Atividade 2 - Algebra Linear Computacional

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Considere as seguintes informações: 1) o sistema de equações não se altera quando 
permutamos as posições das equações; 2) o sistema de equações não se altera quando 
multiplicamos os membros de uma das equações por qualquer número real não nulo; 3) por 
inferência, podemos, então, substituir uma equação por outra obtida a partir da inclusão 
“membro a membro” dessa equação, na qual foi aplicada a transformação do Teorema II. 
Essas informações são concernentes aos três axiomas de Eliminação de Gauss. Assim, 
usando o conceito de eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz 
triangular da seguinte matriz: 
 
 
 
R: 
Resposta correta. A alternativa está incorreta, pois, nesse caso, você deveria utilizar os 
seguintes passos para resolver o problema: 
 
 
Primeiramente, na linha 2, faremos: -2L1+L2 e -3L1+L2 
 
 
Após isso, na linha 3, faremos: -2L2+L3 
 
 
Depois, podemos trocar as linhas 2 e 3: 
 
 
Por fim, na linha 3, faremos: -3L2+L3 
 
 
 
 
 
As matrizes obedecem a certas propriedades de álgebra. Por exemplo, o produto entre as 
duas matrizes, geralmente, não é comutativo, . A única exceção seria quando 
isto é, quando a matriz B for a inversa de A. Usando o conceito de propriedade de 
matriz inversa, assinale a alternativa correta referente à matriz 
 
R: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois você precisa calcular da seguinte forma: 
 
Nesse caso, chegamos aos seguintes sistemas: 
 
 
O outro sistema que encontramos foi: 
 
 
Resolvendo esse par de sistemas, temos: 
 
 
 
 
As matrizes são tipos de arranjos de números com n linha e m colunas. Podemos obter as 
matrizes a partir de leis de formação. Por exemplo, uma matriz 2x2 pode ter a seguinte 
formação: 
 
 
Nessa forma, teremos a seguinte matriz: 
Situação similar podemos pensar para uma matriz 3x3. Assim, assinale a alternativa que 
apresenta uma matriz 3x3 que obedeça à seguinte lei de formação: 
 
 
 
R: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois você montou a matriz da seguinte forma: 
 
 
Ao olhar os índices de cada elemento, podemos aplicar as condições do problema 
encontrando: 
 
 
 
 
A eliminação gaussiana, também conhecida como escalonamento, é um método para 
resolver sistemas lineares. Esse método consiste em manipular o sistema por meio de 
determinadas operações elementares, transformando a matriz estendida do sistema em 
uma matriz triangular (denominada matriz escalonada do sistema). Usando o conceito de 
eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte 
matriz: 
 
 
R: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, devemos fazer: 
 
 
No primeiro passo, subtraímos da segunda linha o quádruplo da primeira e subtraímos da 
terceira linha o dobro da primeira: 
 
 
 
Assim, troca-se a segunda com a terceira linha: 
 
. 
 
 
 
Os três axiomas de Eliminação de Gauss são: 1) o sistema de equações não se altera 
quando permutamos as posições das equações; 2) o sistema de equações não se altera 
quando multiplicamos os membros de uma das equações por qualquer número real não 
nulo; 3) por inferência, podemos, então, substituir uma equação por outra obtida a partir da 
inclusão “membro a membro” dessa equação, na qual foi aplicada a transformação do 
Teorema II. Usando o conceito de Eliminação Gaussiana, assinale a alternativa correta 
referente à matriz triangular da seguinte matriz: 
 
 
 
R: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, devemos fazer: 
 
 
Em um primeiro momento, substituímos a linha 2 pela linha 2 menos 2 vezes a linha 1. 
Também pegamos a linha 3 e somamos duas vezes a linha 1. Assim, teremos: 
 
 
 
Agora, pegamos a linha 3 e somamos com da linha 1: 
 
. 
 
 
 
As matrizes quadradas têm sua importância, pois, por meio do cálculo do seu determinante, 
podemos associar o seu valor a um escalar. Por exemplo, ele tem a sua importância no uso 
de sistemas lineares. Uma das técnicas usadas em matriz seria a multiplicação pelas 
diagonais. Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta, respectivamente, o valor 
de , tal que . 
R: -4 e 1. 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, colocando os valores de -4 e 1 na matriz, 
encontraremos: 
 
 
 
 
 
 
Um sistema pode ser resolvido pelo método da substituição isolando uma variável ou 
substituindo em outras. Outro método que podemos usar é a regra de Cramer, na qual 
podemos nos apoiar no conceito de determinante. Por fim, temos o método de 
escalonamento de matrizes dos coeficientes numéricos de um sistema de equações 
lineares, com a finalidade de simplificar o sistema por meio de operações entre os 
elementos pertencentes às linhas de uma matriz. Usando o conceito de escalonamento, 
assinale a alternativa correta referente ao resultado da seguinte matriz escalonada: 
 
 
R: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, primeiramente, você precisa fazer: 
 
 
Em um primeiro momento, subtraímos os elementos da linha L2 pela metade dos elementos da 
linha L1. Também subtraímos os elementos da linha L3 pelo sêxtuplo dos elementos da linha 
L2 (após os cálculos anteriores): 
 
 
 
 
A multiplicação de matrizes é uma operação matemática que envolve duas matrizes. A 
condição para que duas matrizes e sejam multiplicadas é que o número de colunas 
da matriz deve ser igual ao número de linhas da matriz . O resultado da multiplicação é 
uma matriz 
 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresenta a matriz que corresponde à 
solução da seguinte equação matricial: 
 
 
Em que e 
 
R: 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a matriz terá a seguinte forma: 
 
Em seguida, escreve-se a matriz X como: 
 
Assim, você encontrou que . 
 
 
 
 
Os sistemas de equações lineares estão presentes nas mais diversas áreas, como na 
modelagem de sistemas elétricos, no dimensionamento de sistemas que estão em equilíbrio 
estático, na economia etc. Além disso, quando modelamos matematicamente, temos de 
procurar uma solução para o sistema de equações lineares. 
 
Considerando o exposto, sobre sistemas de equações lineares, analise as afirmativas a 
seguir: 
 
I. O modelo de resolução de Cramer pode ser aplicado quando o número de equações é 
maior que o número de incógnitas. 
II. Se o determinante incompleto de um conjunto de equações lineares for o sistema 
apresentará uma única solução. 
III. O sistema 
 
 
é um sistema possível determinado. 
 
IV. O sistema 
R:II e IV, apenas. 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois, quando o determinante for diferente de zero, 
teremos que o sistema possui uma única solução. Já o sistema 
 
 
é um sistema impossível, pois, isolando y na primeira equação, teremos: 
? substituindo na segunda equação, iremos encontrar ? ?
? , o que seria um erro. 
 
 
 
 
As matrizes são tipos de arranjos de números com n linha e m colunas. Podemos obter as 
matrizes a partir de leis de formação. Considere, por exemplo, uma matriz , de 
ordem , em que os elementos têm a seguinte lei de formação: 
 
 
 
Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir: 
 
I. Na matriz A, o elemento é igual ao elemento 
II. Os elementos da diagonal principal da matriz A são todos nulos. 
III. Se a matriz B é , então o produto B. A é a matriz -B. 
IV. Sendo a matriz I a matriz identidade de ordem 4, a matriz A+I possui todos os elementos 
iguais a 1. 
 
Está correto o que afirma em : 
R: I, II e IV, apenas. 
Resposta correta. A alternativa está correta, pois a matriz terá a seguinte forma: 
 
 
Assim, percebemos que o elemento Também pode ser verificado que a matriz tem a 
diagonal principal igual a zero. Se multiplicarmos essa matriz por B, teremos: 
 
= 
 
Ou seja, a matriz não será -B. Por fim, se somarmos A+I,teremos 
 
.