Sistemas Lineares

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Sistemas Lineares 
Matrizes 
 
Sistemas Lineares 
São um conjunto de equações lineares associadas entre sí 
e que fazem parte de um sistema que possuirá como 
resultado o valor resultante de cada equação: 
 
Onde; os coeficientes am, am2, am3, ... , an3, an2, an1 das 
incógnitas x1, xm2,xm3, ... , xn3, xn2, xn1 são números reais. 
Ao mesmo tempo, b também é um número real que é 
chamado de termo independente. Xn é uma variável. 
Os sistemas de equações sempre podem ser escritos em 
forma matricial; 
 
Onde, A=(aij)mxn é chamada matriz dos coeficientes do 
sistema linear; X=(xi)nx1 é chamado vetor solução do sistema 
linear cujo vetor solução é um vetor coluna e b=(bi)mx1 é 
chamado vetor coluna constante. 
Assim, podemos dizer que o sistema de equações lineares 
sempre pode ser escrito da seguinte forma: Ax = b. 
Sistema homogêneo: são aqueles cujo termo independente 
é igual a 0 (zero): a1x1 + a2x2 = 0. E, portanto, a solução para 
esse sistema, ou seja, os valores das incógnitas será 0. 
A classificação dos sistemas lineares se dá pela quantidade 
de soluções que este possuí: 
• Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma 
solução possível, o que acontece quando o determinante 
é diferente de zero (D ≠ 0). 
• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções 
possíveis são infinitas. 
• Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar 
qualquer tipo de solução. 
Exemplos: 
 
O primeiro sistema resulta em uma determinante igual a zero 
e, portanto, possuí apenas uma solução. Já o segundo sistema 
com mais equações pode tanto possuir soluções infinitas como 
também não pode ser possível de determinar isso. 
As matrizes associadas a um sistema linear podem ser 
completas ou incompletas. São completas as matrizes que 
consideram os termos independentes das equações. 
Os sistemas lineares são classificados como normais quando 
o número de equações é o mesmo que o número de incógnitas. 
Além disso, quando o determinante da matriz incompleta 
desse sistema não é igual a zero. 
Um sistema linear pode ser representado da seguinte forma: 
 
Uma solução para as equações presentes no sistema é uma 
sequencia de n números reais (n-uplas de números reais), que 
podem ser indicados como sendo (b1, b2, ..., bn). São valores 
que substituídos pelas variáveis resultarão no termo 
independente. 
Sistemas Equivalentes 
Dois sistemas são equivalentes quando possuem o mesmo 
conjunto solução. Por exemplo, dados os sistemas: 
 
verificamos que o par ordenado (x, y) = (1, 2) satisfaz ambos 
e é único. Logo, S1 e S2 são equivalentes: S1 ~ S2. 
Quando os sistemas são equivalentes há algumas operações 
que podemos realizar em ambos e que não alteram essa 
propriedade. Como por exemplo: 
• Trocar a posição das equações de um sistema: 
 
• Multiplicar por um número uma ou mais equações de um 
sistema 
 
• Adicionando a uma das equações de um sistema o 
produto de outra equação desse mesmo sistema por um 
número 
 
 
Estas operações são chamadas de elementares com S e 
criam um novo sistema que é equivalente ao sistema inicial 
(S1~S2). A partir disso podemos tirar algumas propriedades; 
 
a) S~S (reflexiva) 
b) S1~S -> S~S1 (simétrica) 
c) S1~S e S~S2 -> S1~S2 (transitiva) 
 
E assim toda solução de S é também solução de S1. A partir 
disso, temos a seguinte definição; 
 
DEFINIÇÃO: Duas matrizes são equivalentes se uma delas 
pode ser obtida da outra por meio de um número finito de 
operações elementares nas linhas. Exemplo: 
 
 
Um dos objetivos das 
operações elementares 
nas linhas de uma matriz 
é escolher um termo 
não nulo na matriz, ao 
qual chamaremos de pivote, e a partir deste pivote usando 
operações elementares nas linhas vamos realizar 
eliminações nos termos abaixo dele (isto é, zerar os termos 
abaixo do termo pivote). 
 
Introdução ao escalonamento 
 
NOTAÇÃO MATRICIAL 
 
• Matriz de coeficientes: Neste método, reunimos em uma 
matriz todos os valores de an. de um sistema linear. 
• Matriz completa: Fazemos o mesmo que na matriz de 
coeficientes, mas dessa vez também adicionamos os 
valores de b que são separados por uma linha pontilhada 
no lado direito da matriz. 
 
 
 
RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA 
Podemos substituir por um sistema equivalente mais fácil de 
resolver, como por exemplo: 
 
 
COMO REALIZAR O ESCALONAMENTO 
O objetivo do escalonamento é transformar o sistema em 
outro mais simples com o mesmo conjunto solução e isto é 
feito através de operações elementares entre linhas: 
1. Trocar 2 linhas de lugares entre sí 
2. Multiplicar todos os elementos de uma linha por uma 
constante 
3. Substituir uma linha pela soma dela por outra linha da 
matriz, no caso a soma é realizada entre os elementos 
das duas linhas. 
 
Matriz na forma de escada (ou 
escalonada) 
Uma não nula A está na forma escalonada por linhas, se 
são satisfeitas todas as seguintes condições: 
 
1. Caso existam linhas nulas (ou seja, todas suas entradas 
são zero), estas devem ficar na parte inferior da 
matriz (isto é, nas últimas linhas da matriz). 
2. Na primeira linha, a primeira entrada não nula deve ser 
um pivote 
3. Ao escolher uma linha arbitrária seu primeiro pivote da 
linha seguinte (caso o termo não seja nulo) deve estar o 
mais a direita que o pivote da linha escolhida. 
 
 
 
PIVÔ E COLUNA DE PIVÔ 
 
Pivô se apresenta em uma posição superior e abaixo dele 
seus elementos, e é um número não-nulo que é usado para 
criar zeros por operações elementares. 
 
COMO DETERMINAR AS COLUNAS PIVÔ 
 
1. Para achar a coluna pivô, devemos pegar a 1º coluna 
não-nula da esquerda p/ a direita 
2. Esquecemos a linha que tem o pivô e então repetimos o 
passo anterior. 
 
 
 
ELIMINAÇÃO DE GAUSS-JORDAN 
 
O método para achar, por meio de operações elementares 
nas linhas, uma matriz equivalente à matriz A que está na 
sua forma escalonada é conhecido como o método de 
eliminação de Gauss-Jordan. Exemplo, expresse a matriz a 
seguir na forma escalonada: 
 
Na 1º coluna da matriz de A, 
não temos entradas nulas 
logo consideraremos o valor 1 
como nosso pivô. Para as 
demais linhas precisaremos realizar algumas modificações: 
 
Assim, temos por resposta: 
 
Utilizamos esse método para criar colunas com elementos 
pivotes. 
 
Resolução de um sistema de equações 
lineares simultâneas 
 
Para solucionar um sistema de equações lineares 
simultâneas, seguimos os passos descritos a seguir; 
 
1. Defina sua matriz aumentada 
2. Leve a matriz aumentada na forma escalonada 
3. Faça substituição para trás para resolver o sistema 
dado 
Exemplo: Resolva o sistema a seguir. 
 
 
Agora resolvemos o sistema: 
 
Posto de uma matriz 
Para uma matriz arbitraria A=(aij)mxn define-se o posto linha 
de A, denotado por R(A) como o número de linhas não nulas 
após o processo de escalonamento da matriz dada. 
O posto linha de A, R(A), também pode ser definido como o 
número de pivotes na forma escalonada da matriz A. E pode 
também ser definido como a ordem da maior submatriz 
quadrada não singular que pode ser formada selecionando 
linhas e colunas de A. Neste caso, para achar R(A), é 
necessário trabalhar com determinantes. 
 
 
 
PROPRIEDADES DO POSTO DE UMA MATRIZ 
 
 
TEOREMA DE ROUCHÊ-FRÖBENIUS 
 
Dado um sistema de equações lineares com coeficientes 
reais: Ax = b. Onde tal sistema tem n incógnitas. Então o 
sistema dado possuí; 
• SOLUÇÃO ÚNICA: 
• INFINITAS SOLUÇÕES: 
• NÃO TEM SOLUÇÃO: