b3

50/71
Determinando consistência por eliminação
Exemplo
Quais condições devem satisfazer b1, b2, e b3 para garantir que o sistema de equações:
x + 2y + 3z = b1
2x + 5y + 3z = b2
x + 8z = b3
seja consistente?
Solução.
Usando a matriz aumentada e escalonando, temos:
1 2 3
... b1
2 5 3
... b2
1 0 8
... b3

⇒

1 0 0
... −40b1 + 16b2 + 9b3
0 1 0
... 13b1 − 5b2 − 3b3
0 0 1
... 5b1 − 2b2 − b3

50/71
Determinando consistência por eliminação
Exemplo
Quais condições devem satisfazer b1, b2, e b3 para garantir que o sistema de equações:
x + 2y + 3z = b1
2x + 5y + 3z = b2
x + 8z = b3
seja consistente?
Solução.
Usando a matriz aumentada e escalonando, temos:
1 2 3
... b1
2 5 3
... b2
1 0 8
... b3
 ⇒

1 0 0
... −40b1 + 16b2 + 9b3
0 1 0
... 13b1 − 5b2 − 3b3
0 0 1
... 5b1 − 2b2 − b3

50/71
Determinando consistência por eliminação
Exemplo
Quais condições devem satisfazer b1, b2, e b3 para garantir que o sistema de equações:
x + 2y + 3z = b1
2x + 5y + 3z = b2
x + 8z = b3
seja consistente?
Solução.
Usando a matriz aumentada e escalonando, temos:
1 2 3
... b1
2 5 3
... b2
1 0 8
... b3
 ⇒

1 0 0
... −40b1 + 16b2 + 9b3
0 1 0
... 13b1 − 5b2 − 3b3
0 0 1
... 5b1 − 2b2 − b3

50/71
(continuação).
Nesse caso, não há restrições sobre b1, b2 e b3, de modo que o sistema tem a
única solução:
x = −40b1 + 16b2 + 9b3
y = 13b1 − 5b2 − 3b3
z = 5b1 − 2b2 − b3
com quaisquer valores de b1, b2 e b3.
51/71
(continuação).
Nesse caso, não há restrições sobre b1, b2 e b3, de modo que o sistema tem a
única solução:
x = −40b1 + 16b2 + 9b3
y = 13b1 − 5b2 − 3b3
z = 5b1 − 2b2 − b3
com quaisquer valores de b1, b2 e b3.
51/71
(continuação).
Nesse caso, não há restrições sobre b1, b2 e b3, de modo que o sistema tem a
única solução:
x = −40b1 + 16b2 + 9b3
y = 13b1 − 5b2 − 3b3
z = 5b1 − 2b2 − b3
com quaisquer valores de b1, b2 e b3.
51/71
Aplicações
52/71
Modelos econômicos de Leontief
52/71
Consideremos uma economia aberta simples com um setor aberto e três setores
produtivos: manufatura, agricultura e serviços. Suponhamos que insumos e
produtos sejam medidos em unidades monetárias ($) e que os insumos reque-
ridos pelos setores produtivos para produzir uma unidade monetária de valor
de produto estão de acordo com a Tabela a seguir:
Manufatura Agricultura Serviços
Manufatura $0, 50 $0, 10 $0, 10
Agricultura $0, 20 $0, 50 $0, 30
Serviços $0, 10 $0, 30 $0, 40
52/71
Suprimimos as legendas da tabela e expressamos essa matriz como:
C =
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4

Essa é denominada a matriz de consumo da economia (ou, às vezes, a
matriz tecnológica).
Os vetores-coluna:
c1 =
0, 50, 2
0, 1
 c2 =
0, 10, 5
0, 3
 c3 =
0, 10, 3
0, 4

de C listam os insumos necessários para os setores de manufatura, agricultura
e serviços, respectivamente, produzirem $1, 00 de produto.
Esses vetores são denominados vetores de consumo dos setores.
53/71
Suprimimos as legendas da tabela e expressamos essa matriz como:
C =
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4

Essa é denominada a matriz de consumo da economia (ou, às vezes, a
matriz tecnológica).
Os vetores-coluna:
c1 =
0, 50, 2
0, 1
 c2 =
0, 10, 5
0, 3
 c3 =
0, 10, 3
0, 4

de C listam os insumos necessários para os setores de manufatura, agricultura
e serviços, respectivamente, produzirem $1, 00 de produto.
Esses vetores são denominados vetores de consumo dos setores.
53/71
Suprimimos as legendas da tabela e expressamos essa matriz como:
C =
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4

Essa é denominada a matriz de consumo da economia (ou, às vezes, a
matriz tecnológica).
Os vetores-coluna:
c1 =
0, 50, 2
0, 1
 c2 =
0, 10, 5
0, 3
 c3 =
0, 10, 3
0, 4

de C listam os insumos necessários para os setores de manufatura, agricultura
e serviços, respectivamente, produzirem $1, 00 de produto.
Esses vetores são denominados vetores de consumo dos setores.
53/71
Suprimimos as legendas da tabela e expressamos essa matriz como:
C =
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4

Essa é denominada a matriz de consumo da economia (ou, às vezes, a
matriz tecnológica).
Os vetores-coluna:
c1 =
0, 50, 2
0, 1
 c2 =
0, 10, 5
0, 3
 c3 =
0, 10, 3
0, 4

de C listam os insumos necessários para os setores de manufatura, agricultura
e serviços, respectivamente, produzirem $1, 00 de produto.
Esses vetores são denominados vetores de consumo dos setores.
53/71
Vamos supor que o setor aberto necessita que a economia forneçabens manu-
faturados, produtos agŕıcolas e serviços com os valores em unidades monetárias
seguintes:
d1 = unidades monetárias de bens manufaturados
d2 = unidades monetárias de produtos agŕıcolas
d3 = unidades monetárias de serviços
O vetor coluna d que tem esses números como componentes sucessivos é
denominado vetor demanda externa.
54/71
Vamos supor que o setor aberto necessita que a economia forneça bens manu-
faturados, produtos agŕıcolas e serviços com os valores em unidades monetárias
seguintes:
d1 = unidades monetárias de bens manufaturados
d2 = unidades monetárias de produtos agŕıcolas
d3 = unidades monetárias de serviços
O vetor coluna d que tem esses números como componentes sucessivos é
denominado vetor demanda externa.
54/71
Vamos supor que o setor aberto necessita que a economia forneça bens manu-
faturados, produtos agŕıcolas e serviços com os valores em unidades monetárias
seguintes:
d1 = unidades monetárias de bens manufaturados
d2 = unidades monetárias de produtos agŕıcolas
d3 = unidades monetárias de serviços
O vetor coluna d que tem esses números como componentes sucessivos é
denominado vetor demanda externa.
54/71
Como os setores produtivos consomem alguns de seus próprios produtos, o
valor em unidades monetárias de seus produtos precisa cobrir suas próprias
necessidades mais a demanda externa.
Suponhamos que os valores necessários para conseguir isso sejam:
x1 = unidades monetárias de bens manufaturados
x2 = unidades monetárias de produtos agŕıcolas
x3 = unidades monetárias de serviços
O vetor coluna x que tem esses números como componentes sucessivos é
denominado vetor de produção da economia.
55/71
Como os setores produtivos consomem alguns de seus próprios produtos, o
valor em unidades monetárias de seus produtos precisa cobrir suas próprias
necessidades mais a demanda externa.
Suponhamos que os valores necessários para conseguir isso sejam:
x1 = unidades monetárias de bens manufaturados
x2 = unidades monetárias de produtos agŕıcolas
x3 = unidades monetárias de serviços
O vetor coluna x que tem esses números como componentes sucessivos é
denominado vetor de produção da economia.
55/71
Como os setores produtivos consomem alguns de seus próprios produtos, o
valor em unidades monetárias de seus produtos precisa cobrir suas próprias
necessidades mais a demanda externa.
Suponhamos que os valores necessários para conseguir isso sejam:
x1 = unidades monetárias de bens manufaturados
x2 = unidades monetárias de produtos agŕıcolas
x3 = unidades monetárias de serviços
O vetor coluna x que tem esses números como componentes sucessivos é
denominado vetor de produção da economia.
55/71
Para a economia com matriz de consumo, a porção do vetor de produção x
que será consumido pelos três setores produtivos é:
x1
0, 50, 2
0, 1

︸ ︷︷ ︸
As frações
consumidas
pela manufatura
+ x2
0, 10, 5
0, 3

︸ ︷︷ ︸
As frações
consumidas
pela agricultura
+ x3
0, 10, 3
0, 4

︸ ︷︷ ︸
As frações
consumidas
pelos serviços
=
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4
x1x2
x3
 = Cx
O vetor Cx é denominado vetor demanda intermediária da economia.
56/71
Para a economia com matriz de consumo, a porção do vetor de produção x
que será consumido pelos três setores produtivos é:
x1
0, 50, 2
0, 1

︸ ︷︷ ︸
As frações
consumidas
pela manufatura
+ x2
0, 10, 5
0, 3

︸ ︷︷ ︸
As frações
consumidas
pela agricultura
+ x3
0, 10, 3
0, 4

︸ ︷︷ ︸
As frações
consumidas
pelos serviços
=
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4
x1x2
x3
 = Cx
O vetor Cx é denominado vetor demanda intermediária da economia.
56/71
Para a economia com matriz de consumo, a porção do vetor de produção x
que será consumido pelos três setores produtivos é:
x1
0, 50, 2
0, 1

︸ ︷︷ ︸
As frações
consumidas
pela manufatura
+ x2
0, 10, 5
0, 3

︸ ︷︷ ︸
As frações
consumidas
pela agricultura
+ x3
0, 10, 3
0, 4

︸ ︷︷ ︸
As frações
consumidas
pelos serviços
=
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4
x1x2
x3
 = Cx
O vetor Cx é denominado vetor demanda intermediária da economia.
56/71
Uma vez atendida a demanda intermediária, a porção da produção que resta
para satisfazer as necessidades da demanda externa é
x− Cx.
Assim, se o vetor demanda externa for d, então x deve satisfazer a equação:
x︸︷︷︸
Quantidade
produzida
− Cx︸︷︷︸
Demanda
intermediária
= d︸︷︷︸
Demanda
externa
⇓
(I − C )x = d
A matriz I −C é denominada matriz de Leontief e a equação é denominada
equação de Leontief.
57/71
Uma vez atendida a demanda intermediária, a porção da produção que resta
para satisfazer as necessidades da demanda externa é
x− Cx.
Assim, se o vetor demanda externa for d, então x deve satisfazer a equação:
x︸︷︷︸
Quantidade
produzida
− Cx︸︷︷︸
Demanda
intermediária
= d︸︷︷︸
Demanda
externa
⇓
(I − C )x = d
A matriz I −C é denominada matriz de Leontief e a equação é denominada
equação de Leontief.
57/71
Uma vez atendida a demanda intermediária, a porção da produção que resta
para satisfazer as necessidades da demanda externa é
x− Cx.
Assim, se o vetor demanda externa for d, então x deve satisfazer a equação:
x︸︷︷︸
Quantidade
produzida
− Cx︸︷︷︸
Demanda
intermediária
= d︸︷︷︸
Demanda
externa
⇓
(I − C )x = d
A matriz I −C é denominada matriz de Leontief e a equação é denominada
equação de Leontief.
57/71
Exemplo
Considere a economia descrita na Tabela dada anteriormente. Suponhamos
que o setor aberto tenha uma demanda no valor de $7.900 de produtos ma-
nufaturados, $3.950 de produtos agŕıcolas e $1.975 de serviços.
(a) A economia conseguirá atender essa demanda?
(b) Se conseguir, encontre um vetor de produção x que atenda exatamente
essa demanda.
58/71
Solução.
A matriz de consumo, o vetor de produção e o vetor demanda externa são:
C =
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4
 x =
x1x2
x3
 d =
7.9003.950
1.975

Para atender essa demanda, o vetor x deve satisfazer a equação de Leontief
portanto, o problema se reduz a resolver o sistema (se for consistente):
(I − C )x = d
1 0 00 1 0
0 0 1
−
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4
x1x2
x3
 =
7.9003.950
1.975

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Solução.
A matriz de consumo, o vetor de produção e o vetor demanda externa são:
C =
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4
 x =
x1x2
x3
 d =
7.9003.950
1.975

Para atender essa demanda, o vetor x deve satisfazer a equação de Leontief
portanto, o problema se reduz a resolver o sistema (se for consistente):
(I − C )x = d
1 0 00 1 0
0 0 1
−
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4
x1x2
x3
 =
7.9003.950
1.975

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Solução.
A matriz de consumo, o vetor de produção e o vetor demanda externa são:
C =
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4
 x =
x1x2
x3
 d =
7.9003.950
1.975

Para atender essa demanda, o vetor x deve satisfazer a equação de Leontief
portanto, o problema se reduz a resolver o sistema (se for consistente):
(I − C )x = d
1 0 00 1 0
0 0 1
−
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4
x1x2
x3
 =
7.9003.950
1.975

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Solução.
A matriz de consumo, o vetor de produção e o vetor demanda externa são:
C =
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4
 x =
x1x2
x3
 d =
7.9003.950
1.975

Para atender essa demanda, o vetor x deve satisfazer a equação de Leontief
portanto, o problema se reduz a resolver o sistema (se for consistente):
(I − C )x = d
1 0 00 1 0
0 0 1
−
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4
x1x2
x3
 =
7.9003.950
1.975

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Solução.
A matriz de consumo, o vetor de produção e o vetor demanda externa são:
C =
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4
 x =
x1x2
x3
 d =
7.9003.950
1.975
Para atender essa demanda, o vetor x deve satisfazer a equação de Leontief
portanto, o problema se reduz a resolver o sistema (se for consistente):
(I − C )x = d
1 0 00 1 0
0 0 1
−
0, 5 0, 1 0, 10, 2 0, 5 0, 3
0, 1 0, 3 0, 4
x1x2
x3
 =
7.9003.950
1.975

59/71
Solução (continuação).
 0, 5 −0, 1 −0, 1−0, 2 0, 5 −0, 3
−0, 1 −0, 3 0, 6
x1x2
x3
 =
7.9003.950
1.975

A forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada desse sistema é:
1 0 0
... 27.500
0 1 0
... 33.750
0 0 1
... 24.750

Isso nos diz que o sistema é consistente e que a economia consegue atender
exatamente a demanda do setor aberto, produzindo um valor total de $27.500
de produtos manufaturados, $33.750 de produtos agŕıcolas e $24.750 de ser-
viços.
60/71
Solução (continuação).
 0, 5 −0, 1 −0, 1−0, 2 0, 5 −0, 3
−0, 1 −0, 3 0, 6
x1x2
x3
 =
7.9003.950
1.975

A forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada desse sistema é:
1 0 0
... 27.500
0 1 0
... 33.750
0 0 1
... 24.750

Isso nos diz que o sistema é consistente e que a economia consegue atender
exatamente a demanda do setor aberto, produzindo um valor total de $27.500
de produtos manufaturados, $33.750 de produtos agŕıcolas e $24.750 de ser-
viços.
60/71
Solução (continuação).
 0, 5 −0, 1 −0, 1−0, 2 0, 5 −0, 3
−0, 1 −0, 3 0, 6
x1x2
x3
 =
7.9003.950
1.975

A forma escalonada reduzida por linhas da matriz aumentada desse sistema é:
1 0 0
... 27.500
0 1 0
... 33.750
0 0 1
... 24.750

Isso nos diz que o sistema é consistente e que a economia consegue atender
exatamente a demanda do setor aberto, produzindo um valor total de $27.500
de produtos manufaturados, $33.750 de produtos agŕıcolas e $24.750 de ser-
viços.
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Grafos
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Um grafo é definido como um conjunto de pontos chamados vértices junto
com um conjunto de pares não-ordenados de vértices chamados de arestas.
Definição (Grafo orientado)
Um grafo orientado (ou dirigido) consiste em um conjunto finito de pon-
tos P1,P2, . . . ,Pn chamados vértices, juntamente com um conjunto finito de
arestas, cada um dos quais unindo um par ordenado de vértices distintos.
61/71
Um grafo é definido como um conjunto de pontos chamados vértices junto
com um conjunto de pares não-ordenados de vértices chamados de arestas.
Definição (Grafo orientado)
Um grafo orientado (ou dirigido) consiste em um conjunto finito de pon-
tos P1,P2, . . . ,Pn chamados vértices, juntamente com um conjunto finito de
arestas, cada um dos quais unindo um par ordenado de vértices distintos.
61/71
O grafo (a) tem vértices P1,P2 e P3 e arestas orientadas:
P1 → P2 e P2 → P3
O grafo (b) tem vértices P1,P2,P3 e P4 e arestas orientadas:
P1 → P2 e P1 → P3
62/71
O grafo (a) tem vértices P1,P2 e P3 e arestas orientadas:
P1 → P2 e P2 → P3
O grafo (b) tem vértices P1,P2,P3 e P4 e arestas orientadas:
P1 → P2 e P1 → P3
62/71
O grafo (a) tem vértices P1,P2 e P3 e arestas orientadas:
P1 → P2 e P2 → P3
O grafo (b) tem vértices P1,P2,P3 e P4 e arestas orientadas:
P1 → P2 e P1 → P3
62/71
O grafo (c) tem vértices P1,P2 e P3 e arestas orientadas:
P1 → P2, P1 → P3 e P3 → P1
O grafo (d) tem vértices P1,P2 e P4 e arestas orientadas:
P2 → P1, P2 → P3, P1 → P3 e P3 → P1
Um par de arestas orientadas como
P1 → P3 e P3 → P1
é indicado com uma seta de duas pontas P1 ↔ P3.
63/71
O grafo (c) tem vértices P1,P2 e P3 e arestas orientadas:
P1 → P2, P1 → P3 e P3 → P1
O grafo (d) tem vértices P1,P2 e P4 e arestas orientadas:
P2 → P1, P2 → P3, P1 → P3 e P3 → P1
Um par de arestas orientadas como
P1 → P3 e P3 → P1
é indicado com uma seta de duas pontas P1 ↔ P3.
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O grafo (c) tem vértices P1,P2 e P3 e arestas orientadas:
P1 → P2, P1 → P3 e P3 → P1
O grafo (d) tem vértices P1,P2 e P4 e arestas orientadas:
P2 → P1, P2 → P3, P1 → P3 e P3 → P1
Um par de arestas orientadas como
P1 → P3 e P3 → P1
é indicado com uma seta de duas pontas P1 ↔ P3.
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O grafo (c) tem vértices P1,P2 e P3 e arestas orientadas:
P1 → P2, P1 → P3 e P3 → P1
O grafo (d) tem vértices P1,P2 e P4 e arestas orientadas:
P2 → P1, P2 → P3, P1 → P3 e P3 → P1
Um par de arestas orientadas como
P1 → P3 e P3 → P1
é indicado com uma seta de duas pontas P1 ↔ P3.
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Definição (matriz de adjacência)
Dado um grafo orientado de n vértices, podemos associar ao grafo orientado
uma matriz A(G) = [aij ] de tamanho n × n, denominada matriz de adja-
cência (ou matriz de vértices) do grafo orientado, como segue. Os elementos
da matriz são definidos por:
aij =
{
1, se Pi → Pj
0, caso contrário
Por definição, as matrizes de adjacência têm as propriedades seguintes:
(i) Todas as entradas são 0 ou 1.
(ii) Todas as entradas na diagonal principal são 0.
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Definição (matriz de adjacência)
Dado um grafo orientado de n vértices, podemos associar ao grafo orientado
uma matriz A(G) = [aij ] de tamanho n × n, denominada matriz de adja-
cência (ou matriz de vértices) do grafo orientado, como segue. Os elementos
da matriz são definidos por:
aij =
{
1, se Pi → Pj
0, caso contrário
Por definição, as matrizes de adjacência têm as propriedades seguintes:
(i) Todas as entradas são 0 ou 1.
(ii) Todas as entradas na diagonal principal são 0.
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Exemplo
Dado o grafo
Sua matriz de adjacência é:
A(G) =

P1 P2 P3 P4
P1 0 1 0 0
P2 0 0 1 0
P3 0 1 0 1
P4 0 0 0 0

65/71
Exemplo
Dado o grafo
Sua matriz de adjacência é:
A(G) =

P1 P2 P3 P4
P1 0 1 0 0
P2 0 0 1 0
P3 0 1 0 1
P4 0 0 0 0

65/71
Exemplo
Dado o grafo
Sua matriz de adjacência é:
A(G) =

P1 P2 P3 P4
P1 0 1 0 0
P2 1 0 1 0
P3 1 0 0 1
P4 1 0 0 0

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Exemplo
Dado o grafo
Sua matriz de adjacência é:
A(G) =

P1 P2 P3 P4
P1 0 1 0 0
P2 1 0 1 0
P3 1 0 0 1
P4 1 0 0 0

66/71
Observações
A aresta orientada Pi → Pj é diferente da aresta Pj → Pi .
Podem não haver arestas orientadas de um vértice Pi para qualquer outro
vértice Pj .
Nenhum vértice pode ser alcançado a partir de si mesmo por uma única
aresta.
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Observações
A aresta orientada Pi → Pj é diferente da aresta Pj → Pi .
Podem não haver arestas orientadas de um vértice Pi para qualquer outro
vértice Pj .
Nenhum vértice pode ser alcançado a partir de si mesmo por uma única
aresta.
67/71
Observações
A aresta orientada Pi → Pj é diferente da aresta Pj → Pi .
Podem não haver arestas orientadas de um vértice Pi para qualquer outro
vértice Pj .
Nenhum vértice pode ser alcançado a partir de si mesmo por uma única
aresta.
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Teorema 1
Seja A(G) a matriz de adjacência de um grafo orientado e seja m
(r)
ij o (i , j )-
ésimo elemento de [A(G)]r . Então m
(r)
ij é igual ao número de conexões de r
passos de Pi para Pj .
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Exemplo
Abaixo, temos o mapa das rotas de uma pequena companhia aérea que atende
as quatro cidades P1,P2,P3 e P4.
A matriz de adjacência dele é:
A(G) =

P1 P2 P3 P4
P1 0 1 1 0
P2 1 0 1 0
P3 1 0 0 1
P4 0 1 1 0

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Exemplo
Abaixo, temos o mapa das rotas de uma pequena companhia aérea que atende
as quatro cidades P1,P2,P3 e P4.
A matriz de adjacência dele é:
A(G) =

P1 P2 P3 P4
P1 0 1 1 0
P2 1 0 1 0
P3 1 0 0 1
P4 0 1 1 0

69/71
Temos:
[A(G)]2 =

P1 P2 P3 P4
P1 2 0 1 1
P2 1 1 1 1
P3 0 2 2 0
P4 2 0 1 1
 e [A(G)]3 =

P1 P2 P3 P4
P1 1 3 3 1
P2 2 2 3 1
P3 4 0 2 2
P4 1 3 3 1

Se estivermos interessados nas conexões da cidade P4 para a cidade P3, po-
demos usar o Teorema 1 para saber quantas existem.
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Temos:
[A(G)]2 =

P1 P2 P3 P4
P1 2 0 1 1
P2 1 1 1 1
P3 0 2 2 0
P4 2 0 1 1
 e [A(G)]3 =

P1 P2 P3 P4
P1 1 3 3 1
P2 2 2 3 1
P3 4 0 2 2
P4 1 3 3 1

Se estivermos interessados nas conexões da cidade P4 para a cidade P3, po-
demos usar o Teorema 1 para saber quantas existem.
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Como m43 = 1, existe uma conexão de um passo;conexões de 1 passo de P4 para P3: P4 → P3
Como m
(2)
43 = 1, existe uma conexão de 2 passos;
conexões de 2 passos de P4 para P3: P4 → P2 → P3
Como m
(3)
43 = 3, existem 3 conexões de 3 passos.
conexões de 3 passos de P4 para P3: P4 → P3 → P4 → P3
P4 → P2 → P1 → P3
P4 → P3 → P1 → P3
71/71
Como m43 = 1, existe uma conexão de um passo;
conexões de 1 passo de P4 para P3: P4 → P3
Como m
(2)
43 = 1, existe uma conexão de 2 passos;
conexões de 2 passos de P4 para P3: P4 → P2 → P3
Como m
(3)
43 = 3, existem 3 conexões de 3 passos.
conexões de 3 passos de P4 para P3: P4 → P3 → P4 → P3
P4 → P2 → P1 → P3
P4 → P3 → P1 → P3
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Como m43 = 1, existe uma conexão de um passo;
conexões de 1 passo de P4 para P3: P4 → P3
Como m
(2)
43 = 1, existe uma conexão de 2 passos;
conexões de 2 passos de P4 para P3: P4 → P2 → P3
Como m
(3)
43 = 3, existem 3 conexões de 3 passos.
conexões de 3 passos de P4 para P3: P4 → P3 → P4 → P3
P4 → P2 → P1 → P3
P4 → P3 → P1 → P3
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Como m43 = 1, existe uma conexão de um passo;
conexões de 1 passo de P4 para P3: P4 → P3
Como m
(2)
43 = 1, existe uma conexão de 2 passos;
conexões de 2 passos de P4 para P3: P4 → P2 → P3
Como m
(3)
43 = 3, existem 3 conexões de 3 passos.
conexões de 3 passos de P4 para P3: P4 → P3 → P4 → P3
P4 → P2 → P1 → P3
P4 → P3 → P1 → P3
71/71
Como m43 = 1, existe uma conexão de um passo;
conexões de 1 passo de P4 para P3: P4 → P3
Como m
(2)
43 = 1, existe uma conexão de 2 passos;
conexões de 2 passos de P4 para P3: P4 → P2 → P3
Como m
(3)
43 = 3, existem 3 conexões de 3 passos.
conexões de 3 passos de P4 para P3: P4 → P3 → P4 → P3
P4 → P2 → P1 → P3
P4 → P3 → P1 → P3
71/71
Como m43 = 1, existe uma conexão de um passo;
conexões de 1 passo de P4 para P3: P4 → P3
Como m
(2)
43 = 1, existe uma conexão de 2 passos;
conexões de 2 passos de P4 para P3: P4 → P2 → P3
Como m
(3)
43 = 3, existem 3 conexões de 3 passos.
conexões de 3 passos de P4 para P3: P4 → P3 → P4 → P3
P4 → P2 → P1 → P3
P4 → P3 → P1 → P3
71/71
	Matrizes
	O produto de uma matriz por um vetor em termos de colunas
	Propriedades de matrizes
	Matriz Inversa
	Aplicações
	Modelos econômicos de Leontief
	Grafos